北京市昌平临川育人学校高三数学12月月考试题理
北京市昌平临川育人学校_学年高一数学12月月考试题(PDF)
北京临川学校2016-2017学年上学期12月月考高一数学试题注：本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：（每题5分,共12题，共60分） 1.下列说法正确的是( )A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限角D.小于 的角都是锐角 2.如果角的终边经过点（，），那么 的值是( )A. B.C. D.3.如果，那么 ( ) A.B.C.D.4.函数 的定义域是 （ ）A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ）A ．52πB ．25πC ．π2D ．π56.要得到函数 的图象，只需将函数的图象( ) A.向左平移 个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度 7.已知函数 在同一周期内，当时有最大值2，当时有最小值，那么函数的解析式为( )A.B.C.D.8.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是( )A. B. C. D.9.A 为三角形ABC 的一个内角，若，则这个三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形10.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A .43- B .34- C .43 D .3411函数xx x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ）A ．{}3,1,0,1-B ．{}3,0,1-C ．{}3,1-D ．{}1,1- 12. 下列函数是奇函数的是( ).A.B.C.D.二填空题：（每题5分、共4题，共20分）13.已知，则.14.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 . 15.若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ= .16.函数的图象为，如下结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) ⑴图象关于直线对称 ⑵图象关于点对称；⑶函数在区间上是增函数；⑷由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.数学答题卡一． 单选题（每题5分，总分 60 分）二填空题（每题5分，共4题计20分）13 14 15 16三解答题（共6题，其中16题10分，17-21每题12分，计70分）17（1）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒(2)已知方程，求的值.18已知.求：⑴的值；⑵的值.19.求函数 的最大值和最小值.20已知函数，.⑴求函数的最小正周期和单调递增区间；⑵求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.21对于函数.⑴用“五点法”作出其在一个周期的图象；⑵指出其图象可由的图象经过怎样的变换而得到.22．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．。
北京昌平一中高三上学期12月月考数学(理)试题及答案
昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <-2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1-4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．237．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．C BAOP（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点．（1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数；③函数()f x 的图像关于直线12x =对称；④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．（Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠=CB AD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDABCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PDPC的值，若不存在，说明理由．已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由．昌平一中高三年级第一学期十二月月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并把答案填在题后的表格中．1．已知集合{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<，若M N =∅，则a 的取值范围为（ ）． A ．0a > B ．2a -≤ C ．0a ≥ D ．2a <- 【答案】B【解析】∵{}M x x a =≤，{20}N x x =-<<， 由M N =∅，得2a -≤． 故选B ．2．已知命题π:2P x ∃≥，sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A ．π2x ∀≥，sin 1x ≤B ．π2x ∀<，sin 1x ≤C ．π2x ∃≥，sin 1x ≤D ．π2x ∃<，sin 1x ≤【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，所以p ⌝为：π2x ∀≥，sin 1x ≤ ．故选A ．3．已知直线1:(2)10l ax a y =+++，2:20l ax y -=+，若12l l ∥，则a 的值为（ ）． A ．0 B ．3- C ．0或3- D ．2或1- 【答案】C【解析】若12l l ∥，则2aa a -=+，化简得230a a +=，解得0a =或3-． 故选C ．4．已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥ 【答案】C【解析】A 项，若a b ⊥，且b α∥，则a α∥或a 与α相交，故A 选项错误； B 项，若a b ⊥且b α⊥，则a α∥或a α⊂，故B 选项错误；C 项，若b α∥，则存在b α'⊂且b b ''∥，因为a α⊥，所以a b '⊥，所以a b ⊥，故C 选项正确；D 项，若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥或a β⊂，故D 选项错误．故选C ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．AB ．3 C． D【答案】D 【解析】CBA DP作出三棱锥P ABC -的直观图如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，连接PD ．由三视图可知PA ⊥平面ABC ，1AB AD ==，2CD PA ==，∴3BC =，PD，AC，AB BC PD ⊥．∴1322ABC S BC AD =⨯⨯=△，12ABP S AB PA =⨯⨯=△12ACP S AC PA =⨯⨯=△12BCP S BC PD =⨯⨯=△．∴三棱锥P ABC -的四个面中，侧面PBC．故选D ．6．若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（ ）．A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+， 由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．7．设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】12log 2x x a >+等价于12log 2a x x <-，令12()log 2f x x x=-，则min ()a f x <．∵12()log 2f x x x=-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴0a ≤． ∴“(,1]a ∈-∞-”是“12log 2x x a >+”成立的充分不必要条件．故选A ．8．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数(1)a a >的点的轨迹．下列四个论断中一定错误的是（ ）．A ．曲线C 关于坐标原点对称B ．曲线C 与x 轴恰有两个不同交点C ．若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212aD ．椭圆222211x ya a +=-的面积不小于曲线C 所围成的区域的面积【答案】D【解析】设点(,)x y 2a ．A 选项，若(,)x y 在曲线C 上，则(,)x y --也在曲线C 上，即曲线关于坐标原点对称， 故A 选项正确；B 项，令0y =2a ，化简得21x a -=或21x a -=-，因为21x a -=有两个解，21x a -=-无解，所以曲线C 与x 轴恰有两个不同交点，故B 选项正确；C 项，若点P 在曲线C 上，则1221212121||||sin sin 22F PFa S F P F P F PF F PF =⋅∠=∠△． ∵12sin 1F PF ∠≤，∴1222F PF a S ≤△，故C 选项正确；D 项，若点P 在曲线C 上，根据1222PF PF a +>≥可知，曲线C 上点都在椭圆222211x y a a +=-外，故椭圆222211x y a a +=-的面积小于曲线C 所围成的区域的面积． 故D 选项论断错误． 故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式 为n a =____________． 【答案】21n +【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵1a ，4a ，13a 成等比数列，13a =，∴24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去），故{}n a 的通项公式为32(1)n a n =+-，即21n a n =+．10．椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =__________，12F PF ∠的大小为____________． 【答案】2；120︒【解析】由椭圆方程可得：12||||26PF PF a +==，12||2F F c ==∵1||4PF =，∴2||2PF =， 由余弦定理可得22212121212||||||1cos 2||||2PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅． 故12120F PF ∠=︒．11．直线:3l y kx =+与圆22:(2)(3)4C x y -+-=相交于A ，B两点，若||AB =k =____________．【答案】 【解析】根据题意可得，圆心(2,3)到直线3y kx =+的距离1d =．1=，解得k =．12．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高． CB AO P（1）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．（2）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________．【答案】（1）18-；（2）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】y（1）以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴建立如图直角坐标系，则根据题可知，(0,1)A ，(1,0)B ，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,44AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,44OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴13116168AP OP ⋅=-=-． （2）设OP OC λ=，则11,22OP λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,22P λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，11,122AP λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 其中，01λ≤≤． ∴21111111222222AP OP λλλλλλ⎛⎫⋅=⨯+-=- ⎪⎝⎭，01λ≤≤，当12λ=时，AP OP ⋅的取得最小值18-． 当1λ=时，AP OP ⋅取得最大值0．故AP OP ⋅的取值范围为1[,0]8-．13．已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点． （1）椭圆的短轴长为__________．（2）若M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=︒，则点N 的横坐标最小值为__________．【答案】（1）1；（2【解析】（1）由椭圆标准方程可知2a =，1b =，故椭圆的短轴长为2．（2）∵点M 为椭圆上一点，且在y 轴的右侧，设(,)M a b ，则0a >，且OM 的斜率为b k a=， ∴MN 的斜率a k b =-，MN 的直线方程为()a y b x a b-=--， 令0y =解得点N 的横坐标2b x a a=+． ∵2214a b +=，∴2214a b =-，213144a a x a a a -=+=+≥ 当且仅当314a a =，即a 时等号成立， 故点N14．如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111ABCD -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC ①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ③函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）． 【答案】①②④【解析】设四面体的底面积为S ，高为h ，则13A BCD V Sh -=． ∵平面111BCD ∥平面BCD ，∴111B C D BCD △∽△． 又∵1AD x AD=，∴1112B C D BCD S x S =△△，∴1112B C D S Sx =△， 设1111A B C D V -的高为h '，则h h x h'-=，得(1)h h x '=-． ∴2232311(1)()()33A BCD V Sx h x Sh x x V x x -=⋅-=-=-，(01)x <<． 2(32)A BCD V x x V -'=-+，令0V '=，得23x =， 当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，()V f x =是增函数． 当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，()V f x =是减函数． 当23x =时，()V f x =取得最大值，4()=27A BCD V f x V -=最大值，【注意有文字】 故不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->． 综上所述，结论正确的是①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()sin(π2)f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． （Ⅲ）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间． 【答案】【解析】（1）∵2()sin(π2)f x x x =+-1)sin2x x ++sin 2x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为π．（2）∵ππ66x -≤≤， ∴π2π0233x +≤≤， ∴π0sin 213x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，π2sin 223x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 故函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴令πππ2332x +≤≤，得π012x ≤≤． 令ππ4π2233x +≤≤，得ππ122x ≤≤． ∴函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调增区间是π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．16．（本题满分13分）如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，π4CAD ∠=，72AC =，cos ADB ∠= CAD（Ⅰ）求sin C ∠的值．（Ⅱ）若5BD =，求ABD △的面积．【答案】【解析】（1）∵cos ADB ∠=sin ADB ∠= 又∵π4CAD ∠=，∴π4C ADB ∠=∠-， ∴πππsin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB ⎛⎫∠=∠-=∠-∠⋅ ⎪⎝⎭45=+=． （2）在ACD △中，由sin sin AD AC C ADC=∠得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅===∠．∴11sin 5722ABD S AD BD ADB =⋅⋅⋅∠=⋅=△．17．如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDA BCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PD PC的值，若不存在，说明理由． 【答案】【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∵BC AB ⊥，PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ．又AM ⊂平面PAB ，∴AM BC ⊥．∵PA AB =，M 为PB 的中点，∴AM PB ⊥．又∵PB BC B =，∴AM ⊥平面PBC ．（2）如图，在平面ABC 内作AZ BC ∥，则AP ，AB ，AZ 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =．设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，则2z =-． ∴(0,1,2)n =-．由（1）可知(1,1,0)AM =为平面PBC 的一个法向量，∴cos ||||5AM n n AM AM n ⋅⋅==∵二面角A PC B --为锐角，∴二面角A PC B --． （3）证明：设(,,)D v w μ是线段PC 上一点，且PD PC λ=，(01)λ≤≤， 即(2,,)(2,2,1)v w μλ-=-，∴22μλ=-，2v λ=，w λ=． ∴(22,22,)BD λλλ=--．由0BD AC ⋅=，得4[0,1]5λ=∈， ∴线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时45PD PC λ==． 18．（本题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实数）．（Ⅰ）若2a =-，求函数()y f x =在1x =处的切线方程．（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．（Ⅲ）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】（1）当2a =-时，2()2ln f x x x =-，2()2f x x x'=-． ∴(1)0f '=，(1)1f =，∴所求切线方程为1y =．（2）22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x---'=-==++++． 令()0f x '=，则2a x =或1x =， 当0a ≤时，令()0f x '>，则1x >，令()0f x '<，则01x <<． 当12a =时，即2a =时，()0f x '≥恒成立． 当12a >时，即2a >时，令()0f x '>，则01x <<或2a x >． 令()0f x '<，则12a x <<． 当012a <<即02a <<时，令()0f x '>，则02a x <<或1x >， 令()0f x '<，则12a x <<． 综上，当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(1,)∞+，单调减区间为(0,1)；当02a <<时，()f x 的单调增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,)∞+，单调减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，()f x 的单调增区间为(0,)∞+； 当2a >时，()f x 的单调增区间为(0,1)和,2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+，单调减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）当2a ≤时，()f x 在[1,e]上单调递增，∴()f x 的最小值为(1)1f a =--，∴(1)1f a =--≤0，∴12a -≤≤．当22e a <<时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减，在,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵22e a <<， ∴0ln 12a <<，3e 11242a <<++， ∴ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22e a <<．当2e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，∴()f x 的最小值为2(e)=e (2)e f a a -++． ∵2e 2e 2e e 1a ->-≥，∴(e)0f <， ∴2e a ≥．综上可得1a -≥．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，离心率e =且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．【答案】【解析】（1）由题意可得2221b c a a b c =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a =，1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y =+． （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵AB ，， 化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+，解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则 220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得(0,1)m =， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形M ATB 是菱形． 20．（本题满分13分）已知有穷数列1:A a ，2a ，3a ，，(2,*)n a n n ∈N ≥，若数列A 中各项都是集合{11}x x -<<的元素，则称该数列为Ω数列．对于Ω数列A ，定义如下操作过程:T 从A 中任取两项i a ，(1,)j a i j n ≤≤，将1i j i ja a a a ++的值添在A 的最后，然后删除i a ，j a ，这样得到一个1n -项的新数列，记作1A （约定：一个数也视作数列）．若1A 还是Ω数列，可继续实施操作过程T ．得到的新数列记作2A ，，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k A ．（Ⅰ）设:0A ，12，13，12-，请写出1A 的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对Ω数列A 实施操作过程T 后得到的数列1A 仍是Ω数列． （Ⅲ）设5:7A -，16-，15-，14-，56，12，13，14，15，16，23，求10A 的所有可能的结果，并说明理由． 【答案】【解析】（1）1A 有如下6种可知结果：11:3A ，12-，12；11:2A ，12-，13； 11:2A ，13，12-；1:0A ，12-，57；1:0A ，13，0；1:0A ，12，15-． （2）证明：∵a ∀，{11}b x x ∈-<<，有：(1)(1)1011a b a b ab ab ----=<+++且(1)(1)(1)011a b a b ab ab--=>+++++， ∴{11}1a b x x ab∈-<<++． 故对Ω数列实施操作T 后得到的数列1A 仍是Ω数列．（3）由题意可知10A 中仅有一项，对于满足a ，{11}b x x ∈-<<的实数a ，b 定义运算：1a b a b ab=++， 下面证明这种运算满足交换律和结合律．∵1a b a b ab =++，且1b a b a ba=++， ∴a b b a =，即该运算满足交换律．∵1()1111b c a b c a b c abc bc a b c a b c bc ab bc caa bc===⋅++++++++++++++， 1()1111a b c a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab===⋅++++++++++++++． ∴()()a b c a b c =，即该运算满足结合律，∴10A 中的项与实施的具体操作过程无关． 选择如下操作过程求10A ，由（1）可知115237=， 易知55077-=，11044-=，11055-=，11066-=． 52276328=． 综上可知1027:28A ．。
高三12月份月考数学试卷(理)
高三12月份月考数学试卷(理)高三12月份月考数学试卷(理)一.选择题.(本大题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设全集U={2,4,6,8},集合A={2,m－6},,则m的值为( )A．2或－10 B．－10或－2 C．－2或10 D．2或102．已知向量,则m= ()A． B． C．D．－3．已知 ()A．－3 B．3C．D．4．若复数的实部与虚部是互为相反数,则b= ()A．B．C． D．25．已知圆的半径为2,圆心在_轴的正半轴上,且与直线相切,则圆的方程是()A．B．C． D．6．已知球O半径是1,A.B.C是球面上三点,且A与B.A与C.B与C的球面距离为则四面体OABC的体积为YCY ( )A．B． C． D．7．若=( )A．550 B．1100 C．2050 D．20468．关于_的不等式的解集是空集,则a的取值范围是( )A．(0,1) B．(－1,0) C．(1,2) D．(－∞,－1)9．已知函数()A．2a2－M B．M－2a2 C．2M－a2 D．a2－2M10．设双曲线的右准线与两条渐近线交于A.B两点,右焦点为F,且,那么双曲线的离心率为 ()A．B． C．2D．11．某单位要从A.B.C.D四个人中选出三个人担任三种不同的职务,已知上届A.B.C 三人任过这三种职务,这次不能连任原职,则不同的选法共有()A．10种 B．11种YCY C．12种 D．16种12．已知是偶函数,,若将的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,若 ()A．－1003 B．1003 C．1D．－1二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)13．若.14．的展开式中的常数项为.15．在直角坐标平面上,有两个区域P和Q,P是由y≥0,_－y≥0及_+y－2≤0三个不等式来确定的,Q是随m变化的区域,它由不等式m≤_≤m+1所确定,m的取值范围是0≤m≤1.设P和Q的公共面积是函数f(m),则f(m)=.16．给出下面四个命题:①过平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等其中正确的命题序号为一.选择题:123456789101112二.填空题:1.2.3.4.三.解答题(本大题有6个小题;共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)YCY从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(Ⅰ)所选3人中至少有1名女生的概率;(Ⅱ)设随机变量ξ表示所选3人中的女生人数.写出ξ的分布列要求出ξ的数学期望.18．(本小题满分12分) 已知函数.(Ⅰ)求的最大值及最小值;(Ⅱ)若又给条件q:〝f(_)－m_lt;2〞且P是q的充分条件,求实数m的取值范围.19．(本小题12分)已知四棱锥P—ABCD(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱PA⊥底面ABCD,M.N分别为AD.BC的中点,MQ⊥PD于Q.(Ⅰ)求证:平面PMN⊥平面PAD;(Ⅱ)直线PC与平面PBA所成角的正弦值为,求PA的长;(Ⅲ)求二面角P—MN—Q的余弦值.20．(本小题满分12分)已知函数的图象都相切,且与函数f(_)图象的切点的横坐标为1.(Ⅰ)求直线l的方程及a的值;(Ⅱ)当k_gt;0时,试讨论方程的解的个数.21．(本小题满分12分)已知A.B.C是椭圆m:上的三点,其中点A的坐标为,BC过椭圆m的中心,且(Ⅰ)求椭圆m的方程;(Ⅱ)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且.求实数t的取值范围.22．(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)求及定义域;(Ⅱ)若数列的通项公式;(Ⅲ)Sn表示{bn}的前n项和,试比较Sn与的大小.高三数学(理科)参考答案一.选择题1—5 DBCCA 6—10 ADBAA 11—12 BD二.填空题13．1 14．108 15． 16．②④三.解答题:17．(Ⅰ)解:设所选三人中至少有1名女生的事件为A …………1分P(A)= …………4分(Ⅱ)ξ可能取的值为0,1,2, …………5分P(ξ=k)= k=0,1,2…………8分ξ的分布列为ξ 0 1 2P…………10分∴Eξ=……………………12分18．解:(Ⅰ)∵…………3分又∵…………4分即…………6分∴yma_=5,ymin=3(Ⅱ)∵…………9分又∵P为q的充分条件∴…………11分解得………………12分19．解(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,MN底面ABCD∴MN⊥PA又MN⊥AD且PA∩AD=A∴MN⊥平面PAD ………………3分MN平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD …………4分(Ⅱ)∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA=A∴BC⊥平面PBA ∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角即…………7分在Rt△PBC中,PC=BC/sin∠BPC=∴………………9分(Ⅲ)由(Ⅰ)MN⊥平面PAD知PM⊥MN MQ⊥MN∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角…………11分而∴…………12分20．解(Ⅰ)由,故直线l的斜率为1,切点为即(1,0) ∴ ①………………2分又∵∴即②…………4分比较①和②的系数得…………6分(Ⅱ)由设…………8分令_(－∞,－1)－1(－1,0)(0,1)1(1,+∞)+－+－y1↗极大值ln2↘极小值↗极大值ln2↘ (10)分(1)当时有两个解(2)当时有3个解(3)当时有4个解(4)当k=ln2时有2个解(5)当k_gt;ln2时没有解………………12分21．解(Ⅰ)∵过(0,0)则∴∠OCA=90°,即…………2分又∵将C点坐标代入得解得c2=8,b2=4∴椭圆m: …………4分(Ⅱ)由条件D(0,－2)∵M(0,t)1°当k=0时,显然－2_lt;t_lt;2 …………5分2°当k≠0时,设消y得…………7分由△_gt;0可得①………………8分设则∴…………10分由∴②∴t_gt;1 将①代入②得 1_lt;t_lt;4 ∴t的范围是(1,4)………………11分综上t∈(－2,4)………………12分22．解(Ⅰ)由∵∴…………2分∴…………6分(Ⅱ)∵∴………………8分∵∴∴………………10分(Ⅲ)∴∵∴当…………12分当当时,对于……………………14分。
高中部高三数学12月月考试题 理(共4页)
2021年12月月考数学(shùxué)〔理〕试题第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．i是虚数单位，复数i是纯虚数，那么实数x的值是〔〕A．—1 B．1 C．±1 D．22．全集为〔〕A．{4} B．C．{0，2，4} D．{1，3}3．“〞是“数列为等差数列〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件4．假设既是周期函数，又是奇函数，那么其导函数()〔〕y f xA．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数5．设，其中实数x，y满足假设z的最大值为6，那么z的最小值为〔〕A．—3 B．—2 C．—1 D．06．,是单位向量,且.假设向量满足,那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．7．过点作圆的两条切线,切点分别为,,那么直线的方程为〔〕A． B．C．D．8．函数的定义域为，值域为[1，5]，那么在平面直角坐标系内，点〔a,b〕的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是〔〕A．8 B．6 C．4 D．29．设F1，F2分别(fēnbié)是双曲线的左、右焦点，假设双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，那么该双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．10．设函数的零点都在区间[0，5]上，那么函数与函数的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为〔〕A．3 B．4 C．5 D．无穷个第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．11.为第二象限的角，,那么 .12．某课题组进展城空气质量调查，按地域把24个城分成甲、乙、丙三组，对数分别为4、12、8．假设用分层抽样抽取6个城，那么甲组中应抽取的城数为____．13．函数的最小值为．14．如图，将边长为1cm的正方形ABCD的四边沿BC所在直线l向右滚动〔无滑动〕，当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的道路的长度为 cm．15．设是某港口水的深度y〔米〕关于时间是t〔时〕的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间是t与水深y的关系：经长期观察，函数y=f〔t〕的图象可以近似地看成函数的图象．最能近似表示表中数据间对应关系的函数是。
北京昌平临川育人学校高三12月月考数学(文)试题 Word版含答案
北京临川学校2016—2017学年上学期12月考 高三文科数学试卷---命题人李永刚第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内． 1．若集合{1,2,3}A =，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．设3log 2a =，21log 8b=，c = A ．ab c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>3．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．25．从,,,,A B C D E 5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为A ．15B ．25C ．825 D ．9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A ．y x = B ．lg y x = C ．2x y = D．y =7．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6 8．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π9、直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ） 23 （D ）3410、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C ）90 （D ）8111、过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -= C．x y -=D ．340x y +-=12、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13 （B ）12（C ）23（D ）56第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13、已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式________▲_____________________. 14、（2016年全国III卷高考）函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移____▲_________个单位长度得到．15、已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲.16、已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____▲_____. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题—第21题每题12分，选考题10分，共70分。
高三理科数学12月月考试卷.doc
高三理科数学12月月考试卷高三数学（理科）命题人：张宏汉审题人：杨红云一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，B={2,5}，则A (C U B)= ( ) A. {2} B. {2,3}C. {1,3}D. {3}2．已知πcos 22ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且π||2ϕ<，则tan ϕ= （ ）AB ．C ．3D ． 3-3．等差数列}{n a 的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2= （ ）A ．－6B ．－8C ．8D ．64．设ｂ、ｃ表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是 ( ) Ａ．若ｂ⊂α，ｃ∥α，则ｂ∥ｃＢ．若ｂ⊂α，ｂ∥ｃ，则ｃ∥α Ｃ．若ｃ∥α，ｃ⊥β，则α⊥βD ．若ｃ∥α，α⊥β，则ｃ⊥β5．已知n展开式中，各项系数的和为64，则n 等于 ( ) A. 7B. 6C. 5D. 46.已知抛物线x y 42=的准线与双曲线13222=-by x 的一条准线重合，则这条抛物线x y 42=与双曲线13222=-by x 的交点P 到抛物线焦点的距离为 ( )A.21B.21C.6D.47. 设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，则其外接球的表面积为 ( )A.π48B. π36C. π32D.π128．某小组有4名男生，5名女生，从中选派5人参加竞赛，要求有女生且女生人数少于男生人数的选派方法种数有（ ）A. 40B. 45C. 105D. 1109. 已知直线02 :=+-m y x l 按向量)3 2(-=，a 平移后得到的直线1l 与圆5)1()2(22=++-y x 相切，那么m 的值为 ( ) A.9或－1B.5或－5C.－7或7D.-1或910．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已 知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++,例如,1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 （ ）A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,711．已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是)1(),(1+==-x f y x f y 且 的图象过A （－4，0），B （2，3）两点，若3|)1(|1≤+-x f ，则x 的取值范围是 （ ）A ．[0，3]B ．[－4，2]C ．[1，3]D ．[－1，2]12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回．．．地每次摸取一个球，定义数列{}n a ：1n 1n n a -⎧=⎨⎩第次摸取红球第次摸取白球，如果n S 为数列{}na 的前n 项和，那么73S =的概率为 （ ） .A 525712()()33C ⋅ .B 225721()()33C ⋅ .C 525711()()33C ⋅ .D 325712()()33C ⋅高三数学（理科）线上。
北京市昌平区高三数学12月月考试题 理-人教版高三全册数学试题
北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题 理一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为 A.1 B.1- C. i D.i -2. 已知集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则AB ＝A ．{}12x x ≤< B ．{}01x x <≤ C ．{}01x x << D ．{}12x x <<3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为A.3B.2C. 1D.3-4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为A.1B.2C.3D.55.已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A.15个B.25个C.30个D.35个6．已知函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是 A ．112[,) B ．01(,) C ．102(,] D ．1(,)+∞EA BCD输出输入开始结束是7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28．同时具有性质: “①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称； ③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数” 的一个函数可以是 A.cos()26x y π=+B.sin(2)6y x 5π=+C.cos(2)3y x π=-D.sin(2)6y x π=- 9．成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后 成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b ，则数列{}n b 的通项公式为A. 12n n b -= B. 13n n b -=C. 22n n b -= D. 23n n b -=10. “0x >”是“2212x x +≥”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．如图，△ABC 为正三角形，111////AA BB CC ，1CC ⊥底面ABC ，若1122BB AA ==，113AB CC AA ==，则多面体111ABC A B C -在平面11A ABB 上的投影的面积为A.274 B. 92 C. 9 D. 27212. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A.1,1m n ==B.4,1m n ==C. 3,4m n ==D.4,4m n ==二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市昌平临川育人学校2021届高三数学下学期期中试题理
北京市昌平临川育人学校2021届高三数学下学期期中试题理数学（理科）一、选择题：共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的. 1.若集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，则=ABA.{|32}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|11}x x -<<D.{|12}x x <<2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知,R a b ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是A.220a b ->B.cos cos 0a b ->C.110a b-< D.0a b e e ---<4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+=A.43B.34C.43-D.34-5.设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是A.1B.2C.3D.46.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。
某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A.6种B.8种C.10种D.12种7.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d>”是“{}n S 为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 在△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若222a c b ac +=+,则B =A. 3πB.4π C.6π D.2π9.若,x y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为A.6B.8C.10D.1210.某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，关于某个题目，假如答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，则难题的个数最多为A.4B.3C.2D.111. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)()23(x f x f =-，2)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且12+=nan S n n ，{}n a S n 为的前项和n ，则=)(5a f （ ） A.3- B.2- C.3 D.212. 若函数)(x f y =，M x ∈关于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，现在T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M上的a 级假周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，0内的3级假周期且2=T ， 当，)2,0[∈x 212,01()2(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-<<⎩函数m x x x x g +++-=221ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，)0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范畴是（ ）A.]213,(-∞ B.]12,(-∞ C.]39,(-∞ D.),12[+∞二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分.13. 在(1-2x )6错误！未找到引用源。
高三数学上学期12月月考试题 理 试题1
卜人入州八九几市潮王学校松山湖莞美2021届高三上学期12月考试数学试卷〔理〕 第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1、假设集合{}{}|12,|(21)(3)0A x x B x x x =-<<=+-<，那么B A ⋂是()A.{}32<<x x B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x xC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-211x x D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-32211x x x 或2．向量(1,1)a =，(2,)b x =，假设a b +与42b a -平行，那么实数x 的值是()A ．2-B ．0C ．1D ．23．以下选项表达错误的选项是()1x ≠,那么2320x x -+≠“假设2320x x -+=，那么1x =〞P ：2,10,x R xx ∀∈++≠那么2:,10p x R x x ⌝∃∈++=C ．假设p q ∨p,qD ．“2x >〞是“2320x x -+>〞的充分不必要条件4．假设11<<0a b,那么以下结论不正确的选项是() A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b <＋ D ．||a b a b >＋＋5.()f x 是定义域为R 的偶函数，()f x '为()f x 的导函数，当0x ≤时，恒有()+()0f x xf x '＜，设()()g x xf x =，那么满足(21)(3)g x g -＜的实数x 的取值范围是()A ．(2,)+∞B ．(1,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)-∞6.定义在(,)-∞+∞上的函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x -=，那么(2010)f 值为()A ．3B ．2C ．1D ．0 7.1"sin "2α=是1"cos 2"2α=的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．某几何体的三视图右图所示，那么这个几何体外接球的外表积为〔〕 9.ABC ∆满足sin cos sin B A C =，那么这ABC ∆的形状是〔〕 A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．直角等腰三角形D.等腰三角形或者直角三角形10.以下函数中,既是偶函数,又在(0,)+∞单调递增的函数是〔〕 A ．lg y x=B ．2xy -=C ．1y x=D ．lg y x =11．在四边形ABCD 中，AB DC =，8,5,AB AD AB AD ==与的夹角为11cos =20θθ，且，3CP PD =，那么AP BP =()A ．2B.4C.6D.1012.()f x 为偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，在区间[0,2]上，34,01()222,12x x x x f x x -⎧-⎪=⎨⎪+⎩≤≤＜≤，1()2||2g x x =+那么函数()()()F x f x g x =-零点的个数为()A ．4B ．5 C.6D ．8第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。
北京市昌平区高三数学12月月考试题 文
北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题 文一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
） 1.已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于( B ) A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+2.已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．43．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ C ）A ．x R ∃∈，2210x x -+≥B ．x R ∃∈，2210x x -+>C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-,则=λ（ B A.4- B ．3-C ．2-D ．-15．已知数列}{n a 是递增的等比数列，8,93241==+a a a a ，则数列}{n a 前2018项之和=2018S ( C ) A. 20182B. 122017- C. 122018- D.122019-6.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为( B )A ．3B ．4C ．5D ．67.已知双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的渐近线方程为（A ）A ．430x y ±=B ．1690x y ±=C ．40x = D ．4312x y ±= 8.已知函数()ln xf x e=，则函数()1y f x =+的大致图象为( D )9.如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么14()2xy z =⋅的最大值为（ B ）A.1B.2C.12D.1410.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( D )A. B.52C. 8D.11．将函数()πsin 43f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0ϕϕ>)个单位后关于直线π12x =对称，则ϕ的最小值为( A ) A. 5π24 B. π4 C. 7π24 D. π312.已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( D ) （A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- [1,1]- 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.函数2()3f x x x =-+,[1,5]x ∈-,则任取一点0[1,5]x ∈-,使得0()f x ≥0的概率为． 14.已知2παπ<<，7sin22cos αα=，则11πsin()2α-=__________． 15. ()f x 是定义在R 上的周期为3奇函数，当0<x<1时，()4xf x =，则7()(6)2f f -+=________.16.已知四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =AC = 则该四面体的外接球的表面积为 . 13.1214. 7- 152- 16.π8三．解答题（共6小题，计70分）17.(本小题12分)已知数列}{n a 的前n 项和kn n S n +=2，其中k 为常数,.136=a(1)求k 的值及数列}{n a 的通项公式；(2)若)1(2+=n n a n b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .17解：(1)由已知kn n S n +=2，当2≥n 时，有121-+=-=-k n S S a n n n∴当6=n 时，13116=+=k a 解得2=k ，∴当2≥n 时，12+=n a n .当1=n 时，32111=+==S a ,上式也成立.所以12+=n a n ................6分 (2)111)1(1)22(2)1(2+-=+=+=+=n n n n n n a n b n n1111)111()111()3121()211(+=+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-=∴n nn n n n n T n 所以数列}{n b 的前n 项和1+=n nT n ......................12分18.（本小题12分）已知函数)0(23cos )3sin(2)(>+-=ωωπωx x x f 的最小正周期为π． (1)求)(x f 的值域； (2)已知在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若2,23)2(=+=c b A f ，求a 的最小值． 分解：4)32sin(2cos 232sin 212322cos 132sin 2123cos 3cos sin 23cos )3sin cos 3cos(sin 2)()1(.182 πωωωωωωωωωπωπω-=-=++⋅-=+-⋅=+⋅-⋅=x x x x x x x x x x x x f 分的值域为6]1,1[)()32sin()(122.0, -∴-=∴=∴=∴>=x f x x f T πωπωπωπ分且832.33.32330,23)3sin()2()2( ππππππππ=∴=-∴<-<-∴<<=-=A A A A A A f分时等号成立当且仅当分分12).1(3113)2(44)(932cos2min 22222222 ===∴=+-≥-=-+=∴++=-+=c b a c b bc bc c b a bc c b bc c b a π19.(本小题12分) 如图，已知⊥AF 平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，090=∠DAB ，CD AB //，2===CD AF AD ，4=AB ．(1)求证：//AF 平面BCE ；(2)求证：⊥AC 平面BCE ；(3)求三棱锥BCF E -的体积． 19证明：（I ）因为四边形ABEF 为矩形，所以⊂BE BE AF ,//平面BCE ，⊄AF 平面BCE ， 所以//AF 平面BCE ． ......3分 （II ）过C 作AB CM ⊥，垂足为M ， 因为,DC AD ⊥所以四边形ADCM 为矩形．所以2==MB AM ，又因为4,2==AB AD 所以22=AC ，2=CM ，22=BC 所以222AB BC AC =+，所以BC AC ⊥；.................6分因为AF ⊥平面ABCD ，,//BE AF 所以BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥， 又因为⊂BE 平面BCE ，⊂BC 平面BCE ，B BC BE =⋂ 所以⊥AC 平面BCE ．..................9分 （III ）因为AF ⊥平面ABCD ，所以CM AF ⊥，又因为AB CM ⊥，⊂AF 平面ABEF ，⊂AB 平面ABEF ，A AB AF =⋂ 所以⊥CM 平面ABEF ．824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E 3824261213131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--CM EF BE CM S V V BEF BEF C BCF E ..........12分20.(本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，上顶点为A ，且AOF ∆的面积为12（O 是坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，过P 的直线l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M ，证明： PF PM +为定值.20解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知得22222121122c abc b c a ⎧⎪⎪⎪=⎨=+=⎪⎪⎪⎩221a b ⎧=⇒⎨=⎩∴椭圆的方程为2212x y +=...............4分 （2）以短轴为直径的圆的方程为()221,1,0x y F +=.................5分设()00,P x y，则220001(02x y x +=<<. ∴PF ===)022x ==-........................8分 又l 与圆221x y +=相切于M ，∴PM ==0202202222x x x x ==-.....11分∴)00222PF PM x x +=-+=分 21.(本小题12分)已知函数.)1(2ln )(2x a x a x x f +-+= (1)若曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为2-=y ,求)(x f 的单调区间； (2)若0>x 时,2)()(x f x x f '<恒成立,求实数a 的取值范围. 21.解：(1)由已知得0)1(),1(1)(='+-+='f a ax x x f 则而12)1(--=af 所以曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为12--=ay212-=--∴a ，解得2=a .x x x x x x f x x x x f 132321)(,3ln )(22+-=-+='-+=∴ 121,0132)(,1210,0132)(22<<<+-='><<>+-='x x x x x f x x x x x x f 得由或得由 )(x f ∴的单调递增区间为)(),,1(),21,0(x f +∞的单调递减区间为)1,21(.(2)若2)()(x f x x f '<，则21221)1(2ln +-+<+-+a ax x a x a x x 即2121ln +<-a x x x 在区间),0(+∞上恒成立. 设x x x x h 21ln )(-=，则2222ln 2321ln 1)(x xx x x x h -=+-=' 由上单调递增在得),0()(,0,0)(2323e x h e x x h ∴<<>' 由上单调递减在得),()(,,)(2323+∞∴>>'e x h e x x h)(x h ∴的最大值为1221,)(23232323->>+=---e a e a e e h 可得由 ∴实数a 的取值范围是),12(23+∞--e22(10分).极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（I ）求C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .22解：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =． ............5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．所以1232||||3AB t t =-==．...........10分。
北京市数学高三理数12月月考试卷A卷
北京市数学高三理数12月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·山东模拟) 已知集合A={x||x|≤2}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩∁RB=（）A . RB . {x|﹣2≤x≤﹣1}C . {x|﹣2≤x≤﹣1或x＞2}D . {x|﹣2≤x≤﹣1或x=2}2. （2分） i为虚数单位，则 =（）A . ﹣iB . ﹣1C . iD . 13. （2分） (2016高一下·合肥期中) 等差数列{an}中，a4+a5+a6=36，则a1+a9=（）A . 12B . 18C . 24D . 364. （2分）(2018·浙江) 已知平面α ，直线m ， n满足m α ， n α ，则“m∥n”是“m∥α”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：x245682040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当时，的估计值为（）A . 210B . 210.5C . 211.5D . 212.56. （2分）为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A . 3800B . 6200C . 0.62D . 0.387. （2分）(2020·南昌模拟) 五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（）A . 360B . 240C . 150D . 908. （2分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1 ，则四棱锥B ﹣APQC的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）已知等式，定义映射，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·蚌埠模拟) 若实数x，y满足，则的取值范围是（）A . [ ，4]B . [ ，4）C . [2，4]D . （2，4]11. （2分） (2018高一上·长安期末) 已知函数，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若是在内的两根，则的值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，当x=a时取得极小值b，则a+b等于（）A .B . 0C . 3D . -3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知，若，则与的夹角的余弦值为________．14. （1分） (2018高二下·牡丹江期末) 已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：① 时，②函数有2个零点③ 的解集为④ ,都有其中正确命题为________.15. （1分） (2018高二上·宁夏月考) 某人从A处出发，沿北偏东60°行走km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.16. （1分）已知两个球的表面积之比为1：16，则这两个球的半径之比为________三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高二下·济宁期中) 在极坐标系中，曲线：，：，与有且仅有一个公共点．（1）求；（2）为极点，，为上的两点，且，求的最大值．18. （5分） (2016高一上·长春期中) 已知A，B，C是△ABC的三个内角．（1） 3cos（B﹣C）﹣1=6cosBcosC，求cosA的值；（2）若sin（A+ ）=2cosA，求A．19. （10分） (2015高三上·连云期末) 已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N• ）（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；（2）若λ= ，求Sn．20. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．（Ⅰ）求证：平面AOC'⊥平面 ABD；（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．21. （5分）某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分．（1）求x和y的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率22. （10分） (2015高二下·广安期中) 已知函数f（x）=ln（x+ ﹣2）（a＞0）（Ⅰ）当1＜a＜4时，函数f（x）在[2，4]上的最小值为ln ，求a；（Ⅱ）若存在x0∈（2，+∞），使得f（x0）＜0，求a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京临川学校2016—2017学年上学期12月考高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x xB x y x=--≤==-，则A B =( )A．(1,3) B．(1,3] C．[1,2)- D．(1,2)-2．已知i是虚数单位，复数21ii+的值为A．1i- B．1i+ C．i D．2i-000003..0,ln.,tan2016.,sin cos.,20xA x x xB x R xC x R x xD x R∀>>∃∈=∃∈+=∀∈>下列命题中，是假命题的是4．设偶函数()f x的定义域为R，当[)0,x∈+∞时，()f x是增函数，则()()()2,,3f f fπ--的大小关系是A.()()()23f f fπ-<<- B.()()()23f f fπ<-<-C.()()()23f f fπ-<-< D.()()()32f f fπ-<-<101005.{}9278,.100.99.98.97na a aA B C D==已知等差数列前项的和为，则226.sin2,cos()34παα=+=已知则1112....6323A B C D7．已知P是△ABC所在平面内一点，20PB PC PA++=，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是A．14B．13C．12D．23228.,,,=(||||....||||||||OA a OB b BC OA C OC aa b a b a b a bA B C Da b a b a bλλλ==⊥≠已知非零向量且为垂足，若0），则等于9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是 A．yB．yC ．2y x =D ．4y x =10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π11．《九章算术》是我国古代著名数学经典。
其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。
问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺。
问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）。
已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1丈=10尺=100寸，3.14π≈，5sin 22.513≈） A ．600立方寸 B ．610立方寸 C ．620立方寸 D ．633立方寸12．函数22()10()20x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,0]-C ．[1,2]D ．[0,2]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答．13.(1,2),||25,//,=________a b a b b =-=已知且则14．二项式(1)n x ＋（n ∈N ＊）的展开式中4x 的系数为15，则n ＝___________．15．已知x ，y 满足约束条件102202x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值为___________111116.{}n n T ()nn n n n n n n S a a a n a a ++-为的前项和，已知=1，S =n +2,则数列{}的前项和的的表达式为_____________侧视图三、解答题：共70分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分． 17、（本小题12分）如图，在ABC ∆，点D 在边AB 上，,5,CD BC AC CD ⊥==2BD AD =（1）求AD 的长； （2）求ABC ∆的面积。
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，2AB BC ==，1CD SD ==，侧面SAB 为等边三角形．（Ⅰ）证明：AB SD ⊥；（Ⅱ）求二面角A SB C --的正弦值． 19. （本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分为五个级别，T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵.早高峰时段(3T ≥)，从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．20、（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(A 在椭圆上，且满足2120AF F F ⋅=．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由． 21、(本小题满分12分) 已知函数()2ln (2a f x x x x x a a R =--+∈）在其定义域内有两个不同的极值点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ⋅>． 选做题22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．北京临川学校2016—2017学年上学第三次月考高三理科数学试卷答题卡一、选择题（每小题5分，共60分） 一、选择题二、填空题13．（2，－4）或(－2,4) 填一个给3分 14．6 15．-4 16．1)21(23--=n n T 三解答题17 (Ⅰ) 解：在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，AC =由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠==⨯⨯4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，即22255252x x x+-=-⨯⨯．………………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）求得315AB x ==，BC ==．………………8分所以cos 2BC CBD BD ∠==，从而1sin 2CBD ∠=．…………………………10分所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠111522=⨯⨯=12分（其他方法酌情给分） 18、（本小题满分12分）解：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则四边形BCDE 为矩形， ∴BE DE ⊥， ………………1分 ∵SAB ∆为等边三角形，∴AB SE ⊥. ………………2分 ∵SEDE E =， ………………3分∴AB ⊥平面SED ， ………………4分SD ⊂平面SED ，AB SD ⊥. ………………5分（2）由（1）知，DE DC ⊥，过D 作DF ⊥平面ABCD ，则,,DE DC DF 两两垂直，分别以,,DE DC DF 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -， ………………6分则(0,0,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)D A B C -， ……7分∵1,2,SD DE SE === ∴SD SE ⊥，∴SD ⊥平面SAB ，∴1(2S，1(2DS =. ……8分 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =.∵1(,1,2SC =-，(2,0,0)BC =-，∴20102n SC x n BC x y z ⎧∙=-=⎪⎨∙=-+-=⎪⎩，∴0x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩.取1z =，则3(0,,1)n =， ………………9分 设二面角A SB C --为θ，则32|cos |||||||7DS n DS n θ∙=== ………………11分∴二面角A SB C --的正弦值sin θ. ………………12分 19（Ⅰ） 这50路段为中度拥堵的有18个．………4分（Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则事件B 至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是———8分（III ）分布列如下表：此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．…12分20.解:（1）∵2120AF F F ⋅=∴212AF F F ⊥， ∵A 在椭圆上，∴220221y c a b +=，解得20b y a=. 、…1分∴22222c ba ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得228,4,a b ==. ………………3分 ∴椭圆22:184x y C +=. ………………4分（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22:184x y C +=得 222(12)4280k x kmx m +++-=， ………………5分∵0∆>，∴22840k m -+>， ………………6分且122412km x x k +=-+，21222812m x x k-=-+， ∴22221212121228()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+，………………7分 ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++， ∴22388m k -=， ………………8分由23808m -≥和2840k m -+>，得283m ≥即可. ………………9分 因为l 与圆222x y r +=相切，∴222||813m r k ==+， ………………11分 存在圆2283x y +=符合题意. ………………12分 21解：(Ⅰ)依题，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以方程()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根.即，方程ln 0x ax -=在(0,)+∞有两个不同根……………1分 令()ln g x x ax =-，从而转化为函数()g x 有两个不同零点， 而11()ax g x ax x x-'=-=（0x >） ………………2分 若0a ≤，可见()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调增， 此时()g x 不可能有两个不同零点. ………………3分 若0a >，在10x a <<时，()0g x '>，在1x a>时，()0g x '<， 所以()g x 在1(0,)a上单调增，在1(,)a+∞上单调减， 从而1()()g x g a =极大1ln1a=- ………………4分 又因为在0x →时，()g x →-∞，在在x →+∞时，()g x →-∞，于是只须：()0g x >极大，即1ln10a ->，所以10a e<<. ………………5分 综上所述，10a e<<………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =，设12x x >，作差得，1122ln()x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-. ………………7分 原不等式212x x e ⋅>等价于()()12112122122ln ln 22lnx x x x x a x x x x x -+>⇔+>⇔>+ ………………8分令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++ ………………9分 设()()21ln ,11t g t t t t -=->+，()()()221'01t g t t t -=>+， ∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增， ………………10分 ∴()()10g t g >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立， ………………11分 故所证不等式212x x e ⋅>成立． ………………12分22.解:（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=．所以，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ………………5分 （Ⅱ） 直线l 的直角坐标方程为40x y +-=，由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)， 所以弦长22=OA ． ………………10分 23. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞…………………5分(Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-…………………10分。