北师大版九年级上学期数学《期末检测试卷》带答案解析
最新北师大版九年级上学期数学《期末考试试卷》含答案解析
北师大版九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3y x 的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积为（ ）A. 2B. 4C. 22D. 422.为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（ ）A. 18元B. 36元C. 64元D. 80元3.若一个多边形放大后与原多边形位似，且面积放大为原来的3倍，则周长放大为原来的（ ）A. 3倍B. 9倍C. 3倍D. 6倍4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED 的周长为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 125.如图，以点D 为位似中心，作ABC 的一个位似三角形111A B C ，A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，1DA 与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点1C 的坐标分别为（ ）A. 2，(2, 8)B. 4，(2, 8)C. 2，(2, 4)D. 2，(4, 4)6.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中，正确的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103cm ，则皮球的直径是（ ）A . 53B. 15C. 10D. 83 8.如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B 、C 在反比例函数的图象上，对角线AC 、BD 交于点E ，且//BD x 轴，若1AE =，30ADE ∠=，则反比例函数的表达式为（ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 3y =D. 23y =9.一个密闭不透明盒子中有若干个白球，现又放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再放回盒中，像这样共摸200次，其中44次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A. 28个B. 30个C. 32个D. 34个10.如图，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A. 0.36π米2B. 0.81π米2C. 2π米2D. 3.24π米2二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.如果非零实数n 是关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的一个根，那么m n -=________． 12.若关于x 的一元二次方程()221410a x x a +++-=的一根是0，则a =________． 13.已知△ABC 中的三边a=2，b=4，c=3，h a ，h b ，h c 分别为a ，b ，c 上的高，则h a ：h b ：h c =____． 14.如图，矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线k y x =相交于点D ，且:5:3OB OD =，则k =________．15.2x x ++________(x =+________2)．16.若y 与z 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与x 成________．17.如图，________与________相似．18.只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形''''A B C D 相似，这个条件可以是________．19.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体，请你在图的右侧画出该几何体的俯视图________．20.如图，一次函数y kx b =+与反比例函数(0)a y x x =>的图象交于()1,6A 、()2,3B 两点．根据图象直接写出0a kx b x+-<时x 的取值范围________．三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.解方程：（1）220x x +=；（2）2310x x -+=．22.在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，连接DE ，过C 作CF 垂直DE ．()1求证：CDF DEA ∽；()2若设CF x =，DE y =，求y 与x 的函数解析式．23.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．()1确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；()2如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？24.李大妈加盟了“红红”全国烧烤连锁店，该公司的宗旨是“薄利多销”，经市场调查发现，当羊肉串的单价定为0.7元时，每天能卖出160串，在此基础上，每加价0.1元李大妈每天就会少卖出20串，考虑了所有因素后李大妈的每串羊肉串的成本价为0.5元，若李大妈每天销售这种羊肉串想获得利润是18元，那么请问这种羊肉串应怎样定价？25.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、4． （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．26.请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为________度时，四边形BEFG 是正方形．理由：答案与解析一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3yx的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A. 2B. 4C. 22D. 42【答案】D【解析】试题解析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴2，S菱形ABCD=底×高2×2，故选D．考点：1.菱形性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．2.为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）A. 18元B. 36元C. 64元D. 80元【答案】D【解析】【分析】 设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是1001x -（），第二次后的价格是21001x -（），据此即可列方程求解． 【详解】解：∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，∴降价后的药品价格为100136%64-=（）元，设平均每次降价的百分率是x ，依题意得：2100164x -=（），解方程得：120.220% 1.8x x ===，（舍去）， 第一次降价的价格为100120%80⨯-=（）元．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是降低率问题的数量关系21p x q -=（）的运用，一元二次方程的解法的运用，解题关键解答时由降低率问题的等量关系建立方程．3.若一个多边形放大后与原多边形位似，且面积放大为原来的3倍，则周长放大为原来的（ ）A. 3倍B. 9倍 倍 D. 6倍 【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比解答．，∴∴故选C ．【点睛】本题考查的知识点是相似多边形周长的比等于相似比，解题关键是注意相似比到周长比的转换．4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED 的周长为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】 【详解】解:∵四边形ABCD 为矩形，∴OA=OC ，OB=OD ，且AC=BD ，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形DECO 为平行四边形，∵OD=OC ，∴四边形DECO 菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED 的周长为2+2+2+2=8，故选B ．考点：矩形的性质；菱形的判定与性质．5.如图，以点D 为位似中心，作ABC 的一个位似三角形111A B C ，A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，1DA 与DA 的比值为k ，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点1C 的坐标分别为（ ）A. 2，(2, 8)B. 4，(2, 8)C. 2，(2, 4)D. 2，(4, 4)【答案】A【解析】【分析】 利用勾股定理求出DA 1与DA 的值，然后相比即可求出k 值；连接DB 并延长至B 1，使DB 1=2DB ，连接DC 并延长至C 1，使DC 1=2DC ，然后顺次连接A 1，B 1，C 1，然后根据平面直角坐标系写出点C 1的坐标即【详解】根据勾股定理DA=22112+=，DA1=222222+=，∴k=122 2DADA==2，C1的坐标为（2，8）．故选A．【点睛】本题考查了利用位似变换作图，以及位似变换的性质，位似比的求解，是基础题，找出对应点的位置是解题的关键．6.有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形．其中，正确的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】【分析】由矩形判定方法得出①③⑤正确，②④不正确，即可得出结论．【详解】解：①四个角都相等的四边形是矩形，①正确；②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形不一定是矩形，②不正确；③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形，③正确；④对角线相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，④不正确；⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形，⑤正确．正确的个数有3个；【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定，解题关键是熟记矩形的判定方法．7.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103cm ，则皮球的直径是（ ）A. 53B. 15C. 10D. 83【答案】B【解析】 【详解】解：如图，作AB ⊥MN 交MN 于点B ，因为103AN =cm ，∠ANB ＝60°，所以3·sin 6010315AB AN =︒=⨯=（cm ），由于平行线间的垂线段相等，所以皮球的直径为15cm ．8.如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B 、C 在反比例函数的图象上，对角线AC 、BD 交于点E ，且//BD x 轴，若1AE =，30ADE ∠=，则反比例函数的表达式为（ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 3y =D. 23y =【答案】D【解析】【分析】直接利用菱形的性质结合已知得出C 点坐标，进而得出反比例函数的表达式． 【详解】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，1AE =，30ADE ∠=︒， ∴2AD =，则DE 3=， 故2AC =，则C 点坐标为：()3,2， 故反比例函数的表达式为：23y =． 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标性质，解题关键是正确得出C 点坐标．9.一个密闭不透明盒子中有若干个白球，现又放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再放回盒中，像这样共摸200次，其中44次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A. 28个 B. 30个C. 32个D. 34个【答案】A 【解析】 【分析】根据摸200次，其中44次摸到黑球计算出摸到黑球的概率，又知黑球有8个，据此即可求出袋中球的总个数，从而得到盒中白球的个数． 【详解】解：440.22200P ==（摸到黑球），袋中黑球有8个， ∴袋中球的总数约为80.2236÷≈个，则袋中白球大约有36828-=个． 故选A ．【点睛】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题关键是注意实验次数越多，计算越精确． 10.如图，圆桌正上方的一灯泡发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面半径为0.6米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A. 0.36π米2B. 0.81π米2C. 2π米2D. 3.24π米2【答案】B【解析】 【分析】桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则灯泡离地面是2米，桌面与阴影是相似图形，相似比是23：，两个图形的半径的比就是相似比，设阴影部分的直径是xm ，则1.223x =：：解得： 1.8x =，因而地面上阴影部分的面积为20.81π米．【详解】解：设阴影部分的直径是xm ，则：1.223x =：：解得 1.8x =，所以地面上阴影部分的面积为：220.81S r m ππ==． 故选B ．【点睛】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是注意对应高线的比等于相似比．二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.如果非零实数n 是关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的一个根，那么m n -=________． 【答案】1 【解析】 【分析】 把xn =代入方程，建立关于m ，n 的等式，求出m n -的值．【详解】解：把xn =代入方程得：20n mn n -+=，即10n n m -+=（）， 又0n ≠，10n m ∴-+=，即：1m n -=．故答案为1.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解的定义，解题关键是注意n 非零． 12.若关于x 的一元二次方程()221410a x x a +++-=的一根是0，则a =________．【答案】1 【解析】 【分析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求． 【详解】∵一根是0，∴(a+1)×(0)2+4×0+a2−1=0，∴a2−1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠−1；∴a=1.故答案为1.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的解与根据直接开平方法解一元二次方程.13.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，h a，h b，h c分别为a，b，c上的高，则h a：h b：h c=____．【答案】6:3:4【解析】【分析】根据三角形的面积不变，可知三角形三边的高的比和三边的比成反比．【详解】∵三角形三边的高的比和三边的比成反比，∴h a:h b:h c=12:14:13=6:3:4.故答案为6:3:4.【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟练的掌握比例线段的相关知识点.14.如图，矩形OABC的面积为1003，它的对角线OB与双曲线kyx=相交于点D，且:5:3OB OD=，则k=________．【答案】12【解析】试题分析：由题意，设点D的坐标为（x，y），则点B的坐标为（，），所以矩形OABC的面积，解得∵图象在第一象限，∴.考点：反比例系数k 的几何意义点评：反比例系数k 的几何意义是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 15.2x x ++________(x =+________2)． 【答案】 (1). 14 (2). 12【解析】 【分析】利用完全平分公式求解即可．【详解】x 2+x+14=(x+12)2.故答案为14，12.【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练的掌握配方法的应用. 16.若y 与z 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与x 成________． 【答案】反比例 【解析】 【分析】注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx （k≠0），反比例函数的一般形式是y=kx（k≠0）． 【详解】因为y 与z 成正比例,即y=k 1z ， x 与z 成反比例,即z=2k x， ∴y=k 1⋅2k x =12k k x. 所以y 与x 成反比例. 故答案为反比例.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义. 17.如图，________与________相似．【答案】 (1). ()1 (2). ()4 【解析】 【分析】根据图形的形状与中间直线的位置判断即可.【详解】根据题意将（1）顺时针旋转90°与（4）重合，所以（1）与（4）相似.【点睛】本题考查了相似的知识点，解题的关键是根据图形的形状与中间直线的位置判断. 18.只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形''''A B C D 相似，这个条件可以是________． 【答案】''''AB A B BC B C =【解析】 【分析】根据矩形的性质及相似多边形的定义解答即可． 【详解】∵矩形的四个角都是直角，∴只要矩形的对应边成比例，则两个矩形相似， ∴这个条件可以是AB BC =A B B C ''''(答案不唯一). 故答案为AB BC=A B B C '''' (答案不唯一). 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似多边形的性质.19.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体，请你在图的右侧画出该几何体的俯视图________．【答案】图形见详解 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【详解】从上面看，上面是3个正方形，右下角是1个正方形，进而得出答案：.【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握几何体的三视图. 20.如图，一次函数y kx b =+与反比例函数(0)ay x x=>的图象交于()1,6A 、()2,3B 两点．根据图象直接写出0akx b x+-<时x 的取值范围________．【答案】01x <<或2x > 【解析】 【分析】根据函数图象的关系，可得反比例函数图象在上的区域，可得答案． 【详解】一次函数y=kx+b 与反比例函数y=ax(x>0)的图象交于A(1,6)、B(2,3)两点， 观察图象,可得kx+b−ax<0时x 的取值范围是0<x<1或x>2. 故答案为0<x<1或x>2.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练的掌握反比例函数与一次函数的交点问题.三、解答题（共 6 小题 ，每小题 10 分 ，共 60 分 ）21.解方程：（1）220x x +=； （2）2310x x -+=．【答案】()1 10x =，22x =-；()2 35x ±=【解析】 【分析】（1）原式利用因式分解法求出解即可； （2）原式利用公式法求出解即可． 【详解】()1分解因式得：()20x x +=， 可得0x =或20x +=，解得：10x =，22x =-；()2这里1a =，3b =-，1c =， ∵945=-=， ∴35x ±=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据公式法和因式分解法解一元二次方程. 22.在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，连接DE ，过C 作CF 垂直DE ．()1求证：CDF DEA ∽；()2若设CF x =，DE y =，求y 与x的函数解析式．【答案】()1证明见解析（2）48y x=【解析】 【分析】（1）要求的两个相似三角形中，已有一对直角对应相等，可利用垂直得到其余一组锐角相等即可得到相似． （2）利用相似求得函数关系式．【详解】()1证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A ADC AB CD ∠=∠==． ∵CF 垂直DE ， ∴90CFD ∠=． ∴CFD A ∠=∠．90DCF CDF ∠+∠=，90ADE CDF ∠+∠=．∴DCF ADE ∠=∠． ∴CDF DEA ∽．()2解：∵CDF DEA ∽，∴CD CFDE AD=． ∴86x y =．∴48y x=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与反比例函数，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与根据实际问题列反比例函数关系式.23.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．()1确定y 与x的函数关系式，并求出首付款的数目；()2如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？【答案】()14000元() 2李先生至少16个月才能结清余款． 【解析】 【分析】（1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于k 的绝对值，由图可知4000×2=8000，即可求出解析式．（2）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出函数的范围．【详解】()1由图象可知y 与x 成反比例，设y 与x 的函数关系式为ky x=，把()2,4000A 代入关系式得40002k=， ∴8000k =，∴8000y x=， ∴首付款为：1200080004000-=（元）．()2当500y =时，8000500x=， ∴16x =，∴李先生至少16个月才能结清余款．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用.24.李大妈加盟了“红红”全国烧烤连锁店，该公司的宗旨是“薄利多销”，经市场调查发现，当羊肉串的单价定为0.7元时，每天能卖出160串，在此基础上，每加价0.1元李大妈每天就会少卖出20串，考虑了所有因素后李大妈的每串羊肉串的成本价为0.5元，若李大妈每天销售这种羊肉串想获得利润是18元，那么请问这种羊肉串应怎样定价？【答案】这种羊肉串应定价为0.6元．【解析】【分析】设这种羊肉串定价为x元/串，则每串的利润为（x-0.5）元，可卖出[160-200（x-0.7）]串，根据每串的利润×串数=总利润，列方程进行求解即可.【详解】设这种羊肉串定价为x元/串，由题意得（x-0.5）[160-200（x-0.7）]=18，化简得：25x2-50x+21=0，解得：x1=0.6，x2=1.4（舍去），答：这种羊肉串应定价为0.6元/串．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，看到涨价和销售量的关系，根据利润列出方程．25.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字2，3、4．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．【答案】（1）23；（2）这两个数字之和是3的倍数的概率为13．【解析】【分析】（1）在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，根据概率公式可得；（2）用列表法列出所有情况，再计算概率.【详解】解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为23，故答案为23；（2）列表如下：1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为39=13．【点睛】本题考核知识点：求概率.解题关键点：列出所有情况，熟记概率公式.26.请阅读下列材料：问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．（1）求证：四边形BEFG是矩形；（2）PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．理由：【答案】（1）见解析；（2）90【解析】【分析】精品数学期末测试 （1）由正方形ABCD ，易得∠EBG=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG 是矩形；（2）首先作辅助线：延长GP 交DC 于点H ，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS 易得△DHP ≌△FGP ，则有HP=GP ，当∠CPG=90°时，利用SAS 易证△CPH ≌△CPG ，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG=GF ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得□BEFG 是菱形，而∠EBG=90°，即得四边形BEFG 是正方形．【详解】（1）∵正方形ABCD 中，90ABC ∠=，∴90EBG ∠=，∴BEFG 是矩形（2）90【点睛】本题考查了矩形的性质与正方形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与正方形的判定与性质.。
最新北师大版数学九年级上学期《期末测试卷》含答案解析
北师大版九年级上学期期末考试数学试题满分150分 时间120分钟A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2020•新宾县四模）在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形2．（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019•桓台县二模）已知a b=25，则a+b b的值为（ ）A ．25B ．35C ．23D ．754．（2020•临沂模拟）已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．45．将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+1 B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣16．（2020•南山区校级二模）下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．07．（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√58．（2020•武昌区模拟）函数y =−a 2−1x（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．如图，EF ∥AC ，GH ∥AB ，MN ∥BC ，EF 、GH 、MN 、交于点P ，则图中与△PGF 相似的三角形的个数是（ ）个．A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020•立山区二模）如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A．2√2B．4C．4√2D．8√2二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）11．（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．12．（2019秋•深圳期末）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有个同学．13．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．三．解答题（共6小题，满分54分）14．（12分）（2018秋•新都区期末）计算（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程：x（x﹣3）＝2x15．（6分）（2019•花都区一模）已知：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）（1）化简A；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192）17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为；（2）抽取两名同学，求甲在其中的概率．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．19．（10分）（2020•烟台二模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．B 卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）20．（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 ．21．（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n 既能使关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为 ．22．（2019秋•滦州市期中）计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)= ．23．（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，点B （m ，n ）在双曲线y =kx 上，则k 的取值范围为 ．24．（2020•青白江区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为 ．五．解答题（共3小题，满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•新宾县四模）在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形【解析】解：由题意，得∠A ＝45°，∠B ＝45°．∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°，故选：B ． 2．（3分）（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：B ．3．（3分）（2019•桓台县二模）已知a b=25，则a+b b的值为（ ）A ．25B ．35C ．23D ．75【解析】解：由a b=25，得a+b b=2+55=75．故选：D ．4．（3分）（2020•临沂模拟）已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．4【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2−√5x +1=0的两根，∴x 1+x 2=√5，x 1•x 2＝1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝5﹣2＝3．故选：A ．5．（3分）将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+1 B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣1【解析】解：y ＝x 2﹣2x +3＝x 2﹣2x +1+2＝（x ﹣1）2+2，故选：B ． 6．（3分）（2020•南山区校级二模）下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题； 图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题； 两直线平行，内错角相等，④是假命题； 相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题； 垂线段最短，⑥是真命题，故选：C ．7．（3分）（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√5【解析】解：由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP =√5−12×2=√5−1．故选：B ．8．（3分）（2020•武昌区模拟）函数y =−a 2−1x（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 1【解析】解：∵a 2≥0，∴﹣a 2≤0，﹣a 2﹣1＜0，∴反比例函数y =−a 2−1x的图象在二、四象限， ∵点（2，y 3）的横坐标为2＞0，∴此点在第四象限，y 3＜0；∵（﹣4，y 1），（﹣1，y 2）的横坐标﹣4＜﹣1＜0，∴两点均在第二象限y 1＞0，y 2＞0， ∵在第二象限内y 随x 的增大而增大，∴y 2＞y 1，∴y 2＞y 1＞y 3．故选：A ．9．（3分）如图，EF ∥AC ，GH ∥AB ，MN ∥BC ，EF 、GH 、MN 、交于点P ，则图中与△PGF 相似的三角形的个数是（ ）个．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：∵EF ∥AC ，GH ∥AB ，MN ∥BC ，∴△PGF ∽△EBF ，△PGF ∽△HGC ，△AMN ∽△ABC ，△EMP ∽△ENF ，△HPN ∽△HGC ，△EBF ∽△ABC ，故选：C ．10．（3分）（2020•立山区二模）如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．8√2【解析】解：过点O 作OC ⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB =√2OA ＝2√2， ∵S四边形MANB＝S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值＝S 四边形DAEB ＝S △DAB +S △EAB =12AB •CD +12AB •CE =12AB （CD +CE ）=12AB •DE =12×2√2×4＝4√2．故选：C ．二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）11．（4分）（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a ，2，6，a +1成比例，则a 的值为 3 ．【解析】解：∵四条线段a ，2，6，a +1成比例，∴a 2=6a+1，解得：a 1＝3，a 2＝﹣4（舍去），所以a ＝3，故答案为：312．（4分）（2019秋•深圳期末）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 40 个同学．【解析】解：设该班有x 个同学，则每个同学需交换（x ﹣1）件小礼物，依题意，得：x （x ﹣1）＝1560，解得：x 1＝40，x 2＝﹣39（不合题意，舍去）．故答案为：40．13．（4分）（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为83．【解析】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则DF AE=BD BA =23，∵ECAE=13，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83． 三．解答题（共6小题，满分54分） 14．（12分）计算（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程：x （x ﹣3）＝2x【解析】解：（1）原式＝1﹣1﹣3×√33+3√3＝1﹣1−√3+3√3＝2√3；（2）x（x﹣3）﹣2x＝0，x（x﹣3﹣2）＝0，x＝0或x﹣3﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝5．15．（6分）（2019•花都区一模）已知：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）（1）化简A；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．【解析】解：（1）A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）＝m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6），＝m2﹣1﹣m2+m+6，＝m+5，（2）∵一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即△＝（m+2）2﹣4×14m2=0，解得m＝﹣1．当m＝﹣1时，A＝m+5＝﹣1+5＝4．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192）【解析】解：如图，过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，CF＝EF•tan50°＝AB•tan50°＝35.76m，在Rt△DEG中，DG＝EG•tan60°=√3EG，设热气球的直径为x米，则35.76+12x=√3（30−12x），解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为 14；（2）抽取两名同学，求甲在其中的概率．【解析】解：（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种，所以抽取一名同学，恰好是甲的概率为14，故答案为：14．（2）随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁，故抽取两名同学，甲在其中的概率为36=12．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图，已知反比例函数y =kx的图象与一次函数y ＝x +b 的图象交于点A （1，4），点B （﹣4，n ）． （1）求n 和b 的值； （2）求△OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．【解析】解：（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y =kx ，一次函数y ＝x +b ，得k ＝1×4，1+b ＝4， 解得k ＝4，b ＝3，∵点B （﹣4，n ）也在反比例函数y =4x 的图象上，∴n =4−4=−1；（2）如图，设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4＝7.5； （3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．19．（10分）（2020•烟台二模）如图，已知AB 是圆O 的直径，F 是圆O 上一点，∠BAF 的平分线交⊙O 于点E ，交⊙O 的切线BC 于点C ，过点E 作ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若DE ＝3，CE ＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．【解析】（1）证明：连接OE ∵OA ＝OE ∴∠OAE ＝∠OEA ∵AE 平分∠BAF ∴∠OAE ＝∠EAF ∴∠OEA ＝∠EAF ∴OE ∥AD ∵ED ⊥AF ∴∠D ＝90°∴∠OED ＝180°﹣∠D ＝90°∴OE ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线（2）解：①连接BE ∵AB 是⊙O 直径∴∠AEB ＝90°∴∠BEA ＝∠D ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90° ∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝90°∴∠BAE ＝∠CBE ∵∠DAE ＝∠BAE ∴∠DAE ＝∠CBE ∴△ADE ∽△BEC ∴AE BC=DE CE∵DE ＝3，CE ＝2∴BC AE=23②过点E 作EH ⊥AB 于H ，过点G 作GP ∥AB 交EH 于P ，过点P 作PQ ∥OG 交AB 于Q∴EP ⊥PG ，四边形OGPQ 是平行四边形∴∠EPG ＝90°，PQ ＝OG ∵BC AE=23∴设BC ＝2x ，AE ＝3x ∴AC ＝AE +CE ＝3x +2∵∠BEC ＝∠ABC ＝90°，∠C ＝∠C ∴△BEC ∽△ABC∴BC AC=CE BC∴BC 2＝AC •CE 即（2x ）2＝2（3x +2）解得：x 1＝2，x 2=−12（舍去）∴BC ＝4，AE ＝6，AC ＝8∴sin ∠BAC =BC AC =12，∴∠BAC ＝30°∴∠EGP ＝∠BAC ＝30°∴PE =12EG ∴OG +12EG ＝PQ +PE ∴当E 、P 、Q 在同一直线上（即H 、Q 重合）时，PQ +PE ＝EH 最短 ∵EH =12AE ＝3∴OG +12EG 的最小值为3B 卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）20．（4分）（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 8 ．【解析】解：∵2m ﹣n +1＝0，∴2m ﹣n ＝﹣1，则原式＝5﹣3（2m ﹣n ）＝5+3＝8，故答案为：8 21．（4分）（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n既能使关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为15．【解析】解：∵关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，∴当n ＝﹣3时，关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，当n ≠﹣3时，（n +1）2﹣4（n +3）×12=n 2﹣5≥0，∴n 2≥5， ∵反比例函数y =n 2−16x的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∴n 2﹣16＜0，∴n 2＜16，∴5≤n 2≤16，∴n ＝3，∴概率为，15，故答案为：15．22．（4分）（2019秋•滦州市期中）计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=2019x(x+2019)．【解析】解：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x−2−1x+3+⋯+1x+2018−1x+2019=1x−1x+2019=2019x(x+2019)故答案为：2019x(x+2019)．23．（4分）（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，点B （m ，n ）在双曲线y =kx上，则k 的取值范围为 k ≤124且k ≠0 ． 【解析】解：∵点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，∴2n ＝﹣3m +1，即n =−3m+12， ∴B （m ，−3m+12），∵点B 在双曲线y =kx 上，∴k ＝m •−3m+12=−32（m −16）2+124，∵−32＜0，∴k 有最大值为124，∴k 的取值范围为k ≤124，∵k ≠0，故答案为k ≤124且k ≠0． 24．（4分）（2020•青白江区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为152．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2， ∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=45，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC=EHAE=45，∴EH=45AE=85，∴h＝EH﹣EG=85−1=35，∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152．故答案为：152．五．解答题（共3小题，满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【解析】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{200=15k +b300=10k +b ，解得：{k =−20b =500，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（25＞x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x =−b 2a =312=15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680， 此时，既能销售完又能获得最大利润．26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．【解析】解：（1）△BDE ∽△CFD ，理由：∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°，∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝180°﹣α，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝180°﹣α，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）①设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8， 由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF =BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AC ﹣AF ＝8﹣y ，CD ＝BC ﹣BD ＝6，∴28−y=8−x 6=xy，∴{2y =x(8−y)6x =y(8−x)，∴x y =1014=57，∴AE AF =57； ②设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8，由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠ABC +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠DBE ＝∠DCF ＝120°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF=BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AF ﹣AC ＝y ﹣8，CD ＝BC +BD ＝10，∴2y−8=8−x10=x y ，∴{2y =x(y −8)10x =y(8−x)，∴x y =13．∵△BDE ∽△CFD ，∴△BDE 与△CFD 的周长之比为DE DF=x y=13．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0，解得：{b =43c =8，∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8； （2）①∵OA ＝8，OC ＝6，∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QEQC =AB AC =35， ∴QE 10−m=35，∴QE =35（10﹣m ），∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ； ②∵S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m =−310（m ﹣5）2+152，∴当m ＝5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32，D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当∠FDQ ＝90°时，F 1（32，8），当∠FQD ＝90°时，则F 2（32，4），当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ），则FD 2+FQ 2＝DQ 2，即94+（8﹣n ）2+94+（n ﹣4）2＝16，解得：n ＝6±√72，∴F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72），满足条件的点F 共有四个，坐标分别为F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72）．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在一个四边形ABCD 中，依次连结各边中点的四边形是菱形，则对角线AC 与BD 需要满足条件（）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB 边落在对角线AC 上，得到折痕AE ，则点E 到点B 的距离为（）A ．32B ．2C ．52D ．33．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是A ．()()12132+=+x x B ．02112=-+x x C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x 4．已知点()12,A y -、B （－1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数4y x=的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 35．学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是A ．9%B ．．5%C ．9．5%D ．10%6．二次三项式243x x -+配方的结果是（）A ．2(2)7x -+B ．2(2)1x --C ．2(2)7x ++D ．2(2)1x +-7．函数x ky =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是2222-2-2-2-2O OOOy y y y xxxxA ．B ．C ．D．8．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动A ．变短B ．变长C ．不变D．无法确定9．如图，点A 在双曲线=6上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为（）A ．47B ．5C ．27D ．2210．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD=4，DB=2，则的值为．二、填空题11．反比例函数2k y x+=的图象在一、三象限，则k 应满足_________．12．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12倍，边长应缩小到原来的____倍．13．已知一元二次方程22(1)7340a x ax a a -+++-=有一个根为0，则a 的值为_______.14．已知534a b c ==，则232a b c a b c++=++_______15．如图，已知点A 在反比例函数(0)ky x x=<的图象上，AC y ⊥轴于点C ，点B 在x 轴的负半轴上，若2ABC S = ，则k 的值为_________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=1，BD=4，则CD=_____．17．若关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．三、解答题18．解方程（1）；（2）．19．（8分）已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB=5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC=3m ．B（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．20．(10分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．21．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字11,,124的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为,a b.(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．23．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?24．如图，已知A (−4，n )，B (2，−4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点；(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求不等式kx +b −mx<0的解集(请直接写出答案)．25．在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x +5与反比例函数y ＝kx（k ≠0，x ＞0）图象交于点A（1，n ）；另一条直线l 2：y ＝﹣2x +b 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k x（k ≠0，x ＞0）图象交于点C 和点D （12，m ），连接OC 、OD ．（1）求反比例函数解析式和点C 的坐标；（2）求△OCD 的面积．26．（12分）如图，在ABC △中，5AB =，3BC =，4AC =，动点E （与点A C ，不重合）在AC 边上，EF AB ∥交BC 于F 点．CE FA B（1）当ECF△的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当ECF△的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP△为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．参考答案1．B【解析】试题分析：如图：∵四边形EFGH是菱形，∴EH=FG=EF=HG=12BD=12AC，故AC=BD．故选B．考点：中点四边形．2．A【解析】试题分析：由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可得到答案．设BE=x，∵AE为折痕，∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，Rt△ABC中，，∴Rt△EFC中，FC=5-3=2，EC=4-X，∴，解得，故选A.考点：本题考查的是图形折叠的性质及勾股定理点评：熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．3．A【解析】试题分析：A、由原方程得到3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；B、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项错误；C、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；D、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；故选A．考点：一元二次方程定义4．D【分析】分别把各点坐标代入反比例函数y=4x，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．【详解】∵点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=4x的图象上，∴y1=-2，y2=-4，y3=4 3，∵-4＜-2＜4 3，∴y2＜y1＜y3．故选D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．D【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，依题意得100（1-x）2=81，解方程得x1=0.1，x2=1.9（舍去）所以平均每次降价的百分数是10%．故选D．考点：一元二次方程的应用6．B【解析】试题分析：在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选B．考点：配方法的应用．7．A【解析】试题分析：∵函数xky=的图象经过（1，-1），∴k=-1，∴函数2-=kxy的解析式为：y=-x-2，函数y=-x-2的图像过二、四象限过（0，-2），（-2，0）点，故选A考点：1.反比例函数图像2.一次函数8．C【解析】试题分析：∵E，F分别是AM，MR的中点，∴EF=12AR.∵R是定点，∴AR的定长.∴无论M运动到哪个位置EF的长不变.故选C．考点：1.动点问题；2.三角形中位线定理．9．C【解析】试题分析：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，则：ab＝6，a2+b2＝16，解得a+b=27，即△ABC的周长=OC+AC=27．故选C考点：反比例函数图象上点的坐标特征10．2 3【解析】试题分析：：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD=4，DB=2，∴AD：AB=DE：BC=2：3．则的值为2 3．考点：相似三角形的判定与性质．11．k＞-2【解析】试题分析：反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限.由题意得，考点：本题主要考查了反比例函数的性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成．12．2【解析】试题分析：：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的倍，∴边长应缩小到原来的2倍．考点：相似三角形的性质13．-4【解析】【分析】将x=0代入原方程可得关于a的方程，解之可求得a的值，结合一元二次方程的定义即可确定出a的值.【详解】把x=0代入一元二次方程（a-1）x2+7ax+a2+3a-4=0，可得a2+3a-4=0，解得a=-4或a=1，∵二次项系数a-1≠0，∴a≠1，∴a=-4，故答案为-4．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式以及一元二次方程的解，熟知一元二次方程二次项系数不为0是解本题的关键.14．15 26【解析】试题分析：设=k ，则a=5k ，b=3k ，c=4k ，25641532153826a b c k k k a b c k k k ++++==++++考点：比例的性质15．-4【分析】连结OA ，由AC ⊥y 轴，可得AC ∥x 轴，可知S △ACB =S △ACO =2，可得=4k ，由反比例函数图像在第二象限（x<0），可知k<0，可求k=-4．【详解】解：连结OA ，∵AC ⊥y 轴，∴AC ∥x 轴，∴S △ACB =S △ACO =2，∴1=22k ，∴=4k ，∵反比例函数图像在第二象限（x<0），∴k<0，∴k=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查反比例函数解析式，掌握反比例函数的性质，关键是反比例函数中k 的几何意义．16．2．【分析】首先证△ACD ∽△CBD ，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD 的长．【详解】解：Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ；∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A ；又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD ∽△CBD ；∴CD 2=AD•BD=4，即CD=2．故答案为：2【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．17．0k >且1k ≠【分析】根据题意，结合一元二次方程的定义和根的判别式可得关于k 的不等式，然后解不等式即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有两个不相等的实数根，∴21024(1)(1)0k k -≠⎧⎨∆=--⨯->⎩，10k k ≠⎧⎨>⎩，∴k 的取值范围是0k >且1k ≠，故答案为：0k >且1k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是解答的关键．18．（1）1x =2x =.（2）【详解】试题分析：（1）用公式法（2）用分解因式法试题解析：（1）因为(()245248∆=--⨯-⨯=，所以x =即1x =2x =.（2）移项得，分解因式得，解得考点：解一元二次方程19．（1）见解析；（2）DE=10m【解析】试题分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可；（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系AB BC DE EF =．计算可得DE试题解析：（1）如图：连接AC ，过点D 作DE//AC ，交直线BC 于点F ，线段EF 即为DE 的投影（2）∵AC//DF ，∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC ∽△DEF.53,.6AB BC DE EF DE ∴=∴= ∴DE=10（m ）考点：平行投影20．（1）BD=CD ．（2）当△ABC 满足：AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形．【解析】试题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE ，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD ，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．试题解析：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．考点：1.矩形的判定2.全等三角形的判定与性质．21．（1）列表见解析；（2）不公平，理由见解析．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．【详解】（1）列表如下：a b12312(12，1)（12，2）（12，3）14（14，1）（14，2）(14，3)1（1，1）（1，2）（1，3）（2）要使方程210ax bx ++=有两个不相等的实根，即△=240b a ->，满足条件的有5种可能：1111,2,,2,,3,,3,(1,3)2424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴甲获胜的概率为()59P =甲，乙获胜的概率为()49P =乙，5499> 即此游戏不公平．22．证明见解析．【分析】（1）一方面Rt △ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC ，另一方面△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，从而可证明△AFE ≌△BCA ，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF ．（2）根据（1）知道EF=AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形．【详解】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ．又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF ．∴AF=BC ．∵在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF=BC ，AE=BA ，∴△AFE ≌△BCA （HL ）．∴AC=EF ．（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ．∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF ∥AD ．∵AC=EF ，AC=AD ，∴EF=AD ．∴四边形ADFE 是平行四边形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．23．每张贺年卡应降价0.1元．【分析】设每张贺年卡应降价x 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．【详解】设每张贺年卡应降价x 元，根据题意得：（0.3-x ）（500+1000.1x ）=120，整理，得：21002030x x +-=，解得:120.1,0.3x x ==-（不合题意，舍去），∴0.1x =，答：每张贺年卡应降价0.1元．24．（1）8y x=-，2y x =--；（2）C 点坐标为(2,0)-，6；（3）40x -<<或2x >．【分析】（1）先把B 点坐标代入代入m y x =求出m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据x 轴上点的坐标特征确定C 点坐标，然后根据三角形面积公式和AOB 的面积AOC BOC S S ∆∆=+进行计算；（3）观察函数图象得到当4x <-或02x <<时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：（1）把(2,4)-B 代入m y x=得2(4)8m =⨯-=-，所以反比例函数解析式为8y x =-，把(4,)A n -代入8y x=-得48n -=-，解得2n =，则A 点坐标为(4,2)-，把(4,2)A -，(2,4)-B 分别代入y kx b =+得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得12k b =-⎧⎨=-⎩，所以一次函数的解析式为2y x =--；（2）当0y =时，20x --=，解得2x =-，则C 点坐标为(2,0)-，∴AOC BOCAOB S S S ∆∆∆=+11222422=⨯⨯+⨯⨯6=；（3）由kx +b −m x <0可得kx +b <m x故该不等式的解为40x -<<或2x >．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．（1）中理解函数图象上的点都满足函数关系式是解题关键；（2）中掌握“割补法”求图形面积是解题关键；（3）中掌握数形结合思想是解题关键．25．（1）y ＝6x ，点C （6，1）；（2）1434．【分析】（1）点A （1，n ）在直线l 1：y ＝x +5的图象上，可求点A 的坐标，进而求出反比例函数关系式，点D 在反比例函数的图象上，求出点D 的坐标，从而确定直线l 2：y ＝﹣2x +b 的关系式，联立求出直线l 2与反比例函数的图象的交点坐标，确定点C 的坐标，（2）求出直线l 2与x 轴、y 轴的交点B 、E 的坐标，利用面积差可求出△OCD 的面积．【详解】解：（1）∵点A （1，n ）在直线l 1：y ＝x +5的图象上，∴n ＝6，∴点A （1，6）代入y ＝k x 得，k ＝6，∴反比例函数y ＝6x ，当x ＝12时，y ＝12，∴点D （12，12）代入直线l 2：y ＝﹣2x +b 得，b ＝13，∴直线l 2：y ＝﹣2x +13，由题意得：6213y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩解得：111212x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2261x y =⎧⎨=⎩，∴点C （6，1）答：反比例函数解析式y ＝6x，点C 的坐标为（6，1）．（2）直线l 2：y ＝﹣2x +13，与x 轴的交点E （132，0）与y 轴的交点B （0，13）∴S △OCD ＝S △BOE ﹣S △BOD ﹣S △OCE11311113143131312222224=⨯⨯-⨯⨯⨯=答：△OCD 的面积为1434．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题、以及反比例函数与几何面积的求解，解题的关键是灵活处理反比例函数与一次函数及几何的关系．26．（1）CE ＝22；（2）CE 的长为724；（3）在AB 上存在点P ，使△EFP 为等腰直角三角形，此时EF ＝3760或EF ＝49120【解析】试题分析：（1）因为EF ∥AB ，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；（3）先画出图形，根据图形猜想P 点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．试题解析：（1）∵△ECF 的面积与四边形EABF 的面积相等∴S △ECF :S △ACB ＝1:2又∵EF ∥AB ∴△ECF ∽△ACB.,21)(2==∆∆CA CE S S ACB ECF 且AC ＝4∴CE ＝22；（2）设CE 的长为x∵△ECF ∽△ACB ∴CB CF CA CE =∴CF=x 43.由△ECF 的周长与四边形EABF 的周长相等，得EFx x x EF x +-++-=++)433(5)4(43解得724=x ∴CE 的长为724；（3）△EFP 为等腰直角三角形，有两种情况：①如图1，假设∠PEF ＝90°，EP ＝EF图1A B由AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，得∠C ＝90°∴Rt △ACB 斜边AB 上高CD ＝512设EP ＝EF ＝x ，由△ECF ∽△ACB ，得CD EP CD AB EF -=，即5125125xx -=，解得3760=x ，即EF ＝3760，当∠EFP´＝90°，EF ＝FP´时，同理可得EF ＝3760.②如图2，假设∠EPF ＝90°，PE ＝PF 时，点P 到EF 的距离为EF 21。
最新北师大版数学九年级上学期《期末考试试卷》及答案解析
北师大版九年级上学期期末考试数学试题一．选择题:（每题，共3）1. 剪纸是中国特有的民间艺术.在如图所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.2. 将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.A. 22(2)3y x =++；B. 22(2)3y x =-+；C. 22(2)3y x =--；D. 22(2)3y x =+-.3. 已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A. 122y y >>B. 212y y >>C. 122y y >>D. 212y y >> 4. 如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A. 55°B. 70°C. 110°D. 125°5. 下列说法正确的是（ ）①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x 的一元二次方程x 2-(k +3)x +k =0有两个不相等的实数根．A. ①②③B. ①④⑤C. ②③④D. ③④⑤6. 扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A. ()()3302020304x x --=⨯⨯ B. ()()130********x x --=⨯⨯ C. 130********x x +⨯=⨯⨯ D. ()()33022020304x x --=⨯⨯ 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x =上，顶点B 在反比例函数5y x=上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A. 134B. 33C. 4D. 68. 正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）A. 93B. 33C. 34D. 339. 定义新运算：()()00p q q p q p q q⎧>⎪⎪⊕⎨⎪-<⎪⎩＝，例如：3355⊕＝，33(5)5⊕-＝，则y =2⊕x （x ≠0）的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AD cm =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（ ）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm11. 如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 长为（ ）A. 23B. 32C. 26D. 5 12. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A. 77π338B. 47π338+C. πD. 4π33二．填空题：（每题，共1）13. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．14. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.15. 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______小时．16. 已知⊙O 的直径AB=20，弦CD ⊥AB 于点E,且CD=16,则AE 的长为_______.17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．三．解答题（本大题共9小题，共6）18. 计算:2311|22|(18)()32---+--+- 19. 解方程：3x （x ﹣1）=2﹣2x ．20. 已知：在ABC 中，AB AC =．(1)求作：ABC 的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)若ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，6BC =，则O S = ．21. 有A 、B 两组卡片共5张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？22. 如图，一次函数y kx b =+与反比例函数4y x =的图象交于(),4A m 、()2,B n 两点，与坐标轴分别交于M 、N 两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出40kx b x+->中x 的取值范围； (3)求AOB 的面积． 23. 问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32π，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB A ′′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB '的长） （2）如图②所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图③所示，在②条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，22CH ，求OM的长．25. 某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？26. 如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题:（每题，共3）1. 剪纸是中国特有的民间艺术.在如图所示的四个剪纸图案中.既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【详解】A. 此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．C. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,∴此图形是轴对称图形,旋转180∘能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；D. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合,旋转180°不能与原图形重合，∴此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选C【点睛】此题考查轴对称图形和中心对称图形，难度不大2. 将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.A. 22(2)3y x =++；B. 22(2)3y x =-+； C. 22(2)3y x =--；D. 22(2)3y x =+-. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.【详解】解：将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.3. 已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A. 122y y >>B. 212y y >>C. 122y y >>D. 212y y >> 【答案】A【解析】【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【详解】当x=1时,y1=−(x+1) 2+2=−(1+1) 2+2=−2；当x=2时,y 1=−(x+1) 2+2=−(2+1) 2+2=−7；所以122y y >>.故选A【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况4. 如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A. 55°B. 70°C. 110°D. 125°【答案】B【解析】【分析】 根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA ，OB ，求得∠AOB ＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝110°，∴∠APB ＝360°−90°−90°−110°＝70°．故选B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB 的度数． 5. 下列说法正确的是（ ）①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x 的一元二次方程x 2-(k +3)x +k =0有两个不相等的实数根．A. ①②③B. ①④⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】D【解析】【分析】利用不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故①说法错误；若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故②说法错误；③一个正六边形的内角和是180°×（6-2）=720°其外角和是360°，所以一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，故③说法正确；随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，所以随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，故④说法正确；关于x 的一元二次方程x 2-(k +3)x +k =0，[]222=4(3)41(1)80b ac k k k -=-+-⨯⨯=++>，所以方程有两个不相等的实数根，故⑤说法正确．故选：D.【点睛】本题考查了不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键．6. 扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A. ()()3302020304x x --=⨯⨯ B. ()()130********x x --=⨯⨯ C. 130********x x +⨯=⨯⨯ D. ()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】【分析】根据空白区域的面积34=矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数1y x =上，顶点B 在反比例函数5y x=上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A. 134B. 33C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】作BD ⊥x 轴于D ，延长BA 交y 轴于E ，然后根据平行四边形的性质和反比例函数系数k 的几何意义即可求得答案．详解】解：如图作BD ⊥x 轴于D ，延长BA 交y 轴于E ，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），根据反比例函数系数k的几何意义得，S矩形BDOE=5，S△AOE= 12，∴平行四边形OABC的面积15242=-⨯=，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、平行四边形的性质等，有一定的综合性8. 正六边形的周长为6，则它的面积为（）A. 93B. 332C.3D. 33【答案】B【解析】【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC 的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC=16×360°=60°，∵OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∵正六边形ABCDEF 的周长为6，∴BC=6÷6=1， ∴OB=BC=1，∴BM=12BC=12， ∴OM=2222131()2OB BM -=-= ， ∴S △OBC =12×BC×OM=13312⨯⨯= ， ∴该六边形的面积为：3336⨯= ． 故选：B ． 【点睛】此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9. 定义新运算：()()00p q q p q p q q⎧>⎪⎪⊕⎨⎪-<⎪⎩＝，例如：3355⊕＝，33(5)5⊕-＝，则y =2⊕x （x ≠0）的图象是（ ） A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题目中的新定义，可以写出y=2⊕x 函数解析式，从而可以得到相应的函数图象，本题得以解决．【详解】解：由新定义得：2(0)22(0)xxy xxx⎧>⎪⎪=⊕=⎨⎪-<⎪⎩，根据反比例函数的图像可知，图像为D．故选D．【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用新定义写出正确的函数解析式，再根据函数的解析式确定答案，本题列出来的是反比例函数，所以掌握反比例函数的图像是关键．10. 如图所示，矩形纸片ABCD中，6AD cm=，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm【答案】B【解析】【分析】设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】设AB x=，则DE=（6-x）cm，由题意，得()906180xxππ⋅=-，解得4x=.故选B．【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11. 如图，在ABC∆中，点D，E分别在AB，AC边上，//DE BC，ACD B∠=∠，若2AD BD=，6BC=，则线段CD的长为（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】 设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度.【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADE ABC ∆∆， ∴DEAD AEBC AB AC ==， ∴263DExx =，∴4DE =，23AEAC =，∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADE ACD ∆∆， ∴ADAEDEAC AD CD ==，设2AE y =，3AC y =， ∴23ADyy AD =，∴AD =， 4CD =，∴CD =故选C .【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 12. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC 绕点B 顺时针旋转120到11A BC 的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A. 77π338-B. 47π338+C. πD. 4π33+ 【答案】C【解析】【分析】连接BH ，BH 1，先证明△OBH ≌△O 1BH 1，再根据勾股定理算出BH ，再利用扇形面积公式求解即可. 【详解】∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置，∴△OBH ≌△O 1BH 1，利用勾股定理可求得437+=所以利用扇形面积公式可得()()2212012074360360BH BC πππ-⨯-==．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、勾股定理、扇形面积的计算，利用全等对面积进行等量转换方便计算是关键.二．填空题：（每题，共1）13. 从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．【答案】10【解析】【分析】先由“频率=频数÷数据总数”计算出频率，再由简单事件的概率公式列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是501 1503=，设口袋中大约有x个白球，则5153x=+，解得10x=．故答案为：10．【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．14. 某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为________.【答案】20%.【解析】【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），再根据题意列出方程5(1+x)2＝7.2，即可解答.【详解】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5(1+x)2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2(不合题意舍去).答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%.故答案是：20%.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程.15. 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______小时．【答案】7.875【解析】【分析】将点（1，4）分别代入y=kt，myt=中，求k、m，确定函数关系式，再把y=0.5代入两个函数式中求t，把所求两个时间t作差即可．【详解】解：把点（1，4）分别代入y=kt，myt=中，得k=4，m=4，∴y=4t，4yt =，把y=0.5代入y=4t中，得t1=0.5=0.125 4，把y=0.5代入4yt=中，得t2=4=80.5，∴治疗疾病有效的时间为：t2-t1=80.1257.875-=故答案为：7.875．【点睛】本题考查了本题主要考查函数模型的选择与应用、反比例函数、一次函数的实际应用．关键是用待定系数法求函数关系式，理解题意，根据已知函数值求自变量的差．16. 已知⊙O的直径AB=20，弦CD⊥AB于点E,且CD=16,则AE的长为_______.【答案】16 或4【解析】【分析】结合垂径定理和勾股定理，在Rt△OCE中，求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OA-OE，据此即可求解．【详解】解：如图，连接OC，∵⊙O的直径AB=20 ∴OC=OA=OB=10∵弦CD⊥AB于点E∴CE=12CD=8，在Rt△OCE中，OE=22221086OC CE-=-=则AE=OA+OE=10+6=16，如图：同理，此时AE=OA-OE=10-6=4，故AE的长是16或4．【点睛】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论. 17. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．【答案】6058【解析】分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【详解】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1314+⨯=，第2个图象中〇的个数为：1327+⨯=，第3个图象中〇的个数为：13310+⨯=，第4个图象中〇的个数为：13413+⨯=，……∴第2019个图形中共有：132019160576058+⨯=+=个〇，故答案为6058．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．三．解答题（本大题共9小题，共6）18. 计算231|22|(18)()32-+-+- 3210+ 【解析】【分析】分别按照二次根式化简，绝对值的化简，求一个数的立方根，负整数指数幂的计算法则进行计算，最后做加减. 231|22|(18)()32--+-+- =221(22)1(2)12()3--+--+- =2221292-+++ =32102+ 【点睛】本题考查二次根式化简，绝对值的化简，求一个数的立方根，负整数指数幂的计算，熟练掌握相应的计算法则是本题的解题关键.19. 解方程：3x （x ﹣1）=2﹣2x ．【答案】x 1=1，x 2=﹣23． 【解析】【分析】 把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【详解】解：3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（3x+2）=0，∴x ﹣1=0，3x+2=0，解得x 1=1，x 2=﹣23． 考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．20. 已知：在ABC 中，AB AC =．(1)求作：ABC 的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)若ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，6BC =，则O S = ．【答案】(1)见解析；(2) 25π【解析】【分析】(1)作线段,AB BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作O ，O 即为所求． (2)在Rt OBE 中，利用勾股定理求出OB 即可解决问题．【详解】解：(1)如图O 即为所求．(2)设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．由题意4,3OE BE EC ===，在Rt OBE 中，22345OB =+=，∴2·525O S ππ==圆． 故答案为25π．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21. 有A 、B 两组卡片共5张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别，（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？【答案】（1）P （抽到数字为2）=13；（2）不公平，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．试题解析: （1）P= 13； （2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P=4263=， 乙获胜的情况有2种，P=2163=， 所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．22. 如图，一次函数y kx b =+与反比例函数4y x=的图象交于(),4A m 、()2,B n 两点，与坐标轴分别交于M 、N 两点．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出40kx b x +->中x 的取值范围； (3)求AOB 的面积．【答案】(1)y=-2x+6；(2) 0x <或12x <<；(3)3．【解析】【分析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；（2）由图直接解答；（3）将△AOB 面积转化为S △AON -S △BON 的面积即可．【详解】(1)∵点A 在反比例函数4y x=上， ∴44m=，解得1m =，∴点A 的坐标为()1,4，又∵点B 也在反比例函数4y x =上， ∴42n =，解得2n =， ∴点B 的坐标为()2,2，又∵点A 、B 在y kx b =+的图象上，∴422k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为26y x =-+．(2)根据图象得：40kx b x+->时，x 的取值范围为0x <或12x <<； (3)∵直线26y x =-+与x 轴的交点为N ，∴点N 的坐标为()3,0，113432322AOB AON BON S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键．23. 问题探究：（1）如图①所示是一个半径为32π，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB 是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB 剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB A ′′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB '的长）（2）如图②所示是一个底面半径为23，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA 是它的一条母线，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A 点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A 点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA 上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．【答案】（1）蚂蚁爬行的最短路程为5; （2）最短路程为4AA PA ==′;（3）蚂蚁爬行的最短距离为【解析】【分析】（1）蚂蚁爬行的最短路程为圆柱侧面展开图即矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得；（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4； （3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A 到PA 的距离．【详解】（1）由题意可知：32π32πBB =⨯=′在'Rt ABB 中，5AB ==′=即蚂蚁爬行的最短路程为5．（2）连结AA ′，则AA '的长为蚂蚁爬行的最短路程，设1r 为圆锥底面半径，2r 为侧面展开图（扇形）的半径， 则12243r r ==，，由题意得：21π2πr =180n r 即22ππ43180n ⨯⨯=⨯⨯ 60n ∴=PAA ∴△′是等边三角形 ∴最短路程为4AA PA ==′．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A 作AC PA ⊥′于点C ，则线段AC 的长就是蚂蚁爬行的最短路程．在Rt △ACP 中，∵∠P=60°，∴∠PAC=30°∴PC=12PA=12×4=2∴∴蚂蚁爬行的最短距离为【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，圆周长公式，弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关公式和性质定理是本题的解题关键．24. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过BD 上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG=FG ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若AH=2，22CH =OM 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）362【解析】【分析】（1）连接OE ，如图，通过证明∠GEA+∠OEA=90°得到OE ⊥GE ，然后根据切线的判定定理得到EG 是⊙O 的切线；（2）连接OC ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，利用勾股定理得到2222)(22)r r -+=（，解得r=3，然后证明Rt △OEM ∽Rt △CHA ，再利用相似比计算OM 的长．【详解】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE=GF ，∴∠GEF=∠GFE ，而∠GFE=∠AFH ，∴∠GEF=∠AFH ，∵AB ⊥CD ，∴∠OAF+∠AFH=90°，∴∠GEA+∠OAF=90°，∵OA=OE ，∴∠OEA=∠OAF ，∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，∴OE ⊥GE ，∴EG 是⊙O 的切线；（2）解：连接OC ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，在Rt △OCH 中，2222)(22)r r -+=（，解得r=3，在Rt △ACH 中，2222(22)223AH CH +=+= ，∵AC ∥GE ，∴∠M=∠CAH ，∴Rt △OEM ∽Rt △CHA ，∴OM OE AC CH=，即2322=，解得：OM=362．【点睛】本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理．25. 某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？【答案】（1）y＝180(4060)3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W＝222105400(4060)33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【解析】【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（40，140），（60，120）代入得40140 60120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1180 kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，将（90，30），（60，120）代入得9030 60120m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得：3300 mn=-⎧⎨=⎩，∴y＝﹣3x+300；综上所述，y＝180(4060) 3300(6090)x xx x-+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，综上所述，W＝222105400(4060) 33909000(6090)x x xx x x⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩；（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x＝2102--＝105，∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x＝3906--＝65，∵60＜x≤90，∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴当x＝65时，W最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是( )A．15B．14C．13D．3103．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3 B．﹣2和3 C．﹣2x和3 D．2x和34．若反比例函数y＝Kx（k≠0）的图象经过（2，3），则k的值为（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣65．四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝8cm，d＝12cm，则a＝（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．下列判断错误的是（）A．有两组邻边相等的四边形是菱形B．有一角为直角的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 D．矩形的对角线互相平分且相等7．关于x的方程22370x x+-=的根的情况，正确的是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，把△ABC 放大得到△A 1B 1C 1，使它们的相似比为1：2，若点A 的坐标为（2，2），则它的对应点A 1的坐标一定是（ ） A ．（﹣2，﹣2）B ．（1，1）C ．（4，4）D ．（4，4）或（﹣4，﹣4）9．如图，在矩形ABCD 中，点M 从点B 出发沿BC 向点C 运动，点E 、F 别是AM 、MC 的中点，则EF 的长随着M 点的运动（ ）A ．不变B ．变长C ．变短D ．先变短再变长 10．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，连接ED 交AB 于点F ，AF ＝x （0.2≤x ≤0.8），EC ＝y ．则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是__________． 12．双曲线m 2y x-=在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________13．已知543x y z ==（x 、y 、z 均不为零），则32x y y z +=-_____________． 14．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ．若AB ＝10．则AP ＝__（结果保留根号）． 15．若12,x x 是方程2210x x --=的两个根，则12122x x x x ++的值为________16．如图，点P在函数y＝kx的图象上，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且△APB的面积为4，则k等于_____．17．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．若AB＝6，AD＝8，则DG的长为_____．三、解答题18．解方程：（x+2）（x-5）=18．19．已知线段AC（1）尺规作图：作菱形ABCD，使AC是菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若AC＝8，BD＝6，求菱形的边长．20．粤东农批﹒2019球王故里五华马拉松赛于12月1日在广东五华举行，组委会为了做好运动员的保障工作，沿途设置了4个补给站，分别是：A（粤东农批）、B（奥体中心）、C （球王故里）和D（滨江中路），志愿者小明和小红都计划各自在这4个补给站中任意选择一个进行补给服务，每个补给站被选择的可能性相同．（1）小明选择补给站C（球王故里）的概率是多少？（2）用树状图或列表的方法，求小明和小红恰好选择同一个补给站的概率．21．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C 同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝________，EF＝__________（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（E F、相遇时除外）（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．22．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EF A的面积最大，最大面积是多少？23．已知，如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角线AC及边AD、BC分别交于点O，E，F（1）求证：四边形AFCE是菱形（2）如果FE=2ED，求AE：ED的值24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数myx的图象交于点B、E．（1）求反比例函数及直线BD的解析式；（2）求点E的坐标．25．如图1，在▱ABCD中，AB＝14，AD＝8，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O．一动点P在边AB上由A向B运动（不与A，B重合），连接PO并延长，交CD于点Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）当AP＝9时，求线段OP的长度；（3）连接AQ，PC，如图2，随着点P的运动，四边形APCQ可能是菱形吗？如果可能，请求出此时线段AP的长度；如果不可能，请说明理由．参考答案1．D【详解】分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选D ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．2．B【分析】根据矩形的性质，得△EBO ≌△FDO ，再由△AOB 与△OBC 同底等高，△AOB 与△ABC 同底且△AOB 的高是△ABC 高的12得出结论．【详解】解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC ，在△EBO 与△FDO 中，EOB DOF OB ODEBO FDO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EBO ≌△FDO ，∴阴影部分的面积=S △AEO +S △EBO =S △AOB ，∵△AOB 与△ABC 同底且△AOB 的高是△ABC 高的12，∴S △AOB =S △OBC =14S 矩形ABCD ． 故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．3．C【分析】根据一元二次方程一次项和常数项的概念即可得出答案．【详解】一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一次项与常数项，注意在求一元二次方程的二次项，一次项，常数项时，需要先把一元二次方程化成一般形式．4．C【分析】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，依据xy=k即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝Kx（k≠0）的图象经过（2，3），∴k＝2×3＝6，故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键. 5．A【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得a cb d=，又由b=3cm，c=8cm，d=12cm，即可求得a的值．【详解】∵四条线段a、b、c、d成比例，∴a cb d =∵b=3cm，c=8cm，d=12cm，∴8 312 a=解得：a=2cm．故答案为A．【点睛】此题考查了比例线段的定义．解题的关键是熟记比例线段的概念．6．A【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定逐一进行分析即可．【详解】A. 有两组邻边相等的四边形不一定是菱形，故该选项错误；B. 有一角为直角的平行四边形是矩形，故该选项正确；C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项正确；D. 矩形的对角线互相平分且相等，故该选项正确；故选：A．【点睛】本题主要考查菱形，矩形，正方形的判定，掌握菱形，矩形，正方形的判定方法是解题的关键．7．A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况.【详解】解：∵2x x+-=，2370∴2342(7)956650∆=-⨯⨯-=+=>，∴原方程有两个不相等的实数根；故选择：A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.8．D【解析】【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为：1：2，把△ABC放大得到△A1B1C1，点A的坐标为（2，2），则它的对应点A1的坐标一定为：（4，4）或（-4，-4），故选D．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．9．A【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，∴1EF=AC2，∵A、C是定点，∴AC的的长恒为定长，∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，故选A．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 10．C【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式111x yy--=，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．【详解】根据题意知，BF=1﹣x ，BE=y ﹣1，∵AD//BC ，∴△EFB ∽△EDC ， ∴BF BE DC EC=，即111x y y --=， ∴y=1x （0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分． A 、D 的图象都是直线的一部分，B 的图象是抛物线的一部分，C 的图象是双曲线的一部分． 故选C ．11．1:2【解析】试题分析：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴这两个相似三角形的相似比为1：2，∴这两个相似三角形的周长比是1：2，故答案为1：2．考点：相似三角形的性质．12．2m <【分析】根据反比例函数的性质可知 ，y 随x 的增大而增大则k 知小于0，即m-2＜0，解得m 的范围即可.【详解】∵反比例函数y 随x 的增大而增大∴m-2＜0则m ＜2【点睛】 本题考查了反比例函数k y x=的性质，函数值y 随x 的增大而增大则k 小于0，函数值y 随x 的增大而减小则k 大于0.13．32【分析】根据题意，可设x=5k ，y=4k ，z=3k ，将其代入分式即可．【详解】解：∵543x y z ==∴设x=5k ，y=4k ，z=3k ，将其代入分式中得：5k 4k 33212k 6k 2x y y z ++==--．故答案为32．【点睛】本题考查了比例的性质，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数k 表示出x ，y ，z ，再代入计算．14． 5 【分析】根据黄金分割比的定义计算即可． 【详解】根据黄金分割比，有105AP AB ===故答案为：5． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键． 15．0 【分析】先由根与系数的关系得出12122,1x x x x +==-，然后代入即可求解． 【详解】∵12,x x 是方程2210x x --=的两个根12122,1x x x x ∴+==- ∴原式=22(1)220+⨯-=-= 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16．-8 【解析】【分析】由反比例函数系数k 的几何意义结合△APB 的面积为 4 即可得出k＝±8，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出k＝﹣8，此题得解．【详解】∵点P 在反比例函数y＝kx的图象上，P A⊥x 轴于点A，PB⊥y 轴于点B，∴S△APB＝12|k|＝4，∴k＝±8．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k＝﹣8．故答案为﹣8．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数y＝kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解题的关键．17．25 4【解析】【分析】根据折叠的性质求出四边形BFDG是菱形，假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x，根据在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵折叠，∴∠DBC=∠DBF，故∠ADB =∠DBF∴DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10．∴OB＝12BD＝5．假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝254，即DG＝BF＝254，故答案为：25 4【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质，解题的关键是熟知菱形的判定与性质及勾股定理的应用. 18．x1=7，x2=-4【分析】化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可．【详解】解：（x+2）（x-5）=18，x2-3x-28=0，（x-7）（x+4）=0∴x-7=0，x+4=0解得：x1=7，x2=-4．【点睛】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．19．（1）详见解析；（2）5．【分析】（1）先画出AC的垂直平分线，垂足为O，然后截取OB=OD即可；（2）根据菱形的性质及勾股定理即可求出边长．【详解】解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求作的菱形；（2）∵AC＝8，BD＝6，且四边形ABCD是菱形，∴AO＝12AC=4，DO＝12BD=3，且∠AOD＝90°则AD5．【点睛】本题主要考查菱形的画法及性质，掌握菱形的性质是解题的关键．20．（1 ）14；（2）14【分析】（1）共有4个补给站，所以小明选择补给站C（球王故里）的概率是14；（2）用树状图或列表表示出所有的情况数，从中找出小明和小红恰好选择同一个补给站的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）在这4个补给站中任意选择一个补给站服务，每个补给站被选择的可能性相同，∴小明选择补给站C（球王故里）的概率是14；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，小明和小红恰好选择同一个补给站的结果有4种，∴小明和小红恰好选择同一个补给站的概率为416＝14． 【点睛】本题主要考查树状图或列表法求随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键． 21．（1）t ，52t - ；（2）详见解析；（3）当t 为0.5秒或4.5时，四边形EGFH 为矩形 【分析】（1）先利用勾股定理求出AC 的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE 的长度，而当0≤t≤2.5时，EF AC AE FC =-- ；当2.5＜t≤5时，EF AE FC AC =+-即可求解；（2）先通过SAS 证明△AFG ≌△CEH ，由此可得到GF ＝HE ，AFG CEH ∠=∠，从而有//GF EH ，最后利用一组对边平行且相等即可证明；（3）利用矩形的性质可知FG=EF,求出GH ，用含t 的代数式表示出EF,建立方程求解即可． 【详解】（1）90,3,4ABC AB BC ∠=︒==5AC ∴ 1AE t t ∴==当0≤t≤2.5时，52EF AC AE FC t =--=- 当2.5＜t≤5时，25EF AE FC AC t =+-=- ∴52EF t =-故答案为：t ，52t - （2）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴AC 5，∠GAF ＝∠HCE ， ∵ G 、H 分别是AB 、DC 的中点， ∴AG ＝BG ，CH ＝DH ， ∴AG ＝CH ， ∵AE ＝CF ， ∴AF ＝CE ，在△AFG 与△CEH 中，AG CH GAF HCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFG CEH SAS ≅， ∴ GF ＝HE ，AFG CEH ∠=∠ //GF EH ∴∴四 边 形 EGFH 是平行四边形． （3）解：如图所示，连接GH ，由（1）可知四边形EGFH 是平行四边形∵点 G 、H 分别是矩形ABCD 的边AB 、DC 的中点， ∴ GH ＝BC ＝4，∴ 当 EF ＝GH ＝4时，四边形EGFH 是矩形，分两种情况： ①当0≤t≤2.5时,AE ＝CF ＝t ，EF ＝5﹣2t ＝4， 解得：t ＝0.5②当2.5＜t≤5时，,AE ＝CF ＝t ，EF ＝2t-5＝4， 解得：t ＝4.5即：当t 为0.5秒或4.5时，四边形EGFH 为矩形 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及矩形的性质，掌握平行四边形的判定方法及矩形的性质是解题的关键．22．（1）y =3x （x ＞0）；（2）当k =3时，S 有最大值．S 最大值=34．【分析】（1）当F 为AB 的中点时，点F 的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k 的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】（1）∵在矩形OABC 中，OA=3，OC=2，∴B （3，2）， ∵F 为AB 的中点，∴F （3，1）， 又∵点F 在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，∴k=3， ∴该函数的解析式为y=3x（x ＞0） （2）由题意知E ，F 两点坐标分别为E （2k ，2），F （3，3k），∴11·(3)2232EFAk kSAF EB ==⨯- ， =2212k k - =213(3)+124k --， ∴当k=3时，S 有最大值．S 最大=34．23．（1）见解析；（2）2：1 【分析】(1)要证明四边形AFEC 是菱形，只需要通过菱形的判定条件进行证明即可得到答案； (2)根据平行四边形的对角线互相平分知，FE =2EO ，则可以得到EO =ED ，则可以证明△OEC ≌△DEC ，得到∠3=∠4，再由四边形AFEC 是菱形得到∠2=∠3=∠4=13∠BCD =30°，即可得到2AE CE DE ==. 【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AD ∥BC ∴∠1=∠2 ∵EF 垂直平分AC∴AO =CO ，∠AOE =∠COF =90∘ ∴△AOE ≌△COF (ASA ) ∴OE =OF∴四边形AFEC 是平行四边形. 又EF ⊥AC∴四边形AFEC 是菱形 (2)由(1)知：FE =2EO又∵FE=2ED∴EO=ED又EO⊥AC，ED⊥DC∴△OEC≌△DEC∴∠3=∠4，由(1)知，四边形AFEC是菱形，∴AE=EC，∠2=∠3，∴∠2=∠3=∠4=13∠BCD=30°又∵∠D=90°∴EC=2ED∴AE=2ED，即AE:ED=2：1=2【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，矩形的性质，含30°直角三角形的性质，矩形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（1）y=﹣2x，y=﹣x﹣1；（2）E（﹣2，1）．【分析】（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据两个函数解析式，组成方程组，解方程组，即可得答案．【详解】解：（1）∵边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，∴A（1，0），D（-1，0），B（1，-2）∵反比例函数myx=的图象经过点B，∴m=1⨯（-2）=-2∴反比例函数解析式为2 yx =-（2）设直线BD的解析式为y kx b=+，∴2k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得11 kb=-⎧⎨=-⎩∴直线BD的解析式为：y x1=--∵直线BD与反比例函数2yx=-的图象交于B、E两点，∴2x1 yy x⎧=-⎪⎨⎪=--⎩解得2,1,xy=-⎧⎨=⎩或1,2.xy=⎧⎨=-⎩∵B（1，-2）.∴点E的坐标为（-2，1）【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数的解析式，利用方程组求交点坐标，以及正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．（1）见解析；（2）（3）有可能，AP=313．【分析】（1）先根据平行四边形的性质证得△AOP≌△COQ，再运用全等三角形的性质即可证明；（2）如图（2）：过D作DE⊥AB，垂足为E，再根据直角三角形的性质求得AE=4,进而求得DE=然后再说明OP为△DBE的中位线，最后根据中位线的性质即可解答；（3）如图（3）：过C作CF⊥AB交AB延长线于F，先说明四边形APCQ为平行四边形，当四边形APCQ为菱形时有AP=PC，然后在Rt△PCF中运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴CD//AB，OA=OC,OB=OD∴∠DCA=∠BAC,∠CQP=∠APQ∴△AOP≌△COQ（AAS）∴OP=OQ；（2）如图（2）：过D作DE⊥AB，垂足为E∵∠DAB=60°∴AE=1AD=42∴DE∴BE=AB-AE=14-4=10,PE=AP-AE=9-4 =5,PB=AB-AP=5 ∴PE=PB∵OB=OD∴OP为△DBE的中位线DE=∴OP=12（3）有可能，理由如下：如图（3）：过C作CF⊥AB交AB延长线于F∵平行四边形ABCD∴BC//AD,BC=AD∴∠CBF=∠DAB=60°BC=4∴BF=12∴CF=∵OP=OQ,OA=OC∴四边形APCQ为平行四边形当四边形APCQ为菱形时，则需AP=CP∵PF=AB+BF-AP=18-AP∴在Rt△PCF中，PC2=FC2+PF2∴AP2=(2+(18-AP)2,解得AP=313．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关性质、判定定理成为解答本题的关键．21。
北师大版九年级上学期数学《期末考试试卷》含答案解析
北 师 大 版 数 学 九 年 级 上 学 期期 末 测 试 卷一、单选题1. 若23(0)x y y =≠，则下列比例式一定成立的是（ ） A. 23x y = B. 32x y = C. 23x y = D. 32x y= 2. 用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）A. ()221x +=B. ()221x -=C. ()229x +=D. ()229x -= 3. 如图，A 为反比例函数y=k x的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB =2，则k 的值为（ ）A. 4B. 2C. ﹣2D. 14. 如图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 125. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )A. 168(1＋a %)2＝128B. 168(1－a %)2＝128C. 168(1－2a %)＝128D. 168(1－a 2%)＝1286. 如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD 等于（ ）A. 2B. 4C. 23D. 327. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π 8. 下列命题正确的个数有（ ）①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；②对角线相等的四边形是矩形；③任意四边形的中点四边形是平行四边形；④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：9．A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 反比例函数6y x=-图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 2＜y 1＜y 3C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 110. 四边形ABCD 、AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH ⊥DG 与H ，若AB=4，AE=2时，则线段BH 的长是（ ）A. 42B. 16C. 810D. 310 二．填空题(每题3分,共15分)11. 一元二次方程2x 3x 0-=的根是 ．12. 如图，△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=2，BD=3，AE=1，则EC=__．13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．15. 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．三、解答题(共55分)16. 解方程：（1）x 2+2x ﹣2=0 （2）3x 2+4x ﹣7=0（3）（x+3）（x ﹣1）=5 （4）（3﹣x ）2+x 2=9．17. 小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？18.如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3m CD =，标杆与旗杆 的水平距离15m BD =，人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，人的 眼睛E 、标杆顶点C 和旗杆顶点A 在同一直线，求旗杆AB高度．19. 如图，已知一次函数y 1=kx+b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数y 2=cx 相交于B （﹣1，5），C （52，d ）两点．（1）利用图中条件，求反比例和一次函数的解析式；（2）连接OB ，OC ，求△BOC 的面积．20. （本小题满分8分）如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG 、AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）AE =CG ；（2）AN •DN =CN •MN ．答案与解析一、单选题1. 若23(0)x y y =≠，则下列比例式一定成立的是（ ） A. 23x y= B. 32xy= C. 23x y = D. 32xy =【答案】B【解析】【分析】由2x=3y （y≠0），根据比例的性质，即可求得答案．【详解】解：∵2x=3y （y≠0）， ∴32xy=或32x y =故选B ．【点睛】本题考查比例的性质．此题比较简单，解题关键是注意比例变形与比例的性质．2. 用配方法解一元二次方程245x x -=时，此方程可变形为（ ）A . ()221x += B. ()221x -= C. ()229x += D. ()229x -= 【答案】D【解析】试题解析：245,x x -=24454,x x -+=+2(2)9.x -=故选D.3. 如图，A 为反比例函数y=kx 的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB =2，则k 的值为（）A. 4B. 2C. ﹣2D. 1【答案】A【解析】【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．【详解】由于点A是反比例函数图象上一点,则S△AOB=12|k|=2；又由于函数图象位于一、三象限，则k=4.故选A.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．4. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 12【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】△CEF∽△MOE∽△PFN则有OM EM FP PN,∴3344=xx--，解得：x=0(舍),x=7，故选C.【点睛】本题考查相似三角形的性质，在图形中找到相似三角形是解题的关键.5. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )A. 168(1＋a%)2＝128B. 168(1－a%)2＝128C. 168(1－2a%)＝128D. 168(1－a2%)＝128【答案】B【解析】【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；故选B.6. 如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD等于（）A. 2B. 4C. 3D. 32【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD，利用两角对应相等证明△ADC∽△CDB，列比例式可得结论．【详解】∵∠ACB=90︒，∴∠ACD+∠DCB=90︒，∵CD是高，∴∠ADC=∠CDB=90︒，∴∠ACD+∠CAD=90︒，∴∠DCB=∠CAD ，∴△ADC ∽△CDB ， ∴=DC AD BD DC， ∴CD 2=AD ⋅BD ，∵AD=6，BD=2，∴CD=12=23，故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.7. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π【答案】B【解析】【分析】 根据三视图：俯视图是圆，主视图与左视图是长方形可以确定该几何体是圆柱体，再利用已知数据计算圆柱体的体积．【详解】先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面直径是4，半径是2，高是6．所以该几何体的体积为π×22×6=24π．故选B ．【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的面积，考查学生的空间想象能力．8. 下列命题正确的个数有（ ）①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；②对角线相等的四边形是矩形；③任意四边形的中点四边形是平行四边形；④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：9．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】①两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故错误；②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③任意四边形的中点四边形是平行四边形，正确；④两个相似多边形的面积比2:3，故错误，正确的有1个，故选A.【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定、矩形的判定方法、平行四边形的判定方法及相似多边形的性质.9. 反比例函数6yx=-图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＜y2＜y3B. y2＜y1＜y3C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y1【答案】C【解析】【分析】先根据反比例函数6yx=-判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答．【详解】∵反比例函数6yx=-，k=-6<0，∴此反比例函数图象的两个分支在二、四象限；∵x3<0，∴点(x3,y3)在第四象限,y3<0；∵x1＜x2＜0，∴点(x1,y1),( x2,y2)在第二象限,y随x的增大而减小,故y2>y1>0，由于x1<0< x3,则(x3,y3)在第四象限, (x1,y1)在第二象限,所以y3<0, y1>0, y3< y1，于是y3＜y1＜y2.故选B.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征.10. 四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H，若AB=4，AE=2时，则线段BH的长是（）A. 42B. 16C. 810D.310【答案】C【解析】【分析】连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF AD上，由AE=2可得到AN=GN=1，所以DN=4-1=3，然后根据勾股定理可计算出DG=10，则BE=10，解着利用S△DEG=12GE•ND=12DG•HE可计算出HE，所以BH=BE+HE．【详解】连结GE交AD于点N，连结DE，如图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45︒，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵2∴AN=GN=1，∴DN=4−1=3，在Rt△DNG中22DN GN+10；由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90∘得到△AGD，∴10，∵S △DEG =12GE ⋅ND=12DG ⋅HE ， ∴HE=10=310， ∴BH=BE+HE=310+10=8105. 故答案为C. 【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质和正方形的性质.二．填空题(每题3分,共15分)11. 一元二次方程2x 3x 0-=的根是 ．【答案】12x 0,?x 3== 【解析】四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．注意识别使用简单的方法进行求解，此题应用因式分解法较为简捷，因此，212x 3x 0x(x 3)0x 0x 30x 0,?x 3-=⇒-=⇒=-=⇒==，．12. 如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=2，BD=3，AE=1，则EC=__．【答案】1.5．【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．【详解】∵DE ∥BC ，∴AD BD=AE EC ， 即231EC =， 解得：EC=1.5，故答案为1.5.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例.13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．【答案】13． 【解析】 【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是26=13．故答案为13． 考点：列表法与树状图法．14. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．【答案】9【解析】【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，BD =AC ，BO =OD ，∵AB =6cm ，BC =8cm ，∴由勾股定理得：226810BD AC =+= (cm )，∴DO =5cm ，∵点E . F 分别是AO 、AD 的中点，1 2.52EF OD ∴== (cm )，1 2.54EA AC ==,142AF AD ==, △AEF 的周长=9EF AE AF ++=故答案为9.15. 有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过________人．【答案】11【解析】【分析】设每轮传染中平均一人传染x人,那么经过第一轮传染后有x人被感染,那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，又知经过两轮传染共有288人被感染由此列出方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染不超过x人，由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，解得：x1=11，x2=-13，答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．三、解答题(共55分)16. 解方程：（1）x2+2x﹣2=0 （2）3x2+4x﹣7=0（3）（x+3）（x﹣1）=5 （4）（3﹣x）2+x2=9．【答案】（1）x=﹣1（2）x=1或x=﹣73；（3）x=2或x=﹣4；（4）x=0或x=3．【解析】【分析】（1）根据根的判别式得到根的正负，再根据公式法进行计算即可得到答案；（2）进行因式分解，计算即可得到对答案；（3）先整理，再进行因式分解计算，即可得到答案；（4）先整理，再进行因式分解计算，即可得到答案.【详解】解：（1）∵a=1，b=2，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣2）=12＞0，则=﹣1（2）∵（x﹣1）（3x+7）=0，∴x﹣1=0或3x+7=0，解得：x=1或x=﹣73；（3）整理成一般式得：x2+2x﹣8=0，∴（x﹣2）（x+4）=0，则x﹣2=0或x+4=0，解得：x=2或x=﹣4；（4）整理成一般式得2x2﹣6x=0，∴2x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3．【点睛】本题考查根的判别式、公式法和因式分解，解题的关键是掌握根的判别式、公式法和因式分解.17. 小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得1分．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？【答案】见解析【解析】(1)因为()2 9P=配成紫色,()79 P配不成紫色=,所以小刚得分:22199⨯=,小明得分:77199⨯=,因为2799≠,所以游戏对双方不公平.(2)修改方法不唯一,可以添加适当的分值进行调节.列表得：红白蓝红(红，红) (红，白) (红，蓝) 黄(黄，红) (黄，白) (黄，蓝)蓝 (蓝，红) (蓝，白) (蓝，蓝)P(配色紫色)=29,p(配不成紫色)= 79 因为2/9 ≠79所以游戏对双方不公平． 修改规则的方法不唯一，只要合理即可． (如可改：若配成紫色时小刚得7分，否则小明得2分)18.如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3m CD =，标杆与旗杆 的水平距离15m BD =，人的眼睛与地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，人的 眼睛E 、标杆顶点C 和旗杆顶点A 在同一直线，求旗杆AB 的高度．【答案】13.5【解析】试题分析：过点E 作EH//BF ，交CD,AB 于点G 、H ，利用△ECG ∽△EAH ，求出AH 的长，然后可得AB 的长.试题解析：解：过点E 作EH//BF ，交CD,AB 于点G 、H ，如图：∵CG ∥AB∴△ECG ∽△EAH 2分∴即：4分∴AH=11.9∴AB=11.9+1.6=13.5 6分考点：相似三角形的判定与性质.19. 如图，已知一次函数y 1=kx+b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数y 2=cx相交于B （﹣1，5），C （52，d ）两点．（1）利用图中条件，求反比例和一次函数的解析式；（2）连接OB ，OC ，求△BOC 的面积．【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣5x，一次函数y 1=﹣2x+3；（2）S △BOC =214 【解析】【分析】 （1）将点B 的坐标代入反比例函数解析式求出c ，从而得解，再将点C 的坐标代入反比例函数解析式求出d ，从而得到点C 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解； （2）根据一次函数解析式求出点A 的坐标，再根据S △BOC =S △AOB +S △AOC 列式计算即可得解． 【详解】解：（1）将B （﹣1，5）代入y 2=c x 得， 1c =5， 解得c=﹣5，所以，反比例函数解析式为y=﹣5x， 将点C （52，d ）代入y=﹣5x 得d=﹣552=﹣2， 所以，点C 的坐标为（52，﹣2），将点B（﹣1，5），C（52，﹣2）代入一次函数y1=kx+b得，5522k bk b-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得23kb=-⎧⎨=⎩，所以，一次函数y1=﹣2x+3；（2）令y=0，则﹣2x+3=0，解得x=32，所以，点A的坐标为（32，0），所以，OA=32，S△BOC=S△AOB+S△AOC，=12×32×5+12×32×2，=214．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点问题.20. （本小题满分8分）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG 与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据条件结合正方形的性质利用SAS证明△ADE≌△CDG即可得出结论；（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△AMN∽△CDN，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD、DEFG都是正方形∴AD="CD" DE="DG" ∠ADC=∠EDG=90°∴∠ADC+∠ADG=∠ED+∠ADG即∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG∴AE=CG（2）∵△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG∵∠ANM=∠CND∴△AMN∽△CDN∴∴考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质3．相似三角形的判定与性质．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷附答案详解
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在下面的四个几何体中，同一几何体的主视图与俯视图相同的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA 等于（）A ．2BC ．12D 3．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP ABAB AC=D ．AB ACBP CB=4．如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A ．2：1B ．1：16C ．1：4D ．1：25．要使菱形ABCD 成为正方形，需要添加的条件是（）A ．AB=CDB ．AD=BCC ．AB=BCD ．AC=BD 6．已知点A （3，a ）与点B （5，b ）都在反比例函数y=﹣2x的图象上，则a 与b 之间的关系是（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a=b7．某池塘中放养了鲫鱼1000条，鲮鱼若干条，在几次随机捕捞中，共抓到鲫鱼200条，鲮鱼400条，估计池塘中原来放养了鲮鱼（）A ．500条B ．1000条C ．2000条D ．3000条8．一元二次方程x 2﹣2x+3＝0根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断9．已知反比例函数ky x=的图象经过点（﹣1，5），则此反比例函数的图象位于（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第二、四象限D ．第一、三象限10．如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集是（）A ．1x <-B ．10x -<<C ．1x <-或02x <<D ．10x -<<或2x >二、填空题11．方程22x x =的根是________．12．如图，已知DE ∥BC ，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=_____．13．如图，过反比例函数y=6x（x ＞0）图象上的一点A ，作x 轴的垂线，垂足为B 点，连接OA ，则S △AOB =_____14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．15．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米.16．已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是_____．三、解答题17．计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245°18．由于提倡环保节能，自行车已成为市民日常出行的主要工具之一，据某自行车经销店4至6月份统计，某品牌自行车4月份销售200辆，6月份销售338辆，求该品牌自行车销售量的月平均增长率．19．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）20．如图,某幢大楼顶部有广告牌CD,小宇身高MA为1.89米,他站在立在离大楼45米的A 处测得大楼顶端点D的仰角为30°;接着他向大楼前进15米,站在点B处测得广告牌顶端点C 的仰角为45°.(1)求这幢大楼的高DH ;(2)求这块广告牌CD 的高度.(.732,计算结果保留一位小数)21．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为12．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．22．某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件30元，当售价为每件50元时，每周可卖出200件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价1元，每周可多卖出20件．（1）为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为4420元？（2）当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？23．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk（k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．24．如图，以△ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形ABDI ，BCFE ，ACHG ．（1）求证：△BDE ≌△BAC ；（2）求证：四边形ADEG 是平行四边形．（3）直接回答下面两个问题，不必证明：①当△ABC 满足条件_____________________时，四边形ADEG 是矩形．②当△ABC 满足条件_____________________时，四边形ADEG 是正方形？25．如图，直线y=﹣23x+c 与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线y=﹣43x 2+bx+c 经过点A ，B ，M （m ，0）为x 轴上一动点，点M 在线段OA 上运动且不与O ，A 重合，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P 为线段MN 的中点，求m 的值；（3）在运动过程中，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；参考答案1．D【详解】试题分析：主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形．因此，A、圆柱主视图、俯视图分别是长方形、圆，主视图与俯视图不相同，故A选项错误；B、圆锥主视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，主视图与俯视图不相同，故B选项错误；C、三棱柱主视图、俯视图分别是长方形，三角形，主视图与俯视图不相同，故C选项错误；D、球主视图、俯视图都是圆，主视图与俯视图相同，故D选项正确．故选D．考点：简单几何体的三视图．2．C【解析】【分析】结合图形运用三角函数定义求解．【详解】∵AB=2、BC=1，∴sinA=1=2 BC AB，故选C．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．D【详解】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．4．C【分析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：4，∴这两个相似三角形的周长比是1：4．故选C．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应周长的比等于相似比是解答此题的关键．5．D【分析】根据有一个角是直角的菱形是正方形即可解答．【详解】如图，∵四边形ABCD是菱形，∴要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：∠ABC=90°或AC=BD．故选D．【点睛】本题考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．6．B【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y=﹣2x的图象上，∴每个象限内y随x的增大而增大，则a＜b．故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题关键．7．C【分析】先根据题意可得到鲫鱼与鲮鱼之比为1：2，再根据鲫鱼的总条数计算出鲮鱼的条数即可．【详解】由题意得：鲫鱼与鲮鱼之比为：200：400=1：2，∵鲫鱼1000条，∴鲮鱼条数是：1000×2=2000．故答案选：C．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，关键是知道样本的鲫鱼与鲮鱼之比就是池塘内鲫鱼与鲮鱼之比．8．C【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案.【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴此方程没有实数根.故选C.【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.9．C 【分析】把点（-1，5）代入反比例函数ky x=得到关于k 的一元一次方程，解之，即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案．【详解】解：把点（﹣1，5）代入反比例函数ky x=得：1k-＝5，解得：k ＝﹣5，即反比例函数的解析式为：y ＝5x-，此反比例函数的图象位于第二、第四象限，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，反比例函数的性质，正确掌握代入法，反比例函数的图象和性质是解题的关键．10．C 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围便是不等式mkx b x+>的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数()10y kx b k =+≠的图象在反比例函数2my x=（m 为常数且0m ≠）的图象上方时，x 的取值范围是：1x <-或02x <<，∴不等式mkx b x+>的解集是1x <-或02x <<.故选C ．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．11．x 1＝0，x 2＝2【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵22x x =，∴22=0x x -，∴x(x-2)=0，x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．12．3.6．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．相似三角形的判定推出【详解】解：∵DE ∥BC ，∴AE ADAC AB=，∴356AD =，解得：AD ＝3.6，故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线得出比例式是解此题的关键．13．3【分析】设A （x ，6x ），则有OB=x ，AB=6x，根据三角形面积公式可得答案.【详解】设A （x ，6x ）则有，OB=x ，AB=6x∴S△AOB =162xx⨯⨯=3，故答案为：3，【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，记住：反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．14．4.8．【详解】试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=AB•DH，即12×6×8=5•DH，解得DH=4.8．考点：菱形的性质．15．8【分析】如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=9m，利用等角的余角相等得到∠QPC=∠D，则可判断Rt△PCQ∽Rt△DPQ，然后利用相似比可计算出PQ．【详解】解：如图，∠CPD=90°，QC=4m，QD=16m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC=90°，∴∠C+∠QPC=90°，而∠C+∠D=90°，∴∠QPC=∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴PQ QCQD PQ=，即416PQPQ=，∴PQ=8，即旗杆的高度为8m．故答案为8．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．也考查了相似三角形的判定与性质．16．【分析】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10-x），根据新矩形的面积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，整理得：x2﹣10x+12=0，解得：x1=5x2∵x≥10﹣x，∴x≥5，∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．132【解析】分析：将sin30°=12，详解：原式=2×12＋2=1＋6－12=132点睛：考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，请牢记以下特殊三角函数值：18．月平均增长率为30%．【分析】设该品牌自行车销售量的月平均增长率为x ，根据4月、6月份的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设该品牌自行车销售量的月平均增长率为x ，根据题意得：200（1+x ）2=338，解得：x 1=0.3=30%，x 2=﹣2.3（不合题意，舍去）．答：该品牌自行车销售量的月平均增长率为30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）四边形BB′C′C 的周长为：．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（1）楼高DH 为27.9米；（2）广告牌CD 的高度为4.0米.【解析】【分析】在Rt △DME 与Rt △CNE ；应利用ME-NE=AB=15构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【详解】解:(1)在Rt △DME 中,ME=AH=45;由tan 30°=DE ME ,得DE=45×3≈15×1.732=25.98;又因为EH=MA=1.89,故大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9.(2)在Rt △CNE 中,NE=45-15=30,由tan 45°=CE NE,得CE=NE=30,因而广告牌CD=CE-DE=30-25.98≈4.0.答:楼高DH 为27.9米,广告牌CD 的高度为4.0米.【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.21．（1）袋中黄球的个数1个；（2）两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为1 3 .【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．【详解】（1）设袋中的黄球个数为x个，∴21= 212x++，解得：x=1，经检验，x=1是原方程的解，∴袋中黄球的个数1个；（2）画树状图得：，∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：4 12 =13【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．22．（1）当降价为7元时，每周盈利为4420元；（2）当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．【分析】（1）设降价为x元，根据“总利润=每件利润×销售量”列出关于x的方程，解之得出x的值，再根据要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大取舍即可得；（2）设每周盈利为y，根据以上所列相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．【详解】（1）设降价为x元，根据题意，可得：（50﹣x ﹣30）（200+20x ）=4420，整理，得：x 2﹣10x+21=0，解得：x 1=3，x 2=7，因为要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大，所以x=7，答：当降价为7元时，每周盈利为4420元；（2）设每周盈利为y ，则y=（50﹣x ﹣30）（200+20x ）=﹣20x 2+200x+4000=﹣20（x ﹣5）2+4500，所以当x=5时，y 取得最大值，最大值为4500，答：当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．23．（1）反比例函数的解析式为：y=4x ；一次函数的解析式为：y=x ﹣3；（2）S △AOB =152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞4．【分析】（1）把A 的坐标代入y=k x，求出反比例函数的解析式，把A 的坐标代入y=x+b 求出一次函数的解析式；（2）求出D 、B 的坐标，利用S △AOB =S △AOD +S △BOD 计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A 、B 的坐标即可得出答案．【详解】（1）∵反比例函数y=k x 的图象过点A （4，1），∴1=k 4，即k=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x．∵一次函数y=x+b （k≠0）的图象过点A （4，1），∴1=4+b，解得b=﹣3，∴一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）∵令x=0，则y=﹣3，∴D（0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x﹣3，得x=﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∴S△AOB =S△AOD+S△BOD=12×3×4+12×3×1=152；（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），∴一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）①∠BAC=135°；②∠BAC=135°且AC【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC；（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由正方形ABDI和正方形ACHG的性质证得：AC=．【详解】（1）∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，∵BD BADBE ABCBE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BAC（SAS）；（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=，∴当∠BAC=135°且AC=时，四边形ADEG是正方形．【点睛】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．25．（1）B（0，2），抛物线解析式为y=﹣43x2+103x+2；（2）m的值为1 2；（3）当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5.0）或（118，0）．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点，可得到关于m 的方程，可求得m的值．（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值，从而得到点M的坐标．【详解】（1）∵y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，∴12302b cc-++=⎧⎨=⎩，解得1032bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣43x2+103x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=﹣23x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣23m+2），N（m，﹣43m2+103m+2），∵P为线段MN的中点时，∴有2（﹣23m+2）=﹣43m2+103m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=1 2．故m的值为1 2．（3）由（1）可知直线解析式为y=﹣23x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣23m+2），N（m，﹣43m2+103m+2），∴PM=﹣23m+2，AM=3﹣m，PN=﹣43m2+103m+2﹣（﹣23m+2）=﹣43m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣43m2+103m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ，BC=﹣43m 2+103m+2﹣2=﹣43m 2+103m ，∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC ，∴Rt △NCB ∽Rt △BOA ，∴NC CB =OB OA，∴2π=2410333m m -+，解得m=0（舍去）或m=118，∴M （118，0）；综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中得到m 的方程是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于m 的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．。
北师大版九年级上学期数学《期末检测试题》及答案解析
2021年北师大版数学九年级上学期期末测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(2019秋•博白县期末)下列各数中，互为相反数的是( )A ．﹣4与(﹣2)2B ．1与(﹣1)2C ．2与12D ．2与|﹣2|2．(2020•皇姑区一模)天津到上海的铁路里程约1326000米，用科学记数法表示1326000的结果是()A ．0.1326×107B ．1.326×106C ．13.26×105D ．1.326×1073．(2020春•港南区期末)下面的计算不正确的是( )A ．5a 3﹣a 3＝4a 3B ．2m •3n ＝6m +nC ．2m •2n ＝2m +nD ．﹣a 2•(﹣a 3)＝a 54．(2019秋•南山区校级月考)下列说法不正确的是( )A ．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形B ．3x 2﹣4x +1＝0的两根之和为43C ．若点P 是线段AB 的黄金分割点(P A ＞PB )，则P A =√5−12ABD ．当a +c ＝b 时，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0必有一根为15．(2020•余干县模拟)已知2x ＝3y ，则下列各式错误的是( )A ．x 3=y 2B ．x y =32C ．x 2=y 3D ．6x ＝9y6．(2019•承德模拟)在平面直角坐标系中，点A (6，3)，以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的13得到线段OC ，则点C 的坐标为( ) A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)7．(龙华区期末)已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是( )A ．108B ．52C ．48D ．208．(2020•浦城县一模)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC 的值为( )A ．1B ．35C ．√105D ．34 9．(2020•安丘市一模)如果关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．k ＜1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ＞1D ．k ＞1且k ≠010．(建湖县一模)如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，对角线OB 、AC 相交于D 点，已知A 点的坐标为(10，0)，双曲线y =k x (x ＞0)经过D 点，交BC 的延长线于E 点，且OB •AC ＝120(OB ＞AC )，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y =27x (x ＞0)； ②E 点的坐标是(4，6)；③sin ∠COA =35；④EC=72；⑤AC+OB=8√10．其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题(共4小题，满分16分，每小题4分)11．(2019秋•市中区期末)计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝．12．(兴化市校级期中)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣3m﹣5＝0＝0的一个根为﹣1，则此方程的另一个根为．13．(2020•阳谷县校级模拟)已知函数y=(m−2)x m2−10是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是．14．(德州)如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m．三．解答题(共6小题，满分54分)15．(12分)(成都期末)(1)计算：√8−(13)−1+(π−√3)0−2sin45°(2)解方程：x2﹣4x﹣5＝016．(6分)(2019秋•浦东新区期末)先化简，再求值：(2x2x+1−14x2+2x)÷(1−4x2+14x)，其中x＝3．17．(8分)(2020•深圳模拟)如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα=247，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140√2m(1)求两楼之间的距离CD；(2)求发射塔AB的高度．18．(8分)(2019•玉州区一模)某班为了解学生每周进行体育锻炼的时间情况，对全班60名学生进行调查，按每周进行体育锻炼的时间t(单位：小时)，将学生分成五类：A类(0≤t≤2)，B类(2＜t≤4)，C类(4＜t ≤6)，D类(6＜t≤8)，E类(t＞8)，绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：(1)E类学生有人，补全条形统计图；(2)D类学生人数占被调查总人数的%；(3)从该班每周进行体育锻炼时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人每周进行体育锻炼时间都在2＜t≤4中的概率．19．(10分)(2019秋•鼓楼区期末)如图，已知点A在反比例函数y=9x(x＞0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．(1)求点A的坐标；(2)若四边形ABOC的面积是152，求一次函数y＝kx+b的表达式．20．(10分)(2020•萧山区一模)【操作发现】如图(1)，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB ＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；【类比探究】如图(2)，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图(3)，是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D 之间的距离．B 卷(共50分)四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)21．(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．22．(南岸区二模)有三张正面分别写有数字﹣2、﹣1、1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为(x ，y )，则使分式x 2+3xy x −y −y x+y 有意义的(x ，y )出现的概率是 ．23．(2020•宝安区校级一模)如图，已知反比例函数y =k x (x ＞0)的图象经过点A (3，4)，在该图象上找一点B ，使tan ∠BOA =12，则点B 的坐标为 ．24．(2019秋•宁都县期末)如图，△ADB 、△BCD 都是等边三角形，点E ，F 分别是AB ，AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，CH ⊥BF ，垂足为H ，连接CG ．若DG ＝a ，BG ＝b ，且a 、b 满足下列关系：a 2+b 2＝5，ab ＝2，则GH ＝ ．25．(2020春•江阴市期中)如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE＝4√2，M是对角线BD上的一点(∠EMB是锐角)，连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，则△HMN的面积＝．五．解答题(共3小题，满分30分)26．(8分)(2020•烟台二模)诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二(1)班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．(1)班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二(1)班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？(2)因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比(1)中的演出服装套数增加了5a%(a＜60)，道具套数比(1)中的道具套数增加了2a%．初二(1)班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．27．(10分)(2019春•安庆期末)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．28．(12分)(2020•济阳区模拟)如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上(点C在点B的右侧)，BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称．(1)当OC＝2时，求点D的坐标；(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长；(3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=kx(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．答案与解析A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(3分)(2019秋•博白县期末)下列各数中，互为相反数的是( )A ．﹣4与(﹣2)2B ．1与(﹣1)2C ．2与12D ．2与|﹣2|【解答】解：A 、(﹣2)2＝4，﹣4与4互为相反数，故A 正确；B 、(﹣1)2＝1，两个数相等，故B 错误；C 、2与12互为倒数，故C 错误；D 、|﹣2|＝2，两个数相等，故D 错误；故选：A ．2．(3分)(2020•皇姑区一模)天津到上海的铁路里程约1326000米，用科学记数法表示1326000的结果是()A ．0.1326×107B ．1.326×106C ．13.26×105D ．1.326×107【解答】解：用科学记数法表示1326000的结果是1.326×106，故选：B ．3．(3分)(2020春•港南区期末)下面的计算不正确的是( )A ．5a 3﹣a 3＝4a 3B ．2m •3n ＝6m +nC ．2m •2n ＝2m +nD ．﹣a 2•(﹣a 3)＝a 5【解答】解：A 、5a 3﹣a 3＝(5﹣1)a 3＝4a 3，正确；B 、2m 与3n 与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；C 、2m •2n ＝2m +n ，正确；D 、﹣a 2•(﹣a 3)＝a 2+3＝a 5，正确．故选：B ．4．(3分)(2019秋•南山区校级月考)下列说法不正确的是( )A ．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形B ．3x 2﹣4x +1＝0的两根之和为43C ．若点P 是线段AB 的黄金分割点(P A ＞PB )，则P A =√5−12ABD ．当a +c ＝b 时，一元二次方程ax 2+bx +c ＝0必有一根为1【解答】解：A ．对角线互相垂直平分且有一个角为直角的四边形是正方形．所以A 选项正确，不符合题意；B .3x 2﹣4x +1＝0的两根之和为43．所以B 选项正确，不符合题意；C ．点P 是线段AB 的黄金分割点(P A ＞PB )，则P A 2＝PB •AB ＝(AB ﹣P A )AB ＝AB 2﹣P A •AB即P A 2+P A •AB ﹣AB 2＝0，解得P A =√5−12AB ，所以C 选项正确，不符合题意；D ．将b ＝a +c 代入方程，得ax 2+(a +c )x +c ＝0解得x 1＝1，x 2=−c a ，必有一根为1．所以D 选项符号题意．故选：D ．5．(3分)(2020•余干县模拟)已知2x ＝3y ，则下列各式错误的是( )A ．x 3=y 2B ．x y =32C ．x 2=y 3D ．6x ＝9y【解答】解：A 、变成等积式是：2x ＝3y ，不符合题意；B 、变成等积式是：2x ＝3y ，不符合题意；C 、变成等积式是：3x ＝2y ，符合题意；D 、变成等积式是：2x ＝3y ，不符合题意．故选：C ．6．(3分)(2019•承德模拟)在平面直角坐标系中，点A (6，3)，以原点O 为位似中心，在第一象限内把线段OA 缩小为原来的13得到线段OC ，则点C 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)【解答】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的13，则点A 的对应点C 的坐标为(6×13，3×13)，即(2，1)，故选：A ． 7．(3分)已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是( ) A ．108B ．52C ．48D ．20【解答】解：如图，BD ＝10，AC ＝24，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =12AC ＝12，OB =12BD ＝5，AC ⊥BD ，∴AB =√AO 2+BO 2=13，∴菱形的周长＝4×13＝52故选：B ．8．(3分)(2020•浦城县一模)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A ．1B ．35C ．√105D ．34【解答】解：在Rt △ABD 中，BD ＝4，AD ＝3，∴tan ∠ABC =AD BD =34，故选：D ．9．(3分)(2020•安丘市一模)如果关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是()A．k＜1B．k＜1且k≠0C．k＞1D．k＞1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即(﹣2)2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．10．(3分)如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，对角线OB、AC相交于D点，已知A点的坐标为(10，0)，双曲线y=kx(x＞0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝120(OB＞AC)，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y=27x(x＞0)；②E点的坐标是(4，6)；③sin∠COA=35；④EC=72；⑤AC+OB=8√10．其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DG⊥x轴于点G，过C作CH⊥x轴于点H，∵A(10，0)，∴OA＝10，∴S菱形ABCD＝OA•BF=12AC•OB=12×120＝60，即10BF＝60，∴BF＝6，在Rt△ABF中，AB＝10，BF＝8，由勾股定理可得AF＝8，∴OF＝OA+AF＝10+8＝18，∵四边形OABC 为菱形，∴D 为OB 中点，∴DG =12BF =12×6＝3，OG =12OF =12×18＝9， ∴D (9，3)，∵双曲线过点D ．∴3=k 9，解得k ＝27，∴双曲线解析式为y =27x．故①正确； ∵BC ∥OF ，BF ＝6，∴6=27x ，x =92∴E (92，6)．故②错误；在Rt △OCH 中，OC ＝10，CH ＝6，∴sin ∠COA =CHCO =610=35，故③正确； ∵C (8，6)，E (92，6)，∴EC ＝8−92=72，故④正确，在Rt △OBF 中，OF ＝18，BF ＝6，∴OB =√OF 2+BF 2=6√10，∵AC •OB ＝120，∴AC =120OB=2√10， ∴AC +OB ＝6√10+2√10=8√10，故⑤正确；综上可知正确的为①③④⑤共4个，故选：A ．二．填空题(共4小题，满分16分，每小题4分)11．(4分)(2019秋•市中区期末)计算：cos 245°﹣tan30°sin60°＝ 0 ． 【解答】解：cos 245°﹣tan30°sin60°=12−√33×√32=12−12=0，故答案为：0． 12．(4分)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣3m ﹣5＝0＝0的一个根为﹣1，则此方程的另一个根为 7 ． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣3m ﹣5＝0＝0的一个根为﹣1，∴x ＝﹣1满足关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m 2﹣3m ﹣5＝0＝0，∴1+6+m 2﹣3m ﹣5＝0＝0，∴m 2﹣3m ﹣5＝﹣7， ∴原方程为x 2﹣6x ﹣7＝0，即(x ﹣7)(x +1)＝0，∴x ﹣7＝0或x +1＝0，解得，x ＝7或x ＝﹣1； ∴该方程的另一根是x ＝7；故答案是：7．13．(4分)(2020•阳谷县校级模拟)已知函数y =(m −2)x m2−10是反比例函数，且当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大，则m 的取值是 ﹣3 ．【解答】解：根据题意得：{m 2−10=−1m −2＜0，解得：m ＝﹣3．故答案是：﹣3．14．(4分)如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m ．【解答】解：如图：过点C 作CD ⊥EF ，由题意得：△EFC 是直角三角形，∠ECF ＝90°，∴∠EDC ＝∠CDF ＝90°，∴∠E +∠ECD ＝∠ECD +∠DCF ＝90°，∴∠E ＝∠DCF ，∴Rt △EDC ∽Rt △CDF ，有ED DC=DC FD；即DC 2＝ED •FD ，代入数据可得DC 2＝16，DC ＝4；故答案为：4．三．解答题(共6小题，满分54分)15．(12分)(1)计算：√8−(13)−1+(π−√3)0−2sin45° (2)解方程：x 2﹣4x ﹣5＝0【解答】解：(1)原式＝2√2−3+1﹣2×√22=√2−2；(2)(x +1)(x ﹣5)＝0，x +1＝0或x ﹣5＝0，所以x 1＝﹣1，x 2＝5．16．(6分)(2019秋•浦东新区期末)先化简，再求值：(2x 2x+1−12)÷(1−4x 2+14x )，其中x ＝3．【解答】解：原式=4x 2−12x(2x+1)÷4x−4x 2−14x =(2x+1)(2x−1)2x(2x+1)•4x −(2x−1)2=−22x−1，当x＝3时，原式=−2 5．17．(8分)(2020•深圳模拟)如图是长沙九龙仓国际金融中心，位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角，投资160亿元人民币，总建筑面积达98万平方米，中心主楼BC高452m，是目前湖南省第一高楼，大楼顶部有一发射塔AB，已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，tanα=247，在顶端E点测得A的仰角为45°，AE＝140√2m(1)求两楼之间的距离CD；(2)求发射塔AB的高度．【解答】解：(1)过点E作EF⊥AC于点F，∵∠AEF＝45°，AE＝140√2，∴EF＝140，由矩形的性质可知：CD＝EF＝140，故两楼之间的距离为140m；(2)在Rt△ADC中，tanα=ACCD，∴AC＝140×247=480，∴AB＝AC﹣BC＝480﹣452＝28，故发射塔AB的高度为28m．18．(8分)(2019•玉州区一模)某班为了解学生每周进行体育锻炼的时间情况，对全班60名学生进行调查，按每周进行体育锻炼的时间t (单位：小时)，将学生分成五类：A 类(0≤t ≤2)，B 类(2＜t ≤4)，C 类(4＜t ≤6)，D 类(6＜t ≤8)，E 类(t ＞8)，绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题： (1)E 类学生有 15 人，补全条形统计图； (2)D 类学生人数占被调查总人数的 30 %；(3)从该班每周进行体育锻炼时间在0≤t ≤4的学生中任选2人，求这2人每周进行体育锻炼时间都在2＜t ≤4中的概率．【解答】解：(1)E 类学生有60﹣(2+3+22+18)＝15(人)， 补全图形如下：故答案为：15；(2)D 类学生人数占被调查总人数的1860×100%＝30%，故答案为：30；(3)记0≤t ≤2内的两人为甲、乙，2＜t ≤4内的3人记为A 、B 、C ，从中任选两人有：甲乙、甲A 、甲B 、甲C 、乙A 、乙B 、乙C 、AB 、AC 、BC 这10种可能结果， 其中2人锻炼时间都在2＜t ≤4中的有AB 、AC 、BC 这3种结果，∴这2人锻炼时间都在2＜t ≤4中的概率为310．19．(10分)(2019秋•鼓楼区期末)如图，已知点A 在反比例函数y =9x(x ＞0)的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足是C ，AC ＝OC ．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A ，与y 轴的正半轴交于点B ． (1)求点A 的坐标；(2)若四边形ABOC 的面积是152，求一次函数y ＝kx +b 的表达式．【解答】解：(1)∵点A 在反比例函数y =9x (x ＞0)的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝OC ， ∴AC •OC ＝9，∴AC ＝OC ＝3，∴点A 的坐标为(3，3)；(2)∵四边形ABOC 的面积是152，∴(OB +3)×3÷2=152，解得OB ＝2， ∴点B 的坐标为(0，2)，依题意有{b =23k +b =3，解得{k =13b =2．故一次函数y ＝kx +b 的表达式为y =13x +2．20．(10分)(2020•萧山区一模)【操作发现】如图(1)，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝45°，连接AC ，BD 交于点M ． ①AC 与BD 之间的数量关系为 AC ＝BD ； ②∠AMB 的度数为 45° ；【类比探究】如图(2)，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应用】如图(3)，是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D之间的距离．【解答】解：【操作发现】如图(1)中，设OA交BD于K．∵∠AOB＝∠COD＝45°，∴∠COA＝∠DOB，∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，∵∠MKA＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝45°，故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°【类比探究】如图(2)中，在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴∠COA＝∠DOB，OC=√3OD，OA=√3OB，∴OCOD =OAOB，∴△COA∽△ODB，∴ACBD=COOD=√3，∠MAK＝∠OBK，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．【实际应用】如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，∴∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，∴EH=12EC=12，∴CH=√32，在Rt△BCH中，BH=√BC2−CH2=21−(32)2=92，∴BE＝BH﹣EH＝4，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC=√3，∴AD＝4√3．如图3﹣2中，连接AD，作CH⊥DE于H．同法可得BH=92，EH=12，∴BE=92+12=5，∵△DCA∽△ECB，∴AD：BE＝CD：EC=√3，∴AD＝5√3．B卷(共50分)四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)21．(4分)(2020•泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是2．【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7所以，x12+4x1x2+x22＝(x1+x2)2+2x1x2＝16﹣14＝2故答案为2．22．(4分)有三张正面分别写有数字﹣2、﹣1、1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x，y)，则使分式x 2+3xyx2−y2−yx+y有意义的(x，y)出现的概率是49．【解答】解：列表如下：﹣2﹣11﹣2(﹣2，﹣2)(﹣1，﹣2)(1，﹣2)﹣1(﹣2，﹣1)(﹣1，﹣1)(1，﹣1)1(﹣2，1)(﹣1，1)(1，1)所有等可能的情况有9种，∵分式的最简公分母为(x+y)(x﹣y)，∴x≠﹣y且x≠y时，分式有意义，∴能使分式有意义的(x，y)有4种，则P=49．故答案为：49．23．(4分)(2020•宝安区校级一模)如图，已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，在该图象上找一点B，使tan∠BOA=12，则点B的坐标为(2√6，√6)或(2√6611，√66)．【解答】解：如图取点E(4，2)，连接AE，OE．∵A (3，4)，∴OA =√32+42=5，AE =√12+22=√5，OE =√22+42=2√5， ∴OA 2＝AE 2+OE 2＝25，∴∠AEO ＝90°，∴tan ∠AOE =AE EO =12， 延长OE 交反比例函数的图象于B ，点B 即为所求，∵A (3，4)在y =k x上，∴k ＝12，∵直线OE 的解析式为y =12x ， 由{y =12x y =12x ，解得{x =2√6y =√6或{x =−2√6y =√6(舍弃)， ∴B (2√6，√6)，作点E 关于直线OA 的对称点E ′，则E ′(45，225)，射线OE ′交反比例函数的图象于B ′，则点B ′即为所求，∴直线OE ′的解析式为y =112x ，由{y =12x y =112x ，解得{x =2√6611y =√66或{x =−2√6611y =√66(舍弃)，∴B ′(2√6611，√66)，综上所述，满足条件的点B 的坐标为(2√6，√6)或(2√6611，√66)．补充确定点E 的方法二：如图，当tan ∠AOB =12时，过点A 作AE ⊥AB 于E ，作EM ⊥x 轴于M ，作AN ⊥ME 交ME 的延长线于N ．设AN ＝a ，∵tan ∠AOE =AEOE =12， 由△ANE ∽△EMO ，得到AEOE=AN EM=NE MO =12，∵OM ＝3+a ，AN ＝a ，∴EM ＝2a ，EN =3+a2， ∵MN ＝4，∴2a +3+a2=4，解得a ＝1，可得E (4，2)，接下来方法同上．故答案为(2√6，√6)或(2√6611，√66)．24．(4分)(2019秋•宁都县期末)如图，△ADB 、△BCD 都是等边三角形，点E ，F 分别是AB ，AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接BF 与DE 相交于点G ，CH ⊥BF ，垂足为H ，连接CG ．若DG ＝a ，BG ＝b ，且a 、b 满足下列关系：a 2+b 2＝5，ab ＝2，则GH ＝32．【解答】证明：延长FB 到点M ，使BM ＝DG ，连接CM∵△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝60°，在△AED 与△DFB 中，{AD =BD∠A =∠BDF AE =DF ，∴△AED ≌△DFB (SAS )，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠CDG ＝∠ADC ﹣∠ADE ＝120°﹣∠ADE ，∠CBM ＝120°﹣∠DBF ，∴∠CBM ＝∠CDG ，∵△DBC 是等边三角形，∴CD ＝CB ，在△CDG 和△CBM 中，{CD =CB∠CDG =∠CBM DG =BM ∴△CDG ≌△CBM ，∴∠DCG ＝∠BCM ，CG ＝CM ，∴∠GCM ＝∠DCB ＝60°，∴△CGM 是等边三角形，∴CG ＝GM ＝BG +BM ＝BG +DG ，∵(a +b )2＝a 2+b 2+2ab ＝9，∴a +b ＝3，∴CG ＝3，∴GH =12CG =32．故答案为：32．25．(4分)(2020春•江阴市期中)如图所示，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，BE ＝4√2，M 是对角线BD 上的一点(∠EMB 是锐角)，连接EM ，EM ＝5，过点M 作MN ⊥EM 交BC 边于点N ．过点N 作NH ⊥BD 于H ，则△HMN 的面积＝ 6 ．【解答】解：如图所示，过M 作MP ⊥AB 于P ，MQ ⊥BC 于Q ，则∠EPM ＝∠NQM ＝90°，∴∠PMQ ＝90°＝∠EMN ，∴∠EMP ＝∠NMQ ，又∵MB 平分∠ABC ，∴MP ＝MQ ， ∴△EPM ≌△NQM (ASA )，∴EM ＝NM ，如图所示，过E 作EF ⊥BD 于F ，则∠EFM ＝90°，∵NH ⊥BD ，∴∠MHN ＝90°，又∵∠EMN ＝90°，∴∠EMF +∠HMN ＝∠MNH +∠HMN ＝90°， ∴∠EMF ＝∠MNH ，∴△EMF ≌△MNH (AAS )，∴FM ＝HN ，∵∠EBM ＝45°，∴∠BEF ＝45°＝∠EBF ， ∴△BEF 是等腰直角三角形，又∵BE ＝4√2，∴EF ＝BF ＝4，又∵EM ＝5，∴Rt △EFM 中，FM ＝3， ∴HN ＝3＝BH ，∴HF ＝BF ﹣BH ＝4﹣3＝1，∴HM ＝1+3＝4，∴△HMN 的面积=12HM ×HN =12×4×3＝6， 故答案为：6．五．解答题(共3小题，满分30分)26．(8分)(2020•烟台二模)诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二(1)班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．(1)班委会通过多方比较，决定用500元在A 商店租赁服装，用300元在B 商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二(1)班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？(2)因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比(1)中的演出服装套数增加了5a %(a ＜60)，道具套数比(1)中的道具套数增加了2a %．初二(1)班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A 商店、B 商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a %的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a 的值．【解答】解：(1)设需租赁x 套演出服装，则需购买(x +5)套道具，根据题意得：500x−300x+5=30，解得：x 1＝10，x 2=−253， 经检验，x ＝10是原分式方程的解，且符合题意，x =−253是原分式方程的解，但不符合题意， ∴x +5＝15．答：初二(1)班班委会租赁了10套演出服装、购买了15套道具．(2)根据题意得：10×5a%×50010×(1﹣a%)+15×2a%×30010+5×(1﹣a%)＝279，整理得：a2﹣100a+900＝0，解得：a1＝10，a2＝90(不合题意，舍去)．答：a的值为10．27．(10分)(2019春•安庆期末)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，{∠DNE=∠FME EN=EM∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，(2)CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD ＝DC ，∠ADE +∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，{AD =CD∠ADE =∠CDG DE =DG ，∴△ADE ≌△CDG (SAS )，∴AE ＝CG ，∴AC ＝AE +CE =√2AB =√2×4√2=8，∴CE +CG ＝8是定值．28．(12分)(2020•济阳区模拟)如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC ，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，顶点A 在第二象限，B ，C 两点在x 轴的负半轴上(点C 在点B 的右侧)，BC ＝2，△ACD 与△ABC 关于AC 所在的直线对称．(1)当OC ＝2时，求点D 的坐标；(2)若点A 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求OC 的长；(3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD 向左平移，记平移后的四边形为A 1B 1C 1D 1，过点D 1的反比例函数y =kx (k ≠0)的图象与BA 的延长线交于点P ，问：在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点P ，A 1，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)∵△ADC 与△ABC 关于AC 所在的直线对称，∴CD ＝BC ＝2，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， 如图1，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，∵∠DCE ＝60°，∴CE =1，DE =√3，∵OC ＝2， ∴OE ＝3，∴D(−3，√3)；(2)设OC＝m，则OE＝m+1，OB＝m+2在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，∴AB=2√3 3，∴A(−m−2，2√33)，D(−m−1，√3)，∵A，D在同一反比例函数上，∴2√33(−m−2)=√3(−m−1)，解得：m＝1，∴OC＝1；(3)由(2)得：∴A(−3，2√33)，D(−2，√3)，∵四边形A1B1C1D1由四边形ABCD平移得到，∴y D1=y D=√3，∵D1在反比例函数y=k x(k≠0)上，∴D1(√33k，√3)同理：y A1=y A=2√33，x A−x A1=x D−x D1，∴x A1=−1+√33k，∴A1(−1+√33k，2√33)，∵x P＝x A＝﹣3，P在反比例函数y=kx(k≠0)上，∴P(−3，−13k)，①若P为直角顶点，则A1P⊥DP，过点P作l1⊥y轴，过点A1作A1F⊥l1，过点D作DG⊥l1，则△A1PF∽△PDG，A1F PG =PFDG，−13k−2√331=−2−√33k−13k−√3解得：k=−6√3；②若D为直角顶点，则A1D⊥DP，过点D 作l 2⊥x 轴，过点A 1作A 1H ⊥l 2，则△A 1DH ∽△DPG ，A 1H DG=DH PG，−1−√33k −13k−√3=√331，解得：k ＝0(舍)，综上：存在k =−6√3．。
北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期末质量检测试卷【含答案】
北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期末质量检测试卷说明:本试卷为闭卷笔答,不允许携带计算器,答题时间90分钟满分100分一、选择题(本大题含10个小题,每小题3分,共30分)1.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A. B. C. D.2.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 6x（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，下列结论：①一次函数解析式为y=﹣2x+8；②AD=BC；③kx+b﹣6x＜0的解集为0＜x＜1或x＞3；④△AOB的面积是8，其中正确结论的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个3.某反比例函数的图象经过点（-1，6），则此函数图象也经过点( ).A.(2,−3)B.(−3,−3)C.(2,3)D.(−4,6)4.小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏,假设他们每次出这三种手势的可能性相同,则在一次游戏中两人手势相同的概率是（）A1 3B16C19D235.如图,△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE//BC,若AD=2DB,则△ADE与△ABC的面积比为（）A2 3B49C25D356.下列四个表格表示的变量关系中,变量y是x的反比例函数的是（）7.如果ab=cd ，且abcd ≠0，则下列比例式不正确的是（ ） A.d c b a = B.b d c a = C.a c d b = D.ca b d = 8.已知一次函数b kx y +=的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数xkby =的图象在（ ）A ．一、二象限B ．一、三象限C ．三、四象限D ．二、四象限 9.关于x 的一元二次方程0242=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．2-≥k B ．0k 2≠->且k C ．02≠-≥k k 且 D ．2-≤k 10.书画经装后更便于收藏,如图,画心ABCD 为长90cm 、宽30cm 的矩形,装裱后整幅画为矩形A B C D '''',两矩形的对应边互相平行,且AB 与A'B 的距离、CD 与C D ''的距离都等于4cm.当AD 与A D ''的距离、BC 与B'C'距离都等于acm,且矩形ABCD ∽矩形A B C D ''''时,整幅书画最美观,此时,a 的值为（ ）A.4B.6C.12D.24 二、填空题(本大题含5个小题,每小题2分,共10分)11.如图，已知 l 1∥l 2∥l 3 ，如果AB ： BC =2 ：3, DE =4 ，则EF 的长是________ ．12.关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k=0的两个实数根分别是x 1、x 2 ， 且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是________．13.如图，现有一张矩形纸片ABCD ，其中AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，使点B 落在梯形AECD 内，记为点B′，那么B′、C 两点之间的距离是________cm ．14新年期间,某游乐场准备推出幸运玩家抽奖活动,其规则是:在一个不透明的袋子里装有若干个红球和白球(每个球除颜色外都完全相同),参加抽奖的人随机摸一个球,若摸到红球,则可获赠游乐场通票一张.游乐场预估有300人参加抽奖活动,计划发放游乐场通票60张,则袋中红、白两种颜色小球的数量比应为______________ 15.如图,点A,C 分别在反比例函数4-y x= (x<0)与9y x = (x>0)的图象上,若四边形OABC 是矩形,且点B 恰好在y 轴上,则点B 的坐标为______________三、解答题(本大题含8个小题,共60分) 16.解下列方程:(每题4分,共8分) (1)x 2-8x+1=0;(2)x(x-2)+x-2=017.(本题6分)已知矩形ABCD,AE 平分∠DAB 交DC 的延长线于点E,过点E 作EF ⊥AB,垂足F 在边AB 的延长线上,求证:四边形ADEF 是正方形.18.(本题9分)花园的护栏由木杆组成,小明以其中三根等高的木杆为观测对象,研究它们影子的规律图1,图2中的点A,B,C 均为这三根木杆的俯视图(点A,B,C在同一直线上).(1)图1中线段AD是点A处的木杆在阳光下的影子,请在图1中画出表示另外两根木杆同一时刻阳光下的影子的线段;(2)图2中线段AD,BE分别是点A,B处的木杆在路灯照射下的影子,其中DE∥AB,点O是路灯的俯视图,请在图2中画出表示点C处木杆在同一灯光下影子的线段;(3)在(2)中,若O,A的距离为2m,AD=2.4m,OB=1.5m,则点B处木杆的影子线段BE的长为___________m19.(本题6分)王叔叔计划购买一套商品房,首付30万元后,剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还,即贷款金额按月分期还款,每月所还贷款本金数相同,设王叔叔每月偿还贷款本金y万元,x个月还清,且y是x的反比例函数,其图象如图所示(1)求y与x的函数关系式;(2)王叔叔购买的商品房的总价是__________万元;(3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2000元,则至少需要多少个月还清?20.(本题6分)新年联欢会,班里组织同学们进行才艺展示,如图所示的转盘被等分成四个扇形,每个扇形区域代表一项才艺：1-唱歌；2-舞蹈；3-朗诵；4-演奏.每名同学要随机转动转盘两次,转盘停止后,根据指针指向的区域确定要展示的两项内容(若两次转到同一区域或分割线上,则重新转动,直至得出不同结果).求小明恰好展示“唱歌”和“演奏”两项才艺的概率.21.(本题6分)为了弘扬山西地方文化,我省举办了“第三届山西文化博览会”,博览会上一种文化商品的进价为30元/件,售价为40元/件,平均每天能售出600件.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种商品的售价每上涨1元,其每天的销售量就减少10件,为使这种商品平均每天的销售利润为10000元,这种商品的售价应定为多少元?22.(本题12分)综合与实践: 问题情境:如图1,矩形ABCD 中,BD 为对角线,ADk AB,且k>1.将△ABD 以B 为旋转中心,按顺时针方向旋转,得到△FBE(点D 的对应点为GEFD CB点E,点A的对应点为点F),直线EF交直线AD于点G(1)在图1中连接AF,DE,可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△ABF相似,这个三角形是_______,它与△ABF的相似比为______(用含k的式子表示);数学思考:(2)如图2,当点E落在DC边的延长线上时,点F恰好落在矩形ABCD的对角线BD上,此时k的值为______实践探究(3)如图3,当点E恰好落在BC边的延长线上时,求证:CE=FG;(4)当k=43时,在△ABD绕点B旋转的过程中,探究下面的问题：请从A,B两题中任选一题作答：A:当AB的对应边FB与AB垂直时,直接写出DGAB 的值.ABB:当AB 的对应边FB 在直线BD 上时,直接写出DGAB的值23.(本题12分)如图1,平面直角坐标系中,△OAB 的顶点A,B 的坐标分别为(-2,4)、(-5,0).将△OAB 沿OA 翻折,点B 的对应点C 恰好落在反比例函数ky x=(k ≠0)的图象上(1)判断四边形OBAC 的形状,并证明.(2)直接写出反比例函数ky x=(k ≠0)的表达式.(3)如图2,将△OAB 沿y 轴向下平移得到△OA'B',设平移的距离为m(0<m<4),平移过程中△O'A'B'与△OAB 重叠部分的面积为S.探究下列问题 请从A,B 两题中任选一题作答,我选择___________ A:若点B 的对应点B ’恰好落在反比例函数ky x= (k ≠0)的图象上,求m 的值,并直接写出此时S 的值 B:若S=12OAB S ∆,求m 的值;(4)如图3,连接BC,交AO于点D,点P是反比例函数ky(k≠0)的图象上的一点,x请从A,B两题中任选一题作答,我选择____________A:在x轴上是否存在点Q,使得以点O,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的平行四边形的顶点P,Q的坐标;若不存在,说明理由;B:在坐标平面内是否存在点Q,使得以点A,O,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,说明理由。
最新北师大版数学九年级上学期《期末测试题》附答案解析
北师大版九年级上学期期末考试数学试题满分100分 时间90分钟第Ⅰ卷（共20分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图所示，几何体的左视图为（ ）A.B. C. D. 2.已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等，其中假命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.用配方法解方程：2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A . 2(2)2x -= B. 2(22)x += C. 2(2)2x -=- D. 2(26)x -= 4.如图，在ABC 中，若2//,,43AD DE BC DE cm DB ==，则BC 长是（ ） A. 7cmB. 10cmC. 13cmD. 15cm5.对于反比例函数1y x=，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点()1,1-B. 图象位于第二、四象限C. 图象是中心对称图形D. 当0x <时，y 随x 的增大而增大6.设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（）A. 4B. 5C. 6D. 77.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 4米B. 5米C. 6.4米D. 9.6米8.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4:3，则这个菱形的面积是（）A. 264cm B. 248cm C. 232cm D. 224cm9.如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D 恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）A.32B.52C.94D. 310.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数k y x=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A. ﹣6B. ﹣8C. ﹣9D. ﹣12第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.方程()22239x x-=-解是__________．12.已知xy＝52，则x yy-的值是_______．13.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为________．14.小芳的房间有一面积为3 m2的玻璃窗,她站在室内离窗子4 m的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m 2(楼之间的距离为20 m).15.若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 16.如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为x m ，由题意列得方程____________17.如图，在矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，点E F G H 、、、分别在矩形ABCD 的各边上，//// ,////EF HG AC EH FG BD ，则四边形EFGH 的周长是______________．18.如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．三、解答题(19题6分，20题6分，共计12分)19.先化简，再求值:22231111a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中()102cos60312a π-⎛=+-⎫ ⎪⎝-⎭20.已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．四、解答题(21题9分，20题7分，共计16分)21.为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，A B C D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图将学生的成绩分为,,,解答下列问题:（1）参加征文比赛的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为__ 图中m=；（4）学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．22.小丹要测量灯塔市葛西河生态公园里被湖水隔开的两个凉亭A和B之间的距离，她在A处测得凉亭B在A的南偏东75︒方向，她从A处出发向南偏东30方向走了300米到达C处，测得凉亭B在C的东北方向．（1）求ABC ∠的度数；（2）求两个凉亭A 和B 之间的距离(结果保留根号)．五、解答题(10分)23.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?六、解答题(8分)24.如图，//AE BF ，AC 平分BAE ∠，且交BF 于点C ，BD 平分ABF ∠，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O ，连接CD()1求AOD ∠的度数；()2求证：四边形ABCD 是菱形．七、解答题(8分)25.如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE ＝BF ，连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG ＝DE ，连接FG ，FC(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)如图2，若点E 、F 分别是CB 、BA 延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．八、解答题(10分)26.在等边ABC 中，点D 为AC 上一点，连接BD ，直线l 与,,AB BD BC 分别相交于点,,E P F ，且60BPF ︒=∠．（1）如图（1），写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中的一对给予证明；（2）若直线l 向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由；（3）探究:如图（1），当BD 满足什么条件时(其他条件不变)，12PF PE =?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)．答案与解析第Ⅰ卷（共20分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图所示，几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形故选：A．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，难度不大．2.已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等，其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．【详解】解：①根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；②两直线平行，内错角相等，故②为假命题；③根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故③是假命题；④根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故④是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定及矩形的性质，难度不大．3.用配方法解方程：2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A. 2(2)2x -=B. 2(22)x +=C. 2(2)2x -=-D. 2(26)x -=【答案】A【解析】【分析】首先把常数项2移项，然后在等式左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，最后等式左边逆运用完全平方公式即可．【详解】把方程x 2−4x+2=0的常数项移到等号的右边,得到x 2−4x=−2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x 2−4x+4=−2+4，配方得(x−2)2=2.故选A. 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法其实是通过配成完成平方式来解一元二次方程的方法，所以利用等式的性质把等式左边配成完全平方式是解题关键.4.如图，在ABC 中，若2//,,43AD DE BC DE cm DB ==，则BC 的长是（ ）A. 7cmB. 10cmC. 13cmD. 15cm【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理，先算出25AD AB =，可得25DE BC =，根据DE 的长即可求得BC 的长． 【详解】解：∵23AD DB =， ∴25AD AB =，∵//DE BC ， ∴25AD DE AB BC ==， ∵4DE cm =，∴BC 10cm =． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得25AD AB =是解题的关键． 5.对于反比例函数1y x=，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点()1,1- B. 图象位于第二、四象限C. 图象是中心对称图形D. 当0x <时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A 、∵当x =1时，y =1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；B 、∵10k =>，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C 、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；D 、∵10k =>，∴在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键． 6.设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】A【解析】【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数即可求得结果．【详解】解：∵盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为13，∴盒子中球的总数=1263÷=， ∴其他颜色的球的个数为6−2=4，故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 7.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）A. 4米B. 5米C. 6.4米D. 9.6米 【答案】D【解析】【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．【详解】解：∵在同一时刻，∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．8.已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线长的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A. 264cmB. 248cmC. 232cmD. 224cm【答案】D【解析】【分析】首先可求出菱形的边长，设菱形的两对角线分别为8x ，6x ，由勾股定理求出x 的值，从而可得两条对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．【详解】解：∵菱形的边长是20cm ，∴菱形的边长=20÷4=5cm ，∵菱形的两条对角线长的比是4:3，∴设菱形的两对角线分别为8x ，6x ，∵菱形的对角线互相平分，∴对角线的一半分别为4x ，3x ，由勾股定理得：222(4)(3)5+=x x ，解得：x=1，∴菱形的两对角线分别为8cm，6cm，∴菱形的面积=186242⨯⨯=cm2，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，主要理由菱形的对角线互相平分的性质，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半．9.如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D 恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）A. 32B.52C.94D. 3【答案】B【解析】【分析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG；再由正方形ABCD的边长为3，BE=1，可得EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG；最后由勾股定理可以求得答案.【详解】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，∴EG=1，EC=3-1=2，CF=3-FG，在直角三角形ECF中，∵EF2=EC2+CF2，∴(1+GF)2=22+(3-GF)2，解得GF=32，∴EF=1+32=52．故正确选项为B.【点睛】此题考核知识点是：正方形性质；轴对称性质；勾股定理.解题的关键在于：从图形折叠过程找出对应线段，利用勾股定理列出方程.10.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A. ﹣6B. ﹣8C. ﹣9D. ﹣12【答案】D【解析】【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．【详解】设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数kyx=（x＜0）的图象上，∴k=ab，∵△BCE的面积是6，∴12×BC×OE=6，即BC×OE=12，∵AB∥OE，∴BC ABOC EO=，即BC•EO=AB•CO，∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，∴k=﹣12，故选D．考点：反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合．第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.方程()22239x x -=-的解是__________．【答案】x 1=3，x 2=9【解析】【分析】将方程右边的式子分解因式后移项到左边，可提取公因式(x −3)化为积的形式，利用两数相乘积为零，两因式中至少有一个为零转化为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解．【详解】解：()22239x x -=-，移项得：()223(3)(3)0--+-=x x x ，分解因式得：(3)[2(3)(3)]0x x x ---+=，整理得：(3)(9)0x x --=，∴30x -=或90x -=，解得：x 1=3，x 2=9，．故答案为：x 1=3，x 2=9．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． 12.已知x y ＝52，则x y y-的值是_______． 【答案】32【解析】【分析】 根据合比性质：--a b c d a c b d b d =⇒=，可得答案． 【详解】由合比性质，得-5-2322x y y ==， 故答案为32． 【点睛】此题考查比例的性质，利用合比性质是解题关键．13.若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣x+1=0有实数根，则a 的取值范围为________．【答案】a≤54且a≠1．【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a 的不等式组，求出a 的取值范围即可．【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，解得a≤54， 又a-1≠0， ∴a≤54且a≠1. 故答案为a≤54且a≠1. 点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a 的不等式组是解答此题的关键． 14.小芳的房间有一面积为3 m 2的玻璃窗,她站在室内离窗子4 m 的地方向外看,她能看到窗前面一幢楼房的面积有____m 2(楼之间的距离为20 m).【答案】108【解析】考点：平行投影；相似三角形的应用．分析：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析． 解答：解：根据题意：她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应该相似，且相似比为246=6， 故面积的比为36；故她能看到窗前面一幢楼房的面积有36×3=108m 2． 点评：本题考查了平行投影、视点、视线、位似变换、相似三角形对应高的比等于相似比等知识点．注意平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例15.若点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，则1y __________2y （填“>”，“<”或“=”) 【答案】>【解析】【分析】根据30k =>得出反比例图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，再比较两点的横坐标大小，即可比较两点的纵坐标大小． 【详解】解：∵3y x =，30k =>，∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵点()()121,,2,A y B y 是双曲线3y x =上的点，且1<2， ∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握k >0时，反比例函数图象在每一象限内y 随x 的增大而减小是解题的关键．16.如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为x m ，由题意列得方程____________【答案】（30-2x ）（20-x ）=6×78． 【解析】【详解】解：设道路的宽为xm ，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x ）m ，宽为（20-x ）m ．可列方程（30-2x ）（20-x ）=6×78． 17.如图，在矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，点E F G H 、、、分别在矩形ABCD 的各边上，//// ,////EF HG AC EH FG BD ，则四边形EFGH 的周长是______________．【答案】13【解析】分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示EF 、EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解．【详解】解：∵矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，由勾股定理得：22222313==+=+=AC BD AB AC ， ∵EF ∥AC ，∴=EF EB AC AB， ∵EH ∥BD ，∴=EH AE BD AB， ∴1+=+=EF EH EB AE AC BD AB AB ， ∴13+==EF EH AC ，∵EF ∥HG ，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 的周长=2()213+=EF EH ，故答案为：213．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的对角线相等和勾股定理，根据平行线分线段成比例定理得出1+=EF EH AC BD是解题的关键，也是本题的难点． 18.如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．【答案】1232n n -- 【解析】【分析】由题意(11)A -，，可得(01)C ，，设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =，求出1C 的坐标，再设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =，故求出2C 的坐标，同理可求出3C 、4C 的坐标，根据规律 即可得到n C 的纵坐标.【详解】解：由题意(11)A -，，可得(01)C ，， 设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =， ∴1(2,2)C ，设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =， ∴2(5,3)C ，设3(,5)C a a -，则14533a a -=+，解得192a =， ∴3199(,)22C ，同法可得46527(,)44C ，…，n C 的纵坐标为1232n n --， 故答案为1232n n --． 【点睛】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出1C 、2C 、3C ，再发现规律即可求解.三、解答题(19题6分，20题6分，共计12分)19.先化简，再求值:22231111a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中()102cos60312a π-⎛=+-⎫ ⎪⎝-⎭【答案】11a -，1． 【解析】【分析】 化简原分式时，先对分式中分母和分子的多项式因式分解，然后除法变成乘法，进行约分化简，然后计算出a 的值再代入原式即可求得结果．【详解】解：原式=[2223(1)(1)(1)(1)(1)---++-+-a a a a a a a ] 1•(1)(1)(1)a a a =++- 11a =-∵a =2cos60°+101()(3)2π--- =2×12+2−1=1+2−1=2，∴原式=121-=1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及特殊角的三角函数，熟练掌握分式化简的步骤是解题的关键． 20.已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ．【答案】（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；【解析】【分析】（1）将△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．四、解答题(21题9分，20题7分，共计16分)21.为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为,,,A B C D四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:（1）参加征文比赛的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，表示C等级的扇形的圆心角为__ 图中m ；（4）学校决定从本次比赛获得A等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知A等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4）23．【解析】【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示C等级的扇形的圆心角和m的值；（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%，则3÷10%=30，即参加征文比赛的学生共有30人；（2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人补全条形统计图如下图（3）12360=14430⨯︒︒，9100%=30%30⨯，∴m=30 （4）依题意，列表如下: 男女女男(男，女) (男，女) 女(男，女) (女，女) 女(男，女) (女，女)由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以4263P==；或树状图如下由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，所以4263P==．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．22.小丹要测量灯塔市葛西河生态公园里被湖水隔开的两个凉亭A和B之间的距离，她在A处测得凉亭B在A的南偏东75︒方向，她从A处出发向南偏东30方向走了300米到达C处，测得凉亭B在C的东北方向．（1）求ABC∠的度数；（2）求两个凉亭A和B之间的距离(结果保留根号)．【答案】（1） 60°；（2） ()1502506+米． 【解析】 【分析】（1）根据方位角的概念得出相应角的角度，再利用平行线的性质和三角形内角和进行计算即可求得答案； （2）作CD ⊥AB 于点D ，得到两个直角三角形，再根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值可求得AD 、BD 的长，相加即可求得A 、B 的距离．【详解】解：（1）由题意可得：∠MAB =75°，∠MAC =30°，∠NCB =45°，AM ∥CN ，∴∠BAC =75°−30°=45°，∠MAC =∠NAC =30°∴∠ACB =30°+45°=75°，∴∠ABC =180°−∠BAC −∠ACB =60°；（2）如图，作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，AD =CD =AC ∙sin 45°=300×2=1502， 在Rt △BCD 中，BD =CDtan 30°=1502×33=506， ∴AB =AD +BD =1502+506，答：两个凉亭A ，B 之间的距离为(1502+506)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在解决有关方位角的问题时，一般根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角不在三角形中，需要通过平行线的性质或互余的角等知识转化为所需要的角，解决第二问的关键是作CD ⊥AB 构造含特殊角的直角三角形．五、解答题(10分)23.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?【答案】（1) 10%；（2）23件．【解析】【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x ，根据“两次降价后的售价=(1−百分比)的平方”，即可得出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100−m )件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”即可列出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：（1)设该种商品每次降价的百分率为x ，依题意得：400×(1－x )2=324 解得：x =0.1，或x =1.9(不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%；（2）设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品（100−m )件，第一次降价后的单件利润为：400×(1−10%)−300=60(元） 第二次降价后的单件利润为：324−300=24(元）依题意得：60m +24×(100−m )≥3210， 解得：m ≥22.5，根据题意，m 为整数，所以m =23答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，本题属于基础题，难度不大，解题的关键是根据题意的数量关系列出方程（不等式或方程组）．六、解答题(8分)24.如图，//AE BF ，AC 平分BAE ∠，且交BF 于点C ，BD 平分ABF ∠，且交AE 于点D ，AC 与BD 相交于点O ，连接CD()1求AOD ∠的度数；()2求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1) 90AOD ∠=；(2)见解析.【解析】【分析】（1）已知C 、BD 分别是∠BAD 、∠ABC 的平分线，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC ，∠ABD=∠DBC ，又因AE // BF ，根据平行线的性质可得∠DAB+∠CBA=180°，即可得∠BAC+∠ABD=90°，∠AOD=90°；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义易证AB=BC ，AB=AD ，即可得AD=BC ，再由AD // BC ，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形ABCD 是菱形．【详解】() 1∵AC 、BD 分别是BAD ∠、ABC ∠的平分线，∴DAC BAC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∵//AE BF ，∴180DAB CBA ∠+∠=， ∴()111809022BAC ABD DAB ABC ∠+∠=∠+∠=⨯=， ∴90AOD ∠=； ()2证明：∵//AE BF ，∴ADB DBC ∠=∠，DAC BCA ∠=∠，∵AC 、BD 分别是BAD ∠、ABC ∠的平分线，∴DAC BAC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴BAC ACB ∠=∠，ABD ADB ∠=∠，∴AB BC =，AB AD =，∴AD BC =，∵//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD AB =，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定及性质、菱形的判定，证明四边形ABCD 是平行四边形是解决本题的关键.七、解答题(8分)25.如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE ＝BF ，连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG ＝DE ，连接FG ，FC(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)如图2，若点E 、F 分别是CB 、BA 延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．【答案】(1) FG ＝CE ，FG ∥CE ；(2)成立，理由见解析.【解析】【分析】(1)结论：FG ＝CE ，FG ∥CE ，如图1中，设DE 与CF 交于点M ，首先证明△CBF ≌△DCE ，推出DE ⊥CF ，再证明四边形EGFC 是平行四边形即可；(2)结论仍然成立，如图2中，设DE 与CF 交于点M ，首先证明△CBF ≌△DCE ，推出DE ⊥CF ，再证明四边形EGFC 是平行四边形即可．【详解】(1)结论：FG ＝CE ，FG ∥CE.理由：如图1中，设DE 与CF 交于点M ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠DCE ＝90°，△CBF 和△DCE 中，BF CE CBF ECD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBF ≌△DCE ，∴∠BCF ＝∠CDE ，CF ＝DE ，∵∠BCF ＋∠DCM ＝90°，∴∠CDE ＋∠DCM ＝90°，∴∠CMD ＝90°，∴CF ⊥DE ，∵GE ⊥DE ，。
北师大版数学九年级上学期《期末测试卷》带答案解析
北师大版九年级上学期数学期末测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2020•新宾县四模）在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形2．（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019•桓台县二模）已知a b=25，则a+b b的值为（ ）A ．25B ．35C ．23D ．754．（2020•临沂模拟）已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．45．将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+1 B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣16．（2020•南山区校级二模）下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．07．（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√58．（2020•武昌区模拟）函数y =−a 2−1x（a 为常数）的图象上有三点（﹣4，y 1），（﹣1，y 2），（2，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．如图，EF ∥AC ，GH ∥AB ，MN ∥BC ，EF 、GH 、MN 、交于点P ，则图中与△PGF 相似的三角形的个数是（ ）个．A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020•立山区二模）如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A．2√2B．4C．4√2D．8√2二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）11．（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．12．（2019秋•深圳期末）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有个同学．13．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．三．解答题（共6小题，满分54分）14．（12分）（2018秋•新都区期末）计算（1）计算:（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程:x（x﹣3）＝2x15．（6分）（2019•花都区一模）已知:A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）（1）化简A；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据:sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192）17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为；（2）抽取两名同学，求甲在其中的概率．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．19．（10分）（2020•烟台二模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证:DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．B 卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）20．（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 ．21．（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n 既能使关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为 ．22．（2019秋•滦州市期中）计算:1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)= ．23．（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，点B （m ，n ）在双曲线y =kx 上，则k 的取值范围为 ．24．（2020•青白江区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为 ．五．解答题（共3小题，满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究:如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用:△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•新宾县四模）在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形【解析】解:由题意，得∠A ＝45°，∠B ＝45°．∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°，故选:B ． 2．（3分）（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解:由图可得，几何体的主视图是:故选:B ．3．（3分）（2019•桓台县二模）已知a b=25，则a+b b的值为（ ）A ．25B ．35C ．23D ．75【解析】解:由a b=25，得a+b b=2+55=75．故选:D ．4．（3分）（2020•临沂模拟）已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．3B ．5C ．7D ．4【解析】解:∵x 1，x 2是方程x 2−√5x +1=0的两根，∴x 1+x 2=√5，x 1•x 2＝1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝5﹣2＝3．故选:A ．5．（3分）将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+1 B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣1【解析】解:y ＝x 2﹣2x +3＝x 2﹣2x +1+2＝（x ﹣1）2+2，故选:B ． 6．（3分）（2020•南山区校级二模）下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题； 图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题； 两直线平行，内错角相等，④是假命题； 相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题； 垂线段最短，⑥是真命题，故选:C ．7．（3分）（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√5【解析】解:由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP =√5−12×2=√5−1．故选:B．8．（3分）（2020•武昌区模拟）函数y=−a2−1x（a为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1【解析】解:∵a2≥0，∴﹣a2≤0，﹣a2﹣1＜0，∴反比例函数y=−a2−1x的图象在二、四象限，∵点（2，y3）的横坐标为2＞0，∴此点在第四象限，y3＜0；∵（﹣4，y1），（﹣1，y2）的横坐标﹣4＜﹣1＜0，∴两点均在第二象限y1＞0，y2＞0，∵在第二象限内y随x的增大而增大，∴y2＞y1，∴y2＞y1＞y3．故选:A．9．（3分）如图，EF∥AC，GH∥AB，MN∥BC，EF、GH、MN、交于点P，则图中与△PGF相似的三角形的个数是（）个．A．4B．5C．6D．7【解析】解:∵EF∥AC，GH∥AB，MN∥BC，∴△PGF∽△EBF，△PGF∽△HGC，△AMN∽△ABC，△EMP∽△ENF，△HPN∽△HGC，△EBF∽△ABC，故选:C．10．（3分）（2020•立山区二模）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．8√2【解析】解:过点O 作OC ⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB =√2OA ＝2√2， ∵S四边形MANB＝S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值＝S 四边形DAEB ＝S △DAB +S △EAB =12AB •CD +12AB •CE =12AB （CD +CE ）=12AB •DE =12×2√2×4＝4√2．故选:C ．二．填空题（共3小题，满分12分，每小题4分）11．（4分）（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a ，2，6，a +1成比例，则a 的值为 3 ．【解析】解:∵四条线段a ，2，6，a +1成比例，∴a 2=6a+1，解得:a 1＝3，a 2＝﹣4（舍去），所以a ＝3，故答案为:312．（4分）（2019秋•深圳期末）元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 40 个同学．【解析】解:设该班有x 个同学，则每个同学需交换（x ﹣1）件小礼物，依题意，得:x （x ﹣1）＝1560， 解得:x 1＝40，x 2＝﹣39（不合题意，舍去）．故答案为:40．13．（4分）（2020•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为83．【解析】解:如图，过点D 作DF ∥AE ，则DF AE=BD BA =23，∵ECAE=13，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为:12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为:23×4=83．故答案为:83．三．解答题（共6小题，满分54分） 14．（12分）计算（1）计算:（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程:x （x ﹣3）＝2x【解析】解:（1）原式＝1﹣1﹣3×√33+3√3＝1﹣1−√3+3√3＝2√3；（2）x （x ﹣3）﹣2x ＝0，x （x ﹣3﹣2）＝0，x ＝0或x ﹣3﹣2＝0，所以x 1＝0，x 2＝5． 15．（6分）（2019•花都区一模）已知:A ＝（m +1）（m ﹣1）﹣（m +2）（m ﹣3） （1）化简A ；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．【解析】解:（1）A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）＝m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6），＝m2﹣1﹣m2+m+6，＝m+5，（2）∵一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即△＝（m+2）2﹣4×14m2=0，解得m＝﹣1．当m＝﹣1时，A＝m+5＝﹣1+5＝4．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据:sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192）【解析】解:如图，过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，CF＝EF•tan50°＝AB•tan50°＝35.76m，在Rt△DEG中，DG＝EG•tan60°=√3EG，设热气球的直径为x米，则35.76+12x=√3（30−12x），解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为 14；（2）抽取两名同学，求甲在其中的概率．【解析】解:（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种，所以抽取一名同学，恰好是甲的概率为14，故答案为:14．（2）随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁，故抽取两名同学，甲在其中的概率为36=12．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图，已知反比例函数y =kx的图象与一次函数y ＝x +b 的图象交于点A （1，4），点B （﹣4，n ）． （1）求n 和b 的值； （2）求△OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．【解析】解:（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y =kx ，一次函数y ＝x +b ，得k ＝1×4，1+b ＝4， 解得k ＝4，b ＝3，∵点B （﹣4，n ）也在反比例函数y =4x 的图象上，∴n =4−4=−1；（2）如图，设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C （0，3），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4＝7.5； （3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），∴根据图象可知:当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．19．（10分）（2020•烟台二模）如图，已知AB 是圆O 的直径，F 是圆O 上一点，∠BAF 的平分线交⊙O 于点E ，交⊙O 的切线BC 于点C ，过点E 作ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ． （1）求证:DE 是⊙O 的切线； （2）若DE ＝3，CE ＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．【解析】（1）证明:连接OE ∵OA ＝OE ∴∠OAE ＝∠OEA ∵AE 平分∠BAF ∴∠OAE ＝∠EAF ∴∠OEA ＝∠EAF ∴OE ∥AD ∵ED ⊥AF ∴∠D ＝90°∴∠OED ＝180°﹣∠D ＝90°∴OE ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线（2）解:①连接BE ∵AB 是⊙O 直径∴∠AEB ＝90°∴∠BEA ＝∠D ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90° ∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝90°∴∠BAE ＝∠CBE ∵∠DAE ＝∠BAE ∴∠DAE ＝∠CBE ∴△ADE ∽△BEC ∴AE BC=DE CE∵DE ＝3，CE ＝2∴BC AE=23②过点E 作EH ⊥AB 于H ，过点G 作GP ∥AB 交EH 于P ，过点P 作PQ ∥OG 交AB 于Q∴EP ⊥PG ，四边形OGPQ 是平行四边形∴∠EPG ＝90°，PQ ＝OG ∵BC AE=23∴设BC ＝2x ，AE ＝3x ∴AC ＝AE +CE ＝3x +2∵∠BEC ＝∠ABC ＝90°，∠C ＝∠C ∴△BEC ∽△ABC∴BC AC=CE BC∴BC 2＝AC •CE 即（2x ）2＝2（3x +2）解得:x 1＝2，x 2=−12（舍去）∴BC ＝4，AE ＝6，AC ＝8∴sin ∠BAC =BC AC =12，∴∠BAC ＝30°∴∠EGP ＝∠BAC ＝30°∴PE =12EG ∴OG +12EG ＝PQ +PE ∴当E 、P 、Q 在同一直线上（即H 、Q 重合）时，PQ +PE ＝EH 最短 ∵EH =12AE ＝3∴OG +12EG 的最小值为3B 卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）20．（4分）（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 8 ．【解析】解:∵2m ﹣n +1＝0，∴2m ﹣n ＝﹣1，则原式＝5﹣3（2m ﹣n ）＝5+3＝8，故答案为:821．（4分）（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n既能使关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为15．【解析】解:∵关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，∴当n ＝﹣3时，关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根，当n ≠﹣3时，（n +1）2﹣4（n +3）×12=n 2﹣5≥0，∴n 2≥5， ∵反比例函数y =n 2−16x的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∴n 2﹣16＜0，∴n 2＜16，∴5≤n 2≤16，∴n ＝3，∴概率为，15，故答案为:15．22．（4分）（2019秋•滦州市期中）计算:1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=2019x(x+2019)．【解析】解:1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x−2−1x+3+⋯+1x+2018−1x+2019=1x−1x+2019=2019x(x+2019)故答案为:2019x(x+2019)．23．（4分）（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，点B （m ，n ）在双曲线y =kx上，则k 的取值范围为 k ≤124且k ≠0 ． 【解析】解:∵点A （3m ，2n ）在直线y ＝﹣x +1上，∴2n ＝﹣3m +1，即n =−3m+12， ∴B （m ，−3m+12），∵点B 在双曲线y =kx 上，∴k ＝m •−3m+12=−32（m −16）2+124，∵−32＜0，∴k 有最大值为124，∴k 的取值范围为k ≤124，∵k ≠0，故答案为k ≤124且k ≠0． 24．（4分）（2020•青白江区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为152．【解析】解:∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2， ∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即:h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=45，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC=EHAE=45，∴EH=45AE=85，∴h＝EH﹣EG=85−1=35，∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152．故答案为:152．五．解答题（共3小题，满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【解析】解:（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式:y ＝kx +b 得:{200=15k +b300=10k +b ，解得:{k =−20b =500，即:函数的表达式为:y ＝﹣20x +500，（25＞x ≥6）；（2）设:该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则:w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x =−b 2a =312=15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000， 故:按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设:应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得:50（500﹣20x ）≥12000，解得:x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680， 此时，既能销售完又能获得最大利润．26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究:如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用:△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．【解析】解:（1）△BDE ∽△CFD ，理由:∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°，∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝180°﹣α，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝180°﹣α，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）①设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8， 由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF =BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AC ﹣AF ＝8﹣y ，CD ＝BC ﹣BD ＝6，∴28−y=8−x 6=xy，∴{2y =x(8−y)6x =y(8−x)，∴x y =1014=57，∴AE AF =57； ②设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8，由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠ABC +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠DBE ＝∠DCF ＝120°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF=BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AF ﹣AC ＝y ﹣8，CD ＝BC +BD ＝10，∴2y−8=8−x10=x y ，∴{2y =x(y −8)10x =y(8−x)，∴x y =13．∵△BDE ∽△CFD ，∴△BDE 与△CFD 的周长之比为DE DF=x y=13．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解:（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0，解得:{b =43c =8，∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8；（2）①∵OA ＝8，OC ＝6，∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QEQC =AB AC =35， ∴QE 10−m=35，∴QE =35（10﹣m ），∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ； ②∵S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m =−310（m ﹣5）2+152，∴当m ＝5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32，D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当∠FDQ ＝90°时，F 1（32，8），当∠FQD ＝90°时，则F 2（32，4），当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ），则FD 2+FQ 2＝DQ 2，即94+（8﹣n ）2+94+（n ﹣4）2＝16，解得:n ＝6±√72，∴F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72），满足条件的点F 共有四个，坐标分别为F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72）．。
北师大版九年级上册数学期末考试试卷及答案解析
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．下列各点中，在函数y=-6x图象上的是（ ） A ．()2,4-- B ．()2,3 C ．()1,6- D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA 的值是（ ） A ．12 BCD3．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）A ．2x 10+=B ．29x 6x 10-+=C ．2x x 20-+=D ．2x 2x 30--= 4．如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，AE ：EB=2：3，EF=4，则AD 的长为（ ）A ．B ．8C ．10D ．165．如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1) 6．已知反比例函数1y x =，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象经过点(-1,-1) B ．图象在第一、三象限C ．当x 1>时，0y 1<<D ．当x 0<时，y 随着x 的增大而增大 7．若方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13 8．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2= C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2= 9．如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD 空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x 米，根据题意列方程，正确的是（ ）A ．32x +2x 2＝40B ．x （32+4x ）＝40C ．64x +4x 2＝40D ．64x ﹣4x 2＝4010．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD=∠BDC=90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F ，若BC=4，∠CBD=30°，则DF 的长为（ ）A B C D二、填空题11．将方程2x 2=1-3x 化为一般形式是______．12．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______． 13．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x ，则满足x 的方程是______．14．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．15．如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线OB 边的中点C ，则点B 的坐标是______．16．如图，点A ，B 是反比例函数(0)ky x x=>图象上的两点，过点A 、B 分别作AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，连接OA ，BC ．已知点C(2,0)，2BD =，3BCD S =，则AOC S =______．三、解答题17．解方程：（1）2410x x --=（2）()2346x x x -=-18．已知一元二次方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果一元二次方程x 2-4x+k=0有一个根是3，求另一个根和k 的值．19．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？20．如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．21．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.1.414 1.732）22．在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，H 为BE 上的一点，连接CH 并延长交AB 于点G ，连接GE 并延长交AD 的延长线于点F ．（1）求证：EC BG =EH BH ； （2）若EH BH =3，∠CGF=90°，求AB BC的值．23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）求证：CD2+3DE2是定值．24．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H 在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，求AE的长．25．如图，直线y＝﹣23x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝kx（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线y＝﹣23x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝kx（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．参考答案1．C【解析】把各点代入解析式即可判断.【详解】A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D．∵12⎛⎫-⎪⎝⎭×3＝－32≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选C.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是将各点代入解析式. 2．A【解析】根据题意画图：由题意得：sinA=BCAB＝12.故选A.3．B【详解】A、△=0-4×1×1=-4＜0，没有实数根；B、△=62-4×9×1=0，有两个相等的实数根；C、△=（-1）2-4×1×2=-7＜0，没有实数根；D、△=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0，有两个不相等的实数根．故选B．4．C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【详解】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC=AE：AB，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10．【点睛】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．5．A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．6．D【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A、x=-1，y=11-=-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x 的值的增大而减小．7．B【解析】由根与系数的关系得：x 1+x 2=b a -=3，x 1•x 2=c a=-1． ∴1211+x x =1212x x x x +=-3．故选B ． 8．D【分析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.9．B【分析】设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为2x 米，根据小路的横向总长度（20+2x ）米和纵向总长度（12+2x ）米，根据矩形的面积公式可得到方程．【详解】解：设道路宽为x 米，则中间正方形的边长为2x 米，依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40，即x(32+4x)=40，故选：B ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．10．D【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD ，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=22 55 BD=⨯故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．11．2x 2+3x-1=0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．【详解】解：方程2x 2=1-3x 化为一般形式是：2x 2+3x-1=0．故答案是：2x 2+3x-1=0．【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键． 13．2300(1)260x -=．【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是300(1)x -，降价一次后的售价是2300(1)x -，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．【详解】解：由题意可列方程为2300(1)260x -=故答案为：2300(1)260x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．14．26．【详解】试题解析：如图，由题意得：斜坡AB 的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE ⊥BD ，∵i=12.4AE BE =， ∴BE=24米，∴在Rt △ABE 中，（米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15．(2,【解析】 过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，设点C 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），∵点C 在双曲线3y = 上，∴ab=3，又△OAB 是等边三角形，∴∠BOA=60°，在Rt △OCE 中，tan60°=CE OE =b a =3，∴b=a ，∴a=1，b=3 ，∵点C 是OB 的中点，∴点B 的坐标是（2，23）.16．5【分析】由2BD =，3BCD S =可求得CD 的长，从而可得OD 的长，即可得点D 的坐标，再由点B 在反比例函数的图象上，可求得k 的值，根据k 的几何意义，由此求得结果．【详解】∵2BD =， 123BCD C SD BD == ∴CD =3∵C(2,0)∴OC =2∴OD =OC +CD =2+3=5∴(5,2)B∵B 点在反比例函数(0)k y x x =>的图象上∴k =xy =5×2=10 ∴10(0)y x x => ∴1110522AOC S k ==⨯= 故答案为：5．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，图形的面积等知识，关键是求出A 、B 的坐标．17．（1）12x =22x =（2）132x =，22x =【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可.【详解】解：（1）241x x -=2445x x +=- ()225x ∴-=2x -=2x ∴=12x ∴=22x =（2）()2346x x x -=-()()232230x x x ---=()()2320x x --=230x -=，或20x -=132x ∴=，22x =【点睛】本题主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.18．（1）k ＜4；（2）1，k=3．【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，求出k 的取值范围即可；（2）将x=3代入已知方程求得k 的值，利用根与系数的关系直接得到方程的另一根．【详解】解：（1）∵一元二次方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-4）2-4k ＞0，∴k ＜4；（2）设一元二次方程x 2-4x+k=0的另一根为a ，由根与系数的关系得：a+3=4，则a=1．把x=3代入x 2-4x+k=0，得32-4×3+k=0． 解得k=3．综上所述，方程的另一根是1，k 的值是3．【点睛】本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程y=ax 2+bx+c 中，①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②x 1+x 2=-b a，x 1•x 2=c a ． 19．销售单价为80元．【分析】设每件需涨价的钱数为x 元，每天获利y 元，则可求出利润y 与降价x 之间的方程，然后解出x，进而结合成本不超过10000元得出x的值．【详解】解：设每件需涨价x元，则销售价为（50+x）元．月销售利润为y元．由利润=（售价-进价）×销售量，可得8000=（50+x-40）×（500-10x），解得x1=10，x2=30．当x1=10时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了10000元，不合题意，舍去；当x2=30时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），低于10000元，符合题意．答：销售单价为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售量，进而建立等式是解题关键．20．（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）5．【分析】（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B 坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围（3）由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积【详解】解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知﹣3＜x ＜0或x ＞2；（3）以BC 为底，则BC 边上的高为3+2=5，∴S △ABC =×2×5=5．21．该建筑物需要拆除.【详解】分析：根据正切的定义分别求出AB 、DB 的长，结合图形求出DH ，比较即可． 详解：由题意得，10AH =米，10BC =米，在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，∴10AB BC ==，在Rt DBC ∆中，30CDB ∠=︒，∴tan BC DB CDB==∠∴()DH AH AD AH DB AB =-=-- 101020 2.7=-=-（米），∵2.7米3<米，∴该建筑物需要拆除.点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．22．（1）见解析；（2）AB BC【解析】【分析】（1）根据GB ∥CE 即可得到△BHG ∽△EHC ，于是可得对应边成比例，即可得证；（2）根据Rt △BGC ∽Rt △GCE ，由边的关系可得CG 2=GB•CE ，再结合BC 2+BG 2=CG 2，可得出CB 与GB 的关系，而AB=2CE=6BG ，从而可求ABBC 的值．【详解】解（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴BG ∥CE∴△BHG ∽△EHC ∴ECBG =EHBH即得证．（2）∵BG ∥CE∴∠ECG=∠CGB ，而∠CGE=∠GBC=90°，∴Rt △BGC ∽Rt △GCE ∴CG GB =CEGC∴CG 2=GB•CE而由（1）知EHECBH BG =3∴CE=3BG∴CG 2=3BG 2而由勾股定理可知CG 2=CB 2+BG 2，于是可得3BG 2=CB 2+BG 2∴又∵E 为CD 的中点，∴AB=CD=2CE=6BG∴ABBC故ABBC 的值为【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例进行计算转化是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）只需要证明△ABE ≌CDF 和△ADE ≌CBF ，即可得到BE =DF ，ED =BF ，从而得证；（2）设AD b ，CD a =，=AC c ，过E 作EM ⊥AD 于M ，，再利用AE EF FC ==得到3AC AE =，即可得到=3ACD AED S S △△，即可得到1133EM CD a ==，再用勾股定理求出13AM b =得到23DM AD AM b =-=，最后利用勾股定理分别求出222DE EM DM =+，222CD AC AD =-从而得到223CD DE +，即可证明.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AB =CD ，AB ∥CD∴∠BAE =∠DCF ，又∵AE =CF∴△ABE ≌CDF （SAS ）∴BE =DF同理△ADE ≌CBF （SAS ）∴ED =BF∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）设AD b ，CD a =，=AC c ，过E 作EM ⊥AD 于M∵EM ⊥AD ， ∴1=2AED S AD EM △ ∵AE EF FC ==∴3AC AE =∴=3ACD AED S S △△∴11322AD ME AD CD ⨯= ∴1133EM CD a ==∴AM ==∵222AC AD DC =+∴222b a c +=∴13AM b = ∴23DM AD AM b =-= 由勾股定理得：222221499DE EM DM a b =+=+ 22222CD AC AD c b =-=-∴()2222222222214144333333CD DE c b a b c a b c AC +=-++=++== ∴223CD DE +的值为定值【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．5．【分析】连接EF 交AC 于O ，由四边形EGFH 是菱形，得到EF ⊥AC ，OE =OF ，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B =∠D =90°，AB ∥CD ，通过△CFO ≌△AEO ，得到AO =CO ，求出AO ＝12AC＝△AOE ∽△ABC ，即可得到结果． 【详解】解；连接EF 交AC 于O ，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB//CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO与△AOE中，FCO OABFOC AOEOF OE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴AO＝CO，∵AC∴AO＝12AC＝∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴AO AE AB AC=，=∴AE＝5．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．25．（1）y1＝6x；（2）△CEF的面积为323；（3）不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．【分析】（1）由已知求出A、B坐标后可得C坐标，从而由待定系数法可以得到反比例函数的表达式；（2）根据直线平移的坐标变化规律可以求出a和D坐标，从而得到EF解析式，并进一步得到E、F坐标，过点C作CP∥y轴交EF于P，则可得P点的横坐标为3，CP＝83，最后根据S△ECF＝S△ECP+S△PCF可以得到最终解答；（3）由图象可得在E、F两点之间有y1＜y2，根据E、F的横坐标即可得解．【详解】（1）∵直线y＝﹣23x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（6，0），B（0，4），∵线段AB的中点是C，∴C（3，2）．将C（3，2）代入y1＝kx（x＞0），得k＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y1＝6x；（2）∵将直线y＝﹣23x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，∴a＝﹣23，D（10，0）．把D（10，0）代入y＝﹣23x+b，解得b＝203，∴直线EF的解析式为y2＝﹣23x+203．由622033yxy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得16xy=⎧⎨=⎩或923xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴E（1，6），F（9，23）．如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．将x＝3代入y2＝﹣23x+203，得y＝143，∴CP＝83，∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF＝1823⨯×（3﹣1）+1823⨯×（9﹣3）＝83+8＝323；（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式的方法、直线平移的变换规律、根据图象求交点的方法、利用图象解不等式的方法是解题关键．。
北师大版九年级上学期数学《期末测试题》含答案
北师大版数学九年级上学期期末测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题（每小题3分,共36分）1.一元二次方程x2+2x＝0的根是( )A. x1＝0,x2＝－2B. x1＝1,x2＝2C. x1＝1,x2＝－2D. x1＝0,x2＝22.若点（3,4）是反比例函数y＝kx图象上一点,此函数图象必须经过点（）A. （2,6）B. （2,﹣6）C. （4,﹣3）D. （3,﹣4）3.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示）,它的主视图是（）A.B. C. D.4.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是()A. 40B. 20C. 10D. 255.二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A x1＝﹣1,x2＝5 B. x1＝﹣2,x2＝4 C. x1＝﹣1,x2＝2 D. x1＝﹣5,x2＝56.如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是（）A. 当AC=BD时,四边形ABCD是矩形B. 当AB=BC时,四边形ABCD是菱形C. 当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形D. 当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形7.一件衣服的原价是500元,经过两次提价后的价格为621元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是（）A.500（1+x）2＝621 B. 500（1﹣x）2＝621 C. 500（1+x）＝621 D. 500（1﹣x）＝621 8.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A（2,2）、B（3,1）,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标分别为（）A. （4,4）B. （3,3）C. （3,1）D. （4,1）9.如图,∠1＝∠2,DE∥AC,则图中的相似三角形有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对10. 下列四个函数图象中,当x<0时,函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A. B. C. D.11.如图,Rt△BOA与Rt△COA的斜边在x轴上,BA＝6,A（10,0）,AC与OB相交于点E,且CA＝CO,连接BC,下列判断一定正确的是（）①△ABE∽△OCE；②C（5,5）；③BC＝2；④S△ABC＝3．A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（每小题3分,共12分）12.若关于x的一元二次方程2x4x k0-+=有两个相等的实数根,则k的值为______．13.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,若DE∥BC,ADAB=13,则AD DE AEAB BC AC++++=______．14.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝4,BC＝1,则cos A的值是_____．15.二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数,且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3当ax2+（b﹣1）x+c＞0时,x的取值范围是_____．三、解答题（本大题有7题,其中17题8分,18题6分,19题6分,20题7分,21题8分,22题8分,23题9分,共52分）16.2cos45°﹣2sin60°+3tan230°﹣（cos60°﹣1）017.解方程：（x ﹣2）2＝3（x ﹣2）．18.在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n 个白球,它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n 的值；（2）在（1）的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．19.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,过点C 的直线MN ∥AB ,D 为AB 边上一点,过点D 作DE ⊥BC ,交直线MN 于E ,垂足为F ,连接CD 、BE ．（1）求证：CE ＝AD ；（2）当D 在AB 中点时,四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由．20.将一条长为56cm 的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于100cm 2,该怎么剪？（2）设这两个正方形的面积之和为Scm 2,当两段铁丝长度分别为何值时,S 有最小值？21.如图,在矩形OABC 中,OA ＝3,OC ＝4,分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合）,反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ,作直线DE ． （1）当点D 运动到BC 中点时,求k 的值；（2）求BD BE的值； （3）连接DA ,当△DAE 的面积为43时,求k 值．22.如图1,平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3,0）和点B（﹣2,n）,与y 轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,在抛物线上是否存在点P（不与点A重合）,使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析一、选择题（每小题3分,共36分）1.一元二次方程x2+2x＝0的根是( )A. x1＝0,x2＝－2B. x1＝1,x2＝2C. x1＝1,x2＝－2D. x1＝0,x2＝2 【答案】A【解析】【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可．【详解】方程整理得：x(x+2)=0,解得：x1=0,x2=−2.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,解题的关键是掌握因式分解的概念进行解答.2.若点（3,4）是反比例函数y＝kx图象上一点,此函数图象必须经过点（）A. （2,6）B. （2,﹣6）C. （4,﹣3）D. （3,﹣4）【答案】A【解析】【分析】根据题意,若点（3,4）是反比例函数y＝kx图象上一点,可得m的值,结合反比例函数图象上的点的特点,分析选项可得答案．【详解】根据题意,若点（3,4）是反比例函数y＝kx图象上一点,则m＝3×4＝12,结合反比例函数图象上的点的特点,分析选项可得,只有A的点的横纵坐标的积为12；故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,只要点在函数的图象上,则一定满足函数的解析式,反之,只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．3.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示）,它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题解析：从正面看易得主视图为长方形,中间有两条垂直地面的虚线．故选A．4.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是()A. 40B. 20C. 10D. 25【答案】B【解析】根据菱形的面积=对角线之积的一半,可知菱形的面积为5×8÷2=20.故选B.5.二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A. x1＝﹣1,x2＝5B. x1＝﹣2,x2＝4C. x1＝﹣1,x2＝2D. x1＝﹣5,x2＝5【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．【详解】由图象可知对称轴x＝2,与x轴的一个交点横坐标是5,它到直线x＝2的距离是3个单位长度,所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1＝﹣1,x2＝5．故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,解题的关键是掌握抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．6.如图,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是（）A. 当AC=BD时,四边形ABCD是矩形B. 当AB=BC时,四边形ABCD是菱形C. 当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形D. 当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形【答案】D【解析】【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形,正确,故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误；C、四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误；D、四边形ABCD是平行四边形,∠DAB=90°, ∴四边形ABCD是矩形,错误,故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．7.一件衣服的原价是500元,经过两次提价后的价格为621元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意,下面列出的方程正确的是（）A. 500（1+x）2＝621B. 500（1﹣x）2＝621C. 500（1+x）＝621D. 500（1﹣x）＝621【答案】A【解析】【分析】设平均每次提价的百分率为x,根据原价为500元,表示出第一次提价后的价钱为500（1+x）元,然后再根据价钱为500（1+x）元,表示出第二次提价的价钱为500（1+x）2元,根据两次提价后的价钱为621元,列出关于x的方程．【详解】设平均每次提价的百分率为x,根据题意得：500（1+x）2=621,故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,属于平均增长率问题,一般情况下,假设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n（一般情况下为2）,增长后的量为b,则有表达式a（1+x）n=b,类似的还有平均降低率问题,注意区分“增”与“减”．8.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A（2,2）、B（3,1）,以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标分别为（）A. （4,4）B. （3,3）C. （3,1）D. （4,1）【答案】A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,∴A点与C点是对应点,∵C点的对应点A的坐标为（2,2）,位似比为1：2,∴点C的坐标为：（4,4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换,正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．9.如图,∠1＝∠2,DE∥AC,则图中的相似三角形有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对【答案】C【解析】【分析】由∠1＝∠2,DE∥AC,利用有两角对应相等的三角形相似解答即可．【详解】∵DE∥AC,∴△BED∽△BAC,∠EDA＝∠DAC,∵∠1＝∠2,∴△ADE∽△CAD,∵DE∥AC,∴∠2＝∠EDB,∵∠1＝∠2,∴∠1＝∠EDB,∵∠B＝∠B,∴△BDE∽△BAD,∴△ABD∽△CBA,故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定,注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用,注意数形结合思想的应用．10. 下列四个函数图象中,当x<0时,函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大,故本选项错误；B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大,故本选项错误；C、根据函数的图象可知,当x＜0时,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,故本选项错误；D、根据函数的图象可知,当x＜0时,y随x的增大而减小；故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查了函数的图象,函数的增减性,熟练掌握各函数的性质是解题的关键.11.如图,Rt△BOA与Rt△COA的斜边在x轴上,BA＝6,A（10,0）,AC与OB相交于点E,且CA＝CO,连接BC,下列判断一定正确的是（）①△ABE∽△OCE；②C（5,5）；③BC＝2；④S△ABC＝3．A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④【答案】D【解析】【分析】如图,作CF⊥OA于F,BH⊥OA于H,连接BF．①正确,根据两角对应相等两三角形相似即可判断；①正确,利用等腰直角三角形想的性质即可判断；③正确,求出点B坐标,利用两点间距离公式计算即可；④正确,利用分割法计算即可；【详解】如图,作CF⊥OA于F,BH⊥OA于H,连接BF．∵∠OCE＝∠ABE＝90°,∠OEC＝∠AEB,∴△ABE∽△OCE,故①正确,∵A（10,0）,∴OA＝10,∵OC＝CA,∠OCA＝90°,CF⊥OA,∴OF＝AF＝CF＝5,∴C（5,5）,故②正确,在Rt△ABO中,∵OB=8,∵12•OA•BH＝12•OB•AB,∴BH＝245,∵tan∠BOH＝AB BH OB OH=,∴24 658OH =,∴OH＝325,∴B（325,245）,∵C（5,5）,∴BC=故③正确,S△ABC＝S△CFB+S△AFB﹣S△ACF＝12×5×（325﹣5）+12×5×245﹣252＝3,故④正确,故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,坐标与图形的性质,解直角三角形,勾股定理,锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（每小题3分,共12分）12.若关于x的一元二次方程2x4x k0-+=有两个相等的实数根,则k的值为______．【答案】4【解析】【分析】对于一元二次方程a x2+bx+c=0,当Δ= b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.即：16-4k=0,解此方程可得.【详解】对于一元二次方程a x2+bx+c=0,当Δ= b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.即：16-4k=0,解得：k=4.故答案为4【点睛】本题考核知识点：一元二次方程根的判别式.解题关键点：理解一元二次方程根的判别式的意义.13.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,若DE∥BC,ADAB=13,则AD DE AEAB BC AC++++=______．【答案】13．【解析】解：∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB=AD DE AEAB BC AC++++=13．故答案为13．14.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝4,BC＝1,则cos A的值是_____．15.【解析】【分析】先根据勾股定理求得AC的长,再根据余弦函数的定义求解可得．【详解】∵∠C＝90°,AB＝4,BC＝1,∴AC22224115AB BC-=-则cos A＝154 ACAB=,故答案为154．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义,解题的关键是熟练掌握勾股定理及余弦函数的定义．15.二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数,且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：当ax2+（b﹣1）x+c＞0时,x的取值范围是_____．【答案】﹣1＜x＜3．【解析】【分析】通过表中对应值得到抛物线与直线y＝x的交点坐标为（﹣1,﹣1）,（3,3）,然后利用x＝0,y＝ax2+bx+c＝3可判断在当﹣1＜x＜3之间抛物线在直线y＝x的上方,从而得到ax2+bx+c＞x的解集．【详解】由表中数据得到抛物线与直线y＝x的交点坐标为（﹣1,﹣1）,（3,3）,所以当﹣1＜x＜3时,ax2+bx+c＞x,即ax2+（b﹣1）x+c＞0．故答案为﹣1＜x＜3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）与不等式的关系,利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围,可作图利用交点直观求解,也可把两个函数解析式列成不等式求解．三、解答题（本大题有7题,其中17题8分,18题6分,19题6分,20题7分,21题8分,22题8分,23题9分,共52分）16.cos45°﹣2sin60°+3tan230°﹣（cos60°﹣1）0【答案】1【解析】分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．﹣2﹣1＝1﹣1＝1【点睛】本题考查了实数运算,掌握实数的运算法则是解题关键．17.解方程：（x﹣2）2＝3（x﹣2）．【答案】x1＝2,x2＝5．【解析】【分析】首先移项,把等号右边的式子变成0,然后把等号左边的式子分解因式,根据几个因式的乘积是0,则至少有一个是0,即可转化成一元一次方程,从而求解．【详解】移项得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0,即：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0,则（x﹣2）（x﹣5）＝0,则x﹣2＝0或x﹣5＝0,则方程的解是：x1＝2,x2＝5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,利用因式分解法解方程的依据是：几个因式的乘积是0,则至少有一个是0,解题的关键是正确分解因式．18.在一个不透明的袋子里有1个红球,1个黄球和n个白球,它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球,记录其颜色,然后放回,摇均匀后,重复该实验,经过大量实验后,发现摸到白球的频率稳定于0.5左右,求n的值；（2）在（1）的条件下,先从这个袋中摸出一个球,记录其颜色,放回,摇均匀后,再从袋中摸出一个球,记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法,求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．【答案】（1）n=2；（2）5 8 .【解析】【分析】（1）由“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得；（2）画树状图展示所有可能的结果数,找出两次摸出的球颜色不同的结果数,然后根据概率公式求解．【详解】（1）根据题意,得：2nn=12,解得n=2；（2）画树状图如下：由树状图知,共有16种等可能结果,其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10,∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为1016=58．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】1）先求出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形,求出CD＝BD,根据菱形的判定推出即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°,∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB,∴AC∥DE,∵MN∥AB,即CE∥AD,∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE＝AD；（2）四边形BECD是菱形,理由如下：∵D为AB中点,∴AD＝BD,∵CE＝AD,∴BD＝CE,∵BD ∥CE ,∴四边形BECD 是平行四边形,∵∠ACB ＝90°,D 为AB 中点,∴CD ＝BD ,∴四边形BECD 是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定,直角三角形的性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力．20.将一条长为56cm 的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于100cm 2,该怎么剪？（2）设这两个正方形的面积之和为Scm 2,当两段铁丝长度分别为何值时,S 有最小值？【答案】（1）这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm 、32cm ；（2）当两段铁丝长度分别为28cm 时,S 有最小值．【解析】【分析】（1）这段铁丝被分成两段后,围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm ,则另一个正方形的边长为（14﹣x ）,根据“两个正方形的面积之和等于100cm 2”作为相等关系列方程,解方程即可求解；（2）设其中一个正方形的边长为xcm ,则另一个正方形的边长为（14﹣x ）cm ,依题意列方程即可得到结论．【详解】（1）设其中一个正方形的边长为xcm ,则另一个正方形的边长为（14﹣x ）cm ,依题意列方程得x 2+（14﹣x ）2＝100,整理得：x 2﹣14x +48＝0,（x ﹣6）（x ﹣8）＝0,解方程得x 1＝6,x 2＝8,6×4＝24（cm ）,56﹣24＝32（cm ）；因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm 、32cm ；（2）设其中一个正方形的边长为xcm ,则另一个正方形的边长为（14﹣x ）cm ,依题意列方程得S ＝x 2+（14﹣x ）2＝2x 2﹣28x +196,当x ＝﹣2824b a ＝7时,S 有最小值, ∴14﹣7＝7,答：当两段铁丝长度分别为28cm 时,S 有最小值．【点睛】本题考查了二次函数的应用,一元二次方程的应用,等量关系是：两个正方形的面积之和一定．读懂题意,找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．21.如图,在矩形OABC中,OA＝3,OC＝4,分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,D是边CB上的一个动点（不与C、B重合）,反比例函数y＝kx（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E,作直线DE．（1）当点D运动到BC中点时,求k的值；（2）求BDBE的值；（3）连接DA,当△DAE的面积为43时,求k值．【答案】（1）k＝6；（2）34BDBE；（3）当△DAE的面积为43时,k的值为4或8．【解析】【分析】（1）由OA,OC的长度结合矩形的性质可得出BC的长度及点B的坐标,根据点D为边BC的中点可得出CD 的长度,进而可得出点D的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由OA,OC的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D,E的坐标,进而可得出BD,BE的长度,二者相比后即可得出BDBE的值；（3）由（2）可得出AE,BD的长度,由三角形的面积公式结合S△DAE＝43即可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k值．【详解】（1）∵OA＝3,OC＝4,四边形OABC为矩形, ∴BC＝OA＝3,点B的坐标为（3,4）．∵点D为边BC的中点,∴CD ＝12BC ＝32, ∴点D 的坐标为（32,4）． 又∵点D 在反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上, ∴k ＝32×4＝6． （2）∵点D ,E 在反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图象上, ∴点D 的坐标为（4k ,4）,点E 的坐标为（3,3k ）． 又∵点B 的坐标为（3,4）,∴BD ＝3﹣4k ,BE ＝4﹣3k , ∴334443KBD K BE -==-． （3）由（2）可知：AE ＝3k ,BD ＝3﹣4k , ∴S △DAE ＝12AE •BD ＝12×3k ×（3﹣4k ）＝43, 整理,得：k 2﹣12k +32＝0,解得：k 1＝4,k 2＝8,∴当△DAE 的面积为43时,k 的值为4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、三角形的面积以及解一元二次方程,解题的关键是：（1）利用矩形的性质找出点D 的坐标；（2）利用矩形的性质结合反比例函数图象上点的坐标特征,找出点D,E的坐标；（3）利用三角形的面积公式,找出关于k的一元二次方程．22.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3,0）和点B（﹣2,n）,与y 轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标；（3）如图2,在（2）的条件下,在抛物线上是否存在点P（不与点A重合）,使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M点坐标（4,﹣2）；（3）P点坐标为（14,5516）或13+21775217-）13217-7+5217）．【解析】【分析】（1）先利用直线解析式确定B（﹣2,﹣5）,然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）解方程组﹣x2+2x+3＝0得A（3,0）,易得C（0,3）,设N（t,t﹣3）,利用点利用的规律当点N先向下平移3个单位,再向右平移3个单位得到点M,则M（t+3,t﹣6）,把M（t+3,t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t ﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3,当点N先向上平移3个单位,再向左平移3个单位得到点M,则M（t﹣3,t）,把M（t﹣3,t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3,然后解方程求出t得到满足条件的M点坐标；（3）利用待定系数法求出直线MC的解析式为y＝﹣54x+3,利用AP∥MC可设AP的解析式为y＝﹣54x+p,则AP的解析式为y＝﹣54x+154,通过解方程组25154423y xy x x⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得此时P点坐标；再利用平移的方法得到再直线CM 下方得到直线y ＝﹣54x +94到直线CM 的距离等于直线y ＝﹣54x +154到直线CM 的距离相等,然后解方程2594423y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得此时P 点坐标． 【详解】（1）把（﹣2,n ）代入y ＝x ﹣3得n ＝﹣2﹣3＝﹣5,则B （﹣2,﹣5）,把A （3,0）,B （﹣2,﹣5）代入得93=3=04235a b a b +⎧⎨-+=-⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）当y ＝0时,﹣x 2+2x +3＝0,解得x 1＝﹣1,x 2＝3,则A （3,0）,当x ＝0时,y ＝﹣x 2+2x +3＝3,则C （0,3）设N （t ,t ﹣3）,∵AC 平移得到MN ,∴AC ∥MN ,AC ＝MN ,而点C 先向下平移3个单位,再向右平移3个单位得到点A ,当点N 先向下平移3个单位,再向右平移3个单位得到点M ,则M （t +3,t ﹣6）,把M （t +3,t ﹣6）代入y ＝﹣x 2+2x +3得t ﹣6＝﹣（t +3）2+2（t +3）+3,解得t 1＝1,t 2＝﹣6,∴M 点的坐标为（4,﹣5）,（﹣3,﹣12）（舍去）当点N 先向上平移3个单位,再向左平移3个单位得到点M ,则M （t ﹣3,t ）,把M （t ﹣3,t ）代入y ＝﹣x 2+2x +3得t ＝﹣（t ﹣3）2+2（t ﹣3）+3,解得t 1＝3（舍去）,t 2＝4,∴M 点的坐标为（﹣1,4）（舍去）,综上所述,M 点坐标为（4,﹣2）；（3）设直线CM 的解析式为y ＝mx +n ,把C （0,3）,M （4,﹣2）代入得543m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线MC 的解析式为y ＝﹣54x +3, ∵△PMC 的面积与△AMC 的面积相等,∴AP ∥MC ,设AP 的解析式为y ＝﹣54x +p , 把A （3,0）代入得p ＝154,∴AP 的解析式为y ＝﹣54x +154, 解方程组25154423y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得30x y =⎧⎨=⎩或145516x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时P 点坐标为（14,5516）； 直线AP 的解析式为y ＝﹣54x +154与y 轴的交点坐标为（0,154）, ∵154﹣3＝34, 把直线CM 向下平移34个单位得到y ＝﹣54x +94, 解方程2594423y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时P 点坐标为（137832-）,（137,832-+）, 综上所述,P 点坐标为（14,5516）或（137,832+-）或（137832+）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平移的性质；会利用待定系数法求函数解析式,能通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质．。
北师大版数学九年级上学期《期末考试卷》附答案解析
2021年北师大版数学九年级上学期期末测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(2020春•鼓楼区校级月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3BC ，则sin B 的值为( )A ．12B ．√22C ．√32D ．2√232．(2020•武汉模拟)方程x 2＝4x 的根是( )A ．x ＝4B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝4D ．x 1＝0，x 2＝﹣43．(2020•兰州模拟)如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．4．(2020•安徽模拟)如图，随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个，能让灯泡⊙发光的概率是( )A ．34B ．23C ．12D ．13 5．(2020•余干县模拟)若反比例函数y =k x 的图象经过(﹣1，3)，则这个函数的图象一定过( )A ．(﹣3，1)B ．(−13，3)C ．(﹣3，﹣1)D ．(13，3) 6．(2019•深圳模拟)已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x ，可得方程为( )A ．10(1+x )2＝50B ．10(1+x )2＝40C ．10(1+x )+10(1+x )2＝50D ．10(1+x )+10(1+x )2＝407．(2020•新宾县四模)如图，有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )A ．67B ．3037C ．127D ．60378．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA ＝65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( )A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°9．(2020•三明二模)如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AD 于点E ，cos D =35，AE ＝4，则AC 的长为( )A ．8B ．4√5C ．4√10D ．4√1310．(2019秋•无为县期末)如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④a ﹣2b +c ≥0，其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①③C ．①④D ．①③④二．填空题(共4小题，满分16分，每小题4分)11．(2019秋•当涂县期末)已知：a 2=b 3，(a 不等于0)，则a+b 2a 的值为12．(2020•工业园区一模)若a 是方程3x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则5+2a ﹣6a 2的值等于 ．13．(2019•蜀山区一模)如图，点B 在反比例函数y =2X (x ＞0)的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为(1，0)，取x 轴上一点C 1(32，0)，过点C 1作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2(2，0)，C 3(52，0)…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ∁n C n ﹣1(n 为正整数)的面积为 ．14．(2019秋•如东县期中)如图，△ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若∠B ＝58°，∠C ＝46°，则∠ADB ＝ 度．三．解答题(共6小题，满分54分)15．(12分)(1)计算：20180﹣|√2|+(−13)﹣1+2cos45° (2)解方程：3(x +2)2＝x 2﹣416．(6分)(2020春•高邮市期末)已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m ﹣2)x ﹣2＝0(m ≠0)．(1)求证：方程一定有实数根；(2)若此方程有两个不相等的整数根，求整数m 的值．17．(8分)(2020•南开区二模)某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN 的长)，直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．)18．(8分)(2020•东营区模拟)为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)C类女生有名，D类男生有名，将上面条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是；(3)为了共同进步，郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率，19．(10分)(2020•宿州模拟)如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．(10分)(2019•香洲区模拟)如图，△ABC内接于半径为√5的⊙O，AC为直径，AB=√10，弦BD与AC 交于点E，点P为BD延长线上一点，且∠P AD＝∠ABD，过点A作AF⊥BD于点F，连接OF．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求证：∠AOF＝∠P AD；(3)若tan∠P AD=13，求OF的长．B卷(共50分)四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)21．(2019秋•乐至县期末)若方程(a﹣3)x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是．22．(2020•沙坪坝区校级一模)一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点(m、n)恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内(含边界)的概率为．23．(2019秋•莲湖区期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，在矩形内部有一点P，同时满足PC＝BC，∠APB＝90°，延长CP交AD于点E，则CE＝．24．(2019秋•中山市校级期中)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ，则BD 的长是 ．25．(2020•简阳市一模)如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =k x (k ＞0)的图象交于点A ，B ，点P 在以C (﹣2，0)为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，若OQ 长的最大值为32，则k 的值为 ．五．解答题(共3小题，满分30分)26．(8分)(2020•江西模拟)某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y (件)的取值范围．27．(10分)(2020•新都区模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．(1)填空：∠AHC∠ACG；(填“＞”或“＜”或“＝”)(2)线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；(3)设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．28．(12分)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)图象与x轴交于点A，B(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D．(1)求点A，B的坐标；(2)若M为对称轴与x轴交点，且DM＝2AM，①求二次函数解析式；②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；③若直线x＝4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P(含C，E两点)，将图象P沿直线x＝4翻折，得到图象Q，又过点(10，﹣4)的直线y＝kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．答案与解析A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(3分)(2020春•鼓楼区校级月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3BC ，则sin B 的值为( )A ．12B ．√22C ．√32D ．2√23【解答】解：设BC 为x ，则AB ＝3x ，由勾股定理得，AC =√AB 2−BC 2=√(3x)2−x 2=2√2x ， ∴sin B =AC AB =2√2x 3x =23√2，故选：D ．2．(3分)(2020•武汉模拟)方程x 2＝4x 的根是( )A ．x ＝4B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝4D ．x 1＝0，x 2＝﹣4【解答】解：方程整理得：x (x ﹣4)＝0，可得x ＝0或x ﹣4＝0，解得：x 1＝0，x 2＝4，故选：C ．3．(3分)(2020•兰州模拟)如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，故选：C ．4．(3分)(2020•安徽模拟)如图，随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个，能让灯泡⊙发光的概率是( )A ．34B ．23C ．12D ．13【解答】解：随机闭合开关S 1、S 2、S 3中的两个出现的情况列表得，所以概率为23，故选B ．开关 S 1S 2 S 1S 3 S 2S 3 结果亮亮不亮5．(3分)(2020•余干县模拟)若反比例函数y =kx 的图象经过(﹣1，3)，则这个函数的图象一定过( ) A ．(﹣3，1)B ．(−13，3)C ．(﹣3，﹣1)D ．(13，3)【解答】解：∵反比例函数y =k x 的图象经过(﹣1，3)，∴k ＝﹣1×3＝﹣3．∵﹣3×1＝﹣3，−13×3＝﹣1，﹣3×(﹣1)＝3，13×3＝1，∴反比例函数y =kx 的图象经过点(﹣3，1)．故选：A ．6．(3分)(2019•深圳模拟)已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月、三月的平均增长率，设平均增长率为x ，可得方程为( ) A ．10(1+x )2＝50 B ．10(1+x )2＝40C ．10(1+x )+10(1+x )2＝50D ．10(1+x )+10(1+x )2＝40【解答】解：设平均增长率为x ，则二月份的收益为10(1+x )万元，三月份的收益为10(1+x )2万元， 根据题意得：10+10(1+x )+10(1+x )2＝50，即10(1+x )+10(1+x )2＝40．故选：D ．7．(3分)(2020•新宾县四模)如图，有一块直角边AB ＝4cm ，BC ＝3cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )A ．67B ．3037C ．127D ．6037【解答】解：如图，过点B 作BP ⊥AC ，垂足为P ，BP 交DE 于Q ．∵S △ABC =12•AB •BC =12•AC •BP ，∴BP =AB⋅BC AC=3×45=125．∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠A ，∠BED ＝∠C ，∴△BDE ∽△BAC ，∴DE AC=BQ BP．设DE ＝x ，则有：x5=125−x 125，解得x =6037，故选：D ． 8．(3分)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，∠BCA ＝65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为( )A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°【解答】解：∵AB ＝AC 、∠BCA ＝65°，∴∠CBA ＝∠BCA ＝65°，∠A ＝50°，∵CD ∥AB ， ∴∠ACD ＝∠A ＝50°，又∵∠ABD ＝∠ACD ＝50°，∴∠DBC ＝∠CBA ﹣∠ABD ＝15°，故选：A ．9．(3分)(2020•三明二模)如图，在菱形ABCD 中，CE ⊥AD 于点E ，cos D =35，AE ＝4，则AC 的长为( )A．8B．4√5C．4√10D．4√13【解答】解：∵CE⊥AD，cos D=35=DECD，设DE＝3x，CD＝5x，由勾股定理可得：CE=√CD2−DE2=√(5x)2−(3x)2=4x，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，即AE+ED＝CD，∴4+3x＝5x，解得：x＝2，∴AD＝DC＝10，CE＝8，∴AC=√AE2+CE2=√42+82=4√5；故选：B．10．(3分)(2019秋•无为县期末)如图是二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c≥0，其中正确的命题是()A．①②③B．①③C．①④D．①③④【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过(1，0)点，把(1，0)代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：−b2a=−1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为(1，0)(﹣3，0)，因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由a ＞0，b ＞0，c ＜0，且b ＝2a ，则a ﹣2b +c ＝a ﹣4a +c ＝﹣3a +c ＜0，因此④不正确； 故选：B ．二．填空题(共4小题，满分16分，每小题4分)11．(4分)(2019秋•当涂县期末)已知：a 2=b3，(a 不等于0)，则a+b 2a的值为 54【解答】解：∵a2=b3，∴b =32a ，∴a+b 2a =a+32a 2a =54，故答案为：54．12．(4分)(2020•工业园区一模)若a 是方程3x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则5+2a ﹣6a 2的值等于 1 ． 【解答】解：∵a 是方程3x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，∴3a 2﹣a ﹣2＝0，故3a 2﹣a ＝2， 则5+2a ﹣6a 2＝5﹣2(3a 2﹣a )＝5﹣2×2＝1．故答案为：1．13．(4分)(2019•蜀山区一模)如图，点B 在反比例函数y =2X(x ＞0)的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为(1，0)，取x 轴上一点C 1(32，0)，过点C 1作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2(2，0)，C 3(52，0)…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ∁n C n ﹣1(n 为正整数)的面积为2n+2．【解答】解：第1个矩形的面积=43×(32−1)=23=21+2，第2个矩形的面积=(2−32)×1=12=22+2，…第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．∴矩形A n B n∁n C n﹣1(n为正整数)的面积为2n+2故答案为：2n+214．(4分)(2019秋•如东县期中)如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝58°，∠C＝46°，则∠ADB＝78度．【解答】解：如图，延长AD交圆于点E，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝58°，∴∠CBE＝90°﹣58°＝32°，∴∠CAE＝∠CBE＝32°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝32°+46°＝78°．故答案为：78．三．解答题(共6小题，满分54分)15．(12分)(1)计算：20180﹣|√2|+(−13)﹣1+2cos45°(2)解方程：3(x+2)2＝x2﹣4【解答】解：(1)原式＝1−√2−3+2×√22＝1−√2−3+√2＝﹣2；(2)∵3(x+2)2＝x2﹣4，∴(x+2)[3(x+2)﹣(x﹣2)]＝0，则2(x+2)(x+4)＝0，∴x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4．16．(6分)(2020春•高邮市期末)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m﹣2)x﹣2＝0(m≠0)．(1)求证：方程一定有实数根；(2)若此方程有两个不相等的整数根，求整数m的值．【解答】(1)证明：∵m≠0，△＝(m﹣2)2﹣4m×(﹣2)＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝(m+2)2≥0，∴方程一定有实数根；(2)x=m−2±(m+2)2m，∴x1＝1，x2=−2m，当整数m取±1，±2时，x2为整数，∵方程有两个不相等的整数根，∴整数m为﹣1，1，2．17．(8分)(2020•南开区二模)某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)，直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．(参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．)【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP=MP AP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP=MP BP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6=1.6x5+x，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8(米)，答：广告牌的宽MN的长为1.8米．18．(8分)(2020•东营区模拟)为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1)C类女生有3名，D类男生有1名，将上面条形统计图补充完整；(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；(3)为了共同进步，郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率，【解答】解：(1)C类学生人数：20×25%＝5(名)C类女生人数：5﹣2＝3(名)，D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，D类学生人数：20×10%＝2(名)，D类男生人数：2﹣1＝1(名)，故C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图，故答案为：3，1；(2)360°×(1﹣50%﹣25%﹣15%)＝36°，答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是36°；故答案为：36°；(3)由题意画树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．所以P(所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=36=12．19．(10分)(2020•宿州模拟)如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【解答】解：(1)把A点(1，4)分别代入反比例函数y=kx，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B(﹣4，n)也在反比例函数y=4x的图象上，∴n=4−4=−1；(2)如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×4＝7.5；(3)∵B(﹣4，﹣1)，A(1，4)，∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．20．(10分)(2019•香洲区模拟)如图，△ABC内接于半径为√5的⊙O，AC为直径，AB=√10，弦BD与AC 交于点E，点P为BD延长线上一点，且∠P AD＝∠ABD，过点A作AF⊥BD于点F，连接OF．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求证：∠AOF＝∠P AD；(3)若tan∠P AD=13，求OF的长．【解答】(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵CD̂=CD̂，∴∠CAD＝∠CBD，∵∠P AD＝∠ABD，∴∠P AD+∠CAD＝∠ABD+∠CBD＝90°，即P A⊥AC，∵AC是⊙O的直径，∴AP是⊙O的切线；(2)解：∵在Rt△ABC中，AB=√10，AC=2√5，∴sin C=ABAC=√22，∴∠C＝45°，∵AB̂=AB̂，∴∠ADB＝∠C＝45°，∵AF⊥BD，∴∠F AD＝∠ADB＝45°，∴F A＝FD，连接OD，∵OA＝OD，OF ＝OF，F A＝FD，∴△AOF≌△DOF(SSS)，∴∠AOF＝∠DOF，∴∠AOD＝2∠AOF，∵AD̂=AD̂，∴∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOF＝∠ABD，∵∠ABD＝∠P AD，∴∠AOF＝∠P AD；(3)解：延长OF交AD于点G，∵OA＝OD，∠AOG＝∠DOG，∴OG⊥AD，∵tan∠P AD=13，∠AOF＝∠P AD，∴tan∠AOF=AGOG=13，在Rt△AOG中，AO=√5，设AG＝x，∴AG2+OG2＝AO2，x2+(3x)2＝(√5)2，解得：x=√22，∴AG=√22，OG=3√22，∵∠F AD＝45°，OG⊥AD，∴∠AFG＝∠F AD＝45°，∴FG＝AG=√22，∴OF＝OG﹣FG=√2．B卷(共50分) 四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)21．(4分)(2019秋•乐至县期末)若方程(a﹣3)x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是﹣3．【解答】解：∵(a﹣3)x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得，a＝﹣3，故答案为：﹣3．22．(4分)(2020•沙坪坝区校级一模)一枚质地均匀的正方体骰子六个面上分别标有﹣5，﹣1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出骰子正面朝上的数记为n，则点(m、n)恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内(含边界)的概率为536．【解答】解：列表得：第一次第二次﹣5﹣10124﹣5(﹣5，﹣5)(﹣1，﹣5)(0，﹣5)(1，﹣5)(2，﹣5)(4，﹣5)﹣1(﹣5，﹣1)(﹣1，﹣1)(0，﹣1)(1，﹣1)(2，﹣1)(4，﹣1) 0(﹣5，0)(﹣1，0)(0，0)(1，0)(2，0)(4，0)1(﹣5，1)(﹣1，1)(0，1)(1，1)(2，1)(4，1)2(﹣5，2)(﹣1，2)(0，2)(1，2)(2，2)(4，2)4(﹣5，4)(﹣1，4)(0，4)(1，4)(2，4)(4，4)∵共有36种等可能的结果，点(m、n)恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内(含边界)的有：(0，﹣1)，(0，0)，(1，﹣1)，(1，0)，(2，0)，∴点(m、n)恰好落在一次函数y＝2x﹣4与坐标轴围成三角形区域内(含边界)的概率是536．故答案为：536．23．(4分)(2019秋•莲湖区期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，在矩形内部有一点P，同时满足PC＝BC，∠APB＝90°，延长CP交AD于点E，则CE＝133．【解答】解：如图，延长AP交CD于F，∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∴∠CPF+∠CPB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠ABP，∵PC＝BC＝3，∴∠CPB＝∠CBP，∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP，∵∠APE＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝PE，∴DE＝3﹣PE，∵CD2+DE2＝CE2，CD＝AB＝4，CE＝3+PE，∴42+(3﹣PE)2＝(3+PE)2，解得：PE=43，∴CE＝3+43=133，故答案为：133．24．(4分)(2019秋•中山市校级期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，以AB为直径作半圆O，交BC 于点D，则BD的长是2．【解答】解：如图，连接AD．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC =12BC ＝2，故答案为2．25．(4分)(2020•简阳市一模)如图，一次函数y ＝2x 与反比例函数y =kx (k ＞0)的图象交于点A ，B ，点P 在以C (﹣2，0)为圆心，1为半径的⊙C 上，Q 是AP 的中点，若OQ 长的最大值为32，则k 的值为3225．【解答】解：连接BP ，由对称性得：OA ＝OB ，∵Q 是AP 的中点，∴OQ =12BP ，∵OQ 长的最大值为32，∴BP 长的最大值为32×2＝3，如图，当BP 过圆心C 时，BP 最长，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵CP ＝1， ∴BC ＝2，∵B 在直线y ＝2x 上，设B (t ，2t )，则CD ＝t ﹣(﹣2)＝t +2，BD ＝﹣2t ，在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BC 2＝CD 2+BD 2，∴22＝(t +2)2+(﹣2t )2，t ＝0(舍)或−45，∴B (−45，−85)，∵点B 在反比例函数y =kx (k ＞0)的图象上，∴k =−45×(−85)=3225；故答案为：3225．五．解答题(共3小题，满分30分)26．(8分)(2020•江西模拟)某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售．经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y (件)的取值范围．【解答】解：(1)设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ，将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式得：{100=30k +b 70=45k +b ，解得：{k =−2b =160，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +160；(2)由题意得：w ＝(x ﹣30)(﹣2x +160)＝﹣2(x ﹣55)2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(3)由题意得：(x﹣30)(﹣2x+160)＞800，解得：40＜x＜70，∵30≤x≤50 解得：40＜x≤50，当x＝40时，y＝﹣2×40+160＝80，当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60，∴60≤y＜80，∴每天的销售量应为不少于60件而少于80件．27．(10分)(2020•新都区模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．(1)填空：∠AHC＝∠ACG；(填“＞”或“＜”或“＝”)(2)线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；(3)设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【解答】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ＝CD ＝DA ＝4，∠D ＝∠DAB ＝90°，∠DAC ＝∠BAC ＝45°，∴AC =√42+42=4√2，∵∠DAC ＝∠AHC +∠ACH ＝45°，∠ACH +∠ACG ＝45°， ∴∠AHC ＝∠ACG ．故答案为＝． (2)结论：AC 2＝AG •AH ．理由：∵∠AHC ＝∠ACG ，∠CAH ＝∠CAG ＝135°，∴△AHC ∽△ACG ，AH AC=AC AG，∴AC 2＝AG •AH ．(3)①△AGH 的面积不变． 理由：∵S △AGH =12•AH •AG =12AC 2=12×(4√2)2＝16．∴△AGH 的面积为16． ②如图1中，当GC ＝GH 时，易证△AHG ≌△BGC ，可得AG ＝BC ＝4，AH ＝BG ＝8，∵BC ∥AH ，∴BCAH=BE AE=12，∴AE =23AB =83．如图2中，当CH ＝HG 时，易证AH ＝BC ＝4(可以证明△GAH ≌△HDC 得到)∵BC ∥AH ，∴BE AE=BC AH=1，∴AE ＝BE ＝2．如图3中，当CG ＝CH 时，易证∠ECB ＝∠DCF ＝22.5°．在BC 上取一点M ，使得BM ＝BE ，∴∠BME ＝∠BEM ＝45°，∵∠BME ＝∠MCE +∠MEC ，∴∠MCE ＝∠MEC ＝22.5°，∴CM ＝EM ，设BM ＝BE ＝x ，则CM ＝EM =√2x ，∴x +√2x ＝4，∴x ＝4(√2−1)， ∴AE ＝4﹣4(√2−1)＝8﹣4√2，综上所述，满足条件的m 的值为83或2或8﹣4√2．28．(12分)在平面直角坐标系中，已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a (a ＞0)图象与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ． (1)求点A ，B 的坐标；(2)若M为对称轴与x轴交点，且DM＝2AM，①求二次函数解析式；②当t﹣2≤x≤t时，二次函数有最大值5，求t值；③若直线x＝4与此抛物线交于点E，将抛物线在C，E之间的部分记为图象记为图象P(含C，E两点)，将图象P沿直线x＝4翻折，得到图象Q，又过点(10，﹣4)的直线y＝kx+b与图象P，图象Q都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．【解答】解：(1)令y＝0，即：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x＝﹣1或3，即点A、B的坐标分别为(﹣1，0)、(3，0)，函数的对称轴x=−b2a=1；(2)①DM＝2AM＝4，即点D的坐标为(1，﹣4)，将点D的坐标代入二次函数表达式得：﹣4＝a﹣2a﹣3a，解得：a＝1，即函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；②当x＝t和x＝t﹣2在对称轴右侧时，函数在x＝t处，取得最大值，即：t2﹣2t﹣3＝5，解得：t＝﹣2或4(舍去t＝﹣2)，即t＝4；同理当x＝t和x＝t﹣2在对称轴左侧或两侧时，解得：t＝0，故：t值为0或4；③如下图所示，直线m、l、n都是直线y＝kx+b与图象P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，点E、R、C′坐标分别为(4，5)、(10，﹣4)、(8，﹣3)，直线l 的表达式：把点E 、R 的坐标代入直线y ＝kx +b 得：{5=4k +b −4=10k +b ，解得：{k =−32b =11， 同理可得直线m 的表达式为：y =−12x +1，直线n 的表达式为：y ＝﹣4， 故：b 的取值范围为：1＜b ＜11或b ＝﹣4．。
【北师大版】数学九年级上学期《期末测试题》附答案解析
x
面积为1,那么k的值是（）
A.1
B.2
的解是
C.4
D.
2
4.方程(x2)(x3)0
x3
x2,x3
x2,x3
D.
A.x2
B.
C.
1
2
1
2
5.Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=3,AC等于10,则S△ABC等于(
)
50
A.3
B.300
C.
D.150
3
6.抛物线y＝﹣（x﹣2）﹣1的顶点坐标是（
)
50
A.3
B.300
C.
D.150
3
【答案】D
【解析】
【分析】
BC
AC
根据tan=
=3即可求得BC的长,进而求出面积．
A
BC
【详解】∵tan=
=3,
A
AC
∴=⋅tan=10×3=30,
BCAC
A
1
2
1
∴S△ABC=
=×10×30=150.
⋅
ACBC
2
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形.掌握正切的概念是解题的关键.
2
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质,二次函数表达式中的顶点式是：y=a(x﹣h)+k（a≠0,且a,h,k是常数）,
2
它的对称轴是x=h,顶点坐标是（h,k）．
7.面积为2的△ABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致是(
)
A.
C.
B.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
1
【详解】画树状图如下：
北师大版九年级上学期数学《期末检测卷》及答案解析
2021年北师大版数学九年级上学期期末测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(2020•新宾县四模)在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形2．(2020•成都模拟)如图所示的四棱柱的主视图为( )A ．B ．C ．D ．3．(2019•桓台县二模)已知a b=25，则a+b b的值为( )A ．25B ．35C ．23D ．754．(2020•临沂模拟)已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．45．将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝(x ﹣h )2+k 的形式为( ) A ．y ＝(x ﹣1)2+1B ．y ＝(x ﹣1)2+2C ．y ＝(x ﹣2)2﹣3D ．y ＝(x ﹣2)2﹣16．(2020•南山区校级二模)下列命题中，真命题的个数是( )①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．07．(2019秋•毕节市期末)已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为( )A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√58．(2020•武昌区模拟)函数y =−a 2−1x(a 为常数)的图象上有三点(﹣4，y 1)，(﹣1，y 2)，(2，y 3)，则函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．如图，EF ∥AC ，GH ∥AB ，MN ∥BC ，EF 、GH 、MN 、交于点P ，则图中与△PGF 相似的三角形的个数是( )个．A ．4B ．5C ．6D ．710．(2020•立山区二模)如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是( )A．2√2B．4C．4√2D．8√2二．填空题(共3小题，满分12分，每小题4分)11．(2019秋•仪征市期末)已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．12．(2019秋•深圳期末)元旦到了，九(2)班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有个同学．13．(2020•无锡)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为．三．解答题(共6小题，满分54分)14．(12分)(2018秋•新都区期末)计算(1)计算：(π﹣3)0+(﹣1)﹣3﹣3×tan30°+√27(2)解方程：x(x﹣3)＝2x15．(6分)(2019•花都区一模)已知：A＝(m+1)(m﹣1)﹣(m+2)(m﹣3)(1)化简A；(2)若关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．16．(8分)(2020•陕西一模)小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？(精确到0.1m)(参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192)17．(8分)(2019秋•仪征市期末)从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．(1)抽取一名同学，恰好是甲的概率为；(2)抽取两名同学，求甲在其中的概率．18．(10分)(2020•宿州模拟)如图，已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1，4)，点B(﹣4，n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．19．(10分)(2020•烟台二模)如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，CE＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．B 卷(共50分)四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)20．(2019•宿豫区模拟)若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 ．21．(2019•大邑县模拟)有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n 既能使关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为 ．22．(2019秋•滦州市期中)计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)= ．23．(2019•南充)在平面直角坐标系xOy 中，点A (3m ，2n )在直线y ＝﹣x +1上，点B (m ，n )在双曲线y =kx 上，则k 的取值范围为 ．24．(2020•青白江区模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为 ．五．解答题(共3小题，满分30分)25．(8分)某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照(2)的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？26．(10分)(2020•衢州模拟)(1)模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；(2)模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．27．(12分)(2020•铁岭四模)如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP ＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析A 卷(共100分)一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)1．(3分)(2020•新宾县四模)在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，tan A ＝1，sin B =√22，你认为△ABC 最确切的判断是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形【解析】解：由题意，得∠A ＝45°，∠B ＝45°．∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°，故选：B ． 2．(3分)(2020•成都模拟)如图所示的四棱柱的主视图为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：由图可得，几何体的主视图是：故选：B ．3．(3分)(2019•桓台县二模)已知a b=25，则a+b b的值为( )A ．25B ．35C ．23D ．75【解析】解：由a b=25，得a+b b=2+55=75．故选：D ．4．(3分)(2020•临沂模拟)已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．4【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2−√5x +1=0的两根，∴x 1+x 2=√5，x 1•x 2＝1，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2﹣2x 1•x 2＝5﹣2＝3．故选：A ．5．(3分)将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝(x ﹣h )2+k 的形式为( ) A ．y ＝(x ﹣1)2+1B ．y ＝(x ﹣1)2+2C ．y ＝(x ﹣2)2﹣3D ．y ＝(x ﹣2)2﹣1【解析】解：y ＝x 2﹣2x +3＝x 2﹣2x +1+2＝(x ﹣1)2+2，故选：B ． 6．(3分)(2020•南山区校级二模)下列命题中，真命题的个数是( )①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短 A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题； 图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题； 两直线平行，内错角相等，④是假命题； 相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题； 垂线段最短，⑥是真命题，故选：C ．7．(3分)(2019秋•毕节市期末)已知AB ＝2，点P 是线段AB 上的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP 的长为( )A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√5【解析】解：由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点，且AP ＞BP ，则AP =√5−12×2=√5−1．故选：B．8．(3分)(2020•武昌区模拟)函数y=−a2−1x(a为常数)的图象上有三点(﹣4，y1)，(﹣1，y2)，(2，y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是()A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1【解析】解：∵a2≥0，∴﹣a2≤0，﹣a2﹣1＜0，∴反比例函数y=−a2−1x的图象在二、四象限，∵点(2，y3)的横坐标为2＞0，∴此点在第四象限，y3＜0；∵(﹣4，y1)，(﹣1，y2)的横坐标﹣4＜﹣1＜0，∴两点均在第二象限y1＞0，y2＞0，∵在第二象限内y随x的增大而增大，∴y2＞y1，∴y2＞y1＞y3．故选：A．9．(3分)如图，EF∥AC，GH∥AB，MN∥BC，EF、GH、MN、交于点P，则图中与△PGF相似的三角形的个数是()个．A．4B．5C．6D．7【解析】解：∵EF∥AC，GH∥AB，MN∥BC，∴△PGF∽△EBF，△PGF∽△HGC，△AMN∽△ABC，△EMP∽△ENF，△HPN∽△HGC，△EBF∽△ABC，故选：C．10．(3分)(2020•立山区二模)如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是()A ．2√2B ．4C ．4√2D ．8√2【解析】解：过点O 作OC ⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB ＝45°，∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB =√2OA ＝2√2， ∵S四边形MANB＝S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值＝S 四边形DAEB ＝S △DAB +S △EAB =12AB •CD +12AB •CE =12AB (CD +CE )=12AB •DE =12×2√2×4＝4√2．故选：C ．二．填空题(共3小题，满分12分，每小题4分)11．(4分)(2019秋•仪征市期末)已知四条线段a ，2，6，a +1成比例，则a 的值为 3 ．【解析】解：∵四条线段a ，2，6，a +1成比例，∴a 2=6a+1，解得：a 1＝3，a 2＝﹣4(舍去)，所以a ＝3，故答案为：312．(4分)(2019秋•深圳期末)元旦到了，九(2)班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 40 个同学．【解析】解：设该班有x 个同学，则每个同学需交换(x ﹣1)件小礼物，依题意，得：x (x ﹣1)＝1560， 解得：x 1＝40，x 2＝﹣39(不合题意，舍去)．故答案为：40．13．(4分)(2020•无锡)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DB ＝2AD ，AE ＝3EC ，连接BE ，CD ，相交于点O ，则△ABO 面积最大值为83．【解析】解：如图，过点D 作DF ∥AE ，则DF AE=BD BA =23，∵ECAE=13，∴DF ＝2EC ，∴DO ＝2OC ，∴DO =23DC ，∴S △ADO =23S △ADC ，S △BDO =23S △BDC ，∴S △ABO =23S △ABC ，∵∠ACB ＝90°，∴C 在以AB 为直径的圆上，设圆心为G ，当CG ⊥AB 时，△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4，此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三．解答题(共6小题，满分54分) 14．(12分)计算(1)计算：(π﹣3)0+(﹣1)﹣3﹣3×tan30°+√27(2)解方程：x (x ﹣3)＝2x【解析】解：(1)原式＝1﹣1﹣3×√33+3√3＝1﹣1−√3+3√3＝2√3；(2)x (x ﹣3)﹣2x ＝0，x (x ﹣3﹣2)＝0，x ＝0或x ﹣3﹣2＝0，所以x 1＝0，x 2＝5． 15．(6分)(2019•花都区一模)已知：A ＝(m +1)(m ﹣1)﹣(m +2)(m ﹣3) (1)化简A ；(2)若关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根，求A的值．【解析】解：(1)A＝(m+1)(m﹣1)﹣(m+2)(m﹣3)＝m2﹣1﹣(m2﹣m﹣6)，＝m2﹣1﹣m2+m+6，＝m+5，(2)∵一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即△＝(m+2)2﹣4×14m2=0，解得m＝﹣1．当m＝﹣1时，A＝m+5＝﹣1+5＝4．16．(8分)(2020•陕西一模)小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？(精确到0.1m)(参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192)【解析】解：如图，过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，CF＝EF•tan50°＝AB•tan50°＝35.76m，在Rt△DEG中，DG＝EG•tan60°=√3EG，设热气球的直径为x米，则35.76+12x=√3(30−12x)，解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．17．(8分)(2019秋•仪征市期末)从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．(1)抽取一名同学，恰好是甲的概率为 14；(2)抽取两名同学，求甲在其中的概率．【解析】解：(1)随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种，所以抽取一名同学，恰好是甲的概率为14，故答案为：14．(2)随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁，故抽取两名同学，甲在其中的概率为36=12．18．(10分)(2020•宿州模拟)如图，已知反比例函数y =k x的图象与一次函数y ＝x +b 的图象交于点A (1，4)，点B (﹣4，n )． (1)求n 和b 的值； (2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．【解析】解：(1)把A 点(1，4)分别代入反比例函数y =kx ，一次函数y ＝x +b ，得k ＝1×4，1+b ＝4， 解得k ＝4，b ＝3，∵点B (﹣4，n )也在反比例函数y =4x 的图象上，∴n =4−4=−1；(2)如图，设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C (0，3)，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4＝7.5；(3)∵B (﹣4，﹣1)，A (1，4)，∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．19．(10分)(2020•烟台二模)如图，已知AB 是圆O 的直径，F 是圆O 上一点，∠BAF 的平分线交⊙O 于点E ，交⊙O 的切线BC 于点C ，过点E 作ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝3，CE ＝2，①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点，求OG +12EG 最小值．【解析】(1)证明：连接OE ∵OA ＝OE ∴∠OAE ＝∠OEA ∵AE 平分∠BAF ∴∠OAE ＝∠EAF ∴∠OEA ＝∠EAF ∴OE ∥AD ∵ED ⊥AF ∴∠D ＝90°∴∠OED ＝180°﹣∠D ＝90°∴OE ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线(2)解：①连接BE ∵AB 是⊙O 直径∴∠AEB ＝90°∴∠BEA ＝∠D ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90° ∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝90°∴∠BAE ＝∠CBE ∵∠DAE ＝∠BAE ∴∠DAE ＝∠CBE ∴△ADE ∽△BEC ∴AE BC=DE CE∵DE ＝3，CE ＝2∴BC AE=23②过点E 作EH ⊥AB 于H ，过点G 作GP ∥AB 交EH 于P ，过点P 作PQ ∥OG 交AB 于Q∴EP ⊥PG ，四边形OGPQ 是平行四边形∴∠EPG ＝90°，PQ ＝OG ∵BC AE=23∴设BC ＝2x ，AE ＝3x ∴AC ＝AE +CE ＝3x +2∵∠BEC ＝∠ABC ＝90°，∠C ＝∠C ∴△BEC ∽△ABC∴BC AC=CE BC∴BC 2＝AC •CE 即(2x )2＝2(3x +2)解得：x 1＝2，x 2=−12(舍去)∴BC ＝4，AE ＝6，AC ＝8∴sin ∠BAC =BC AC =12，∴∠BAC ＝30°∴∠EGP ＝∠BAC ＝30°∴PE =12EG ∴OG +12EG ＝PQ +PE ∴当E 、P 、Q 在同一直线上(即H 、Q 重合)时，PQ +PE ＝EH 最短 ∵EH =12AE ＝3∴OG +12EG 的最小值为3B 卷(共50分)四．填空题(共5小题，满分20分，每小题4分)20．(4分)(2019•宿豫区模拟)若2m ﹣n +1＝0，则代数式5﹣6m +3n 的值是 8 ．【解析】解：∵2m ﹣n +1＝0，∴2m ﹣n ＝﹣1，则原式＝5﹣3(2m ﹣n )＝5+3＝8，故答案为：821．(4分)(2019•大邑县模拟)有五张正面分别写有数字﹣4，﹣3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n ，则抽取的n 既能使关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根，又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为15．【解析】解：∵关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根，∴当n ＝﹣3时，关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根，当n ≠﹣3时，(n +1)2﹣4(n +3)×12=n 2﹣5≥0，∴n 2≥5， ∵反比例函数y =n 2−16x的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，∴n 2﹣16＜0，∴n 2＜16，∴5≤n 2≤16，∴n ＝3，∴概率为，15，故答案为：15．22．(4分)(2019秋•滦州市期中)计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=2019x(x+2019)．【解析】解：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x−2−1x+3+⋯+1x+2018−1x+2019=1x−1x+2019=2019x(x+2019)故答案为：2019x(x+2019)．23．(4分)(2019•南充)在平面直角坐标系xOy 中，点A (3m ，2n )在直线y ＝﹣x +1上，点B (m ，n )在双曲线y =k x上，则k 的取值范围为 k ≤124且k ≠0 ．【解析】解：∵点A (3m ，2n )在直线y ＝﹣x +1上，∴2n ＝﹣3m +1，即n =−3m+12， ∴B (m ，−3m+12)，∵点B 在双曲线y =kx 上，∴k ＝m •−3m+12=−32(m −16)2+124，∵−32＜0，∴k 有最大值为124，∴k 的取值范围为k ≤124，∵k ≠0，故答案为k ≤124且k ≠0．24．(4分)(2020•青白江区模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为152．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2， ∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=45，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC=EHAE=45，∴EH=45AE=85，∴h＝EH﹣EG=85−1=35，∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152．故答案为：152．五．解答题(共3小题，满分30分)25．(8分)某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照(2)的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【解析】解：(1)将点(15，200)、(10，300)代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{200=15k +b300=10k +b ，解得：{k =−20b =500，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，(25＞x ≥6)；(2)设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y (x ﹣6)＝﹣20(x ﹣25)(x ﹣6)，∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x =−b 2a =312=15.5时，w 的最大值为1805元； (3)当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照(2)的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50(500﹣20x )≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20(x ﹣25)(x ﹣6)，当x ＝13时，w ＝1680， 此时，既能销售完又能获得最大利润．26．(10分)(2020•衢州模拟)(1)模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；(2)模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．【解析】解：(1)△BDE ∽△CFD ，理由：∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°，∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝180°﹣α，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝180°﹣α，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ，∴△BDE ∽△CFD ；(2)①设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8， 由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠B +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF =BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AC ﹣AF ＝8﹣y ，CD ＝BC ﹣BD ＝6，∴28−y=8−x 6=xy，∴{2y =x(8−y)6x =y(8−x)，∴x y =1014=57，∴AE AF =57； ②设AE ＝x ，AF ＝y ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝8，由折叠知，DE ＝AE ＝x ，DF ＝AF ＝y ，∠EDF ＝∠A ＝60°，在△BDE 中，∠ABC +∠BDE +∠BED ＝180°， ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°，∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°，∴∠BED ＝∠CDF ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠DBE ＝∠DCF ＝120°，∴△BDE ∽△CFD ，∴BD CF=BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ，CF ＝AF ﹣AC ＝y ﹣8，CD ＝BC +BD ＝10，∴2y−8=8−x10=x y ，∴{2y =x(y −8)10x =y(8−x)，∴x y =13．∵△BDE ∽△CFD ，∴△BDE 与△CFD 的周长之比为DE DF=x y=13．27．(12分)(2020•铁岭四模)如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． (1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：(1)将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0，解得：{b =43c =8，∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8；(2)①∵OA ＝8，OC ＝6，∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35， ∴QE 10−m=35，∴QE =35(10﹣m )，∴S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m ； ②∵S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m =−310(m ﹣5)2+152， ∴当m ＝5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32，D 的坐标为(3，8)，Q (3，4)，当∠FDQ ＝90°时，F 1(32，8)，当∠FQD ＝90°时，则F 2(32，4)，当∠DFQ ＝90°时，设F (32，n )，则FD 2+FQ 2＝DQ 2，即94+(8﹣n )2+94+(n ﹣4)2＝16，解得：n ＝6±√72，∴F 3(32，6+√72)，F 4(32，6−√72)，满足条件的点F 共有四个，坐标分别为F 1(32，8)，F 2(32，4)，F 3(32，6+√72)，F 4(32，6−√72)．。
北师大版数学九年级上学期《期末检测试卷》含答案解析
北 师 大 版 数 学 九 年 级 上 学 期期 末 测 试 卷一、选择题1.已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆柱D. 圆锥2.若方程()23220190m x x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 应满足的条件是（ ） A. 3 m >B. 3m <C. 3m ≠D. 3m =3.在正方形网格中，ABC 如图放置，则tan CAB ∠=（ ）A.32B.23C.1313D.124.若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（ ） A. 3y x=-B. 32y x =-C. 3y x=D. 2y x =-5.丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.38.10.15如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数6.方程()3-=x x x 的根是（ ） A. 3x =B. 0x =C. 120,3x x ==D. 120,4x x ==7.如图，O 中，弦AC BD 、相交于点E ，连接AD BC 、，若30C ∠=︒，100AEB ∠=︒，则A ∠=（ ）A. 30B. 50C. 70D. 1008.菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直9.如图，抛物线的图像交x 轴于点(20)A -，和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论错误的是（ ）A. 02ba-< B.0a bc+> C. 420a b c -+= D. 1ac b =-10.如图，在等腰ABC 中，,AB AC BD AC =⊥于点35D cosA =,，则sin CBD ∠的值（ ）A.12B. 2C.5 D.5 二、填空题11.已知23ab=，则a ba b+=-_______．12.已知平行四边形ABCD中，AD AC=，且75,D BE AC∠=︒⊥于点E，则EBC∠=_____．13.将二次函数21:23C y x x=+-的图像向左平移1个单位得到2C，则函数2C的解析式为______．14.如图，在ABC中，90C∠=︒，810,AC AB==,按以下步骤作图：①在,AB AC上分别截取,,AM AN使;AM AN=②分别以M N、为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在BAC∠内交于点;P③作射线AP交BC于点D，则CD=_______．三、解答题15.（1）计算：()2013.148445132sinπ-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）解分式方程：21321xxx---=-；（3）解不等式组：()7422531xxx x+⎧<⎪⎨⎪+>-⎩．16.先化简：248211mmm m⎛⎫÷+-⎝-⎪⎭，再求代数式的值，其中m是方程224x x-=的一个根．17.2019年九龙口诗词大会在九龙口镇召开，我校九年级选拔了3名男生和2名女生参加某分会场的志愿者工作．本次学生志愿者工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．（1）若要从这5名志愿者中随机选取一位作为引导员，求选到女生的概率；（2）若甲、乙两位志愿者都从三个岗位中随机选择一个，请你用画树状图或列表法求出他们恰好选择同一个岗位的概率．（画树状图和列表时可用字母代替岗位名称）18.“道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70/km h ”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边25m 处有“车速检测仪O ”，测得该车从北偏西60︒的A 点行驶到北偏西30的B 点，所用时间为32s ．（1）试求该车从A 点到B 点的平均速度(结果保留根号)； （2）试说明该车是否超速．19.如图，已知直线1y x m =-+与x 轴、y 轴分别交于点,A B 、与双曲线()20ky x x=>分别交于点C D 、，且点C的坐标为()1,2．（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式； （2）求出点D 的坐标；（3）利用函数图像直接写出：当x 在什么范围内取值时21y y <．20.如图， 90Rt ABC BAC AD BC ∠=︒⊥,,于D ，以AD 直径作O ，交AC 于点,E 恰有CE AD =，连接DE ．（1）如图1，求证：CDE ABD ≌；（2）如图2，连接BE 分别交AD ，O 于点,,F G 连接,AG DG ,试探究DG 与BF 之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若2DG =，求AD 的长．四、填空题21.关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=有两个不相等的实数根，则整数m 的最大值是______．22.如果a 是从2,0,2,4-四个数中任取的一个数，那么关于x 的方程2122a x x -=++的根是负数的概率是________．23.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，若点A 在反比例函数4y x=的图像上，点B 在反比例函数k y x=的图像上，且23tan BAO ∠=，则k =_______．24.形状与抛物线2223y x x =-++相同，对称轴是直线1x =-，且过点()0,3-的抛物线的解析式是________．25.已知菱形ABCD 中，120A ∠=︒，4AB =，边,AD CD 上有点E 、点F 两动点，始终保持DE DF =，连接,,BE EF 取BE 中点G 并连接,FG 则FG 的最小值是_______．五、解答题26.近段时间成都空气质量明显下降，市场上的空气净化器再次成为热销，某商店经销--种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量y 台与销售单价x (元)的关系为2800y x =-+．（1）该商店每月的利润为W 元，写出利润W 与销售单价x 的函数关系式； （2）若要使每月的利润为20000元，销售单价应定为多少元？（3）商店要求销售单价不低于250元， 也不高于320元，那么该商店每月的最高利润和最低利润分别为多少？27.如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与正方形ABCD 的顶点D 重合，三角板的一边交BC 于点G ，另一边交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DF DG =；（2）如图2，将三角板绕点D 旋转，当2ADB FDA ∠=∠时，连接FG 交AD 于点,H 求证：2DG DB DH =⋅；（3）如图3，将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且将三角板的直角顶点放于对角线BD (不与端点重合)上，使三角板的一边经过点A ，另一边交CB 于点G ，若AB m BC n ==,，求EGEA的值．28.如图，在平面直角坐标系中，点A 是y 轴正半轴上的一动点，抛物线254y mx mx m =-+(m 是常数，且0)m >过点A ，与x 轴交于B C 、两点，点B 在点C 左侧，连接AB ，以AB 为边做等边三角形ABD ，点D 与点O 在直线AB 两侧．（1）求B 、C 的坐标；（2）当AD y ⊥轴时，求抛物线的函数表达式； （3）①求动点D 所成的图像的函数表达式； ②连接CD ，求CD 的最小值．答案与解析一、选择题1.已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆柱D. 圆锥【答案】D 【解析】 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 【详解】解：主视图和左视图都是三角形，∴此几何体为椎体，俯视图是一个圆，∴此几何体为圆锥．故选：D ．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．2.若方程()23220190m x x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 应满足的条件是（ ）A. 3 m >B. 3m <C. 3m ≠D. 3m =【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出30m -≠，求出即可． 【详解】解：()23220190m x x ---=是关于x 的一元二次方程，30m ∴-≠，∴3m ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 都是常数，且0)a ≠．3.在正方形网格中，ABC 如图放置，则tan CAB ∠=（ ）A.32B.23213D.12【答案】B 【解析】 【分析】依据正切函数的定义：正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值叫做正切．由Rt ABC 中3AB =，2BC =，求解可得．【详解】解：在Rt ABC 中，3AB =，2BC =， 则23BC tan CAB AB ∠==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握正切函数的定义． 4.若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（ ） A. 3y x=-B. 32y x =-C. 3y x=D. 2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义及图象经过第二、四象限时k 0<，判断即可． 【详解】解：A 、对于函数3y x=-，是反比例函数，其30k =-<，图象位于第二、四象限； B 、对于函数32y x =-，是正比例函数，不是反比例函数； C 、对于函数3y x=，是反比例函数，图象位于一、三象限；D 、对于函数2y x =-，是二次函数，不是反比例函数；故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、反比例的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 5.丽华根据演讲比赛中九位评委所给的分数作了如下表格：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数【答案】D 【解析】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D.6.方程()3-=x x x 的根是（ ） A. 3x = B. 0x = C. 120,3x x == D. 120,4x x ==【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法，可得答案． 【详解】解：(3)x x x -= (31)0x x --=解得：10x =，24x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．注意此题中方程两边不能同时除以x ，因为x 可能为0．7.如图，O 中，弦AC BD 、相交于点E ，连接AD BC 、，若30C ∠=︒，100AEB ∠=︒，则A ∠=（ ）A. 30B. 50C. 70D. 100【答案】C【解析】【分析】 根据圆周角定理可得30D C ∠=∠=︒，再由三角形外角性质求出A ∠，解答即可．【详解】解：∵AB AB =，30C ∠=︒，∴30D C ∠=∠=︒又∵A D AEB ∠+∠=∠，100AEB ∠=︒，10070A D ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．8.菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直【答案】D【解析】【分析】根据菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，再结合菱形及矩形的性质，对各选项进行判断即可．【详解】解：因为菱形和矩形都是平行四边形，都具备平行四边形性质，即对边平行而且相等，对角相等，对角线互相平分． A 、对边平行且相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；B 、对角相等是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；C 、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故此选项错误；D 、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形及菱形的性质，属于基础知识考查题，同学们需要掌握常见几种特殊图形的性质及特点．9.如图，抛物线的图像交x 轴于点(20)A -，和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =，下列结论错误的是（ ）A. 02b a -<B. 0a b c +>C. 420a b c -+=D. 1ac b =-【答案】B【解析】【分析】A 根据对称轴的位置即可判断A 正确；图象开口方向，与y 轴的交点位置及对称轴位置可得0a >，0c <，0b >即可判断B 错误；把点A 坐标代入抛物线的解析式即可判断C ；把B 点坐标(),0c -代入抛物线的解析式即可判断D ； 【详解】解：观察图象可知对称性02b x a=-<，故结论A 正确， 由图象可知0a >，0c <，0b >， ∴0a b c+<，故结论B 错误； 抛物线经过(2,0)A -，420a b c ∴-+=，故结论C 正确，OB OC =，OB c ∴=-，∴点B 坐标为(,0)c -，20ac bc c ∴-+=，10ac b ∴-+=，1ac b ∴=-，故结论D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0)ab >，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即0)ab <，对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,)c ；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△240b ac =->时，抛物线与x 轴有2个交点；△240b ac =-=时，抛物线与x 轴有1个交点；△240b ac =-<时，抛物线与x 轴没有交点．10.如图，在等腰ABC 中，,AB AC BD AC =⊥于点35D cosA =,，则sin CBD ∠的值（ ） A . 12B. 2 5 5 【答案】D【解析】【分析】 先由35cosA =，易得35AD AB =，由AB AC =可得25CD AB =，进而用勾股定理分别将BD 、BC 长用AB 表示出来，再根据sin CD CBD BC ∠=即可求解． 【详解】解：∵BD AC ⊥，35cosA =， ∴35AD AB =， ∴223455BD AB AB AB ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又∵AB AC =，∴25CD AB AD AB =-=，在Rt DBC中，2222422555BC BD CD ABAB AB⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴255255ABsin CBDAB∠==，故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．二、填空题11.已知23a b=，则a ba b+=-_______．【答案】-5【解析】【分析】设23a bk==，可用参数k表示a、b，再根据分式的性质，可得答案．【详解】解：设23a bk==，得2a k=，3b k=，23523a b k ka b k k++==---，故答案为：5-．【点睛】本题考查了比例的性质，利用参数表示a、b可以简化计算过程．12.已知平行四边形ABCD中，AD AC=，且75,D BE AC∠=︒⊥于点E，则EBC∠=_____．【答案】60°【解析】【分析】根据平行四边形性质可得75ABC D ∠=∠=︒，再根据等腰三角形性质和三角形内角和求出30ACB ∠=︒，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，75ABC D ∴∠=∠=︒，AD BC =AD AC =，∴BC AC =，75ABC BAC ∴∠=∠=︒，∴180230ACB ABC ∠=︒-∠=︒BE AC ⊥，90BEC ∴∠=︒，9060EBC ACB ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：60°．【点睛】本题考查平行四边形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质求出ACB ∠，属于中考常考题型．13.将二次函数21:23C y x x =+-的图像向左平移1个单位得到2C ，则函数2C 的解析式为______．【答案】2(2)4y x =+-【解析】【分析】 直接将函数解析式写成顶点式，再利用平移规律得出答案．【详解】解：223y x x =+-2(1)4x =+-，将二次函数223y x x =+-的图象先向左平移1个单位， ∴得到的函数2C 的解析式为：2(11)4y x =++-2(24)x =+-，故答案为：2(2)4y x =+-． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律（上加下减，左加右减）是解题关键． 14.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，810,AC AB ==,按以下步骤作图：①在,AB AC 上分别截取,,AM AN 使;AM AN =②分别以M N 、为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点;P ③作射线AP 交BC 于点D ，则CD =_______．【答案】83【解析】【分析】由已知可求BC =6，作DE AB ⊥，由作图知AP 平分BAC ∠，依据90C AED ∠=∠=︒知CD DE =，再证Rt ACD Rt AED ∆≅∆得AC AE =可知BE =2，设CD DE x ==，则6BD x =-，在Rt BDE 中222DE BE BD +=得2222(6)x x +=-，解之可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D 作DE AB ⊥于点E ，由作图知AP 平分BAC ∠，90C AED ∠=∠=︒，CD DE ∴=，AD AD =，CD DE =，Rt ACD Rt AED(HL)∴∆≅∆，AC AE ∴=，∴2BE AB AE =-=，∵在ABC 中，90C ∠=︒，810,AC AB ==,22221086BC AB AC -=-=，设CD DE x ==，则6BD x =-在Rt BDE 中222DE BE BD +=∴2222(6)x x +=-，解得：83x =，即83CD =， 故选：83． 【点睛】本题综合考查了角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理构建方程求解是解题关键．三、解答题15.（1）计算：()2013.1444512sin π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （2）解分式方程：21321x x x---=-； （3）解不等式组：()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩．【答案】（1）4；（2）3x =；（3）18x <<．【解析】【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可．【详解】解：（1）()2013.1444512sin π-⎛⎫-+⎪⎝⎭， (214122=-⨯--+， 114=-+，4=+（2）21321x x x---=-， 去分母得：()()1132x x +-=-，解得：3x =，经检验3x =是原方程的根．（3）()742 2531x x x x +⎧<⎪⎨⎪+>-⎩①②， 解不等式①得1x >，解不等式②得8x <，∴原不等式组的解集为为：18x <<．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算、不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.先化简：248211m m m m ⎛⎫÷+- ⎝-⎪⎭，再求代数式的值，其中m 是方程224x x -=的一个根． 【答案】228m m-；4． 【解析】【分析】首先对括号内的分式进行通分，然后把除法转化为乘法即可化简，最后整体代值计算． 【详解】解：248211m m m m ⎛⎫÷+- ⎝-⎪⎭， ()()24228m m m m m m --+=-÷， ()()24222m m m m -=+， ()224m m =-，228m m=-； ∵m 是方程224x x -=的一个根，∴224m m -=，∴242m m -=，∴2284m m -=，∴原式=44mm==【点睛】本题考查了分式的化简求值和一元二次方程的根，熟知整体代入是解答此题关键．17.2019年九龙口诗词大会在九龙口镇召开，我校九年级选拔了3名男生和2名女生参加某分会场的志愿者工作．本次学生志愿者工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．（1）若要从这5名志愿者中随机选取一位作为引导员，求选到女生的概率；（2）若甲、乙两位志愿者都从三个岗位中随机选择一个，请你用画树状图或列表法求出他们恰好选择同一个岗位的概率．（画树状图和列表时可用字母代替岗位名称）【答案】（1）随机选取一位作为引导员，选到女生的概率为25；（2）甲、乙两位志愿者选择同一个岗位的概率为13．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）用列表法表示所有可能出现的情况，共9中可能的结果数，选择同一岗位的有三种，可求出概率．【详解】（1）5名志愿者中有2名女生，因此随机选取一位作为引导员，选到女生的概率为25，即：P＝25，答：随机选取一位作为引导员，选到女生的概率为2 5 .（2）用列表法表示所有可能出现的情况：∴3193 P==选择同一个岗位．答：甲、乙两位志愿者选择同一个岗位的概率为13．【点睛】本题考查了随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的.18.“道路千万条，安全第一条”，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70/km h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在据路边25m处有“车速检测仪O ”，测得该车从北偏西60︒的A 点行驶到北偏西30的B 点，所用时间为32s ．（1）试求该车从A 点到B 点的平均速度(结果保留根号)；（2）试说明该车是否超速．【答案】（1）3/9m s ；（2）没有超过限速． 【解析】【分析】（1）分别在Rt AOC 、Rt BOC △中，利用正切求得AC 、BC 的长，从而求得AB 的长，已知时间路程则可以根据公式求得其速度．（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算． 【详解】解：（1）在Rt AOC 中，tan 25tan 60253AC OC AOC m =∠=⨯︒=， 在Rt BOC △中，253tan 25tan 30BC OC BOC =∠=⨯︒=， 503)AB AC BC m ∴=-=． ∴小汽车从A 到B 的速度为331003(/)329m s ÷=．（2）70100017570///36009km h m s m s ⨯==， 又1003173.2175999≈<， ∴小汽车没有超过限速．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．． 19.如图，已知直线1y x m =-+与x 轴、y 轴分别交于点,A B 、与双曲线()20k y x x=>分别交于点C D 、，且点C 的坐标为()1,2．（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式；（2）求出点D 的坐标；（3）利用函数图像直接写出：当x什么范围内取值时21y y <． 【答案】（1）13y x =-+，22y x =；（2）D (2,1)；（3）12x <<． 【解析】【分析】（1）把(1,2)C 代入1y x m =+得到m 的值，把(1,2)C 代入双曲线2(0)k y x x=<得到k 的值； （2）把一次函数和反比例函数的解析式联立方程，解方程即可求得；（3）直线1y x m =+图象在双曲线2(0)k y x x=<上方的部分时x 的值，即为21y y <时x 的取值范围． 【详解】解：（1）把点(1,2)C 代入1y x m =-+，得：3m =，∴直线AB 的解析式13y x =-+；把点(1,2)C 代入2(0)k y x x=>， 得：2k =， ∴双曲线的解析式22y x=； （2）解32y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得1112x y =⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=⎩， D ∴点的坐标为(2,1)；（3）(1,2)C ，D 的坐标为(2,1)，观察图形可知：当21y y <时，x 的取值范围为：12x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题：把两函数的解析式联立起来组成方程组，解方程组即可得到它们的交点坐标．也考查了数形结合的思想，利用数形结合解决取值范围的问题，是非常有效的方法．20.如图， 90Rt ABC BAC AD BC ∠=︒⊥,,于D ，以AD 直径作O ，交AC 于点,E 恰有CE AD =，连接DE ．（1）如图1，求证：CDE ABD ≌；（2）如图2，连接BE 分别交AD ，O 于点,,F G 连接,AG DG ,试探究DG 与BF 之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若2DG =，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2BF DG =；理由见解析；（351．【解析】【分析】（1）由直径所对圆周角等于90度可得90AED ∠=︒，进而易证CDE B ∠=∠，再根据AAS 即可证明CDE ABD ≌；（2）由CDE ABD ≌，可得DE DB =，进而可知DEB DBE ∠=∠，再由同弧所对圆周角相等可得DAG DEB ∠=∠，再分别证明BDG DBE ∠=∠， GFD GDF ∠=∠，从而可得DG GF GB ==，即可解决问题；（3）设CD AB y ==，DE DB z ==，由//DE BC ，可得DE CD BC CB =，可得y =，由//DE BC ，可得DE EF DF BA BF AF ===2DF k =，(1AF k =，根据EF FG DF AF =，可得2)22(15)k k -=+，求出k 即可解决问题． 【详解】解：（1）证明： AD 是直径，90AED ∴∠=︒90CED ∴∠=︒，∵AD BC ⊥，90∴∠=∠=︒ADB CED ，90BAC ∠=︒，//DE BC ∴，CDE B ∴∠=∠， 又∵CE AD =，CDE ABD ∴≌（AAS ）．（2）结论：2BF DG =．理由如下：由（1）可得：CDE ABD ≌，DE DB ∴=，DEB DBE ∴∠=∠，AD 是直径，90AGD ∴∠=︒∴90ADG DAG ∠+∠=︒，90BDG ADG ∠+∠=︒，BDG DAG ∴∠=∠，又∵AG AG =，∴DEB DAG ∠=∠，∴BDG DBE ∠=∠DG GB ∴=，90DFG DBF ∠+∠=︒，90FDG BDG ∠+∠=︒，GFD GDF ∴∠=∠，DG GF GB ∴==，2BF DG ∴=．（3）解：设AB CD y ==，DE DB z ==，//DE BC ， ∴DE CD AB CB ， ∴z y y y z=+ 整理得220y yz z --=，15y +∴或15y z -=（舍弃）， //DE BC ， ∴15DE EF DF AB BF AF ===+， 又∵由（2）可知222BF DG == ∴2215=+，102EF ∴=∵DEB DAG ∠=∠，EFD AFG ∠=∠ ∴DEFGAF ， ∴EF DF AF FG=， 设2DF k =，(15)AF k =+，=，k ∴=，1AD DF AF ∴=+=，【点睛】本题综合考查了圆与相似，涉及了圆的性质、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．四、填空题21.关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=有两个不相等的实数根，则整数m 的最大值是______． 【答案】1【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则0a ≠而且根的判别式△240b ac =->，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围． 【详解】解：一元二次方程()22210m x x --+=有两个不相等的实数根， ∴△()()22420m =--->且()20m -≠，解得3m <且2m ≠，故整数m 的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，特别要注意容易忽略方程是一元二次方程的前提即二次项系数不为0．22.如果a 是从2,0,2,4-四个数中任取的一个数，那么关于x 的方程2122a x x -=++的根是负数的概率是________． 【答案】12【解析】分析】解分式方程得4x a =-，由方程的根为负数得出40a -<且42a -≠-，即a 的取值范围，再从所列4个数中找到符合条件的结果数，从而利用概率公式计算可得．【详解】解：2122 ax x-=++将方程两边都乘以2x+，得：()22a x-+=，解得4x a=-，方程的解为负数，40a∴-<且42a-≠-，则4a<且2a≠，所以在所列的4个数中，能使此方程的解为负数的有0、-2这2个数，则关于x的方程2122ax x-=++的根为负数的概率为2142=，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了分式方程的解法和概率公式，解题的关键是掌握解分式方程的能力及随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．23.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，若点A在反比例函数4yx=的图像上，点B在反比例函数kyx=的图像上，且23tan BAO∠=，则k=_______．【答案】169-【解析】【分析】构造一线三垂直可得BCO ODA∆∆∽，由相似三角形性质可得2BCOAODBSS AOO∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合23tan BAO∠=得出22439BCOAODSS∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭，进而得出89BOCS∆=，即可得出答案．【详解】解：过点B作BC x⊥轴于点C，过点A作AD x⊥轴于点D，90BOA ∠=︒，90BOC AOD ∴∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，BOC OAD ∴∠=∠，又90BCO ADO ∠=∠=︒，BCO ODA ∴∆∆∽， ∴2BCO AOD B S S AO O ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴23BO tan BAO AO =∠=， ∴49BCO AOD S S ∆∆=， 点A 在反比例函数4y x=的图像上， ∴11222AD DO xy ⨯⨯==， 148299BCO AOD S BC CO S ∆∆∴⨯⨯===， ∴169k = 经过点B 的反比例函数图象在第二象限， 故反比例函数解析式为：169y x =-．即169k =-． 故答案为：169-． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，掌握反比例函数中k 的几何意义和构造一线三垂直模型得相似三角形，从而正确得出89BCO S ∆=是解题关键． 24.形状与抛物线2223y x x =-+相同，对称轴是直线1x =-，且过点()0,3-的抛物线的解析式是________．【答案】2243y x x =+-或2423y x x -=--．【解析】【分析】 先从已知入手：由与抛物线2223y x x =-++形状相同则||a 相同，且经过()0,3-点，即把()0,3-代入得3c =-，再根据对称轴为12b x a=-=-可求出b ，即可写出二次函数的解析式． 【详解】解：设所求的二次函数的解析式为：2y ax bx c =++，与抛物线2223y x x =-++形状相同，||2a ∴=，2a =±，又∵图象过点()0,3-，∴3c =-，∵对称轴是直线1x =-，∴12b x a=-=-， ∴当2a =时，4b =，当2a =-时，4b =-，∴所求的二次函数的解析式为：2243y x x =+-或2423y x x -=--．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的系数和图象之间的关系．解答时注意抛物线形状相同时要分两种情况：①开口向下，②开口向上；即||a 相等．25.已知菱形ABCD 中，120A ∠=︒，4AB =，边,AD CD 上有点E 、点F 两动点，始终保持DE DF =，连接,,BE EF 取BE 中点G 并连接,FG 则FG 的最小值是_______．【答案】3【解析】【分析】过D 点作DH ⊥BC 交BC 延长线与H 点，延长EF 交DH 与点M ，连接BM ．由菱形性质和120A ∠=︒可证明FM DF EF DE ===，进而可得12FG BM =，由BM 最小值为BH 即可求解． 【详解】解：过D 点作DH ⊥BC 交BC 延长线与H 点，延长EF 交DH 与点M ，连接BM ．∵在菱形ABCD 中，120A ∠=︒，AD BC ∥，∴60ADC ∠=︒，DH BC ⊥，∴30HDC ∠=︒，∵DE DF =，60ADC ∠=︒，∴EF DE DF ==，∴60DEF ∠=︒，又∵DH BC ⊥，∴30MDF FMD ∠=∠=︒，∴FM DF EF ==，又∵BG EG =，∴12FG BM =， ∴当BM 最小时FG 最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM 的最小值等于BH ，∵在菱形ABCD 中， 4AB =，∴4AB BC CD ===又∵在Rt △CHD 中，30HDC ∠=︒，∴122CH CD ==， ∴426BH BC CH =+=+=，∴AM 的最小值为6，∴FG 的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．五、解答题26.近段时间成都空气质量明显下降，市场上的空气净化器再次成为热销，某商店经销--种空气净化器，每台净化器的成本价为200元，经过一段时间的销售发现，每月的销售量y 台与销售单价x (元)的关系为2800y x =-+．（1）该商店每月的利润为W 元，写出利润W 与销售单价x 的函数关系式；（2）若要使每月的利润为20000元，销售单价应定为多少元？（3）商店要求销售单价不低于250元， 也不高于320元，那么该商店每月的最高利润和最低利润分别为多少？【答案】（1）221200160000W x x =-+-；（2）300元；（3）最高利润为20000元，最低利润为15000元．【解析】【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量⨯（销售单价-成本价），即可列出函数关系式；（2）令20000W =代入解析式，求出满足条件的x 的值即可；（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值，将250x =代入即可求出最小值．【详解】解：（1）由题意得：2(200)(200)(2800)21200160000W x y x x x x =-=--+=-+-；（2）令22120016000020000W x x =-+-=，解得：12300x x ==，故要使每月的利润为20000元，销售单价应定为300元；（3）22212001600002(300)20000W x x x =-+-=--+，当250x =时，22(250300)2000015000W =--+=；故最高利润为20000元，最低利润为15000元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌握利用配方法求二次函数的最大值．27.如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与正方形ABCD 的顶点D 重合，三角板的一边交BC 于点G ，另一边交BA 的延长线于点F ．（1）求证：DF DG =；（2）如图2，将三角板绕点D 旋转，当2ADB FDA ∠=∠时，连接FG 交AD 于点,H 求证：2DG DB DH =⋅；（3）如图3，将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且将三角板的直角顶点放于对角线BD (不与端点重合)上，使三角板的一边经过点A ，另一边交CB 于点G ，若AB m BC n ==,，求EG EA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）m n． 【解析】【分析】 （1）根据旋转全等模型利用正方形的性质，由ASA 可证明Rt FED Rt GEB ∆≅∆，从而可得结论； （2）根据正方形性质可知45ADB DBC ∠=∠=︒，结合已知可得452CDG FDA BDG ︒∠=∠=∠=；再由（1）可知FDG △是等腰直角三角形可得45DFH ∠=︒ ，从而证明DFHDBG ，由相似三角形性质即可得出结论；（3）首先过点E 作EN BC ⊥，垂足为N ，交AD 于M 点，由有两角对应相等的三角形相似，证得。
北师大版数学九年级上学期《期末检测卷》带答案解析
北师大版九年级上学期数学期末测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2020•宜宾模拟）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程3x 2﹣6x ﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3，6，1B ．3，6，﹣1C ．3，﹣6，1D ．3，﹣6，﹣13．（2019秋•北仑区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，则sin B 的值是（）A ．23B ．35C ．34D ．454．（2020•徐汇区二模）关于抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1 C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是25．（2020•南岗区校级三模）对于每一象限内的双曲线y=mx，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m≥0D．m≤06．（2019•望花区二模）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率7．已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论:①DE∥BC；②OD=14BC；③AO＝FO；④S△AOD=14S△ABC．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2020•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类:可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）A ．16B ．18C ．112D ．1169．（2019•朝阳区二模）中国古代在利用”计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB 的示意图中，记照板”内芯”的高度为EF ．观测者的眼睛（图中用点C 表示）与BF 在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）A．EFAB =CFFBB．EFAB=CFCBC．CECA=CFFBD．CEEA=CFCB10．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论:①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．若x﹣2y＝4，则4x﹣8y﹣2＝．12．（2019秋•雁江区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝4，△ADE的面积为5，四边形BCED的面积为15，那么AB的长为13．（2020•高邮市一模）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为．14．（2019秋•二道区期末）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为_______m．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（2019秋•富锦市期末）计算（1）（a﹣2）2﹣2（a﹣2）﹣15＝0（2）（x﹣2）2＝4﹣2x（3）√3cos245°﹣sin30°tan60°+12sin60°（4）（π﹣2018）0+（sin60°）﹣1+|tan30°−√3|+√8316．（6分）（2019秋•辽宁月考）（1）画出下列几何体的三种视图（图1）．（2）如图2，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图和左视图．17．（8分）（2020•龙华区二模）在”停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明:当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据:sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，√2≈1.4，√3≈1.7）18．（8分）（2020•清江浦区一模）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用”画树状图”或”列表”等方法写出分析过程）19．（10分）（2019秋•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y=kx的图象交于点C（﹣1，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞kx的解集；（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S△ABM ＝2S△OMP时，求点P的坐标．20．（10分）（2019秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE 分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证:△AEB～△CFB；（2）若AE＝2EC，BC＝6．求AB的长．B卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（2019秋•长白县期末）已知，与抛物线y=12（x﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为．22．（2019秋•涟源市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ′B ′C ′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ′（6，2），若点A ′（5，6），则A 的坐标为 ．23．小丽自己动手做了一个质地均匀的正方体，该正方体六个面完全相同，分别有整数0，1，2，3，4，5，且每个面和它所相对的数字之和均相等，小丽向上抛该正方体，落地后正方体朝上数字作为a ，它所对的面的数字作为b ，则函数y ＝ax 2+bx +4与x 轴只有一个交点的概率为 ．24．（2020•盐池县模拟）抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx +c ＝0的解为 ．25．如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限内的点C分别在双曲线y =k 1x 和y =k2x 的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论:①阴影部分的面积为12（k 1+k 2）；②若B 点坐标为（0，6），A 点坐标为（2，2），则k 2＝﹣8；③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）（2019秋•洛川县期末）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现:售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．27．（10分）（2020•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A （﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．28．（12分）（2020•济宁模拟）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）若∠PBC＝α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．答案与解析A 卷（共100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2020•宜宾模拟）如图所示几何体的左视图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解:从几何体的左面看所得到的图形是:故选:A ．2．（3分）一元二次方程3x 2﹣6x ﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3，6，1B ．3，6，﹣1C ．3，﹣6，1D ．3，﹣6，﹣1【解答】解:一元二次方程3x 2﹣6x ﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣6，﹣1． 故选:D ．3．（3分）（2019秋•北仑区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，则sin B 的值是（）A ．23B ．35C ．34D ．45【解答】解:在Rt△ABC中，sin B=ACAB=45，故选:D．4．（3分）（2020•徐汇区二模）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是2【解答】解:∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选:D．5．（3分）（2020•南岗区校级三模）对于每一象限内的双曲线y=mx，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m≥0D．m≤0【解答】解:∵对于每一象限内的双曲线y=mx，y都随x的增大而增大，∴m＜0，故选:B．6．（3分）（2019•望花区二模）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率B ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率C ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率D ．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率【解答】解:A 、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为13≈0.33，故此选项正确；B 、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误；C 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；D 、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率14；故此选项错误．故选:A ． 7．（3分）已知如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，DE 、AF 交于点O ．现有以下结论: ①DE ∥BC ；②OD =14BC ；③AO ＝FO ；④S △AOD =14S △ABC ． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解:①如图，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ．故①正确；②如图，∵由①知，DE ∥BC ，∴△ADO ∽△ABF ，∴AD AB=OD BF=12，则OD =12BF ．又AF 是BC 边上的中线，∴BF ＝CF =12BC ，∴OD =14BC ．故②正确； ③∵由②知，△ADO ∽△ABF ，∴AD AB=AO AF=12，∴AO =12AF ，∴AO ＝FO ．故③正确；④∵由②知，△ADO ∽△ABF ，∴S △AOD S △ABF=（AD AB）2＝（12）2=14，∴S △AOD =14S △ABF ．又∵AF 是BC 边上的中线，∴S △ABF =12S △ABC ，∴S △AOD =18S △ABC ．故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个．故选:C ．8．（3分）（2020•郑州模拟）太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类:可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）A ．16B ．18C ．112D ．116【解答】解:回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A ，B ，C ，D 表示，垃圾分别用a ，b ，c ，d 表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a 、b ， 画树状图如图:共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112；故选:C ．9．（3分）（2019•朝阳区二模）中国古代在利用”计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板”内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（）A．EFAB =CFFBB．EFAB=CFCBC．CECA=CFFBD．CEEA=CFCB【解答】解:∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =CFCB=CECA，故选:B．10．（3分）（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论:①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解:由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴−b2a=2，∴4a+b＝0，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②③正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误， 即正确的结论有3个，故选:B ．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分） 11．（4分）若x ﹣2y ＝4，则4x ﹣8y ﹣2＝ 14 ．【解答】解:∵x ﹣2y ＝4，∴原式＝4（x ﹣2y ）﹣2＝16﹣2＝14．故答案为:14．12．（4分）（2019秋•雁江区期末）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，如果AE ＝4，△ADE 的面积为5，四边形BCED 的面积为15，那么AB 的长为 8【解答】解:∵∠ADE ＝∠C ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADE S △ABC=（AE AB）2，∵AE ＝4，△ADE 的面积为5，四边形BCED 的面积为15，∴55+15=（4AB）2，∴AB ＝8．故答案为8．13．（4分）（2020•高邮市一模）若关于x 的一元二次方程ax 2+2ax +4﹣m ＝0有两个相等的实数根，则a +m ﹣3的值为 1 ．【解答】解:∵关于x 的一元二次方程ax 2+2ax +4﹣m ＝0有两个相等的实数根，∴△＝b 2﹣4ac ＝4a （a ﹣4+m ）＝0，∵a ≠0，∴a ﹣4+m ＝0，∴a +m ＝4，∴a +m ﹣3＝4﹣3＝1．故答案为:1．14．（4分）（2019秋•二道区期末）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，则水面上涨的高度为165m ．【解答】解:如图:以水面为x 轴、桥洞的顶点所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A （5，0），C （0，5）， 设抛物线解析式为:y ＝ax 2+5，把A （5，0）代入，得a =−15，所以抛物线解析式为:y =−15x 2+5，当x ＝3时，y =165，所以当水面宽度变为6m ，则水面上涨的高度为165m ．故答案为165．三．解答题（共6小题，满分54分） 15．（12分）（2019秋•富锦市期末）计算 （1）（a ﹣2）2﹣2（a ﹣2）﹣15＝0 （2）（x ﹣2）2＝4﹣2x（3）√3cos 245°﹣sin30°tan60°+12sin60° （4）（π﹣2018）0+（sin60°）﹣1+|tan30°−√3|+√83【解答】解:（1）∵（a ﹣2）2﹣2（a ﹣2）﹣15＝0，∴（a ﹣2﹣5）（a ﹣2+3）＝0，即（a ﹣7）（a +1）＝0，则a ﹣7＝0或a +1＝0，解得a ＝7或a ＝﹣1；（2）∵（x ﹣2）2+2（x ﹣2）＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣2+2）＝0，即x （x ﹣2）＝0，则x ＝0或x ﹣2＝0， 解得x ＝0或x ＝2；（3）原式=√3×（√22）2−12×√3+12×√32=√3×12−√32+√34=√32−√32+√34=√34； （4）原式＝1+（√32）﹣1+|√33−√3|+2＝1+2√33+√3−√33+2＝3+4√33． 16．（6分）（2019秋•辽宁月考）（1）画出下列几何体的三种视图（图1）．（2）如图2，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图和左视图．【解答】解:（1）图1所示的几何体的三种视图如图所示:（2）图2是由小立方体搭成的几何体的俯视图，那么它的主视图、左视图如图所示:17．（8分）（2020•龙华区二模）在”停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明:当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据:sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，√2≈1.4，√3≈1.7）【解答】解:（1）由已知得AP＝BP=12AB＝16cm，在Rt△APE中，∵sin∠AEP=APAE，∴AE=APsin∠AEP=16sin18°≈160.3≈53，答:眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，在Rt△ABF中，AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°，∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×√33≈5.44，∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．答:显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．18．（8分）（2020•清江浦区一模）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用”画树状图”或”列表”等方法写出分析过程）【解答】解:画树状图为:共有9种等可能的结果数，小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率=2 9．19．（10分）（2019秋•德州期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y=kx的图象交于点C（﹣1，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞kx的解集；（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S△ABM ＝2S△OMP时，求点P的坐标．【解答】解:（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0∴b＝﹣4，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m∴m＝﹣6∴C（﹣1，﹣6）将C（﹣1，﹣6）代入y=kx，得﹣6=k−1，解得k＝6∴反比例函数的解析式为y=6 x；（2）解{y =2x −4y =6x得{x =−1y =−6或{x =3y =2， ∴直线AB 与反比例函数y =kx 的图象交于点C （﹣1，﹣6）和D （3，2）．如图，由图象可知:不等式2x +b ＞kx 的解集是﹣1＜x ＜0或x ＞3；（3）∵S △ABM ＝2S △OMP ，∴12×AM ×OB ＝6，∴12×AM ×4＝6∴AM ＝3，且点A 坐标（2，0）∴点M 坐标（﹣1，0）或（5，0）∴点P 的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，65）．20．（10分）（2019秋•思明区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是高，BE 平分∠ABC ．BE 分别与AC ，CD 相交于点E ，F ． （1）求证:△AEB ～△CFB ；（2）若AE ＝2EC ，BC ＝6．求AB 的长．【解答】（1）证明:CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A +∠ACD ＝90°．∵∠ACD +∠BCF ＝90°，∴∠A ＝∠BCF ．又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ，∴△AEB ∽△CFB ．（2）解:过点E 作EM ⊥AB 于点M ，如图所示．∵AE ＝2EC ，∴S △ABE ＝2S △CBE ，即12AB •EM ＝2×12BC •CE ．∵BE 平分∠ABC ，∴EM ＝CE ，∴AB ＝2BC ＝12．B 卷（共50分）四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）（2019秋•长白县期末）已知，与抛物线y =12（x ﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为 y =−12(x +1)2−3 ．【解答】解:∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y =12（x ﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为:﹣y =12（﹣x ﹣1）2+3，即y =−12（x +1）2﹣3．故答案为:y =−12（x +1）2﹣3． 22．（4分）（2019秋•涟源市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ′B ′C ′是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ′（6，2），若点A ′（5，6），则A 的坐标为 （2.5，3） ．【解答】解:∵点B （3，1），B ′（6，2），点A ′（5，6），∴A 的坐标为:（2.5，3）．故答案为:（2.5，3）．23．（4分）小丽自己动手做了一个质地均匀的正方体，该正方体六个面完全相同，分别有整数0，1，2，3，4，5，且每个面和它所相对的数字之和均相等，小丽向上抛该正方体，落地后正方体朝上数字作为a ，它所对的面的数字作为b ，则函数y ＝ax 2+bx +4与x 轴只有一个交点的概率为 13 ．【解答】解:∵每个面和它所相对的数字之和均相等，∴0与5相对，1与4相对，2与3相对，画树状图如下:共有6种情况，当a ＝0时，函数为y ＝5x +4，与x 轴只有一个交点，令y ＝0，则ax 2+bx +4＝0，∵函数与x 轴只有一个交点，∴△＝b 2﹣4a ×4＝b 2﹣16a ＝0，只有当a ＝1，b ＝4时满足，∴函数y ＝ax 2+bx +4与x 轴只有一个交点的情况有a ＝0，b ＝5；a ＝1，b ＝4两种情况，P =26=13． 故答案为:13． 24．（4分）（2020•盐池县模拟）抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx +c＝0的解为 x 1＝1，x 2＝﹣3 ．【解答】解:观察图象可知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的一个交点为（1，0），对称轴为x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（﹣3，0），∴一元二次方程2x 2﹣4x +m ＝0的解为x 1＝1，x 2＝﹣3． 故本题答案为:x 1＝1，x 2＝﹣3．25．（4分）如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限内的点C 分别在双曲线y =k 1x 和y =k2x 的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论:①阴影部分的面积为12（k 1+k 2）；②若B 点坐标为（0，6），A 点坐标为（2，2），则k 2＝﹣8；③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是 ②④ （填写正确结论的序号）．【解答】解:作AE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ，如图，①∵S △AOM =12|k 1|，S △CON =12|k 2|，∴S 阴影部分＝S △AOM +S △CON =12（|k 1|+|k 2|），而k 1＞0，k 2＜0，∴S 阴影部分=12（k 1﹣k 2），故①错误；②∵四边形OABC 是平行四边形，B 点坐标为（0，6），A 点坐标为（2，2），O 的坐标为（0，0）．∴C （﹣2，4）．又∵点C 位于y =k 2x 上，∴k 2＝xy ＝﹣2×4＝﹣8．故②正确； ③当∠AOC ＝90°，∴四边形OABC 是矩形，∴不能确定OA 与OC 相等，而OM ＝ON ，∴不能判断△AOM ≌△CNO ，∴不能判断AM ＝CN ，∴不能确定|k 1|＝|k 2|，故③错误；④若OABC 是菱形，则OA ＝OC ，而OM ＝ON ，∴Rt △AOM ≌Rt △CNO ，∴AM ＝CN ，∴|k 1|＝|k 2|， ∴k 1＝﹣k 2，∴两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，故④正确．故答案是:②④．五．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）（2019秋•洛川县期末）某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现:售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．【解答】解:（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得:50（1+m）2＝72，解得:m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答:该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得:（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得:x2﹣300x+14400＝0，解得:x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答:x为60元时商品每天的利润可达到4000元．27．（10分）（2020•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A （﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．【解答】解:（1）将A （﹣3，0）、B （2，0）、C （0，3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，{0=9a −3b +c 0=4a +2b +c 3=c ，解得:{ a =−12b =−12c =3，∴抛物线的解析式为:y =−12x 2−12x +3； （2）①将E （m ，2）代入y =−12x 2−12x +3中，得−12m 2−12m +3＝2，解得m ＝﹣2或1（舍去）， ∴E （﹣2，2），∵A （﹣3，0）、B （2，0），∴AB ＝5，AE =√5，BE ＝2√5，∴AB 2＝AE 2+BE 2，∴∠AEB ＝∠DOB ＝90°，∴∠EAB +∠EBA ＝∠ODB +∠EBA ＝90°，∴∠EAB ＝∠ODB ，（Ⅰ）当△FEA ∽△BOD 时，∴∠AEF ＝∠DOB ＝90°，∴F 与B 点重合，∴EF ＝BE ＝2√5，（Ⅱ）当△EF A ∽△BOD 时，∴∠AFE＝∠DOB＝90°，∵E（﹣2，2），∴EF＝2，故:EF的长为2√5或2；②点H的坐标为（−45，135）或（−449，59），（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，∴∠GMN＝∠CNH＝90°，又∠GHC＝90°，∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，∴∠CHN＝∠MGH，∵HN⊥CO，∠COP＝90°，∴HN∥AB，∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，∵E（﹣2，2），C（0，3），∴直线CE的解析式为y=12x+3，∴P（﹣6，0），∴EP＝EB＝2√5，∴∠APE＝∠EBA，∵∠GCH＝∠EBA，∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，∴GC∥PB，又C（0，3），∴G点的纵坐标为3，代入y=−12x2−12x+3中，得:x＝﹣1或0（舍去），∴MN＝1，∵∠AEB＝90°，AE=√5，BE＝2√5，∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH=AEBE=12，设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH=12m，∴MH+HN＝2m+12m＝1，解得，m=25，∴H 点的橫坐标为−45，代入y =12x +3，得:y =135，∴点H 的坐标为（−45，135）． （Ⅱ）过点H 作MN ⊥PB ，过点C 作CN ⊥MH 于点N ，过点G 作GM ⊥HM 于点M ，∴CN ∥PB ，∴∠NCH ＝∠APE ，由（Ⅰ）知:∠APE ＝∠EBA ，则∠NCH ＝∠EBA ，∵∠GMN ＝∠CNH ＝90°，又∠GHC ＝90°，∴∠HCN +∠NHC ＝∠MHG +∠NHC ＝90°，∴∠HCN ＝∠MHG ，∵∠GCH ＝∠EBA ，∴∠GCH ＝∠EBA ＝∠HCN ＝∠MHG ，由（Ⅰ）知:tan ∠EBA =12，则tan ∠MHG =GM HM =tan ∠GCH =HG CH =12，设MG ＝a ，则MH ＝2a ，∵∠NCH ＝∠MHG ，∠N ＝∠M ，∴△HMG ∽△CNH ，∴MH CN =MG NH=HG CH =12，∴NH ＝2a ，CN ＝4a ，又C （0，3）， ∴G （﹣3a ，3﹣4a ），代入y =−12x 2−12x +3中，得，a =119或0（舍去），∴CN =449，∴H 点的橫坐标为−449，代入y =12x +3，得，y =59．∴点H 的坐标为（−449，59）．综合以上可得点H 的坐标为（−45，135）或（−449，59）． 28．（12分）（2020•济宁模拟）正方形ABCD 中，点P 是边CD 上的任意一点，连接BP ，O 为BP 的中点，作PE ⊥BD 于E ，连接EO ，AE ．（1）若∠PBC ＝α，求∠POE 的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【解答】解:（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵∠PBC＝α，∴∠DBP＝45°﹣α，∵PE⊥BD，且O为BP的中点，∴EO＝BO，∴∠EBO＝∠BEO，∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；（2）BP=√2AE．证明如下:连接OC，EC，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，设∠PBC＝α，在Rt△BPC中，O为BP的中点，∴CO＝BO=12 BP，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠COP＝2 α，由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，又由（1）知BO＝EO，∴EO＝CO．∴△EOC是等腰直角三角形，∴EO2+OC2＝EC2，∴EC=√2OC=√22BP，即BP=√2EC，∴BP=√2AE．。
北师大版数学九年级上学期《期末考试卷》含答案
北 师 大 版 数 学 九 年 级 上 学 期期 末 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷（共100分）一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（2020•新宾县四模）在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,tan A ＝1,sin B =√22,你认为△ABC 最确切的判断是（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形2．（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019•桓台县二模）已知a b =25,则a+b b 的值为（ ）A ．25B ．35C ．23D ．754．（2020•临沂模拟）已知x 1,x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根,则x 12+x 22的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．45．将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+1B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣16．（2020•南山区校级二模）下列命题中,真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．07．（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2,点P 是线段AB 上的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√58．（2020•武昌区模拟）函数y =−a 2−1x（a 为常数）的图象上有三点（﹣4,y 1）,（﹣1,y 2）,（2,y 3）,则函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．如图,EF ∥AC ,GH ∥AB ,MN ∥BC ,EF 、GH 、MN 、交于点P ,则图中与△PGF 相似的三角形的个数是（ ）个．A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020•立山区二模）如图,⊙O 的半径是2,直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点,M 、N 是⊙O 上的两个动点,且在直线l 的异侧,若∠AMB ＝45°,则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A．2√2B．4C．4√2D．8√2二．填空题（共3小题,满分12分,每小题4分）11．（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a,2,6,a+1成比例,则a的值为．12．（2019秋•深圳期末）元旦到了,九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1560件,该班有个同学．13．（2020•无锡）如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB＝2AD,AE＝3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为．三．解答题（共6小题,满分54分）14．（12分）（2018秋•新都区期末）计算（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程：x（x﹣3）＝2x15．（6分）（2019•花都区一模）已知：A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）（1）化简A；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根,求A的值．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小,如图,当热气球升到某一位置时,小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°,已知点O为热气球中心,EA⊥AB,OB⊥AB,OB⊥OD,点C在OB上,AB＝30m,且点E、A、B、O、D在同一平面内,根据以上提供的信息,求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°＝1.192）17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学,恰好是甲的概率为；（2）抽取两名同学,求甲在其中的概率．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图,已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1,4）,点B（﹣4,n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．19．（10分）（2020•烟台二模）如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O 的切线BC 于点C ,过点E 作ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若DE ＝3,CE ＝2,①求BC AE 的值；②若点G 为AE 上一点,求OG +12EG 最小值．B 卷（共50分）四．填空题（共5小题,满分20分,每小题4分）20．（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0,则代数式5﹣6m +3n 的值是 ．21．（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4,﹣3,0,2,3的卡片,五张卡片除了数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为n ,则抽取的n 既能使关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根,又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为 ．22．（2019秋•滦州市期中）计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)= ．23．（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中,点A （3m ,2n ）在直线y ＝﹣x +1上,点B （m ,n ）在双曲线y =k x 上,则k 的取值范围为 ．24．（2020•青白江区模拟）如图,矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是AB 边上一点,且AE ＝2,点F 是边BC 上的任意一点,把△BEF 沿EF 翻折,点B 的对应点为G ,连接AG ,CG ,则四边形AGCD 的面积的最小值为 ．五．解答题（共3小题,满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照（2）的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能,请说明理由；若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润？26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究：如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点,且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形,其边长为8,E 为AB 边上一点,F 为射线AC 上一点,将△AEF 沿EF 翻折,使A 点落在射线CB 上的点D 处,且BD ＝2．①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF 的值；②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求△BDE 与△CFD 的周长之比．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合）,点Q为线段AC上一个动点,AQ＝CP,连接PQ,设CP ＝m,△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时,在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析A 卷（共100分）一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．（3分）（2020•新宾县四模）在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,tan A ＝1,sin B =√22,你认为△ABC 最确切的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 【解析】解：由题意,得∠A ＝45°,∠B ＝45°．∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°,故选：B ．2．（3分）（2020•成都模拟）如图所示的四棱柱的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解：由图可得,几何体的主视图是：故选：B ． 3．（3分）（2019•桓台县二模）已知a b =25,则a+b b 的值为（ ） A ．25B ．35C ．23D ．75 【解析】解：由a b =25,得a+b b =2+55=75．故选：D ．4．（3分）（2020•临沂模拟）已知x 1,x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根,则x 12+x 22的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．4【解析】解：∵x 1,x 2是方程x 2−√5x +1=0的两根,∴x 1+x 2=√5,x 1•x 2＝1,∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝5﹣2＝3．故选：A ．5．（3分）将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2+1B ．y ＝（x ﹣1）2+2C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x ﹣2）2﹣1【解析】解：y ＝x 2﹣2x +3＝x 2﹣2x +1+2＝（x ﹣1）2+2,故选：B ．6．（3分）（2020•南山区校级二模）下列命题中,真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,①是假命题；在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的,③是假命题；两直线平行,内错角相等,④是假命题；相等的角不一定是对顶角,⑤是假命题；垂线段最短,⑥是真命题,故选：C ．7．（3分）（2019秋•毕节市期末）已知AB ＝2,点P 是线段AB 上的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP 的长为（ ）A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√5【解析】解：由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP =√5−12×2=√5−1．故选：B．8．（3分）（2020•武昌区模拟）函数y=−a2−1x（a为常数）的图象上有三点（﹣4,y1）,（﹣1,y2）,（2,y3）,则函数值y1,y2,y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1【解析】解：∵a2≥0,∴﹣a2≤0,﹣a2﹣1＜0,∴反比例函数y=−a2−1x的图象在二、四象限,∵点（2,y3）的横坐标为2＞0,∴此点在第四象限,y3＜0；∵（﹣4,y1）,（﹣1,y2）的横坐标﹣4＜﹣1＜0,∴两点均在第二象限y1＞0,y2＞0,∵在第二象限内y随x的增大而增大,∴y2＞y1,∴y2＞y1＞y3．故选：A．9．（3分）如图,EF∥AC,GH∥AB,MN∥BC,EF、GH、MN、交于点P,则图中与△PGF相似的三角形的个数是（）个．A．4B．5C．6D．7【解析】解：∵EF∥AC,GH∥AB,MN∥BC,∴△PGF∽△EBF,△PGF∽△HGC,△AMN∽△ABC,△EMP∽△ENF,△HPN∽△HGC,△EBF∽△ABC,故选：C．10．（3分）（2020•立山区二模）如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB＝45°,则四边形MANB面积的最大值是（）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．8√2【解析】解：过点O 作OC ⊥AB 于C ,交⊙O 于D 、E 两点,连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ,如图, ∵∠AMB ＝45°,∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴AB =√2OA ＝2√2,∵S 四边形MANB ＝S △MAB +S △NAB ,∴当M 点到AB 的距离最大,△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时,△NAB 的面积最大,即M 点运动到D 点,N 点运动到E 点,此时四边形MANB 面积的最大值＝S 四边形DAEB ＝S △DAB +S △EAB =12AB •CD +12AB •CE =12AB （CD +CE ）=12AB •DE =12×2√2×4＝4√2．故选：C ．二．填空题（共3小题,满分12分,每小题4分）11．（4分）（2019秋•仪征市期末）已知四条线段a ,2,6,a +1成比例,则a 的值为 3 ．【解析】解：∵四条线段a ,2,6,a +1成比例,∴a 2=6a+1,解得：a 1＝3,a 2＝﹣4（舍去）,所以a ＝3,故答案为：312．（4分）（2019秋•深圳期末）元旦到了,九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1560件,该班有 40 个同学．【解析】解：设该班有x 个同学,则每个同学需交换（x ﹣1）件小礼物,依题意,得：x （x ﹣1）＝1560, 解得：x 1＝40,x 2＝﹣39（不合题意,舍去）．故答案为：40．13．（4分）（2020•无锡）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AB ＝4,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且DB ＝2AD ,AE ＝3EC ,连接BE ,CD ,相交于点O ,则△ABO 面积最大值为83．【解析】解：如图,过点D 作DF ∥AE ,则DF AE=BD BA =23,∵ECAE=13,∴DF ＝2EC ,∴DO ＝2OC ,∴DO =23DC ,∴S △ADO =23S △ADC ,S △BDO =23S △BDC ,∴S △ABO =23S △ABC ,∵∠ACB ＝90°,∴C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG ⊥AB 时,△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4,此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三．解答题（共6小题,满分54分） 14．（12分）计算（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+√27（2）解方程：x （x ﹣3）＝2x【解析】解：（1）原式＝1﹣1﹣3×√33+3√3＝1﹣1−√3+3√3＝2√3；（2）x （x ﹣3）﹣2x ＝0,x （x ﹣3﹣2）＝0,x ＝0或x ﹣3﹣2＝0,所以x 1＝0,x 2＝5． 15．（6分）（2019•花都区一模）已知：A ＝（m +1）（m ﹣1）﹣（m +2）（m ﹣3） （1）化简A ；（2）若关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根,求A的值．【解析】解：（1）A＝（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）＝m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6）,＝m2﹣1﹣m2+m+6,＝m+5,（2）∵一元二次方程x2+（m+2）x+14m2＝0有两个相等的实数根,∴△＝0,即△＝（m+2）2﹣4×14m2=0,解得m＝﹣1．当m＝﹣1时,A＝m+5＝﹣1+5＝4．16．（8分）（2020•陕西一模）小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小,如图,当热气球升到某一位置时,小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°,已知点O为热气球中心,EA⊥AB,OB⊥AB,OB⊥OD,点C在OB上,AB＝30m,且点E、A、B、O、D在同一平面内,根据以上提供的信息,求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°＝1.192）【解析】解：如图,过E点作EF⊥OB于F,过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中,CF＝EF•tan50°＝AB•tan50°＝35.76m,在Rt△DEG中,DG＝EG•tan60°=√3EG,设热气球的直径为x米,则35.76+12x=√3（30−12x）,解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．17．（8分）（2019秋•仪征市期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．（1）抽取一名同学,恰好是甲的概率为 14；（2）抽取两名同学,求甲在其中的概率．【解析】解：（1）随机抽取1名学生,可能出现的结果有4种,即甲、乙、丙、丁,并且它们出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种,所以抽取一名同学,恰好是甲的概率为14,故答案为：14．（2）随机抽取2名学生,可能出现的结果有6种,即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中的结果有3种,即甲乙、甲丙、甲丁,故抽取两名同学,甲在其中的概率为36=12．18．（10分）（2020•宿州模拟）如图,已知反比例函数y =kx的图象与一次函数y ＝x +b 的图象交于点A （1,4）,点B （﹣4,n ）． （1）求n 和b 的值； （2）求△OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．【解析】解：（1）把A 点（1,4）分别代入反比例函数y =kx ,一次函数y ＝x +b ,得k ＝1×4,1+b ＝4, 解得k ＝4,b ＝3,∵点B （﹣4,n ）也在反比例函数y =4x 的图象上,∴n =4−4=−1；（2）如图,设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ,∵当x ＝0时,y ＝3,∴C （0,3）,∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4＝7.5；（3）∵B （﹣4,﹣1）,A （1,4）,∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时,一次函数值大于反比例函数值．19．（10分）（2020•烟台二模）如图,已知AB 是圆O 的直径,F 是圆O 上一点,∠BAF 的平分线交⊙O 于点E ,交⊙O 的切线BC 于点C ,过点E 作ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若DE ＝3,CE ＝2,①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点,求OG +12EG 最小值．【解析】（1）证明：连接OE ∵OA ＝OE ∴∠OAE ＝∠OEA ∵AE 平分∠BAF ∴∠OAE ＝∠EAF ∴∠OEA ＝∠EAF ∴OE ∥AD ∵ED ⊥AF ∴∠D ＝90°∴∠OED ＝180°﹣∠D ＝90°∴OE ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线（2）解：①连接BE ∵AB 是⊙O 直径∴∠AEB ＝90°∴∠BEA ＝∠D ＝90°,∠BAE +∠ABE ＝90° ∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝90°∴∠BAE ＝∠CBE ∵∠DAE ＝∠BAE ∴∠DAE ＝∠CBE ∴△ADE ∽△BEC ∴AE BC=DE CE∵DE ＝3,CE ＝2∴BC AE=23②过点E 作EH ⊥AB 于H ,过点G 作GP ∥AB 交EH 于P ,过点P 作PQ ∥OG 交AB 于Q∴EP ⊥PG ,四边形OGPQ 是平行四边形∴∠EPG ＝90°,PQ ＝OG ∵BC AE=23∴设BC ＝2x ,AE ＝3x ∴AC ＝AE +CE ＝3x +2∵∠BEC ＝∠ABC ＝90°,∠C ＝∠C ∴△BEC ∽△ABC∴BC AC=CE BC∴BC 2＝AC •CE 即（2x ）2＝2（3x +2）解得：x 1＝2,x 2=−12（舍去）∴BC ＝4,AE ＝6,AC ＝8∴sin ∠BAC =BC AC =12,∴∠BAC ＝30°∴∠EGP ＝∠BAC ＝30°∴PE =12EG ∴OG +12EG ＝PQ +PE ∴当E 、P 、Q 在同一直线上（即H 、Q 重合）时,PQ +PE ＝EH 最短 ∵EH =12AE ＝3∴OG +12EG 的最小值为3B 卷（共50分）四．填空题（共5小题,满分20分,每小题4分）20．（4分）（2019•宿豫区模拟）若2m ﹣n +1＝0,则代数式5﹣6m +3n 的值是 8 ．【解析】解：∵2m ﹣n +1＝0,∴2m ﹣n ＝﹣1,则原式＝5﹣3（2m ﹣n ）＝5+3＝8,故答案为：821．（4分）（2019•大邑县模拟）有五张正面分别写有数字﹣4,﹣3,0,2,3的卡片,五张卡片除了数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为n ,则抽取的n 既能使关于x的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根,又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为15．【解析】解：∵关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根,∴当n ＝﹣3时,关于x 的方程（n +3）x 2+（n +1）x +12=0有实数根,当n ≠﹣3时,（n +1）2﹣4（n +3）×12=n 2﹣5≥0,∴n 2≥5, ∵反比例函数y =n 2−16x的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴n 2﹣16＜0,∴n 2＜16,∴5≤n 2≤16,∴n ＝3,∴概率为,15,故答案为：15．22．（4分）（2019秋•滦州市期中）计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=2019x(x+2019)．【解析】解：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x−2−1x+3+⋯+1x+2018−1x+2019=1x−1x+2019=2019x(x+2019)故答案为：2019x(x+2019)．23．（4分）（2019•南充）在平面直角坐标系xOy 中,点A （3m ,2n ）在直线y ＝﹣x +1上,点B （m ,n ）在双曲线y =kx上,则k 的取值范围为 k ≤124且k ≠0 ． 【解析】解：∵点A （3m ,2n ）在直线y ＝﹣x +1上,∴2n ＝﹣3m +1,即n =−3m+12, ∴B （m ,−3m+12）,∵点B 在双曲线y =kx 上,∴k ＝m •−3m+12=−32（m −16）2+124,∵−32＜0,∴k 有最大值为124,∴k 的取值范围为k ≤124,∵k ≠0,故答案为k ≤124且k ≠0． 24．（4分）（2020•青白江区模拟）如图,矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是AB 边上一点,且AE ＝2,点F 是边BC 上的任意一点,把△BEF 沿EF 翻折,点B 的对应点为G ,连接AG ,CG ,则四边形AGCD 的面积的最小值为152．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形,∴CD ＝AB ＝3,AD ＝BC ＝4,∠ABC ＝∠D ＝90°,根据勾股定理得,AC ＝5,∵AB ＝3,AE ＝2, ∴点F 在BC 上的任何位置时,点G 始终在AC 的下方,设点G到AC的距离为h,∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6,∴要四边形AGCD的面积最小,即：h最小,∵点G是以点E为圆心,BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,∴EG⊥AC时,h最小,即点E,点G,点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°,延长EG交AC于H,则EH⊥AC,在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAC=45,在Rt△AEH中,AE＝2,sin∠BAC=EHAE=45,∴EH=45AE=85,∴h＝EH﹣EG=85−1=35,∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152．故答案为：152．五．解答题（共3小题,满分30分）25．（8分）某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照（2）的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能,请说明理由；若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润？【解析】解：（1）将点（15,200）、（10,300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{200=15k +b300=10k +b ,解得：{k =−20b =500,即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500,（25＞x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时,每天销售获得的利润w 最大,则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）,∵﹣20＜0,故w 有最大值,当x =−b 2a =312=15.5时,w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时,y ＝190,50×190＜12000,故：按照（2）的销售方式,不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时,既能销售完又能获得最大利润w ,由题意得：50（500﹣20x ）≥12000,解得：x ≤13,w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）,当x ＝13时,w ＝1680, 此时,既能销售完又能获得最大利润．26．（10分）（2020•衢州模拟）（1）模型探究：如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点,且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形,其边长为8,E 为AB 边上一点,F 为射线AC 上一点,将△AEF 沿EF 翻折,使A 点落在射线CB 上的点D 处,且BD ＝2．①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF的值；②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求△BDE 与△CFD 的周长之比．【解析】解：（1）△BDE ∽△CFD ,理由：∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ,在△BDE 中,∠B +∠BDE +∠BED ＝180°,∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝180°﹣α,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝180°﹣α,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠B ＝∠C ,∴△BDE ∽△CFD ；（2）①设AE ＝x ,AF ＝y ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°,AB ＝BC ＝AC ＝8, 由折叠知,DE ＝AE ＝x ,DF ＝AF ＝y ,∠EDF ＝∠A ＝60°,在△BDE 中,∠B +∠BDE +∠BED ＝180°, ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝120°,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠B ＝∠C ＝60°,∴△BDE ∽△CFD ,∴BD CF=BE CD =DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ,CF ＝AC ﹣AF ＝8﹣y ,CD ＝BC ﹣BD ＝6,∴28−y=8−x 6=xy,∴{2y =x(8−y)6x =y(8−x),∴x y =1014=57,∴AE AF =57； ②设AE ＝x ,AF ＝y ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°,AB ＝BC ＝AC ＝8,由折叠知,DE ＝AE ＝x ,DF ＝AF ＝y ,∠EDF ＝∠A ＝60°,在△BDE 中,∠ABC +∠BDE +∠BED ＝180°,∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠ABC ＝120°,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°,∴∠DBE ＝∠DCF ＝120°,∴△BDE ∽△CFD ,∴BD CF=BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ,CF ＝AF ﹣AC ＝y ﹣8,CD ＝BC +BD ＝10,∴2y−8=8−x 10=x y ,∴{2y =x(y −8)10x =y(8−x),∴x y =13．∵△BDE ∽△CFD ,∴△BDE 与△CFD 的周长之比为DE DF=x y=13．27．（12分）（2020•铁岭四模）如图,在矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为（0,8）,点C 的坐标为（6,0）．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ,与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合）,点Q 为线段AC 上一个动点,AQ ＝CP ,连接PQ ,设CP ＝m ,△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时,在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上,若存在点F ,使△DFQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在,请说明理由．【解析】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线,得{c =8−49×36+6b +c =0,解得：{b =43c =8,∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8； （2）①∵OA ＝8,OC ＝6,∴AC =√OA 2+OC 2=10,过点Q 作QE ⊥BC 与E 点,则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35, ∴QE 10−m=35,∴QE =35（10﹣m ）,∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ； ②∵S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m =−310（m ﹣5）2+152, ∴当m ＝5时,S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ,使△FDQ 为直角三角形,∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32,D 的坐标为（3,8）,Q （3,4）,当∠FDQ ＝90°时,F 1（32,8）,当∠FQD ＝90°时,则F 2（32,4）,当∠DFQ ＝90°时,设F （32,n ）,则FD 2+FQ 2＝DQ 2,即94+（8﹣n ）2+94+（n ﹣4）2＝16,解得：n ＝6±√72,∴F 3（32,6+√72）,F 4（32,6−√72）,满足条件的点F 共有四个,坐标分别为F 1（32,8）,F 2（32,4）,F 3（32,6+√72）,F 4（32,6−√72）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
17.小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18.某中学组织学生参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示:
A. B. C. D.
4.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）
A.从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C.抛一枚硬币，出现正面的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少？
19.如图,一大桥的桥拱为抛物线形,跨度AB=50米,拱高(即顶点C到AB的距离)为20米,求桥拱所在抛物线的表达式.
20.如图,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为 ,塔底B的仰角为 .已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内.
空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分；
空间中有5个平面时，新增 一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
北师大版九年级上学期数学期末测试卷
学校________班级________姓名________成绩________
一．选择题
1.计算tan45°+cos60°的值为（ ）
A. B. C. D.
2.画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图,其中正确的是( )
A. B. C. D.
3.在 中， ， ，则 ( )
三．作图题
15.小明想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图帮小明把这个菱形作出来. (用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹).
四、解答题
16.（1）解方程:（x-3）2-2x（x-3）=0
（2）用配方法确定二次函数y=－x2+5x+3 图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
①请你仿照前面 推导过程,写出”5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程(只写推导过程,不画图)；
②根据递推规律用n 代数式填空:n条直线最多可以把平面分割成几个部分.
问题的解决:借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?
首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分；
故选A．
考点:模拟实验；频数（率）分布折线图；概率公式．
5.某市2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为 %，则 %满足的关系是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
设2016年的国内生产总值为1，
①当t=时，PQ⊥AC；
②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l.
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
答案与解析
一．选择题
1.计算tan45°+cos60°的值为（ ）
A. B. C. D.
23.问题的提出:n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?
问题的转化:由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题:
n条直线最多可以把平面分割成多少个部分?
如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；
如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；
求:（1）P到OC的距离.
（2）山坡的坡度 .
（参考数据 , ， ， ）
21.如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=___°时，四边形BECD 矩形.
22.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二．填空题
9.方程 的解是_______.
10.如图，△A′B′C′是△ABC在点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4:9，则OB′:OB为______．
11.如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=_____．
12.如图,点A是反比例函数的图象上任意一点,轴交反比例函数的图象于点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中C、D在x轴上,则四边形ABCD的面积为___．
13.已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．
14.如图，把 个边长为1的正方形拼接成一排，求得 ， ， ，计算 __________，……按此规律，写出 __________（用含 的代数式表示）．
3.在 中， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由Rt 中， ，根据正切值的求法，可设BC边为1，则AC边为3，勾股定理算出AB的长，即可求解
【详解】解:设BC=1
∵在 中， ，
∴
∴AC=3
由勾股定理得:
∴
故答案为D
【点睛】本题考查已知锐角三角函数值，但未知边长的题型，这种类型的题目可设已知锐角三角函数相关的边长为具体数值，再进行求解
∵2017年国内生产总值（GDP）比2016年增长了12%，∴2017年的国内生产总值为1+12%；
∵2018年比2017年增长7%，∴2018年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，∴2018年的国内生产总值也可表示为: ，
∴可列方程为:（1+12%）（1+7%）= ．故选D．
【答案】A
【解析】
试题分析:A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是 ≈0．33；
B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率是 ；
C、抛一枚硬币，出现正面的概率 ；
D、任意写一个整数，它能被2整除的概率，即为偶数的概率为 ．
由用频率去估计概率 统计图可知当试验次数到600次时频率稳定在33%左右，故符合条件的只有A．
4. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解.
【详解】解:tan45 +cos60 =1+ = .
所以C选项是键是掌握几个特殊角的三角函数值.
2.画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图,其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
A.30个B.92个C.84个D.76个
7.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AB=6,AD=8，AE=4，则△EBF周长的大小为( )
A. 8B. 10C. 12D. 6
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(−5,0),对称轴为直线x=−2,给出四个结论:①b2>4ac；②4a+b=0；③函数图象与x轴的另一个交点为(2,0)；④若点(−4,y1)、(−1,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2.其中正确结论是( )
24.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．
（1）在点Q从B到A的运动过程中，