最小二乘估计.ppt
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一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
通过观察发现，图(4)的
残差比较均匀地分布在以取
值为0的横轴为对称轴的水
平带状区域内. 所以在四幅
残差图中，只有图(4)满足
一元线性回归模型对随机误
差的假设.
典例 1：下面给出了根据某地区 2013～2019 年水果人均占有量 y(单位：kg)和年份代码
x 绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2013～2019 年的年份代码 x 分别为 1～7).
注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可认为散点集中在曲线
y=c1+c2ln(t-1895)的周围. 其中c1和c2为未知参数，且c2 < 0.
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1, c2 是待
定参数. 现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2.
መ
以计算出=0.839
，ො
=28.957，
求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方
程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
ŷ 0.839 x 28.957
ො
思考:当x=176时，≈177.
如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大成人后的身高一
定是177cm吗? 为什么?
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断
原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。
残差分析：
残差表：将残差以表格的形式呈现；
残差图：将残差以图象的形式呈现。
残差表：
编号
父亲身高/cm
儿子身高观测值/cm
儿子身高预测值/cm
残差/cm
1
174
残差比较均匀地分布在以取
值为0的横轴为对称轴的水
平带状区域内. 所以在四幅
残差图中，只有图(4)满足
一元线性回归模型对随机误
差的假设.
典例 1：下面给出了根据某地区 2013～2019 年水果人均占有量 y(单位：kg)和年份代码
x 绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2013～2019 年的年份代码 x 分别为 1～7).
注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可认为散点集中在曲线
y=c1+c2ln(t-1895)的周围. 其中c1和c2为未知参数，且c2 < 0.
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1, c2 是待
定参数. 现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2.
መ
以计算出=0.839
，ො
=28.957，
求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方
程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
ŷ 0.839 x 28.957
ො
思考:当x=176时，≈177.
如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大成人后的身高一
定是177cm吗? 为什么?
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断
原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析。
残差分析：
残差表：将残差以表格的形式呈现；
残差图：将残差以图象的形式呈现。
残差表：
编号
父亲身高/cm
儿子身高观测值/cm
儿子身高预测值/cm
残差/cm
1
174
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
04第四讲 最小二乘估计法
最小二乘法是一种在一元线性回归模型中常用的估计方法。该方法基于一系列假定条件，包括随机误差项的分布特性、同方差性、与解释变量的不相关性等。通过建立回归模型Yt=β0+β1Xt+ut，并设定回归方程E(Yt)=β0+β1Xt来表示因变量与自变量之间的关系。在实际情况中，真实的回归直线是观测不法的核心原则是以残差平方和最小来确定估计直线的位置。残差定义为观测值与拟合值之间的纵向距离，通过最小化残差平方和，可以得到β0和β1的估计量。这一过程中，需要求解正规方程，即残差平方和对β0和β1的偏导数等于零的方程组，从而得到参数的估计值。最终，通过OLS估计方法，可以得到一条拟合样本数据且残差平方和最小的直线，用于描述因变量与自变量之间的线性关系。
高中数学 第一章第九节《最小二乘估计》教学课件 北师大版必修3
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知. 14
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
15
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
A.y=x+1 B. y=x+2
4 4.41 24.92
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
13
课堂练习：
高中数学必修３第一章第 九节《最小二乘估计》教
学课件
1
最小二乘估计
2
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
3
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
课件：最小二乘估计
最小二乘估计是一种数学统计方法，用于刻画两个变量之间的线性关系。其基本原理是，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。在具体应用中，通常用于求解线性回归方程的系数。当数据点分布在一条直线附近时，最小二乘法可以提供一个最优的直线方程来拟合这些数据点。求解过程中，首先计算各数据点与直线之间的距离差（即残差），然后求这些残差的平方和。通过调整直线的斜率和截距，使得残差平方和最小，从而得到最佳拟合直线。文档中还详细推导了最小二乘法的求解公式，包括斜率和截距的计算方法，并给出了具体的应用实例。例如，在热饮销售与气温关系研究中，可以利用最小二乘法求出线性回归方程，进而预测不同气温下的热饮销售量。总之，最小二乘估计是一种重要的数学工具，在数据分析、预测和建模等领域具有广泛的应用价值。
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
栏目导航
34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
栏目导航
8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
822一元线性回归模型参数的最小二乘估计 课件(共23张PPT)
i 1
观测数据与直线 y bx a的“整体接近程度”.
探究新知
残差：实际值与估计值之间的差值，即 yi (bxi a )
n
| y
i 1
i
(bxi a ) |
n
残差平方和： Q(a, b) yi (bxi a )
2
i 1
求a, b的值，使Q(a, b)最小
的变化的方法称为回归分析.
探究新知
一元线性回归模型Y bx a e
对于响应变量Y,通过观测得到的数据为观测值,通过经验回归
方程得到的 ŷ称为预测值,观测值减去预测值称为残差,即eˆ y yˆ .
残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模
型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，
C.a 0, b 0
D.a 0, b 0
6
n
i 1
i 1
2
(
x
x
)
17.5
x 5.5, y 0.25 ( xi x)( yi y) 24.5 i
25.5
b
1.4
17.5
â bˆ x y 7.95
利用公式(2)可以计算出b=0.839, a=28.957, 得到儿子身高Y
关于父亲身高x的经验回归方程为 y 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如下图所示：
儿子身高/cm
190
185
180
ŷ 0.839 x 28.957
175
170
165
160
160
165
170
175
探究新知
观测数据与直线 y bx a的“整体接近程度”.
探究新知
残差：实际值与估计值之间的差值，即 yi (bxi a )
n
| y
i 1
i
(bxi a ) |
n
残差平方和： Q(a, b) yi (bxi a )
2
i 1
求a, b的值，使Q(a, b)最小
的变化的方法称为回归分析.
探究新知
一元线性回归模型Y bx a e
对于响应变量Y,通过观测得到的数据为观测值,通过经验回归
方程得到的 ŷ称为预测值,观测值减去预测值称为残差,即eˆ y yˆ .
残差是随机误差的估计值，通过对残差的分析可判断回归模
型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，
C.a 0, b 0
D.a 0, b 0
6
n
i 1
i 1
2
(
x
x
)
17.5
x 5.5, y 0.25 ( xi x)( yi y) 24.5 i
25.5
b
1.4
17.5
â bˆ x y 7.95
利用公式(2)可以计算出b=0.839, a=28.957, 得到儿子身高Y
关于父亲身高x的经验回归方程为 y 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如下图所示：
儿子身高/cm
190
185
180
ŷ 0.839 x 28.957
175
170
165
160
160
165
170
175
探究新知
最小二乘估计(最新课件ppt)
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
【高中数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计的应用课件 高二人教A版(2019)选择性必修第三册
②
在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色) 以及经验回归方程①的图象(红色)， 如图 8.2- 16 所示.
发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象， 表明非线性经验回归方程② 对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.
【残差分析】下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.
8
8
Q1 (ei )2 0.669, Q2 (ui )2 0. 004, 可知 Q2 Q1 ，
i 1
i 1
因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型
Y E
c2 ln(t 1895) c1 (u) 0, D(u) 2
u
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.
也可以用决定系数 R2 来比较两个模型的拟合效果， R2 的计算公式为
间的线性相关程度越强，所以 B 是假命题；对于 C，用决定系数 R2 的值判断模型的拟合效果， R2 越
大，模型的拟合效果越好，所以 C 是假命题；由残差的统计学意义知，D 为真命题. 故选 ABC
2. 中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产 总值从 54 万亿元增长到 114 万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总 值为响应变量的一元线性回归模型，现就 2012-2016 某市的地区生产总值统计如下：
将图 8.2-15 与图 8.2-13 进行对比，可以发现 x 和Y 之间的线性相关程度
比原始样本数据的线性相关程度强得多.
将 x ln(t 1 895 ) 代人(*)式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程
y2 0.426 439 8 ln(t 1 895 ) 11.801 265 3
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
金融计量学课件PPT第2章最小二乘法和线性回归
变量取值范围内。
为了提高预测精度，可以对模型 进行优化和调整，例如添加或删 除自变量、使用交叉验证等技术
。
04
CATALOGUE
最小二乘法和线性回归在金融中的应用
股票价格预测
总结词
通过最小二乘法和线性回归，可以对股票价格进行预测，帮助投资者做出更明 智的投资决策。
详细描述
利用历史股票数据，通过最小二乘法和线性回归分析股票价格的时间序列数据 ，建立预测模型。根据模型预测结果，投资者可以判断未来股票价格的走势， 从而制定相应的投资策略。
金融计量学课件ppt 第2章最小二乘法和 线性回归
目录
• 引言 • 最小二乘法 • 线性回归 • 最小二乘法和线性回归ALOGUE
引言
课程背景
金融市场日益复杂
01
随着金融市场的日益复杂，投资者和决策者需要更精确的定量
分析工具来评估投资机会和风险。
金融数据的特点
缺点
对异常值敏感，容易受到离群点的影 响；假设数据符合线性关系，对于非 线性关系的数据表现不佳；无法处理 分类变量和交互项。
03
CATALOGUE
线性回归
线性回归的定义
线性回归是一种通过最小化预测误差 平方和来建立变量之间线性关系的统 计方法。
线性回归模型通常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε，其中Y是因 变量，X1、X2等是自变量，β0、β1 等是回归系数，ε是误差项。
02
金融数据具有时序性和波动性，通过计量经济学方法可以对这
些数据进行有效的分析和预测。
最小二乘法和线性回归在金融领域的应用
03
最小二乘法和线性回归是金融计量学中常用的基础分析方法，
为了提高预测精度，可以对模型 进行优化和调整，例如添加或删 除自变量、使用交叉验证等技术
。
04
CATALOGUE
最小二乘法和线性回归在金融中的应用
股票价格预测
总结词
通过最小二乘法和线性回归，可以对股票价格进行预测，帮助投资者做出更明 智的投资决策。
详细描述
利用历史股票数据，通过最小二乘法和线性回归分析股票价格的时间序列数据 ，建立预测模型。根据模型预测结果，投资者可以判断未来股票价格的走势， 从而制定相应的投资策略。
金融计量学课件ppt 第2章最小二乘法和 线性回归
目录
• 引言 • 最小二乘法 • 线性回归 • 最小二乘法和线性回归ALOGUE
引言
课程背景
金融市场日益复杂
01
随着金融市场的日益复杂，投资者和决策者需要更精确的定量
分析工具来评估投资机会和风险。
金融数据的特点
缺点
对异常值敏感，容易受到离群点的影 响；假设数据符合线性关系，对于非 线性关系的数据表现不佳；无法处理 分类变量和交互项。
03
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线性回归
线性回归的定义
线性回归是一种通过最小化预测误差 平方和来建立变量之间线性关系的统 计方法。
线性回归模型通常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε，其中Y是因 变量，X1、X2等是自变量，β0、β1 等是回归系数，ε是误差项。
02
金融数据具有时序性和波动性，通过计量经济学方法可以对这
些数据进行有效的分析和预测。
最小二乘法和线性回归在金融领域的应用
03
最小二乘法和线性回归是金融计量学中常用的基础分析方法，
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
分步计算减 少出错
第十五页，共25页。
于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x 2)由回归方程知，当某天的气温是-3℃时，卖
出的热茶杯数为
57.557-1.648×(-3)≈63(杯）
第十六页，共25页。
1.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点 图观察数据是否具有线性关系
8 最小二乘估计 (共25张PPT)
第一页，共25页。
1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程； 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式
建立线性回归方程.
第二页，共25页。
上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系，用了 很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依 据. 问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）.
程y=a+bx必经过点 (
（A）（2，2）
)D
（B）（1.5，0）
（C）（1，2）
（D）（1.5，4）
x0123 y1357
第十八页，共25页。
2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）画出销售额和利润额的散点图； （2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的 线性回归方程.
4
49
28
5
81
45
17
200 112
利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好.但即使选取相同 的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成
的,样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系.
第二十一页，共25页。
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3
3
所以 1 910- 6创35 115
b
b
=
?
1910 ? 11228866-?
666创?? 3333335355 ??
1135 335 3335
?
?
1.648
? 1.648
aa ?? 5577..555577
于是，线性回归方程为
y ? 57.557 -1.648x .
（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方 程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数 估计为：
若有n个样本点：（ x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下 面的表达式来刻画这些点与直线 y＝a+bx的接近程度 :
[y 1 ? (a ? bx 1)]2 ? ? [y n ? (a ? bx n )]2
使上式达到最小值的直线 y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为 最小二乘法 .
思考3：怎样使 [y1 ? (a ? bx 1)]2 ? 达到最小值？
57.557-1.648 ×(-3)≈63(杯） .
【说明】
1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图， 利用散点图观察数据是否具有线性关系 . 2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出 方程. 3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的 规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合 .
1.了解最小二乘法的思想 . 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性 回归方程 .(重点 ) 3.会用线性回归方程对总体进行估计 .(难点）
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为 y=a+bx，样本点 A（xi，yi）
方法一 :点到直线的距离公式
y
A
?x i
,y ? i
例如有5个样本点，其坐标分别为（ x1，y1），（x2， y2），（ x3，y3），（ x4，y4），（ x5，y5），与直线 y=a+bx的接近程度：
?y1 ? ?a ? bx1??2 ? ?y2 ? ?a ? bx2 ??2 ? ?y3 ? ?a ? bx3 ??2 ? ?y4 ? ?a ? bx4 ??2 ? ?y5 ? ?a ? bx5 ??2
例2 下面是两个变量的一组数据：
x12345678 y 1 4 9 16 25 36 49 64
请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程 .
解 根据上表数据，可以计算出：x ? 4.5, y ? 25.5 其他数据如下表
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
§8 最小二乘估计
在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量 和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可 以有多种方法来进行刻画 .但是这些方法都缺少数学 思想依据 . 问题1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？ 想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离 最小） .
最小二乘法就是基于这种想法 .本节课我们来进行 详细学习！
预报广告费用为 6万元时销售额为（ B ）
A.63.6 万元 C.67.7 万元
B.65.5 万元 D.72.0 万元
杯数（yi）／杯 20 24 34 38 50 64 (1)试用最小二乘法求出线性回归方程 .
(2)如果某天的气温是－3℃，请预测这天可能会卖
出热茶多少杯 .
解：（1）由散点图可以看出，两个变量 是线性相关的 .
由表格得：
由表格x =可3得5 ，：y = 115
3
3
所以 x ? 35 ，y ? 115
1.已知x，y之间的一组数据如下表，则 y与x的线性 回归方程 y=a+bx必经过点 ( D )
x0123 y1357
A.（2，2）
B. （1.5，0）
C.（1，2）
D. （1.5，4）
2.（2011·山东高考）某产品的广告费用 x与销售额 y 的统计数据如下表
根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的b为9.4，据此模型
用同样的方法我们可以推导出 n个点的线性回归方 程的系数：
n
? xiyi ? nx y
? ?
i?1 n
xi2 ? nx 2
i?1
牢记公 式
特别提醒： 在回归直线方程中， b是回归直线方程 的斜率， a是截距；b的含义容易理解成增加的单 位数，而实际上，它代表 x每增加一个单位， y的 平均增加单位数 .一般地说，当回归系数 b＞0时， 说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当 x每 增加一个单位时， y就增加b个单位；当 b＜0时， 说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当 x每 增加一个单位时， y就减少b个单位.
? [y n ? (a ? bx n )]2
先来讨论 3个样本点的情况
…………………①
? 3??a2 -2（a y-bx)??? (y1 -bx1)2 ? (y2 -bx2)2 ? (y3 -bx3)2
利用配方法可得
同样使用配方法可以得到，当
从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ， b，且称直线y=ɑ+bx 为这3个样本点的线性回归方程 .
思考4:如果样本点只有两个，用最小二乘法得 到的直线与用两点式求出的直线一致吗？ 提示:是一致的 .
与用两点以看出，某小卖
部6天卖出热茶的杯数（ y）与当天气温（ x）之间是
线性相关的 .数据如下表 :
气温（xi）／ 26 18 13 10 4 -1 ℃
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
64
512
204
1 296
y=-15+9x.
思考：哪一个对呢？
所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散 点图.如果散点图呈现一定的规律性 ,我们再根据这 个规律性进行拟合 .如果散点图呈现出线性关系 ,我 们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 ;如果散 点图呈现出其他的曲线关系 ,我们就要利用其他的 工具进行拟合 .
d ? bxi ? yi ? a b2 ? 1
方法二 :
?xi ,a ? bxi ?
?yi ? ?a ? bxi ??2 0
y ? a ? bx
x
显然方法二能有效地表示点 A与直线y=a+bx的距离，而 且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之 间的接近程度 .
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：