北师大版高一数学必修1教案-用二分法求方程的近似解
高一数学必修一教学设计 3.4.1 第2课时用二分法求方程的近似解
第2课时用二分法求方程的近似解明目标、知重点 1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法.2.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点．从而求得方程的近似解．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．[情境导学]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根，如何求得方程的根？探究点一二分法的概念思考1在上一节课例3中，我们已经知道函数f(x)＝ln x＋2x－6存在零点，那么如何找出这个零点？答我们可以将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，可以得到零点的近似值．思考2上节课，我们已经知道f(x)的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？答取区间(2,3)的中点2.5.思考3区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？答计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．思考4假设f(2.5)＝0说明什么？答若f(2.5)＝0，则2.5就是函数的零点．思考5如何进一步的缩小零点所在的区间？答再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．这样一来，零点所在的范围越来越小了．思考6若给定精确度0.1，如何选取近似值？答当精确度为0.1时，如果求得的区间(a，b)中，a，b的值精确到0.1的近似值都为c，则c为所求的近似值．小结二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．探究点二二分法求函数零点近似值的步骤思考1对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？答不能．因为不存在一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.思考2通过对函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值的探索过程，你能总结用二分法求一般函数f(x)零点近似值的步骤吗？答用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；2．求区间(a，b)的中点c；3．计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；4．判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确到0.1)解原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：x 012345678…f(x)＝2x＋3x－7－6－2310214075142273…观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5)．再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5)．由于1.375与1.437 5精确到0.1的值都为1.4，所以，原方程的近似解可取为1.4.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练1利用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．解方程2x＋x＝4可以化为2x＝4－x.分别画函数y＝2x与y＝4－x的图象，由图象可以知道，方程2x＋x＝4的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解．设f(x)＝2x＋x－4，利用计算器计算得：f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.375)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.375,1.5)，f(1.437 5)>0，f(1.375)<0⇒x1∈(1.375,1.437 5)．因为1.375,1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以此方程的近似解为1.4.探究点三用二分法求方程的近似解思考如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？答对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．例2 求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确到0.1)解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有根，记为x0.取2与3的中点2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的中点2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)，因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为2.4.反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪训练2借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．(精确到0.1)解原方程即x＋lg x－3＝0，令f(x)＝x＋lg x－3，用计算器可算得f(2)≈－0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)·f(3)＜0，所以，这个方程在区间(2,3)内有一个解．下面用二分法求方程x＝3－lg x在区间(2,3)内的近似解．取区间(2,3)的中点x1＝2.5，用计算器可算得f(2.5)≈－0.10.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x0∈(2.5,3)．再取区间(2.5,3)的中点x2＝2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以x0∈(2.5,2.75)．同理可得x0∈(2.5,2.625)，x0∈(2.562 5,2.625)．由于2.625与2.562 5精确到0.1的值都为2.6，所以原方程的近似解可取为2.6.1．下面关于二分法的叙述，正确的是________．(填序号)①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循；④只有在求函数零点时才用二分法．答案②解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．答案①解析由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．答案(1.25,1.5)解析∵f(1.5)·f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)内．4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________．(精确到0.1)答案 1.437 5(不唯一)解析因f(1.375)·f(1.437 5)<0，且由表知1.437 5与1.375精确到0.1的值都是1.4，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.437 5.[呈重点、现规律]1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.一、基础过关1．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε说法正确的是________．(填序号) ①ε越大，零点的精确度越高； ②ε越大，零点的精确度越低； ③重复计算次数就是ε； ④重复计算次数与ε无关． 答案 ②解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低． 2．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间________． ①(18，14)；②(14，12)；③(12，1)；④(1,2)． 答案 ③解析 f (18)＝－154<0，f (14)＝－52<0，f (12)＝－1<0，f (1)＝1>0，f (2)＝4>0，∴函数零点落在区间(12，1)上． 3．在用二分法求函数f (x )零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是________．①[1,4]；②[－2,1]；③[－2,2.5]；④[－0.5,1]． 答案 ④解析 因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有④在其中，故答案为④. 4．下列关于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的叙述中，正确的个数为________． ①若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则(x 0,0)是f (x )的一个零点； ②若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值． 答案 0解析 ∵①中x 0∈[a ，b ]且f (x 0)＝0，∴x 0是f (x )的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f (x )不一定连续，∴②错误；③方程f (x )＝0的根一定是函数f (x )的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．5．已知函数f (x )的图象是不间断的，x 、f (x )的对应关系见下表，则函数f (x )存在零点的区间有________．答案 [2,3]，[3,4]，[4,5]解析 由于f (2)f (3)＝5×(－3)＝－15<0，f (3)f (4)＝(－3)×10＝－30<0，f (4)f (5)＝－50<0，所以函数f (x )存在零点的区间有[2,3]，[3,4]，[4,5]．6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ⎝⎛⎭⎫x ＋12的零点时，第一次经计算f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 f ⎝⎛⎭⎫14 解析 由于f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上存在零点，所以x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12， 第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x 1＝0＋122＝14.7．确定函数12()log 4f x x x =+-的零点所在的区间．解 (答案不唯一)设112log y x =，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点， 当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)<0， 当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1>0， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．二、能力提升8.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内________． ①(0.6,1.0)；②(1.4,1.8)；③(1.8,2.2)；④(2.6,3.0)． 答案 ③解析 设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的单调函数． f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a <1.又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0. 由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2.10．方程x 5－5x 2－lg x ＝0在区间(1,10)内的实数解的个数是________． 答案 1解析 设f (x )＝x 5－5x 2－lg x ， 由于f (1)＝－4<0，f (10)>0，而函数f (x )＝x 5－5x 2－lg x 在(1,10)内单调， 那么方程在区间(1,10)内的实数解的个数为1个．11．利用计算器， 求方程x 2－6x ＋7＝0的近似解(精确到0.1)． 解 设f (x )＝x 2－6x ＋7，通过观察函数的草图得：f (1)＝2＞0，f (2)＝－1＜0，∴方程x 2－6x ＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x 1， ∵f (1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x 1＜2，又∵f (1.5＋22)＝f (1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x 1＜1.75，如此继续下去，得f (1)＞0，f (2)＜0⇒x 1∈(1,2)，f (1.5)＞0，f (2)＜0⇒x 1∈(1.5,2)， f (1.5)＞0，f (1.75)＜0⇒x 1∈(1.5,1.75)，f (1.5)＞0， f (1.625)＜0⇒x 1∈(1.5,1.625)f (1.562 5)>0，f (1.625)<0⇒x 1∈(1.562 5,1.625)∵1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x 2－6x ＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.12．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：用二分法的思想你最多称几次就可以发现这枚假币？解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称； 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币． ∴最多称四次． 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根． 证明 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c .∵f (0)>0，∴c >0，则a >0.在[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上至少各有一个零点，又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.。
高一数学教案-用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解“”教学设计（一）学习目标：（1）理解求方程近似解的二分法的基本思想与步骤；能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．（2）通过启发学生利用直观想象分析问题来培养学生的直观想象能力，加强学生对数学通性通法的学习，体验二分法的算法思想，培养学生自主探究的能力．（3）体验求方程近似解的二分法的探究形成过程，感受方程与函数之间的联系；通过了解数学家的史料来培养学生数学素养，并增强其学习数学的兴趣；体会由特殊到一般的认识规律，体会概括结论和规律的过程，培养学生认识事物的正确方法．（二）重点难点：重点理解二分法的基本思想，掌握运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程．难点理解精确度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步骤（三）教学内容安排1.提出问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）有一条5km长的电话线路（大约100多根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何迅速查出故障所在？教师可以鼓励学生讨论，研究此问题，并提出一个可行的方案． 2.新课导入：求下列函数的零点：（1）（2）学生回答计算的结果．教师总结：简单高次函数可以因式分解求出零点，不能因式分解的高次函数我们不能求出其零点，但是我们可以想办法来求零点的近似值．3.介绍数学史：介绍法国数学家伽罗瓦(e.galois,1811.10—1832.5)与挪威数学家阿贝尔（abel,nielshenrik,1802-1829）的事迹，并引出二分法．4.例题讲解：例题：求函数的一个正实数零点（精确到）此时应采取教师引导，学生合作探究的教学模式．教师需引导学生解决下列问题：（1）如何寻找零点的近似解？（即二分法的原理，操作方法）（2）分到何时才能满足误差要求？（即二分法的精度要求）找到解决这两个问题的方法之后，首先由师生共同选择初始区间，教师可以利用数轴演示二分法的原理；让学生讨论绝对误差与区间长度的关系．教师引导学生用表格演示二分法逐次计算的结果．最后由学生归纳二分法解题的一般步骤，教师做最后总结．（可以通过计算机作图来验证学生的计算结果） 5.练习巩固使用计算器，用二分法求函数的一个正零点的近似值（误差不超过0.01）．教师巡视，学生作练习．要求同桌配合，一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，尽快求解． 6.拓展加深由二分法到算法．（1）教师总结二分法的用途，拓展到算法，鼓励学生在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．（2）介绍函数图象求解法． 7.归纳小结：教师总结二分法的解题步骤，让学生并领会、回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，有利于发展教与学中存在的问题并能及时纠正． 8.布置作业：教材p100练习 2. 教材p102习题3.1 b组 1 （四）教学资源建议建议在教学过程中可以让学生使用计算器来计算相关的函数值，这样可以节省学生的计算时间．教师则可以利用多媒体教学手段协助学生发现、归纳方法，并且验证学生的计算结果．。
北师大版数学必修一教案教学设计：4.1.2利用二分法求方程的近似解
利用二分法求方程的近似解一、教材的地位与作用本小节是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。
在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。
二、教学目标1.知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。
2.过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．3.情感态度与价值观：体会由特殊到一般的认识规律,体会概括结论和规律的过程,培养学生认识事物的正确方法.体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．三、教学重难点：教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解四、教法与学法：本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。
本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。
教具：多媒体五、教学过程导入新课有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？二分法定义::每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.例1.求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.考察函数f(x)=2x3+3x-3经试算f(0)=-3<0, f(2)=19>0,所以函数f(x)在[0, 2]内存在零点，方程2x3+3x-3=0在[0, 2]内有解.取中[0, 2]的中点1，经计算，f(1)=2>0,又f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在[0, 1]内有解.如此下去，得到方程2x3+3x-3=0的实数解所在区间的表如下：至此，可以看出，区间[0.7421875, 0.744140625]内的所有值,若精确到0.01，都是0.74. 所以0. 74是方程精确到0.01的实数解.设计意图：然后引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法以及用二分法求函数零点近似解的步骤。
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(2)
第五单元近现代中国的先进思想第20课西学东渐【课程标准】了解鸦片战争后中国人学习西方、寻求变革的思想历程，理解维新变法思想在近代中国社会发展进程中所起的作用。
一、开眼看世界1．背景(2)2．目的3．人物(1)志》，成为近代中国“开眼看世界的第一人”。
(2)魏源：编写，提出了“师夷长技以制夷”的思想。
4．影响(1)(2)逐渐成为中国近代的思想主流。
【误区警示】在民族危机之下，林则徐、魏源主张学习西方，但是林则徐、魏源是封建地主阶级的代表人物，因此其主要目的是维护清政府的封建统治，并不是要改变社会制度。
二、体用之争1．时间：19世纪60～90年代。
2．焦点：是否兼采西方文化变革救世。
3．表现(1)(2)顽固派：反对“西学为用”，维持既有的政治文化格局。
(3)4．评价(1)(2)为西学在中国的传播创造了良好的舆论环境。
【误区警示】 地主阶级抵抗派和洋务派虽都属于地主阶级派别，但两者的侧重点不同，前者主张“师夷长技以制夷”，侧重于抵抗外来侵略；而洋务派主张“师夷长技以自强”，既维护清朝统治，镇压人民的反抗斗争，也含有抵御外侮的意图。
三、维新思潮1．早期维新派的转变(1)(2)(3)17政治制度方面起到了启蒙作用。
2．维新思潮的形成(1)背景：19世纪90(2)代表(1)内容(2)影响②为中国文化的发展开辟了一条新的道路。
【误区警示】 维新派与洋务派思想的分歧根本上是由不同的阶级立场决定的。
但无论是洋务派的“中体西用”思想，还是维新派的维新变法思想都在一定时期推动了中国社会的发展和进步，都应该给予积极的评价。
[讨论交流1] 下图是我国南方某城市的一个雕塑，你能判断这个城市的名称以及涉及的历史大事吗？试答：城市：广州。
事件：虎门销烟。
[讨论交流2] 林则徐为什么被称为近代中国“开眼看世界的第一人”？试答：鸦片战争后，为了解西方，抵御外来侵略，一批满怀爱国热忱和经世之志的先进中国人开始冲破传统的“贵中华”“贱夷狄”的思想藩篱，以新的眼光审视世界。
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解》优质课教案_21
3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．[知识链接]现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？[预习导引]1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．要点一二分法概念的理解例1 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.规律方法 1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．跟踪演练1 (1)下列函数中，能用二分法求零点的为( )(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是( )①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0. A．①② B．①③ C．①④ D．①②③答案(1)B (2)A解析(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．(2)由二分法的意义，知选A.要点二用二分法求方程的近似解例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法 1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．跟踪演练2 用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：解令f(f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.1．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1,2] 答案 A解析 ∵f (－2)＝－3＜0，f (1)＝6＞0，f (－2)·f (1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．2．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )＜0，用二分法求x 0时，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点 B ．x ＝a ＋b2C ．区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b内的任意一个实数D ．x ＝a 或x ＝b 答案 B解析 由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，知选B.3．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的解所在区间为( ) A ．(1.25,1.5) B ．(1,1.25) C ．(1.5,2) D ．不能确定 答案 A解析 由于f (1.25)·f (1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)． 4．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点必落在区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2) 答案 C解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝－154＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－52＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＜0，f (1)＝1＞0，f (2)＝4＞0，∴函数零点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上．5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________． 答案 (2,2.5)解析 f (2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f (2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5)．1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、基础达标1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3答案 D解析由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)答案 C解析∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为( ) A ．(0,0.5)，f (0.25) B ．(0,1)，f (0.25) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.125) 答案 A解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f (0)＜0，f (0.5)＞0知x 0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0的更准确位置． 4．设方程2x ＋2x＝10的根为β则β属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x－10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点．f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0.∴β∈(2,3)．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8 答案 D解析 设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．6．用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析 令f (x )＝ln x －2＋x ，∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32－12<0，∴下一个含根的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.7．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，求f (x )＝3x－x －4的一个零点的近似值(精确度0.01)． 解 由表中f (1.562 5)＝0.003，f (1.556 2)＝－0.029. ∴f (1.562 5)·f (1.556 2)＜0.又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01， ∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)． 二、能力提升8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( ) A ．[1,4] B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案 D解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]， ∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]， 第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.9．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01? 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1，∴12n <0.01，即2n>100.注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度达到0.01.10．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________． 答案 4解析 设等分的最少次数为n ，则由0.12n ＜0.01，得2n＞10，∴n 的最小值为4.11．画出函数f (x )＝x 2－x －1的图象，并利用二分法说明方程x 2－x －1＝0在[0,2]内的根的情况．解图象如图所示，因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．三、探究与创新12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．解令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13．用二分法求5的近似值(精确度0.1)．解设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.。
北师大版高中数学必修一数学必修第一册：5.1.2《利用二分法求方程的近似解》教案
利用二分法求方程的近似解【教学目标】1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。
2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。
【教学重难点】1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。
(难点)【教学过程】一、基础铺垫1．二分法的概念对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。
2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P ”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解。
思考：用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？ [提示] (1)f (x )在区间[a ，b ]上的图像连续； (2)在区间[a ，b ]端点的函数值f (a )·f (b )<0. 二、新知探究 1．二分法概念的理解【例1】 下列图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )A B C D[思路探究] 零点附近连续→零点左右函数值异号A [按定义，f (x )在[a ，b ]上是连续的，且f (a )·f (b )＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。
故结合各图像可得选项B 、C 、D 满足条件，而选项A 不满足，在A 中，图像经过零点x 0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。
故选A ．]【教师小结】（1）准确理解“二分法”的含义。
二分就是平均分成两部分。
二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点。
北师大版高中数学必修一教案第四章用二分法求方程的近似解
§4.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
北师大版高中数学必修一教学案利用二分法求方程的近似解
四课后反思
五课后巩固练习
1.求方程 的实数解个数及其大致所在区间.
2.借助于计算机或计算器，用二分法求函数 的零点（精确到 ）.
②求区间 的中点 ；
③计算 ：若 ，则 就是函数的零点；若 ，则令 （此时零点 ）；若 ，则令 （此时零点 ）；
④判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~
二师生互动
例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程 的近似解.
练一练
（1）求方程 的解的个数及其大致所在区间.
例2求函数 的一个正数零点（精确到 ）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
三巩固练习
1.若函数 在区间 上为减函数，则 在 上（）.
A.至少有一个零点B.只有一个零点
C.没有零点D.至多有一个零点
2.下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.
3.函数 的零点所在区间为（）.
A. B. C. D.
4.用二分法求方程 在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得 ， ， ，那么下一个有根区间为.
教学过程
一自主学习
1.对于函数 ，我们把使的实数x叫做函数 的零点.
方程 有实数根 函数 的图象与x轴 函数 .
2．如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数 在区间 内有零点.
3二分法的思想及步骤:
给定精度ε，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间 ，验证 ，给定精度ε；
教案、学案用纸
年级高一似解
授课时间
撰写人
学习重点
利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法意义
利用二分法求方程的近似解教案
利用二分法求方程的近似解教材：北师大版高中数学必修1，第四章，第一节的第二小节一、教学目标：1.知识目标：理解用二分法求方程近似解的基本思想和原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解.2.能力目标：体验函数与方程的相互转化的数学思想方法；在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；培养学生利用信息技术解决问题的能力.3.情感目标：培养学生探究问题的能力、体会数学来源于生活、增强学习数学的兴趣.二、教学重难点：重点：理解二分法的基本思想，掌握运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解.三、教学过程（一）创设情境，尝试探求：情境：（视频引入）在一档电视购物节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在2000元～4000元之间的一款掌上电脑.游戏规则：猜猜它的价格，每次猜后主持人会给出高了还是低了的提示.问怎样猜能用最少的次数猜出来？（可以在课堂模拟进行游戏，让学生参与进来，然后学生讨论得出猜法，老师点评，用上面的情境，主要是让学生体会二分的基本思想，即折半，在折半的过程中，范围会越来越小，进而越来越逼近要寻求的量）（二）实例体验，形成概念：假设，在区间[]5,1-上，)(x f 的图像如右图所示，0)5(,0)1(<>-f f ,即解. 0)5()1(<⋅-f f ,我们依照如下方法，可以求出)(x f =0的一个中点5.3... 1. 取[]5,1-的中点2，0)5()2(<⋅f f ，在[]5,2有解，再取[]5,2的解；2. 如果取到某个区间中点c ，恰好0)(=c f ，则c 就是所求3. 如果区间中点一直不为0，那么重复上述操作，可以得到方程的一个近似解.学生活动：通过实例分析，得出二分法的概念：像这样每次取区间中点，将区间一分为二,经比较，留下需要的较小区间，这样的方法叫做二分法.用二分法求方程近似解的实质：使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数的零点或零点的近似值.（实例主要用来引导学生从生活中迁移到数学，通过实例，得出二分法的定义，以及在实例中，体会二分法在求方程近似解时的过程，并得到什么是该停止计算）（三）知识应用，深化理解：例4求方程03323=-+x x 的一个实数解,精度为1.0.解：用几何画板画出函数332)(3-+=x x x f 的图像，得到零点初始区间为()1,0取区间()1,0的中点5.0,算得25.1)5.0(-=f因为0)1()5.0(<⋅f f ,所以)1,5.0(0∈x再取区间()1,5.0的中点75.0,算得 0)75.0(>f因为0)75.0()5.0(<⋅f f , 所以()75.0,5.00∈x .......（例题进一步让学生熟悉用二分法求方程近似解的步骤）归纳：给定精确度ε,用二分法求函数零点0x 的步骤:1.确定初始区间[]b a ,；2.用二分法缩小区间；3.根据精度取近似值.用流程图表示如下：（四）课堂练习：1.下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求近似解的是( )2.已知函数1)(3--=x x x f ，利用二分法求方程013=--x x 的近似解，计算得0)2()1(<f f ，则下一步应计算___(1.5)f ____,近似解所在的下一个区间应该是____(1,1.5)___3.某同学在借助计算器求“方程x x -=2lg 的近似解（精度1.0）”时，设2lg )(-+=x x x f , 算得0)2()1(<⋅f f ；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是8.1=x .那么他所取的x 的4个值中最后一个值是1.8125.二分法在现实生活中也有许多重要的应用：4.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km 长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km 长,大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理？二分法.（课堂练习用来巩固所学知识）（五）课堂小结：1. 你学会了什么？用二分法求方程的近似解及基本步骤；2.在本节用上了那些数学思想方法？转化、逼近、数形结合.（六）课后作业：①P119 A3，B2；②寻找二分法在生活中的一个实例.。
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(5)
《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教材分析与学情分析1、本节课教材分析本节内容选自北师大版高一数学上学期《必修1》第四章第§1.2节．是学生在学习了方程解的存在性的基础上，进一步用函数研究方程，即利用二分法求方程的近似解，使学生进一步体会函数与方程的关系，使学生感受函数的核心地位.同时为必修3学习算法做准备.本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精度的方程的近似解．通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点．引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系．所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、数形结合的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想．2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《利用函数性质判定方程解的存在》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、函数与方程、逼近思想和算法思想等.3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备．但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难.二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的三维教学目标设定如下：【知识与技能】：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想.【过程与方法】：借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．【情感态度与价值观】：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一.三、教学重点、难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解.难点：对二分法原理的探究，对精度、近似值的理解.四、教法、学法与教学手段教法分析：教师要处理好传授知识和培养能力的关系，要关注个体差异，满足不同层次学生的需要，因此，在教学中必须以充分暴露整个思维过程，认知过程为主要宗旨，通过问题引导、讨论交流、动手实践等探究活动来形成师生互动.因此，本节课我采用问题探索、师生互动探究式的教学方法.学法分析：相对教师的教法，学生应当采用自主探究、研讨发现的学习方法.老师要鼓励、引导学生自主探索，使学生在讨论、分析、交流、实践等多种活动加深对二分法的感受和理解，同时鼓励主要通过小组活动方式，对所学的内容进行分析，归纳总结、讨论和交流，让学生经历知识的形成过程和发展过程，这就极大的发挥了学生的积极性和主动性. 学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点.教学手段：计算机、投影仪、计算器.五、教学过程（一）设置情景，问题引入在数学学习中，解方程是我们经常遇到的问题.问题1：你会求哪些类型方程的解？有哪些方程不会求解？ 你会求下列方程的根吗？对于前两个方程，学生很快找出解决办法，最后一个方程学生无法根据之前学过的知识进行求解，这时教师适时总结：一元一次方程、一元二次方程我们会解，但是对于超越方程、高次方程从方程角度难以求出方程的根．教师追问：那么，第三个方程是不是就无解呢？ 生：不是.师：如果有解，该如何求出它的解或近似解？引出本节课的课题.【设计意图】：从学生熟悉的方程入手，引入求方程根的话题，引起学生的认知冲突，激起进一步探究的欲望.问题2：方程ln 260x x +-=是否有解？能不能求方程的近似解？为了解决这个问题，先回顾上节课的内容.复习回顾：（1）方程的根与函数零点的关系.（2）函数零点存在性定理.方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点.所以求方程ln 260x x +-=⇔求函数()ln 26f x x x =+-的零点.教师用几何画板展示出函数()ln 26f x x x =+-的图像让学生直观判断有没有零点.【点拨】：当从方程角度直接入手难以求出方程的根时，我们可以转化为求该方程相应函数的零点的问题.（二）互动探究，获得新知以求方程ln 260x x +-=的近似解（精度为0.1）为例进行探究. 探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法：教师用几何画板展示.（2）试值法：f (x )=ln x +2x 6方程ln 260()ln 26x x f x x x +-==+-相应的函数是，由上面两种方法我们得出函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内有一个零点，这一节课的重点就是如何找出这个零点的位置.教师引导分析：根据我们的分析，我们可以将“求方程ln 260x x +-=的近似解”问题转变为“找函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内的近似零点”问题.【设计意图】：进一步理清思路，明确问题，使问题由“求”变为“找”，问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情. 探究2：怎样缩小解所在的区间？为了解决这个问题，我们先来看个视频和玩个小游戏：播放视频并邀请学生现场模拟吉林卫视《心动价给你》中猜商品价格环节：游戏规则：某 的价格在400—2000元之间，猜测它的价格，猜对了将给予奖励．每次猜后主持人会给出“高了”还是“低了”的提示，在20秒内且误差不超过10元时算猜对.让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）误差不超过10元，怎么理解？（3）如何猜才能最快猜出商品的价格？经过三个问题的引导，大家很快便总结出猜价格的方法：不断取中点值与真实值比较，懂得判断真实值所属区间，区间长度不断缩短，x1 2 3 4 ()f x 4 1.307 1.099 3.386直到“猜值”与真实值的误差小于10元为止.这种方法在数学中我们叫做“二分法”.【设计意图】：使学生更加轻松有趣的学习，通过猜价格游戏来引出二分法的概念，让学生更容易接受二分法的思想和体会到学习二分法的使用价值，学生理解用二分法的思想缩小解所在的区间.回到例题“求方程ln260x x+-=的近似解.（精度为0.1）”.探究3：你有进一步缩小函数零点范围的方法吗？引导学生：通过刚刚游戏中取“中点”的方法逐步缩小零点所在的范围（区间）。
高一数学教学案4.1.2利用二分法求方程的近似解北师大版必修1
中点函数值符号
区间长度
三巩固练习
1.若函数 在区间 上为减函数，则 在 上（）.
A.至少有一个零点B.只有一个零点
C.没有零点D.至多有一个零点
2.下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.
3.函数 的零点所在区间为（）.
A.ห้องสมุดไป่ตู้B. C. D.
4.用二分法求方程 在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得 ， ， ，那么下一个有根区间为.
5.函数 的零点个数为，大致所在区间为.
四课后反思
五课后巩固练习
1.求方程 的实数解个数及其大致所在区间.
2.借助于计算机或计算器，用二分法求函数 的零点（精确到 ）.
教学过程
一自主学习
1.对于函数 ，我们把使的实数x叫做函数 的零点.
方程 有实数根 函数 的图象与x轴 函数 .
2．如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数 在区间 内有零点.
3二分法的思想及步骤:
给定精度ε，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间 ，验证 ，给定精度ε；
②求区间 的中点 ；
③计算 ：若 ，则 就是函数的零点；若 ，则令 （此时零点 ）；若 ，则令 （此时零点 ）；
④判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~
二师生互动
例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程 的近似解.
练一练
（1）求方程 的解的个数及其大致所在区间.
例2求函数 的一个正数零点（精确到 ）
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
利用二分法求方程的近似解
高中数学学案利用二分法求方程的近似解北师大版必修1
一自主学习
1.对于函数 ，我们把使的实数x叫做函数 的零点.
方程 有实数根 函数 的图象与x轴 函数 .
2．如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数 在区间 内有零点.
3二分法的思想及步骤:
给定精度ε，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间 ，验证 ，给定精度ε；
②求区间 的中点 ；
③计算 ：若 ，则 就是函数的零点；若 ，则令 （此时零点 ）；若 ，则令 （此时零点 ）；
④判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~
二师生互动
例1借助计算器或计算机，利用二分法求方程 的近似解.
练一练
（1）求方程 的解的个数及其大致所在区间.
例2求函数 的一个正数零点（精确到 ）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
三巩固练习
1.若函数 在区间 上为减函数，则 在 上（）.
A.至少有一个零点B.只有一个零点
C.没有零点D.至多有一个零点
2.下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.
3.函数 的零点所在区间为（）.
A. B. C. D.
4.用二分法求方程 在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得 ， ， ，那么下一个有根区间为.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
利用二分法求方程的近似解
授课时间
撰写人
学习重点
利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法意义
学习难点
感受近似、逼近和算法等数学思想的含义ห้องสมุดไป่ตู้作用
学习目标
1.根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
高一数学北师大版必修1教学教案第四章1-2利用二分法求方程的近似解(8)
教学设计利用二分法求方程的近似解教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书•数学1》北师大版第三章第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的利用函数y=f(x)的图像,判定在区间[1,5]有零点,再次利用二分法求出方程f(x)=0的近似解.由具体到一般，建立方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形.在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第二步,介绍定义二分法,满足精度的近似解.对方程的近似解提出要求,即满足一定要求的近似解,不能比近似解大于ε,也不能比近似解小于ε.在真实值未知的情况下,要达到满足要求的近似解似乎不可能.第三步,在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．教学目标1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法.2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．教学重点与难点教学重点：能够用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．教学过程教学基本流程图教学情境设计教学设计学情预设设计意图知识链接创设情境•引出课题1．趣味游戏,猜一个在1到100之间的整数.2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？4.这个游戏对你的启发是什么?5.复习函数的零点的定义.6.复习函数的零点的存在性定理.7.合作探究这节课应解决怎样的问题?迫使学生思考如果一个方程存在零点,那么如何才能求出这个零点?实在不能求出这个零点,退而求其次,是否可以求出这个方程的一个近似解,最好是与真实值足够接近的近似解.让学生主动发现问题,提出问题,解决问题.8.让学生解一元一次方程,一元二次方程,学生很容易解决这样的问题,然后给出一个学生无法解决的一元三次方程,学生会感到非常遗憾,努力想解决这个问题.给出问题,激发兴趣,寻求方法,解决问题.有解,如何运用某种方法找到这个解,如果无法求出真实解,那么能否求出满足一定要求的近似解.知道存在,如何找出.和趣味游戏多么的相似啊！“二分”的思路是什么？1．教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．3．对于“问题3”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.(1)．利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．(2)．通过问题3，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．(3)．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．(4)．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．师生探究•构建新知1．上节课我们学了什么定理.它的作用是什么？还有什么问题没有解决？2．已知函数f(x)＝2x3+3x3=0,求它的一个实数解,精度为0.01 3．精度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精度？4．区间(0.625,0.75)的精度为多少？5．如何将零点所在的范围缩小(即如何将精度缩小)？缩小的依据是什么？6．如何利用“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？ 7．近似解是多少？(1)．教师通过对上节课的内容进行复习，并且有前面游戏作为伏笔，学生能够初步体会出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．(2)．通过“问题3”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．(3)．学生对精度的概念可能不知．教师可以借助数轴解释说明精度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．(4)．教师通过“问题求方程的近似解”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到零点所在的区间,并且这个区间的长度越来越小,端点逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解．并且确定结束的区间.(5)．学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确地、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．(6)．对于深度思考,学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，最后得到方程的近似解.设计意图1．趣味游戏,开门见山，延续上一节课的内容继续深入地研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．2．运用求方程的近似解，将学生的思路与前面已经解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．3．师生的互动,有利于一边引导学生一边总结知识．将二分法应用于解决实际问题，即将新知识应用于解决新问题．培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度.5.辨析思考,让学生思考,二分法能够解决什么问题,不能解决什么问题,它的局限性是什么?使学生清楚二分法的使用范围.6.方法延伸,二分法不但能解决课堂内的数学问题,而且能解决课堂外的数学趣味题,更增加学生学习数学的兴趣.7.思想延伸,能够求出方程的近似解,而没有求出方程的真实解,多么遗憾的一件事啊！那么如何求出方程的真实解?既然区间的长度越来越小,如果长度无限小,区间的端点就无限逼近真实值.那么就得到了方程的真实值.多么奇妙的一件事啊,看起来无法求出方程的近似解,最终,不但求出了近似解,而且求出了真实值.8.小结,这节课你学到了什么?有什么收获？有什么困惑？有什么数学思想和方法？迫使学生思考，梳理，总结，提炼，迫使学生回头望，进行讨论。
利用二分法求方程的近似解共7页文档
《二分法求方程的近似解》教学设计
陕西省丹凤中学雷文军
一、教材依据
二、设计思想
三、教学目标
四、教学重点
五、教学难点
六、教法选择
七、学法选择
八、教学准备
八、教学过程设计
1、教学基本流程图
板书设计
十、教学反思
在教学过程中，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，特别注意数学思想方法的溶入渗透，整个教学设计中，特别注重以下几个方面：
1、注重用二分法求方程近似解与现实生活案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题。
2、重视学生的学习体验，突出他们的主体地位，不断强化他们的转化类比思想。
3、注重学生参与知识的形成过程，手、口、脑、耳并用，使他们”听”有所思，”学”有所获，增强学习数学的信心。
4、注重师生、同学之间互动，相互协作，共同提高。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修1 1.2 利用二分法求方程的近似解》
用二分法求方程的近似解安徽省濉溪中学杨梅【教学目标】知识目标：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法；2．借助计算器用二分法求方程的近似解的步骤能力目标：通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的对立统一情感、态度与价值观: 1通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识；2通过体验具体的方程求近似解的过程，培养学生不畏困难的精神和严谨细致的思维品质．【教学重点】掌握用“二分法〞求方程的近似解的方法及步骤，体会函数零点与方程实数解之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识【教学难点】对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合【教学过程】〔一抛砖引玉〔二溯本逐源二分法的定义：对于在区间上连续不断且的函数通过不间断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法〔三〕顺藤摸瓜〔四〕瓜熟蒂落1确定区间，验证，给定精确度；2;3;〔1〕假设，那么就是函数的零点；〔2〕假设，那么令〔此时零点〕；〔3〕假设，那么令〔此时零点〕．4 否那么重复2～4〔五〕抽丝剥茧定区间，找中点，中值计算看两边；同号去，异号留，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断〔六〕典例分析例借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解〔精确度〕解：原方程即，令，作出函数的对应值表：学生合作完成下表，组内交流，找出零点的近似值，确定方程的近似解七学以致用1以下函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的是〔〕A BC D2用二分法求函数的零点时，初始区间可选为 CA． B． C． D．3用二分法研究函数的零点时，第一次计算可得其中一个零点_______，第二次应计算________．以上横线应填的内容为 AA． B．C． D．八课堂小结〔九〕课后稳固1必做题： P91 练习第1题P92 习题组第1,2题2选做题：阅读课本P93阅读与思考,答复下面问题中外历史上方程的求解经历了哪些过程？结合阅读材料和二分法的学习与应用，你对二分法及对数学有哪些新的认识？〔十〕教后反思。
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.2 利用二分法求方程的近似解》优质课教案_29
《利用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第四章4.1.2利用二分法求方程的近似解．本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。
二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、设计思想倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。
（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。
（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。
情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。
（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。
五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。
难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。
高中数学必修一第三章教学设计 2用二分法求方程的近似解
课题：用二分法求方程的近似解
教学目标
知识与技能
通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
过程与方法
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
情感、态度及价值观
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
重点难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
难点：恰当使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
板书设计
教学反思。
数学高中必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计
3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：1、知识目标：理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解。
2、能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；在学习过程中，让学生感受近似、逼近的思想方法；培养学生利用信息技术和计算工具的能力。
3、情感目标：培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦。
教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系。
对求方程的近似解与缩小函数零点所在范围的关系的认识。
教学难点：对精确度概念的理解，能够借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。
教学设计：1．创设情境：由猜价格游戏引入二分的思想。
先看一个水壶，打开一个猜价程序，输入正确价格后请一位同学猜，价格猜高了还是猜低了会提示并放入两个小框内，直到猜出正确价格。
再出现一款索尼游戏机，同样请一位同学猜价格，直到正确价格。
在游戏的过程中引导学生发现猜价格的原理，不断地把正确价格所在范围缩小，从而得到正确价格。
这其实用到了数学当中的一种思想：二分思想。
并提出问题怎样缩小范围最合理。
（取中点二分）用游戏引入可以引起学生的关注，集中注意。
2．引出课题：用二分法求方程的近似解二分的思想我们可以用在生活中，也可以用来解决数学问题。
由二次方程导出求简单方程的一些方法。
对于简单方程我们可以通过因式分解，配方，求根公式，换元等方法得到他们的根。
变出一个超越方程尝试后发现上面的方法都不可行了，从而引出例题。
3．例题讲解：例１．求方程0732=-+x x 的根分析：解方程我们应该从哪些方面入手考虑呢？① 根的个数：如何判断根的个数，两个函数图象的交点个数。
② 根的范围：请同学尝试如何得到根的范围，并给出理论依据（根的存在性定理：若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c ∈ (a,b)使得f(c)=0,这个也就是方程f(x)＝0的根，或称函数y=f(x)的零点．）③ 取近似值：从图象也好从猜的角度考虑也好，我们很难得到准确值，只能用近似值来代替，提出问题：那么要近似到什么程度呢？从而引出精确度的概念，并指出在满足精确度的区间内的任意一点及两个端点都可以作为近似解，但为了方便我们一般取端点作近似解，回到例题。
北师大版高中必修11.2利用二分法求方程的近似解教学设计
北师大版高中必修11.2利用二分法求方程的近似解教学设计教学目标
1.了解什么是二分法，掌握其求解近似解的方法；
2.能够应用二分法求解简单方程的近似解；
3.能够将二分法运用于实际问题中。
教学重点
1.二分法的原理和应用；
2.二分法求解近似解的方法；
3.将二分法应用于实际问题中。
教学难点
1.将二分法运用到实际问题中；
2.学生的思维难度和计算难度较大。
教学准备
1.教师准备PPT进行教学；
2.学生需要准备笔记本和计算器。
教学过程设计
一、导入
1.引入二分法的概念及其作用；
2.通过生活实例引出如何用二分法求解问题。
二、概念解释
1.讲解二分法的概念；
2.讲解什么是连续函数；
3.解释什么是单调函数。
三、使用二分法求近似解的方法
1.讲解如何利用中值定理来求解近似解的方法；
2.通过简单的例题来展示二分法求解近似解的过程；
3.讲解使用二分法求解区间中的根的方法；
4.通过一些例题来演示这些方法。
四、经典例题解析
1.在实际问题中使用二分法求解问题；
2.直接将经典例题进行讲解和分析。
五、小结
1.对二分法进行总结；
2.提示二分法的注意事项。
教学反思
本课用PPT辅助教学，方便了学生的听课，同时普及了黑板语言和KeTex语言，但教师在上课时应留意在耽搁过多时间，时间分配不合理，最好安排好时间，严格控制进度。
此外，学生的解题思维能力欠缺，需要对应到每个例题，提醒他们把解题的过程分步骤来处理。
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§4.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学目标
1．知识与技能
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱
数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ε便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、学法与教学用具
1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。
这种求零点近似值的方法叫做二分法。
1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。
2．为什么由︱a － b ︳＜ε便可判断零点的近似值为a（或b）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x
0，则a＜x
＜b，则：
0＜x
0－a＜b－a，a－b＜x
－b＜0；
由于︱a － b ︳＜ε，所以
︱x
－ a ︳＜b－a＜ε,︱x0－ b ︳＜∣ a－b∣＜ε,
即a或b 作为零点x
的近似值都达到了给定的精确度ε。
㈢、巩固深化，发展思维
1．学生在老师引导启发下完成下面的例题
例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？
师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。
生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．
（四）、归纳整理，整体认识
在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：
（1）本节我们学过哪些知识内容？
（2）你认为学习“二分法”有什么意义？
（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？
（五）、布置作业
A组第四题，第五题。
4.2.1 实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，
许多联系可以用函数刻画。
用函数的观点看实际
问题，是学习函数的重要内容。
问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代
谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数
据，这些数据说明了什么？
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38
代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
解在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；一个是人体的代谢率。
不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。
实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。
在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。
（如图4-5）
根据图象，可以看出下列性质：
（1）代谢率曲线在小于20oC的范围是下降的，
在大约30oC的范围内是上升的；
（2）环境温度在20oC ～30oC时，代谢率较底，
并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
（3）环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影]
响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在
20oC ～30oC之间，这样可以使环境温度影响最小。
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确由
{4，10，20，30，38}到{60，44，40.5，54}的一个函数，
通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一
个新函数，定义域扩大到区间[4，38]。
对于实际的环境温度与人体代谢关系来说，就是一个近似函数关系，它的函
数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关
系。
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新
专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的
直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量x对
总成本C，单位成本P，销售收入R及利润L之间存在什么
样的函数关系？表示了什么实际含义？
解总成本C与产量x的关系
C=200000+300x；
单位成本P与产量x的关系
P=300+200000 /x；
销售收入R与产量x的关系
R=500x ；
利润L与产的量x关系
L=R-C=200x-200000。
以上各式建立的是函数关系。
（1）从利润关系式可见，希望有
较大利润应增加产量。
若x<1000,则要
亏损；若x=1000 ，则利润为零；
若x>1000 ，则可赢利.
(2)单位成本P与产量x的关系
P=300+200000 /x可见，为了降低成本，
应增加产量，以形成规模效应。