文科数学一轮复习：第三节等比数列及其前n项和

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高中一轮复习文数课件：第六章第三节等比数列及其前n项和

当 n≥2 时，由 6Sn＋1＝9an，得 6Sn－1＋1＝9an－1，两式相减得 6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，即 6an＝9(an－an－1)，所以 an＝3an－1. 1 所以数列{an}是首项为，公比为 3 的等比数列，其通项公式 3 1 为 an＝ ×3n－1＝3n－2. 3
01
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定
an＋1 ＝q a n 义的表达式为_________.
1＋q＋q2 1 2 ＝3，整理得 2q －q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ . q2 2
[答案]
(1)4
1 (2)1 或－ 2
求通项或特定项
[例 2] (1)(2017· 全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1＋a2＝
－1，a1－a3＝－3，则 a4＝________. (2)在等比数列{an}中，若公比 q＝4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 an＝________.
求等比数列的前 n 项和
[例 3] 设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若数列{bn}满足 bn＝a ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n 1 [解] (1)当 n＝1 时，由 6a1＋1＝9a1，得 a1＝ . 3
[例 1] (1)(2017· 无锡模拟)已知等比数列{an}单调递减，
5 若 a3＝1，a2＋a4＝，则 a1＝________. 2 (2)在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为________．

2022届高考一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和

15，且 a5＝3a3＋4a1，则 a3＝( )
A．16
B．8
C．4
D．2
[解析]
由题意知aa11＞＋0a，1q＋q＞a10q，2＋a1q3＝15， a1q4＝3a1q2＋4a1，
解得aq1＝＝21，，∴a3＝a1q2＝4.故选 C.
[答案] C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝13，a24＝a6，则 S5 ＝________.
[解析] 由 a24＝a6 得(a1q3)2＝a1q5，
整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13（11－－335）＝1231.
[答案]
121 3
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m. [解析] ①设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1.
[解析] (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列．由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1. 所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
A．4
B．8
C．16
D．32
答案：C
2．(基础点：等比数列的前 n 项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5

高考数学一轮总复习第五章第3节等比数列及其前n项和课件

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{a1n}，
{a2n}，{an·bn}，{abnn}仍是等比数列．
5．等比数列的前 n 项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq. • 6．等比数列前n项和的性质 • 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q_n.
(2)设数列{an}的公比为 q，S9－S3＝S6－S9，显然 q≠1， ∴a4qq－6－1 1＝－a4qq－3q13－1，∴q3＝－12，
∴q＝ 3 －12，又 a2＋a5＝2am，则 a2(1＋q3)＝2a2qm－2，即12＝(－1)m－3 2·(12)m－3 5，∴m＝8. • [答案] (1)C (2)8
第五章数列
第3节等比数列及其前n项和
• 1．理解等比数列的概念． • 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． • 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有
关知识解决相应的问题．
• 4．了解等比数列与指数函数的关系.
• [要点梳理]
• 1．等比数列的定义 • 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同
[解析] 设等比数列的公比为 q，由 a2＋a4＝20，a3＋a5＝ 40.
得 20q＝40，且 a1q＋a1q3＝20，解之得 q＝2，且 a1＝2. 因此 Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2. [答案] 2 2n＋1－2
• 考向一等比数列基本量的计算
• 例1 (1)(2013·新课标高考全国卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

一轮复习等比数列及其前n项和

5．等比数列的前 n 项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq.
6．等比数列前 n 项和的性质
公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为_q_n__.
题型分类深度剖析
题型一等比数列的基本量的运算
例 1 已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an. 思维启迪：利用等比数列的基本量的关系式，根据条
件列方程，进而求出 a1 和 q.
解设{an}的公比为 q，由题意知
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8，
＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比 q 等于 ( B )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析由已知得 3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得
3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得 a4＝4a3，故公比 q＝4.
5．在等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝63，
则公比 q 的值是( A )
[难点正本疑点清源] 1．等比数列的特征
从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．
3．等比数列的前 n 项和 Sn (1)等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用． (2)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项和公式 Sn＝ a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq (q≠1)共涉及五个量 a1，an，q，n， Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用． (3)在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况．

高考数学一轮复习 53 等比数列及其前n项和课件文

a1>0，q>1或者a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1或者a1<0，q>1
a1≠0，q＝1 q<0
5.在性质(5)中，当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 不是等比数列．
6．在运用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系．
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝41，则公比 q 等于(
列{ban}，{pan·qbn}和
(其中b，p，q是非零常
4．Sm＋n＝Sn＋ qn Sm＝Sm＋ qm Sn. 5．当 q≠－1，或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，… 是等比数列．
6．若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，TT2nn，TT32nn，…成等比数列． 7．若数列{an}的项数为 2n，则SS偶奇＝ q ；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1 ＝ q.
等比数列的性质及应用(师生共研)
• 例2 (1)(2015年潍坊四县一区联考)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于 ()
解析：由等比数列的性质，得 a3＋a5＝(a2＋a4)q，解得 q＝aa32＋＋aa54＝2，又∵a2＋a4＝a1(q＋q3)＝20，∴a1＝2，∴Sn＝a111－－qqn＝2n＋1－2.
答案：2 2n＋1－2
等比数列的基本运算(自主探究)
• 例1 (1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )
)
A．－12
B．－2
C．2
D.12
解析：由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12.

第03讲等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列，所以228x =⨯，解得4x =±；故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==．故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=．故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3，故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=，所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =．当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-．由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数．例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-，所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =．当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---，整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=，又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >，所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==，所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______．【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=；当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ，当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+，即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2．所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-，当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈，当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=，即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+，则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-，所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--，当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立，即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =，所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =；当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =，故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥，即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-，因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。

高考数学一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和课件

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24
B．0
C．12
D．24
【解析】由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即 x2＋4x＋3＝0，解得 x＝－3 或 x＝－1(舍去)，所以等比数列的前 3 项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 【答案】 A
二、等比数列的性质 1．对任意的正整数 m、n、p、q，若 m＋n＝p＋q＝2k，则 am·an＝ ap·a＝q a2k. 2．通项公式的推广：an＝am qn－m(m，n∈N*)． 3．公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn ；当公比为－1 时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 不一定构成等比数列．
则数列{an}的前 n 项和等于
．
【解析】 (1)显然公比 q≠1，设首项为 a1，则由 S3＋3S2＝0，得a111－－qq3＝－3×a111－－qq2，即 q3＋3q2－4＝0，即 q3－q2＋4q2－4＝q2(q－1)＋4(q2－1)＝0，即(q－1)(q2＋4q＋4)＝0，所以 q2＋4q＋4＝(q＋2)2＝0，解得 q＝－2.
[规律总结] 1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
[变式训练]
1．在等比数列{an}中，若 a2＋a3＝2，a12＋a13＝3，则 a22＋a23 的值是( )

2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和

2020年高考文科数学一轮总复习：等比数列及其前n 项和第3讲等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．常用知识拓展 1．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12解析：选D.由通项公式及已知得a 1q ＝2①，a 1q 4＝14②，由②÷①得q 3＝18，解得q ＝12.故选D.已知数列{a n }满足a n ＝12a n ＋1，若a 3＋a 4＝2，则a 4＋a 5＝( )A ．12B ．1C ．4D ．8解析：选C.法一：因为a n ＝12a n ＋1得a n ＋1a n＝2，所以{a n }为等比数列，其公比为2，又a 3＋a 4＝2得a 1＝16，则a 4＋a 5＝a 1q 3＋a 1q 4＝4.法二：已知a n ＝12a n ＋1，可得a n ＋1＝2a n ，所以a 4＋a 5＝2a 3＋2a 4＝2(a 3＋a 4)＝2×2＝4.设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2，所以S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1×（1－27）1－2＝127.答案：127在等比数列{a n }中，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝________．解析：因为a 1a 5＝16，所以a 23＝16，所以a 3＝±4.又a 4＝8，所以q ＝±2. 所以a 6＝a 4q 2＝8×4＝32.答案：32等比数列的基本运算(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 【解】 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．(2019·四川成都模拟)设{a n }是公比为负数的等比数列，a 1＝2，a 3－4＝a 2，则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．－8解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝2，a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4，所以q 2－q ＝2，解得q ＝2(舍去)或q ＝－1，所以a 3＝a 1q 2＝2，故选A.2．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，所以2k －1＝63，解得k ＝6.3．(2019·贵阳市第一学期检测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，ka n ，S n ，－1都成等差数列，求实数k 的值．解：(1)因为a 1＋a 2＝4，a 3－a 2＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝4，a 1（q 2－q ）＝6，因为q >0，所以q ＝3，a 1＝1.所以a n ＝1×3n －1＝3n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知a n ＝3n －1，S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n －12，因为ka n ，S n ，－1成等差数列，所以2S n ＝ka n －1，即2×3n －12＝k ×3n －1－1，解得k ＝3.等比数列的判定与证明(典例迁移)(1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．【解】 (1)选D.设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.(2)证明：因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[迁移探究1] (变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{a n }的通项公式．解：由(2)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.[迁移探究2] (变条件)在本例(2)中，若c n ＝a n3n －1，证明：数列{c n }为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2，又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．12解析：选A.法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.法二：因为等比数列的前n 项和S n ＝k ×q n －k ，则12a ＝－16，a ＝－13.2．(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．等比数列的性质及应用(多维探究) 角度一等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 2B ．4C ．－22或2 2D ．－4或4(2)(2019·武汉华师附中调研)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则使不等式a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n＋1成立的n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)因为a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，所以a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，易知a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8，所以a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. (2)因为a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n）1－4＝13(4n－1)．因为a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n ＋1，所以13(4n －1)<5×2n ＋1，所以2n (2n －30)<1，对n 进行赋值，可知n 的最大值为4. 【答案】 (1)A (2)C角度二等比数列前n 项和的性质的应用(一题多解)等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝（a 5＋a 7）2a 1＋a 3＝428＝2.同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项，所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝（a 9＋a 11）2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：在等比数列{a n }中，得q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝12，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝q 8(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝14(8＋4)＝3.【答案】 C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n 项和公式的变形．[提醒] 根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．设等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．18B ．－18C ．578D ．558解析：选A.因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2分类讨论思想求解数列问题等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2019·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n ＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2（－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．已知{a n }为等比数列且满足a 6－a 2＝30，a 3－a 1＝3，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．15 B ．31 C ．40D ．121解析：选B.因为{a n }为等比数列且满足a 6－a 2＝30，a 3－a 1＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5－a 1q ＝30，a 1q 2－a 1＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，S 5＝1－251－2＝31，数列{a n }的前5项和S 5＝31.2．(2019·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12解析：选A.因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m＝0，所以a m ＝2，a m ＝0(舍)．由等比数列的性质可知前2m －1项的积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.选A.4．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3. 所以b m ＝4×3m －1. 令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5，所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324.所以n ＝14.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2＋a 5＝4，则a 8＝________．解析：因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以公比q ≠1，2（1－q 9）1－q ＝1－q 31－q ＋1－q 61－q，整理得2q 6＝1＋q 3，所以q 3＝－12，故a 2·⎝⎛⎭⎫1－12＝4，解得a 2＝8，故a 8＝8×14＝2. 答案：26．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．解析：法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32；所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63. 答案：－637．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10.解得d ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9.解得q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12. 8．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2. 又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，则S n ＝1－2n1－2＝2n －1，所以b n ＝2n －1.T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝2＋22＋ (2)－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n . [综合题组练]1．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0.又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0解析：选A.设等比数列的公比为q .由a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，得a n (1＋2q ＋q 2)＝0.因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 101＝a 1＝2.故选A.2．(应用型)(2019·安徽池州模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程．则下列说法错误的是( )A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了四十二里路解析：选C.记每天走的路程里数为a n (n ＝1，2，3，…，6)，由题意知{a n }是公比为12的等比数列，由S 6＝378，得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝192×12＝96，此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－(378－192)＝6(里)，a 3＝192×14＝48，48378>18，前3天走的路程为192＋96＋48＝336(里)，则后3天走的路程为378－336＝42里，故选C.3．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________．解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1004．(综合型)已知a －1，a ＋1，a ＋5三个数成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{a n }的前三项，则能使不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n成立的正整数n 的最大值为________．解析：因为a －1，a ＋1，a ＋5三个数成等比数列，所以(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋5)，所以a ＝3，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{a n }的前三项，则{a n }的前三项为18，14，12，所以{a n }是首项为18，公比为2的等比数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以8为首项，12为公比的等比数列，则不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n 等价于18（1－2n ）1－2≤8⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，整理得2n ≤27，所以n ≤7，n ∈N *，即n 的最大值为7.答案：75．(2019·湖北省五校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6，所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，所以b 1＝1，因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列，所以b n ＝2n －1. 所以b 3＝4，因为a 1b 3＝12，所以a 1＝3，因为a 2＝6，数列{a n }是等差数列，所以a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，所以C n ＋1＝(－1)n ＋12n ，所以C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，所以T n ＝－1×[1－（－2）n ]1＋2＝－13[1－(－2)n ]．6．(2019·湖北黄冈调研)数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n (n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝an4n －a n ，若数列{bn }的前n 项和是T n ，求证：T n <2.解：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n .(2)证明：b n ＝a n 4n －a n ＝4n2n 4n －4n 2n ＝12n －1，因为对任意n ∈N *，2n －1≥2n －1，所以b n ≤12n －1. 所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.。

高三一轮复习第五章第三节等比数列及其前n项和

课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】　当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】　C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】　q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】　B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】　设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】　B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】　∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】　A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】　A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】　由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】　C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】　各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】　A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】　B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】　令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6，由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】　BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】　对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022，所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确；对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确．【答案】　ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】　设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1．【答案】　3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】　很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】　－1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】　(1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2，又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】　(1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。

高考数学(文科)1轮复习课件：第5章数列 3 第3讲等比数列及其前n项和

1 (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a ， n an 2 {an}，{an·bn}，b 仍是等比数列． n
(4)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(当{an}的公比 q＝－1 时，n 不取偶数)． 5．等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1； a1（1－q ）当 q≠1 时，Sn＝＝__________． 1－q
n
a1－anq 1－q
1．下面四个数列： ①1，1，2，4，8，16，32，64； a2 a3 ②数列{an}中，已知＝2，＝2； a1 a2 ③常数列 a，a，„，a，„； an＋1 ④在数列{an}中＝q，其中 n∈N*，且 q≠0. an
④ ．其中为等比数列的是________ [解析] 由等比数列的定义判定，易知①、②错，④对；其中
第五章数列
第3讲
等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示． 2．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1· qn 1(q≠0)．
2．必会的 2 种方法思想 (1)方程思想：准确分析 a1，q，an，Sn，n 之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”． (2)整体思想：在应用等比数列 {an} 的性质“若 m ＋ n ＝ p＋ q(m，n，p，q∈N*)，则 aman＝apaq”时，要会用整体思想进行代换．

高考数学文科一轮复习第五章第三节等比数列及其前n项和完美

[小题热身]
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则 a5 等于( ) A．5 B．±5 C．4 D．±4
解析：a52＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又 a5>0， ∴a5＝4. 答案：C
2．(2018·湘潭一模)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和 S3＝18，则公比 q 的值为( )
列{an}的前 n 项和，若 a2·a4＝16，S3＝7，则 a8＝( )
A．32
B．64
C．128 D．256
解析：∵a2·a4＝a32＝16，∴a3＝4(负值舍去)，∵a3＝a1q2＝4， S3＝7，∴S2＝a111－－qq2＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得 q＝－23或 q＝2，
1 C.9
D．－19
解析：由已知条件及 S3＝a1＋a2＋a3 得 a3＝9a1，设数列{an}的公比为 q，则 q2＝9，所以 a5＝9＝a1·q4＝81a1，得 a1＝19，故选 C.
答案：C
4．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋a3＝52，a2＋a4
＝54，则Sann＝( A．4n－1
(3)公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn，当公比为－1 时，Sn，S2n －Sn，S3n－S2n 不一定构成等比数列．
6．等比数列{an}的单调性
(1)满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
a1q2＝12， a1q3＝18，
解得 a1＝136，q＝32，∴a6＝a1q5＝136×325＝821.
法二：由等比数列性质知，a32＝a2a4，∴a2＝aa342＝11282＝8，又 a24＝a2a6，∴a6＝aa242＝1882＝821.

2023年高考数学(文科)一轮复习——等比数列及其前n项和

第3节等比数列及其前n 项和考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.那么Ga ＝b G，即G 2＝ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .1.若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.三个数成等比数列，通常设为xq ，x ，xq ；四个符号相同的数成等比数列，通常设为x q 3，xq ，xq ，xq 3.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 2.(2021·北京一模)已知等比数列{a n }的公比q ＝－2，前6项和S 6＝21，则a 6＝( ) A.－32 B.－16C.16D.32答案 D解析因为q ＝－2，S 6＝21，则有S 6＝a 1[1－（－2）6]1＋2＝a 1（－63）3＝－21a 1＝21，即a 1＝－1，所以a 6＝a 1q 5＝(－1)×(－2)5＝32.3.(2021·全国甲卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 2＝4，S 4＝6，则S 6＝( ) A.7 B.8 C.9 D.10答案 A解析易知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4构成等比数列，由等比中项得S 2(S 6－S 4)＝(S 4－S 2)2，即4(S 6－6)＝22，所以S 6＝7.4.若{a n }是公比为q (q ≠0)的等比数列，记S n 为{a n }的前n 项和，则下列说法不正确的是( )A.若a 1＞0，0＜q ＜1，则{a n }为递减数列B.若a 1＜0，0＜q ＜1，则{a n }为递增数列C.若q ＞0，则S 4＋S 6＞2S 5D.若b n ＝1a n，则{b n }是等比数列答案 C解析 A ，B 显然是正确的；C 中，若a 1＝1，q ＝12，则a 6＜a 5，即S 6－S 5＜S 5－S 4，故C 错误； D 中，b n ＋1b n ＝a n a n ＋1＝1q (q ≠0)，∴{b n }是等比数列.5.(2022·全国百校大联考)已知在等比数列{a n }中，a 1a 3a 11＝8，则a 2a 8＝________. 答案 4解析设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，则a 1·a 1q 2·a 1q 10＝8，所以a 31q 12＝8，所以a 1q 4＝2，所以a 2a 8＝a 1q ·a 1q 7＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝4.6.(易错题)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是________.答案 1或－12解析当q ＝1时，a 3＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12.考点一等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A.16 B.8 C.4 D.2答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2. 又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3) ＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A.2n －1B.2－21－nC.2－2n －1D.21－n －1答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.所以S n a n＝a 1（1－2n ）1－2a 12n －1＝2n －12n －1＝2－21－n . 3.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案1213解析由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13（1－35）1－3＝1213.4.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1. 解 (1)设{a n }的公比为q (q >1)，且a 2＋a 4＝20，a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8消去a 1，得q ＋1q ＝52，则q ＝2，或q ＝12(舍).因此q ＝2，a 1＝2，所以{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)易知(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1·22n ＋1，则数列{(－1)n －122n ＋1}公比为－4.故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1 ＝23[1－（－4）n ]1＋4＝85[1－(－4)n ]＝85－(－1)n ·22n ＋35.感悟提升 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q .考点二等比数列的判定与证明例1 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在常数λ＝12，使得数列{S n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列. 感悟提升 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证. 训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ①， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②. ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，又a 1＋a 1＝1，所以a 1＝12，∴a 1－1＝－12≠0，因为a n ＋1－1a n －1＝12，∴c n ＋1c n ＝12.故{c n }是以c 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列. (2)解由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∵c n ＝a n －1，∴a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.考点三等比数列的性质及应用角度1 项与和的性质例 2 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 10＝9，则log 9a 1＋log 9a 2＋…＋log 9a 10＝( ) A.6 B.5 C.4D.1＋log 352(2)(2021·衡水模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40＝________. 答案 (1)B (2)15解析 (1)log 9a 1＋log 9a 2＋…＋log 9a 10＝log 9[(a 1a 10)·(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)]＝log 995＝5，故选B.(2)∵等比数列{a n }的前n 项和为S 10＝1，S 30＝7， ∴S 10、S 20－S 10、S 30－S 20、S 40－S 30成等比数列，即1、S 20－1、7－S 20、S 40－7成等比数列，∴(S 20－1)2＝1×(7－S 20)，解得S 20＝3或S 20＝－2(舍)，所以1、2、4、S 40－7成等比数列，所以S 40－7＝8，解得S 40＝15. 角度2 等比数列的最值例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a n ＋S n ＝4(n ∈N *)，设b n ＝na n ，则数列{b n }的项的最大值为( ) A.8164 B.2716C.32D.2答案 B解析由条件可知：3a n ＋S n ＝4，3a n －1＋S n －1＝4(n ≥2).相减，得a n ＝34a n －1. 又3a 1＋S 1＝4a 1＝4，故a 1＝1. 则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1.设{b n }中最大的项为b n ，则⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1.即⎩⎨⎧n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －2，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫34n.解之得3≤n ≤4.∴{b n }的项的最大值为b 3＝b 4＝2716.感悟提升 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.训练2 (1)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11(2)(2022·成都诊断)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为( ) A.25B.20C.15D.10(3)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 (1)B (2)B (3)73解析 (1)∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4，由a 2a m ＝4， ∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9. (2)在正项等比数列{a n }中，S n >0，因为S 8－2S 4＝5，则S 8－S 4＝5＋S 4，易知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8是等比数列，所以(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，所以S 12－S 8＝（S 4＋5）2S4＝25S 4＋S 4＋10≥225S 4·S 4＋10＝20(当且仅当S 4＝5时取等号) 因为a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 8，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20. (3)法一由等比数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，所以S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.法二因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.等比数列前n 项和性质的延伸在等比数列{a n }中，S n 表示{a n }的前n 项和，{a n }的公比为q ， 1.当S n ≠0时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *). 2.S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，特别地S 2n ＝S 奇＋qS 奇.例 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.答案 (1)2 (2)3116解析 (1)由题设，S 偶＝S 奇－80，S 2n ＝－240.∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋qS 奇＝－240，qS 奇＝S 奇－80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，q ＝2.(2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.1.设b ∈R ，数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，则( )A.{a n }是等比数列B.{a n }是等差数列C.当b ＝－1时，{a n }是等比数列D.当b ≠－1时，{a n }是等比数列答案 C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，{a n }为等比数列.当b ≠－1时，a 1不适合a n ＝2·3n －1，{a n }不是等比数列.2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12答案 D 解析由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12. 3.(2022·郑州模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝－8，a 7＝14，则S 6＝( )A.－212B.152C.212D.632 答案 C解析设等比数列{a n }公比为q ，则a 7＝a 2q 5，又a 2＝－8，a 7＝14，∴q ＝－12，故a 1＝16，又S n ＝a 1（1－q n ）1－q，即S 6＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1261－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝16×636432＝212.4.(2021·安庆三模)某工厂生产A 、B 、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q (q ≠1)的等比数列，现从全体产品中按分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为260的样本进行调查，其中C 产品的数量为20，则抽取的A 产品的数量为( )A.100B.140C.180D.120答案 C解析 ∵A 、B 、C 三种产品的数量刚好构成一个公比为q 的等比数列，C 产品的数量为20，∴A 产品的数量为20q 2，B 产品的数量为20q， ∵样本容量为260，∴20q 2＋20q ＋20＝260，解得q ＝13或－14(舍去)，q ＝13，则A 产品的数量为20q 2＝2019＝180，故选C.5.(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q ＞0，乙：{S n }是递增数列，则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析当a 1＜0，q ＞1时，a n ＝a 1q n －1＜0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n ＞0，若a 1＞0，则q n ＞0(n ∈N *)，即q ＞0；若a 1＜0，则q n ＜0(n ∈N *)，不存在这样的q ，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.6.(2021·西安调研)已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 1a 7＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( )A.32B.31C.30D.29 答案 B解析由a 1a 7＝a 24＝4，且a n >0，得a 4＝2，又a 4＋2a 7＝52，所以a 4(1＋2q 3)＝52，解得q ＝12，从而a 1＝16.故S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.7.(2022·郑州期末)朱载堉(1536－1611)是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f 1，第七个音的频率为f 2，则f 2f 1＝______.答案 213解析由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列{a n }中的项，一共13项，且a n ＋1a n ＝q ，∵最后一个音是最初那个音的频率的2倍，∴a 13＝2a 1，即a 1q 12＝2a 1，可得q 12＝2，∴f 2f 1＝a 7a 3＝a 1q 6a 1q 2＝q 4＝(q 12)13＝213， ∴f 2f 1＝213. 8.(2021·河南六市联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案 1解析由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝a 1（1－8）1－2＝7，得a 1＝1. 9.(2022·上海外国语附中月考)设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (a ＞0，a ≠1)，若x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200＝________. 答案 100a 100解析 ∵log a x n ＋1＝1＋log a x n (a ＞0，a ≠1)，则1＝log a x n ＋1－log a x n ＝log a x n ＋1x n， ∴x n ＋1x n＝a ， ∴数列{x n }是公比为a 的等比数列，∵x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝a 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝100a 100.10.等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.11.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列； (2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .(1)证明 2S n ＝－a n ＋n ，当n ≥2时2S n －1＝－a n －1＋n －1，两式相减，得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1，即a n ＝13a n －1＋13.∴a n －12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1－12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列.(2)解由2S 1＝－a 1＋1，得a 1＝13，由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项，13为公比的等比数列. ∴a n －12＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， ∴a n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋12， ∴a n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －12， ∴T n ＝－16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n 2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－n 2. 12.若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( )A. 2B.－16 2C.2D.16 2 答案 D解析设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22（n ＋1）22n ＝4＝q 2，解得q ＝2， ∴a n a n ＋1＝a 2n ×2＝22n ，a n ＞0，解得a n ＝22n －12，则a 6－a 5＝2112－292＝162，故选D.13.(2022·长沙模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则满足a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1≤212成立的最大正整数n 的值为________.答案 3解析已知{a n }为等比数列，设其公比为q ，由a 5＝a 2·q 3得，2·q 3＝14，q 3＝18，解得q ＝12，又a 2＝2，∴a 1＝4.∵a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝14，∴数列{a n a n ＋1}也是等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为14. ∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )≤212，从而有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≥164. ∴n ≤3.故n max ＝3.14.(2022·合肥质量检测)已知公比不为1的等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，且a 1，a 3，a 2构成等差数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，求使S k ＞238成立的最大正整数k 的值.解 (1)设公比为q .由题意得a 1＋a 2＝2a 3，∴a 1(1＋q －2q 2)＝0，又∵a 1≠0，∴q ＝－12或1(舍)，∵a 1＋a 3＝5，∴a 1(1＋q 2)＝5，∴a 1＝4，∴a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∵S k ＞238，∴83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＞238， ∴564＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，显然，k 为奇数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞564＞464＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124. 解得k ≤3，所以满足条件的最大正整数k 的值为3.。

最新-2021届高三数学文一轮复习课件：53 等比数列及其前n项和精品

aa11qq63＝＝－4，2。
⇒qa31＝＝－1，2
a1＝－8，或q3＝－21。
所以当 a1＝1，q3＝－2 时， a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；当 a1＝－8，q3＝－12时，
a1＋a10＝－81＋－213＝－7，所以选 D。
解析：(3)设公比为 q(q≠0)，则由 a2·a3＝2a1 知 a1q3＝2，得 a4＝2。又∵a4＋2a7＝52，∴a7＝14。 ∴a1＝16，q＝12。故 S5＝a111－－qq5＝1611－－21215＝31。
答案：(1)B (2)B
[规律方法] 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前 n 项和公式的变形。根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。
【微练 3】(1)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0 的四个根组成以12为首项
微考点
等比数列的性质及应用
【典例 3】(1)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数，且 a3a11＝16，则 log2a10 等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n 等于( )
A．80 B．30 C．26 D．16 解析：(1)∵a3·a11＝16，∴a27＝16。
的等比数列，则mn ＝( B )
3 A.2
B.32或23
2 C.3
D．以上都不对
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝3，S12－S8＝12，则 S8＝
______9____。
解析：(1)设 a，b，c，d 是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0 的四个根，不妨设 a<c<d<b，则 a·b＝c·d＝2，a＝12，故 b＝4，根据等比数列的性质，得到 c＝1， d＝2，则 m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或 m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn ＝32或mn ＝23。

等比数列及其前n项和课件-2023届高三数学(文)一轮总复习

解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.
(三)易错易混
4．(忽视项符号的判断)已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝ 6忽视对公比的讨论)设a∈R，n∈N*，则1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝ ______________．
一、必记5个知识点 1．等比数列及其相关概念
等比数列公比
公式表示等比中项
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的_前__一__项___ 的比都等于_同__一__个__常__数___ 等比数列定义中的_常__数___叫做等比数列的公比，常用字母 q(q≠0)表示
{an}为等比数列⇔_________(n∈N*，q为非零常数) 如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时 ___G_2＝__a_b_
证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为{an}的各项均为正数，所以a1＋a2＞0. 所以{an＋an＋1}是公比为3，首项为a1＋a2的等比数列．
反思感悟等比数列的判定方法
定义法
中项公式法
通项公式法前n项和公式法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为非零常数，q≠0， 1)则{an}是等比数列
[提醒] (1)等比数列求和需要讨论q＝1和q≠1两种情况；(2)计算过程中，若出现qn＝t，要注意n为奇数和偶数的区别．

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课题第三节等比数列及其前n项和（一）
班级小组姓名
学习目标1．
2．
重点
难点
学习导航教·学记要自学教材：p101并完成下列问题：
问题一：[例1]已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋
1
＝4a n＋2(n∈N*)，设b n＝a n＋1－2a n
（1）求证：{b n}是等比数列．
（2）求{a n}的通项公式．
（3）若c n＝a n
3n－1
，证明：{c n}为等比数列．
问题二：[例2](2014·安徽高考)数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，求q．
[例3](2014·福建高考)在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求a n；(2)设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n .
[例4](2014·重庆高考)已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．
(1)求a n及S n；
(2)设{b n}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q ＋S4＝0，求{b n}的通项公式及其前n项和T n.
问题三[例5](1)(2014·广东高考)若等比数列{a n}的各项均为正数，
且a10a11＋a9a12＝2e5，求ln a1＋ln a2＋…＋ln a20．
(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6∶S3＝1∶2，求S9∶S3＝．
学习记录
1、我的疑惑、收获
2、本节课的知识结构
应用与检测教·学记要1，已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n－5a n－85，证明
数列{a n－1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．
2，(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若
a2＝1，a8＝a6＋2a4，求a6的值．
3．在等比数列{a n}中，a2 016＝8a2 013，求公比q的值。

4．在等比数列{a n}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若a m＝
a1a2a3a4a5，求m。

5．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S4，S2，S3成等差数
列，且a2＋a3＋a4＝－18.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得S n≥2 013？若存在，求出符合条
件的所有n的集合；若不存在，说明理由．
作业批改·纠错
（A类）1，2，3, 4 ，5，6, 9 （B类）1，
课后预习P
教
·
学
反
思。

文科数学一轮复习：第三节 等比数列及其前n项和