2018年高考数学二轮复习(江苏版)14个填空题专项强化练(一)集合与常用逻辑用语 Word版 含答案
江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练五
14个填空题综合仿真练(五)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：∵集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，∴∁U B ＝{2,3}，A ∪(∁U B )＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3＋y i(y ∈R)，z 2＝2－i ，且z 1z 2＝1＋i ，则y ＝________. 解析：因为z 1z 2＝1＋i ，所以z 1＝(1＋i)z 2＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，所以y ＝1. 答案：13．已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线x 2－y 23＝1的离心率，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝________.解析：因为双曲线的离心率e ＝2，所以tan α＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π3－2α＝sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：454．某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有________人．解析：设高二女生人数为x 人，所以x2 000＝0.19，即x ＝380，所以高三人数为2 000－650－370－380＝600人．答案：6005．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式f (x 2－2x )>0的解集为________．解析：根据偶函数的性质，可得－3<x 2－2x <3，从而可得－1<x <3，所以不等式的解集为(－1,3)．答案：(－1,3)6．阅读如图所示的算法流程图，若输入的n 是30，则输出的变量S 的值是________．解析：根据算法流程图知，当n ＝30时，n ＞2，S ＝30，n ＝28；当n ＝28时，n ＞2，S ＝58，n ＝26；……；当n ＝2时，S ＝30＋28＋26＋…＋2＝＋2＝240，n ＝0.当n＝0时，n ＜2，输出S ＝240.答案：2407．已知Ω1是集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{(x ，y )|y ≤|x |}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为________．解析：如图所示，作出区域Ω1(圆面)，Ω2(虚线部分)的图象，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω2内的概率P ＝34πr 2πr 2＝34.答案：348．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1a n ＋1＝a n －1－a na n －a n ＋1(n ≥2)，则使得a n ＝2a 2 018成立的正整数n ＝________.解析：显然数列{a n }中通项a n ≠0，由a n －1a n ＋1＝a n －1－a n a n －a n ＋1可得，a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1， 两边取倒数可得：1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且首项1a 1＝12，公差d ＝1－12＝12，所以1a n ＝12＋12(n －1)＝n 2，即a n ＝2n，所以由a n ＝2a 2 018可得2n ＝2×22 018，所以n ＝1 009.答案：1 0099．函数f (x )＝sin x ＋3cos x －a 在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：f (x )＝sin x ＋3cos x －a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－a ，函数在区间[0,2π]上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则a ＝ 3.令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝32，所以x ＋π3＝2k π＋π3或x ＋π3＝2k π＋π－π3，所以x ＝2k π或x ＝2k π＋π3，所以x 1＝0，x 2＝π3，x 3＝2π，即x 1＋x 2＋x 3＝7π3. 答案：7π310．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.其中F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且MF 1＝2a －53.则椭圆C 1的方程为________．解析：依题意知F 2(1,0)，设M (x 1，y 1)，由椭圆的定义可得MF 2＝53，由抛物线定义得MF 2＝1＋x 1＝53，即x 1＝23，将x 1＝23代入抛物线方程得y 1＝263，进而由⎝ ⎛⎭⎪⎫232a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2632b2＝1及a2－b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝111．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|，则AM ―→·AN ―→的最大值为________．解析：以AB 所在直线为x 轴，过点A 作垂直于直线AB 所在的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|BM ―→||BC ―→|＝|CN ―→||CD ―→|＝λ(0≤λ≤1)，所以|BM ―→|＝λ，|CN ―→|＝2λ， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫2＋λ2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32，所以AM ―→·AN ―→＝5－4λ＋54λ－λ2＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6，因为λ∈[0,1]，所以AM ―→·AN ―→∈[2,5]，所以AM ―→·AN ―→的最大值为5. 答案：512．已知x >0，y >0，且x ＋y ≤2，则4x ＋2y ＋12x ＋y的最小值为________． 解析：令x ＋2y ＝m,2x ＋y ＝n (m >0，n >0)，则问题转化为m ＋n ≤6，求4m ＋1n的最小值，而(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ≥9，即4m ＋1n ≥9m ＋n ≥32，故所求最小值为32. 答案：3213．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由题意得当m ≥0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2≤0，且f (0)＝－1，所以此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上没有零点．所以m ≥0不符合题意．当m <0时，函数f (x )＝2x 2＋2mx －1的对称轴－m2>0，且f (0)＝－1，所以，此时f (x )在[0,1]上至多有一个零点，而f (x )＝mx ＋2在(1，＋∞)上至多有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧0<－m2≤1，2＋2m －1≥0，m ＋2>0，解得－12≤m <0.综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 法二：由题意得x ＝0不是函数f (x )的零点．当0＜x ≤1时，由f (x )＝0，得m ＝12x－x ，此时函数y ＝12x －x 在(0,1]上单调递减，从而y ＝12x －x ≥－12，所以，当m ≥－12时，f (x )在(0,1]上有且只有一个零点，当x ＞1时，由f (x )＝0，得m ＝－2x ，此时函数y ＝－2x在(1，＋∞)上单调递增，从而y ＝－2x∈(－2,0)，所以，当－2＜m ＜0时，f (x )在(1，＋∞)上有且只有一个零点，若f (x )在[0，＋∞)上有且只有2个零点，则要求⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，－2<m <0，解得－12≤m <0. 综上，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，014．已知函数f (x )＝x |x 2－12|的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是________．解析：仅考虑函数f (x )在x >0时的情况，可知f (x )＝⎩⎨⎧12x －x 3，x <23，x 3－12x ，x ≥2 3.函数f (x )在x ＝2时，取得极大值16.令x 3－12x ＝16，解得x ＝4.作出函数的图象(如图所示)．函数f (x )的定义域为[0，m ]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑：(1)当0<m <2时，函数的值域为[0，m (12－m 2)]，有m (12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m <2，所以a >4；(2)当2≤m ≤4时，函数的值域为[0,16]，有am 2＝16，所以a ＝16m2，因为2≤m ≤4，所以1≤a ≤4；(3)当m >4时，函数的值域为[0，m (m 2－12)]，有m (m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m >4，所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)。
江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练七
14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}． 答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ， 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题1集合与常用逻辑用语第5练集合与常用逻辑用语综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语第5练 集合与常用逻辑用语综合练练习 理________________．2．(2016·石家庄模拟)定义A ×B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A 且y ∈B }，若A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{－1,2}，则A ×B ＝________________.3．(2016·常州模拟)“c ＜0”是“实系数一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0有两个异号实根”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 4．(2016·徐州二模)给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |＞x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x ＞sin x ；④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x ＜(13)x.其中正确命题的序号是________．5．(2016·如皋中学阶段练习)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{12}，则A ∪B ＝______________.6．(2016·郑州模拟)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是________________．(填序号) ①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q )．7．(2017·广东七校联考)下列有关命题的说法正确的是________． ①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”． 8．(2016·苏州模拟)下列命题中正确的个数是________．①命题“若m ＞－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m ＞－1”；②“x ≠1”是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 9．(2016·镇江模拟)有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)10．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)11．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是__________________．12．已知命题“∃x ∈{x |－1＜x ＜1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题，则实数m 的取值范围是________．13．(2016·成都一诊)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)．若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8,8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若满足∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是________________． 答案精析1．{x |0≤x ≤1} 2.{x |－2＜x ＜4}3．充要 4.② 5.{－1,1，12} 6.②7．③解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，①不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，②不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，其逆否命题为真命题，③正确；命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，④不正确．综上可得只有③正确． 8．1解析 对于①，命题“若m ＞－1，则方程x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋2x －m ＝0有实根，则m ＞－1”，故①正确；对于②，由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，∴“x ≠1”不是“x 2－3x ＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故③错误．∴正确命题的个数为1. 9．①②③解析 ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误． 10．充分不必要解析 由(a ＋b i)2＝2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的充分不必要条件． 11．{a |a ≤0或a ≥6}解析 |x －a |＜1⇔－1＜x －a ＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，又B ＝{x |1＜x ＜5}，A ∩B ＝∅，故a ＋1≤1或a －1≥5，即a ≤0或a ≥6. 12．[－14，2)解析 由题意得，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，所以m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域． 所以－14≤m ＜2.13．[－2,0]解析 ∵x ≥0时，奇函数f (x )＝log 3(x ＋1)，∴函数f (x )在R 上为增函数， ∴f (x )在[－8,8]上也为增函数， 且f (8)＝log 3(8＋1)＝2，f (－8)＝－f (8)＝－2，∴B ＝{x |－2≤x ≤2}．∵f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )，∴x 2＋a (a ＋2)≤2ax ＋2x ，即x 2－(2a ＋2)x ＋a (a ＋2)≤0，a ≤x ≤a ＋2，A ＝{x |a ≤x ≤a ＋2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋2≤2(两等号不能同时取得)，∴－2≤a ≤0. 14．(－4,0)解析 f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数． 若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0， 则必须有抛物线开口向下，即m ＜0. 又∵当x ≥1时，g (x )≥0； 当x ＜1时，g (x )＜0. ∴当x ≥1时，f (x )＜0.f (x )＝0有两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3.当x 1＞x 2，即m ＞－1时， 则x 1＜1，即m ＜12，∴－1＜m ＜0；当x 1＜x 2，即m ＜－1时， 则x 2＜1，即m ＞－4， ∴－4＜m ＜－1； 当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2＜1.综上可知，m 的取值范围为－4＜m ＜0.。
江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练十空间几何体
14个填空题专项强化练(十) 空间几何体A 组——题型分类练题型一 平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立． 答案：充分不必要2．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①题型二 空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点．能确定直线l 在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l 在平面α外指：l ∥α或直线l 与平面α仅有一个交点． 答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：因为AM MB ＝AN ND，所以MN ∥BD ， 又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， 所以MN ∥平面BDC . 答案：平行3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β④若m∥n，m∥α，则n∥α解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，则α∥β.又m⊥α，所以m⊥β，故④正确．答案：①④5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×34×42＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋483＝48(3＋3)．答案：48(3＋3)2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________． 解析：如图，在正四棱锥P ABCD 中，AB ＝2，PA ＝3， 设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO ＝12AC ＝ 2.在直角三角形POA 中，PO ＝PA 2－AO 2＝1. 所以V P ABCD ＝13·S 四边形ABCD ·PO ＝13×4×1＝43.答案：433．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．解析：因为圆锥的底面半径为2，高为5，所以母线长为l ＝4＋5＝3，所以圆锥的侧面积为πrl ＝π×2×3＝6π.答案：6π4.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB 1＝BB 1＝BA ＝BC ＝2，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D ，则三棱锥A 1B 1AD 的体积为________．解析：取AB 的中点O ，连结DO ，B 1O ，因为BB 1＝AB 1，所以OB 1⊥AB ，又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ，因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD ，由已知BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1，又O ，D 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝2，所以OD ＝12BC ＝1，所以VA 1B 1AD ＝VD B 1AA 1＝13×34×4×1＝33. 答案：335.如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P ABC 的体积为________．解析：连结BD 交AC 于点O ，连结PO ，则∠APC ＝2∠APO ， ∵tan ∠APO ＝AO PO，∴当PO 最小时，∠APO 最大， 即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大．如图，作PE ⊥BD 于点E ，此时PB ＝13BD 1，∴三棱锥P ABC 的高为点P 到平面ABCD 的距离PE ＝13，∴三棱锥P ABC 的体积V ＝13S △ABC·PE ＝13×12×13＝118.答案：118B 组——高考提速练1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：32．设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b 和c 可能平行或异面，故①错；②可能平行或c ⊂α，故②错；③可能c ⊥β，c ∥β，c ⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，其侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，则圆柱OO 1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆柱OO 1的底面半径为R ，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为8π3，所以13πr 2·r ＝8π3，所以r ＝2.又圆锥的侧面积与高为22的圆柱OO 1的侧面积相等，所以π·r ·2r ＝2πR ·22，所以R ＝1，所以圆柱OO 1的体积为πR 2·22＝22π.答案：22π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b .若它们的体积相等，则a 3∶b 3的值为________．解析：由题意可得12·a 2·32·a ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22·b ，即34a 3＝14πb 3，则a 3b 3＝π3＝3π3. 答案：3π35．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 27.如图，在圆锥V O 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面VAB 的距离为________．解析：设O 到平面VAB 的距离为h ，由圆锥的几何性质可得VO ⊥平面OAB ，VO ⊥OA ，VO ⊥OB .在Rt △VOA 中，VA ＝VO 2＋AO 2＝2，在Rt △VOB中，VB ＝VO 2＋BO 2＝2，在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝2，在△VAB 中，S △VAB ＝12×2×62＝32.因为V V AOB ＝13S △AOB ×VO ＝16，V V AOB ＝13S △VAB ×h ＝16，所以h ＝33. 答案：338．已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D ABC 的体积为________．解析：在平面DAC 内作DO ⊥AC ，垂足为点O ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，且平面DAC ∩平面BAC ＝AC ，所以DO ⊥平面BAC ，因为AB ＝4，BC ＝3，所以DO ＝125，S △ABC ＝12×3×4＝6，所以三棱锥D ABC 的体积为V ＝13×6×125＝245.答案：2459．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，l ⊥α，m ⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β；④l ⊥β⇒m ∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)． 解析：①由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β. 又因为m ⊂β，所以l ⊥m ，①正确； ②由l ⊥α，α⊥β，得l ∥β或l ⊂β，又因为m ⊂β，所以l 与m 或异面或平行或相交，②错误；③由l ⊥α，m ∥α，得l ⊥m .因为l 只垂直于β内的一条直线m ，所以不能确定l 是否垂直于β，③错误；④由l ⊥α，l ⊥β，得α∥β.因为m ⊂β，所以m ∥α，④正确． 答案：①④10．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD ⊥平面ABCD .故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为 r ，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高， 可知圆锥的侧面积为： πr ·2r ＝2πr 2.圆柱的侧面积为：2πr ·r ＝2πr 2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为： 2πr 2∶2πr 2＝ 22. 答案：2212．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF ＝14(单位寸，下同)，OC ＝6，OF ＝18，OG ＝9，即G 是OF 中点，所以GE 为梯形的中位线，所以GE ＝14＋62＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为13(100π＋36π＋100π×36π)×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以588π196π＝3，即平地降雨量是3寸．答案：313．已知三棱锥P ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，PA ⊥PB ，点P 到平面ABC 的距离为23，则三棱锥P ABC 的体积为________．解析：法一：因为△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC .设PA ＝PB ＝PC ＝a ，点P 在平面ABC 上的射影为O ，则AB ＝AC ＝BC ＝2a ，AO ＝63a .又点P 到平面ABC 的距离为23，所以PO ＝2 3.在Rt △POA 中，PO 2＋OA 2＝PA 2，即12＋23a 2＝a 2，解得a ＝6，所以三棱锥P ABC 的体积为13×34×(62)2×23＝36.法二：设PA ＝PB ＝PC ＝a ，因为△ABC 为等边三角形，所以△PAB ≌△PAC ≌△PBC .因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PB ⊥PC ，以PA ，PB ，PC 为棱作正方体，如图所示，则PA 2＋PB 2＋PC 2＝3a 2，故正方体的体对角线长为3a .又点P 到平面ABC 的距离为23×12×3a ＝23，解得a ＝6，所以三棱锥P ABC 的体积为13×12×6×6×6＝36.答案：3614.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝AD ＝2，M ，N 均为线段AC 上的点．若∠MBN ＝30°，则三棱锥M PNB的体积的最小值为________．解析：易知V M PNB ＝V P MNB＝13PD ·S △MNB ＝13PD ·12MN ·h ，h 为点B 到AC 的距离，又h ＝12BD ＝2，所以V M PNB ＝13×2×12×MN ×2＝23MN ，显然当△MNB 为等腰三角形时，MN 取得最小值，此时MN ＝22tan 15°＝42－26，从而可得(V M PNB )min ＝23×(42－26)＝8－433. 答案：8－433。
(新)江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练五三角函数的图象和性质
14个填空题专项强化练(五) 三角函数的图象和性质A 组——题型分类练题型一 三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域为________． 解析：由2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z)，得x ≠k π2＋5π12(k ∈Z)，故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：2－ 33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]题型二 三角函数的图象1．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象，则φ＝________.解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ＝π3. 答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又当x ＝π12时，f (x )取得最大值1，∴1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z.又|φ|<π2，∴φ＝π3，则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π33．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是____________．解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，解得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π2或11π6，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12 的交点的个数是2. 答案：24．将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后，所得函数为f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋π4，即f (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π4.因为所得函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π8＋k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8. 答案：π8题型三 三角函数的性质1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的最小正周期为________． 解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：2π32．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是________． 解析：由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6是与y 轴最近的对称轴．答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝3， ∴sin φ＝32. 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，π12≤x ≤7π12，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π124．若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin φ3＝±1，所以φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．所以φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．因为φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是________．解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6， 由f (x )的最小正周期是π，且ω>0， 可得2π2ω＝π，ω＝1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是－1. 答案：－1B 组——高考提速练1．函数y ＝12sin x －1的定义域是________．解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠12，故x ≠π6＋2k π(k ∈Z)且x ≠5π6＋2k π(k ∈Z)，即x ≠(－1)k·π6＋k π(k ∈Z)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1k·π6＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的单调递增区间为________．解析：由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z)3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]． 答案：[－1,1]4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可知，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－⎝⎛⎭⎪⎫－2π3＝π3，则T ＝2π3.因为T ＝2πω＝2π3，所以ω＝3.答案：35．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴的交点坐标是______．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移2π3个单位长度后，所得函数为y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3.因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3，所以kT ＝2π3，k ∈N *，即2k πω＝2π3，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3. 答案：37．已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．解析：f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0， ∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，k ∈Z ， ∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π38．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 答案：π69.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为______________．解析：由题意可知，T 4＝5π12－π6＝π4，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，而φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.答案：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π610．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为________．解析：由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，得φ＝－π12.答案：－π1211.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴， 垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝12，BD ＝32，设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝12，tan β＝32，∠APB ＝α＋β，故tan ∠APB ＝12＋321－12×32＝8.答案：812．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________.解析：因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，7π3，由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6.答案：7π613．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠π2，令sin x ＝12tan x ，可得sin x ＝sin x 2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，可得sin x ＝0或cos x ＝12，则x ＝0或π或π3，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则△ABC 的面积为12×π×32＝3π4. 答案：3π414．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是______________． 解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， 所以π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)， 可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， 即sin φ<0，所以φ＝2k π＋7π6，k ∈Z ，代入f (x )＝sin(2x ＋φ)， 得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6， 由2k π－π2≤2x ＋7π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π6≤x ≤k π－π3，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π－π3(k ∈Z)。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(一) Word版含解析
14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________． 解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。
江苏2018版高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算教师用书文苏教版
1.1 集合及其运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法2.集合间的基本关系AB (或BA )3.集合的基本运算【知识拓展】1.若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1. 2.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3.A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( × ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1.(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B ＝__________. 答案 {－1，1，5}解析 ∵A ＝{－1，5}，B ＝{－1，1}，∴A ∪B ＝{－1，1，5}.2.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B ＝__________. 答案 {x |3≤x ≤5}3.(教材改编)设全集U ＝R ，A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≥m }.若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，则m ＝________. 答案 1解析 ∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，∴B ＝∁U A ，故m ＝1.4.(2016·天津改编)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.答案 {1，4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.(2016·苏州模拟)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{3，4}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，则m ＝________. 答案 2解析 ∵A ∪B ＝{1，3，m }∪{3，4}＝{1，2，3，4}， ∴2∈{1，3，m }，∴m ＝2.题型一 集合的含义例1 (1)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)4 (2)0或98解析 (1)∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1，1，3， 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5，3，1，－1， 故集合A 中的元素个数为4.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·盐城模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________. ①－1∉A②－11∈A ③3k 2－1∈A (k ∈Z )④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________. (2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为____________.(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2017·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案(1){7，9} (2){x|－2≤x＜1}解析(1)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A)∩B＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例 4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是____________.(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________. 答案(1)(－1，＋∞)(2)4解析(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)由题意可得{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为________.答案(1)a≤2或a>3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1，0，12，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1，1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1，1，12，2}，共7个.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠∅且BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}.答案(1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验.(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________.答案{0，－1，1}解析由集合并集的定义可得A∪B＝{0，－1，1}.2.(2017·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝__________.答案{1}解析因为A＝{x|0<x<2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1}.3.(2016·盐城模拟)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________.答案8解析因为A∩B＝{1，3，5}，所以C＝{1，3，5}，故集合C的子集的个数为23＝8.4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.答案{1}解析因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A的真子集的个数是________.答案 3解析 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.6.已知集合A ＝{(x ，y )| x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素的个数为_____________________________________________________________. 答案 2解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.7.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c ).由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8.(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝__________. 答案 {x |1<x <2}解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}.9.设集合Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是________. 答案 8解析 因为Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }＝{x |0≤x ≤52，x ∈N }＝{0，1，2}，所以满足P ⊆Q 的集合P 的个数是23＝8.10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112. 11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________.答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意， ∴m ＝－32. 12.(2016·南通模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·江苏无锡新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________. 答案 3解析 按P *Q 的定义，P *Q 中元素为2，－2，0，共3个.14.已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________. 答案 5解析 当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1；当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.15.已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________. 答案(－∞，－2]解析集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2].。
江苏专版高考数学二轮复习14个填空题专项强化练一集合与常用逻辑用语
14 个填空题专项强化练(一) 集合与常用逻辑用语A组一一题型分类练题型一集合的基本关系1. 已知集合A= { —1,3 , m i}，集合 B= {3 , - 2m n 1}，若B? A,则实数m^ ___________2 解析：••• B? A,「. m=—2m- 1或—1 = —2m- 1,解得m=—1或m= 0,经检验均满足题意，故m=— 1 或0.答案：— 1 或02. _______________________________________________ 已知集合A= {0,1,2}，则A的子集的个数为_______________________________________________ .3解析：集合A中有3个元素，故A的子集个数为2 = 8.答案：83•已知集合A= {123,4,5} , B= {(x, y)| x€ A, y € A, x—y € A}，贝U B 中所含元素的个数为________ .解析：由x —y€ A,及A= {1,2,3,4,5}，得x>y,当y = 1 时，x 可取2,3,4,5 , 有 4 个；当y = 2时，x可取3,4,5，有3个；当y = 3时，x可取4,5，有2个；当y = 4时，x可取5，有1个.故共有1＋2＋3＋4=10(个).答案：10题型二集合的运算1. ________________________________________________ 已知集合U= {x| x>0}, A= {x| x>2}，贝U ?U A=_____________________________________________ .解析：因为集合U= {x| x>0} , A= {x| x >2}，所以？U A= {x|0< x<2}.答案：{x|0< x<2}2. _____________________________________________________________________ 已知集合A= {1,2} , B= {a, a2+ 3}.若A n B= {1}，则实数a的值为 __________________________ .解析：因为a2+ 3>3,所以由A n B= {1}，得a= 1，即实数a的值为1.答案：1223. 设集合A= {( x, y)| y= x + 1, x€ R}, B= {( x, y)| x + y = 1}，则满足C? (A n B)的集合C 的个数为________ .y= x＋1 ，解析：法一：解方程组 2 2 得x＋y=1，(—1,0)}，即A n B中有2个元素•因为C?法二：在同一平面直角坐标系中画出直线圆有两个交点，即A n B 中有 2 个元素.因为x= 0，x=—1 ，或所以A n B= {(0,1) ，y= 1 y= 0，(A n B)，所以集合C的个数是4.y= x＋1 和圆x2＋y2= 1 的图象，可知直线和C? (A n B)，所以集合C的个数是4.答案：44. _______________________ 已知全集U^ R,集合A= {x|0 w x w 2},B={x|x2—x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为 .解析：因为B= {x| x —x>0} = {x|x>1 或x<0}，所以A U B= R, A Q B={x|1<x w2}，所以阴影部分表示的集合为？R(A Q B) = ( —a, 1] U (2 ,+s).答案：(—a, 1] U (2 ,+a)x 25. 已知集合M= x —7>0, x€ R , N= {y|y = 3x + 1, x€ R}，则MH N=x —1解析:x x—1所以x>1或x w0,所以M= {x| x>1 或x w 0}.又N={y|y > 1},则MA N= {x| x>1} = (1 ,+a ).答案：(1 ,+a)题型三常用逻辑用语1. ____________________________________________________________ 命题：“若x € R,贝U x2>0”的逆否命题为：" ___________________________________________ .解析：x € R的否定为x?R x2>0的否定为：x2v 0,故原命题的逆否命题为："若x2 v 0，则x?R'.答案：若x2v 0,则x?R2. ________________________________________________________________ 已知集合A= {1 ,a}, B= {1,2,3}，则“ a= 3” 是“ A? B” 的 ______________________________ 条件.(填 "充分不必要”"必要不充分”“充要”"既不充分也不必要”)解析：当a= 3 时，A= {1,3}，显然A? B 但A? B 时，a= 2 或 3.故“ a= 3” 是“ A? B” 的充分不必要条件.答案：充分不必要3. ________________________________________________________________________若命题p: 4是偶数，命题q: 5是8的约数.则下列命题中为真的序号是____________________ .①p且q；②p或q；③非p；④非q.解析：命题p为真，命题q为假，故②④为真.答案：②④4. 已知a ,卩表示两个不同的平面，m为平面a内一条直线，则“ a丄卩”是“ ml卩” ______ 件.(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”)解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面a内的一条直线，ml卩，则a 丄卩，反过来则不一定.所以“ a丄卩”是“ ml卩”的必要不充分条件.答案：必要不充分5•若命题“ ？ X € R, ax 2 + 4X + a w 0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 _________ . 解析：由命题"？ x € R , ax 2 + 4x + a <0”为假命题，得“ ？ x € R, ax 2 + 4x + a >0”为真 命题.当a w0时，不成立；当 a >0时，由A = 16- 4a 2<0,得a >2.故实数a 的取值范围是 (2 ,+^) •答案：（2 ,+^）B 组——高考提速练1.命题“ ？ x >2, x 2>4”的否定是解析：因为全称命题的否定是存在性命题,所以命题“2x >2, x v 4.2答案：？ x >2, x v 42.已知集合 M= {0,1,2} , N= {x |x = 2n - 1, n € M }，贝U MH N= 解析：由已知条件得 N={ — 1,1,3}，所以MT N= {1}. 答案：{1}3 •命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”. 答案：若一个数的平方是正数，则这个数是负数 4.设m n 为非零向量，则“存在负数入，使得m p Xn ”是“ m- 件.（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”）解析：T m p Xn , • m- n = ^n • n =入 | n |2. •••当 入 <0, n ^0 时，n r n <0.反之，由 m- n = | m i n |cos 〈 m n 〉<0? cos 〈 m n 〉<0? 〈 m n 〉n当〈m n 〉€ —, n 时，m n 不共线.故“存在负数 入，使得m^Xn ”是“ m- n <0”的充分不必要条件. 答案：充分不必要5. _________________________________________________________ 设集合 A = {1,3} ,B = {a + 2,5} , A T B = {3},则 A U B= ________________________________ .解析：由集合 A = {1,3} , B ={a + 2,5} , A T B = {3},可得 a + 2 = 3,则 A U B = {1,3,5} 答案：{1,3,5}6. _________________________________________________________ 已知集合 P = {x | — 1<x <1} , Q= {x |0< x <2},那么 P U Q= _______________________________ .解析：根据集合的并集的定义，得 P U Q= ( — 1,2).答案：(一1,2)7. 已知全集 U = { — 1,2,3 , a },集合 M= { — 1,3}.若？U M = {2,5},贝U 实数 a 的值为? x >2, x 2>4”的否定是:n <0” 的解析：由题意得(？U M U M= { —1,2,3,5} = U,故a= 5.答案：5& 设集合A= {1,2,4} , B= {x|x2—4x + rr^ 0} •若A H B= {1}，贝U B= __________ .解析：因为A H B= {1}，所以1€ B,所以1是方程x2—4x + m^ 0的根，所以1 — 4 + m2=0, m= 3,方程为x —4x + 3= 0，解得x= 1 或x= 3，所以B= {1,3} •答案：{1,3}9.已知集合A= {( x, y)| x + y = 1}, B= {( x , y)| y= x}，贝U A H B中元素的个数为解析：因为A表示圆x2+ y2= 1上的点的集合，B表示直线y= x上的点的集合，直线y =x与圆x2+ y2= 1有两个交点，所以A H B中元素的个数为2.答案：210.已知f(x)是定义在[—2,2]上的奇函数，当x€ (0,2]时，f(x) = 2x—1，函数g(x) =x —2x + m如果对于？X1 € [ —2,2] , ? [ —2,2]，使得g(X2)= f(xj，则实数m的取值范围是_________ .解析：当x € (0,2]时，f(x) = 2x—1€ (0,3],因为f(x)是定义在[—2,2]上的奇函数，所以对于? X1€ [ —2,2] , f (xj € [ —3,3].因为对于? X1€ [ —2,2] , ? X2€ [ —2,2]，使得g(X2)= f (xj ,所以g(x)在[—2,2]上的值域A [ —3,3].根据函数g(x) = x2—2x+ m= (x—1)2+ m- 1,得A= [m- 1, m^ 8],m-1 w —3,所以解得—5< n W —2 ,m+ 8> 3 ,即实数m的取值范围是[—5 , —2].答案：[—5 , —2]11 •已知集合A= {x|y = lg(4 —x)},集合B={x|x<a},若P “x€ A”是Q：“x€B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 _________ .解析：由题意得A= {x| x<4}，且A B,结合数轴易得a>4.答案：(4 ,+s)212.若y = x + ax+ b, A= {x| y= x} = {a}, M= {( a, b)}，贝U M= __________ .2解析：由A= {a}得x + ax+ b= x的两个根为X1 = X2= a,即x + (a—1)x+ b= 0 的两个根X1 = X2= a,得a=3, 1所以X1 + X2= 1 —a = 2a,1 1所以M= 3，9 .1 1答案：3，913•设集合A={a, a2, a s, a。
(江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语 第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题练习
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题1 集合与常用逻辑用语第4练 集合与常用逻辑用语中的易错题练习 理2．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是________．3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是________．4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．5．下列四个结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充要条件．其中正确结论的序号是________．6．满足条件M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是________．7．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为____________________．8．下列命题中，真命题的序号是________．①存在x ∈[0，π2]，使sin x ＋cos x ＞2； ②存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2；③存在x ∈R ，使x 2＝x －1；④对任意x ∈(0，π2]，均有sin x ＜x . 9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a ＝________.10．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围为________．11．已知全集为U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)＜1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，则a 的值是________．12．(2016·上饶三模)命题p ：∃x ∈[－π6，π4]，2sin(2x ＋π6)－m ＝0，命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2mx ＋1＜0，若p ∧(綈q )为真命题，则实数m 的取值范围为__________．13．(2016·安阳月考)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，那么实数m 的取值范围为________________．14．已知命题p ：关于x 的方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，则a 的取值范围是__________________．答案精析1．4 2.{－1,0,2} 3.[－1,1] 4.[1，＋∞) 5．①③ 6.7 7.∃x ∈R ，x 2＋1≤08．④解析 ①中，sin x ＋cos x ＞2⇒1＋sin 2x ＞2⇒sin 2x ＞1，命题为假；②中，令f (x )＝x 2－2x －1，则当x ∈(3，＋∞)时，f (x )∈(2，＋∞)，即x 2＞2x ＋3，故不存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2，命题为假；③中，x 2－x ＋1＝0⇔(x －12)2＋34＝0，命题为假；④中，sin x ＜x ⇔x －sin x ＞0，令f (x )＝x －sin x ，求导得f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )是增函数，故f (x )＞f (0)＝0，命题为真，故填④.9．－1解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，当a ＝－1时，N ＝{－1,1}，符合题意．故a ＝－1.10．(1,2]解析 若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋8a ≥0，f f ＝－a －＜0，得a ＞1.若命题q 为真，则2－a ＜0，得a ＞2，故由p 且綈q 为真命题，得1＜a ≤2.11．－1解析 因为x ＋a ≥0，所以M ＝{x |x ≥－a }．又log 2(x －1)＜1，所以0＜x －1＜2，所以1＜x ＜3，所以N ＝{x |1＜x ＜3}．所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1.12．[－1,1]解析 ∵x ∈[－π6，π4]， ∴2x ＋π6∈[－π6，2π3]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]， 2sin(2x ＋π6)∈[－1,2]． ∃x ∈[－π6，π4]，2sin(2x ＋π6)－m ＝0，即2sin(2x ＋π6)＝m ，∴m ∈[－1,2]． ∃x ∈(0，＋∞)，x 2－2mx ＋1＜0， 即m ＞x 2＋12x ＝x 2＋12x≥2 x 2·12x＝1， 当且仅当x 2＝12x，即x ＝1时，取“＝”． ∴綈q 为真命题时，m ∈(－∞，1]．∴p ∧(綈q )为真命题时，m ∈[－1,1]．13．(－∞，－2]∪[－2，2)解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时， m ＜－ 2.当s (x )为真命题时，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∵r (x )∧s (x )为假，r (x )∨s (x )为真，∴r (x )与s (x )一真一假，∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2，且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.14．{a |－1＜a ＜0或0＜a ＜1}解析 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，所以x ＝－2a 或x ＝1a. 因为x ∈[－1,1]，故|－2a |≤1或|1a|≤1，所以|a |≥1.“只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ＝4a 2－8a ＝0.所以a ＝0或a ＝2.所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≥1或a ＝0.因为命题“p 或q ”为假命题，所以a的取值范围为{a|－1＜a＜0或0＜a＜1}．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
(江苏专版)2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(九)不等式
14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练题型一 一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >3，则f (e x)>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3， 令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________．解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1， 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1， 则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1， 所以－2<x <1； 当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}． 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y的最小值为________．解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________．解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3b ＋12－32，故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3b ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b 2b ＋1＋3b ＋122a ＋b －32≥12＋22a ＋b 2b ＋1·3b ＋122a ＋b ＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2b ＋1＝3b ＋122a ＋b ，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号． 故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示． 因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]． 答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞)B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x<2的解集为______________． 解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x－2<0， 即x ＋1－2x x ＝1－xx<0，∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1，∴不等式x ＋1x<2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}． 答案：{x |x ＜0或x ＞1} 2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大，此时z最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7.即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________． 解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b 24＝lg ab 24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝ ⎛⎭⎪⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8 8．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max＝2.答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝ca ＋b ＋b c的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c2b ＋c＋b c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sinA ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ， 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0， 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋922tan A ＋1－5≥2122tan A ＋1×922tan A ＋1－5＝－2.当且仅当12(2tan A ＋1)＝922tan A ＋1，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2.答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2b －12＋b 2－1，令x ＝b －1>0，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝x ＋12x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1，因为x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7.答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1x，a ≥－ln x x .设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln xx，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a 2－a －12＝12a ＋1－a 2＋1a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12， 令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t－2－1＝5－12， 所以a b ＋1ab －12≥52， 当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立． 答案：5＋10。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练二 含解析 精品
14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________． 解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0， 化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________． 解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6， 由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23， 又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________． 解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立． 设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。
江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练七平面向量与复数
14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数A 组——题型分类练题型一 平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，则|BC ―→||AB ―→|的值为________．解析：由OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，得OA ―→－OB ―→＝2OB ―→－2OC ―→，即BA ―→＝2CB ―→，所以|BC ―→||AB ―→|＝12. 答案：122．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b3．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足CP ―→＝4CB ―→|CB ―→|＋9CA ―→|CA ―→|，则PA ―→·PB ―→的最大值是________． 解析：由条件可知|CA ―→|·|CB ―→|＝4，CA ―→·CB ―→＝0，因为PA ―→＝CA ―→－CP ―→＝CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，PB ―→＝CB ―→－CP ―→＝CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，故PA ―→·PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|＝97－9|CA ―→|－4|CB ―→|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA ―→|＝4|CB ―→|，即|CA ―→|＝43，|CB ―→|＝3时等号成立．答案：73题型二 平面向量的坐标表示1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则向量BD ―→的坐标为________．解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(－1，－1)， 所以BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：因为u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ， 所以8－4x ＝3＋6x ，所以x ＝12.答案：123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝____________.解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 对于(c ＋a )∥b ，有－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 对于c ⊥(a ＋b )，有3m －n ＝0.② 联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73题型三 平面向量的数量积1．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝7λ＋1＝0，λ＝－17.答案：－172．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为__________． 解析：法一：不妨设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a·b ＝－12，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52，又因为|a |＝1，|2a －b |＝a －b2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝7，所以a 与2a －b 夹角的余弦值为a a －b |a |·|2a －b |＝521×7＝5714.法二：(特殊化、坐标化)设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则向量a ，b ，a ＋b 构成以1为边长的正三角形， 故可设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则a 与2a －b 的夹角的余弦值为a a －b|a |·|2a －b |＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3212＋02·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝527＝5714. 答案：57143．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝3.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB ―→·AC ―→＝－3，由AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，得λAB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2－AC ―→·AB ―→＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝127.答案：1274.如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，则(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：由题意知，(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2AQ ―→＋QP ―→)·CB ―→＝2AQ ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝32－52＝－16.答案：－165．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝60°，则CA ―→·CB ―→的最大值为________． 解析：因为AB ―→＝CB ―→－CA ―→， 所以AB ―→2＝CB ―→2＋CA ―→2－2CB ―→·CA―→，所以3＝|CB ―→|2＋|CA ―→|2－|CB ―→|·|CA ―→|≥2|CB ―→|·|CA ―→|－|CB ―→|·|CA ―→|＝|CB―→|·|CA ―→|，即|CB ―→|·|CA ―→|≤3，当且仅当|CA ―→|＝|CB ―→|＝3时等号成立．所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→||CB ―→|cos 60°＝12|CA ―→||CB ―→|≤32，所以CA ―→·CB ―→的最大值为32.答案：326．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________． 解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t |t 4＋1，BC ＝t 4＋1t ，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t |t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号． 答案：32题型四 复数1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．若z ＝(4＋3i)i ，则ab 的值是________． 解析：因为z ＝a ＋b i 且z ＝(4＋3i)i ，所以a ＋b i ＝4i ＋3i 2＝－3＋4i ，所以a ＝－3，b ＝4，所以ab ＝－12.答案：－122．已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 解析：复数z ＝(1－2i)(3＋i)，i 为虚数单位，则|z |＝|1－2i||3＋i|＝12＋－2×32＋12＝5 2.答案：5 23．设复数z 满足z (1＋i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．解析：由(1＋i)z ＝2，得z ＝21＋i＝－＋－＝－2＝1－i.所以z 的虚部为－1.答案：－14．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，则复数z 在复平面上对应的点在第________象限． 解析：因为z ＝1＋i2－i ＝＋＋－＋＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以复数z 在复平面上对应的点在第一象限．答案：一B 组——高考提速练1．复数z ＝(1＋2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________． 解析：因为复数z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，所以复数z 的实部为－3. 答案：－32.如图，已知AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，BD ―→＝3DC ―→，用a ，b 表示AD ―→，则AD ―→＝________.解析：因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→＝a －b ，又BD ―→＝3DC ―→，所以CD ―→＝14CB ―→＝14(a －b )，所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：14a ＋34b3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋kb 与a －kb 垂直，则k ＝________. 解析：因为(a ＋kb )⊥(a －kb )， 所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.答案：±344．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________． 解析：z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝a ＋＋－＋＝a －2＋＋a2，故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22.解得a ＝6.答案：65．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 则|z |＝－2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：106．若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b )，则a ，b 的夹角大小为________． 解析：设a ，b 的夹角为θ.因为a ⊥(a －2b )， 所以a ·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝0， 所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝12，而θ∈[0，π]，故θ＝π3.答案：π37．若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＝x －y i ，因为z ＋2z ＝3＋2i ，所以z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3＋2i ，所以x ＝1，y ＝－2，所以z ＝1－2i ，所以复数z 的模为 5.答案： 58．平面向量a ，b 满足|a |＝2，|a ＋b |＝4，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，则|b |为________．解析：因为向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，所以cos π3＝a ＋b a |a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b |a ＋b |·|a |＝4＋a ·b8，解得a ·b ＝0，即a ⊥b .所以|a |2＋|b |2＝|a ＋b |2， 从而解得|b |＝2 3. 答案：2 39.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→的值为________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，所以AD ―→·BC ―→ ＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13×(－9＋3)＝－2.答案：－210．已知边长为1的正方形ABCD ，CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，则|CM ―→|＝________. 解析：法一：由题意得，CM ―→2＝(2CA ―→＋DB ―→)2＝4CA ―→2＋DB ―→2＋4CA ―→·DB ―→.又四边形ABCD 是边长为1的正方形，所以CA ―→⊥DB ―→，所以CA ―→·DB ―→＝0.又|CA ―→|＝2，|DB ―→|＝2，所以CM ―→2＝4×2＋2＝10，所以|CM ―→|＝10.法二：由题意，作出CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，如图所示，则|CM ―→|为边长分别为2，22的矩形CFME 的对角线的长，所以|CM ―→|＝ 22＋22＝10. 答案：1011．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA ―→·MB ―→的取值范围是________．解析：因为AB 为圆O 的直径， 所以MA ―→＋MB ―→＝2MO ―→，① 又MA ―→－MB ―→＝BA ―→，②①2－②2，得4MA ―→·MB ―→＝4MO ―→2－BA ―→2， 所以MA ―→·MB ―→＝MO ―→2－16，因为M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6， 所以根据圆的几何性质知|MO ―→|∈[7，4]， 所以MA ―→·MB ―→∈[－9,0]． 答案：[－9,0]12．在△ABC 中，若BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，则sin A sin C 的值为________．解析：法一：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得ac a 2＋c 2－b 22ac ＋2bc b 2＋c 2－a 22bc ＝ab a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.法二：建立平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c ，0)， 所以AC ―→＝(c ，－a )，AB ―→＝(b ，－a )，BC ―→＝(c －b,0)， BA ―→＝(－b ，a )，CA ―→＝(－c ，a )，CB ―→＝(b －c,0)， 则由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→， 得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)， 所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB ＝ 2.答案： 213．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA ―→＝α，AB ―→＝β－α，则OB ―→＝β，在△OAB 中，∠OAB ＝60°，OB ＝1，则由正弦定理OB sin 60°＝OA sin ∠ABO，得OA ＝233sin ∠ABO ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，即0<|α|≤233. 法二：设|α|＝u ，|β－α|＝v ，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v 2－uv ＋u 2－1＝0，再由关于v 的一元二次方程有解，得u 2－4(u 2－1)≥0，又u >0，故0<u ≤233，即0<|α|≤233. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23314．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式 CD ―→2≥(m －2)OC ―→·OD ―→＋m (OC ―→·OB ―→)·(OD ―→·OA ―→)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是________．解析：原不等式可化为(a －c )2＋(b －d )2≥(m －2)·(ac ＋bd )＋mbc ，即a 2＋b 2＋c 2＋d2－m (ac ＋bd ＋bc )≥0，整理成关于实数a 的不等式为a 2－mca ＋b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc ≥0恒成立，从而Δ1＝m 2c 2－4(b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc )≤0，再整理成关于实数d 的不等式为d 2－mbd ＋b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≥0，从而Δ2＝m 2b 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≤0，再整理成关于实数b 的不等式为(4－m 2)b 2－4mcb ＋4c 2－m 2c 2≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2>0，Δ3＝16m 2c 2－－m2c 2－m 2c 2，解得1－5≤m ≤－1＋5，所以m 的最大值是5－1.答案：5－1。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题一 集合与常用逻辑用语 精品
专题限时集训（一） 点击图标进入…
(2)由题意可知 A∩B＝{1,3,5}， ∴C＝{1,3,5}， ∴集合 C 的子集共有 23＝8 个． (3)由题意可知∁UB＝{1,5}，又 A＝{1,2}， ∴A∪(∁UB)＝{1,2,5}．]
【名师点评】 解答集合问题的思路,根据元素的不同属性采用不同的方法 对集合进行化简求解.
1若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； 2若给定的集合是点集，用数形结合法求解； 3若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用 Venn 图求解.
题型三| 充分条件与必要条件
(1)(2016·镇江期中)实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，则“ac＜ 0”是“该方程有实数根”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分也不必要”)
(2)已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且﹁q 的一个充分不必要条件 是﹁p，则 a 的取值范围用区间表示为________．
[1，＋∞) [若存在 x0∈R，mx20＋2≤0 成立，则 m<0，所以若 p 为假命题， m 的取值范围是[0，＋∞)；若任意 x∈R，x2－2mx＋1>0，则 Δ＝4m2－4<0，即 －1<m<1，所以若 q 为假命题，m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以 若“p∨q”为假命题，则实数 m 的取值范围是[1，＋∞)．]
[解题指导]
一元二次方程 (1) ax2＋bx＋c＝0 ―→ b2－4ac≥0 ―→ b2≥4ac 充―分―不――必―要―条→件
有实根
得出结论 (2) 解出p ―→ 解出﹁p，﹁q 充―分―不――必―要―条→件 得出结论
(1)充分不必要 (2)[1，＋∞) [(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根，则 判别式 Δ＝b2－4ac≥0，即 b2≥4ac.当 ac＜0 时，显然有 b2≥4ac；但 b2≥4ac 未 必推出 ac＜0，故“ac＜0”是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根的充分不必要 条件．
最新-江苏省2018届高三数学二轮 专题训练 填空题(54)
江苏省2018届高三数学二轮专题训练：填空题（54）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1．已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =__ ▲ ．2．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限． 3．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为__ ▲ ．4. 若x , y 满足条件4104320,10200x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪+⎨≥⎪⎪≥⎩则的最大值等于 ▲ ．5．设31sin (), tan(),522πααππβ=<<-=则tan ()βα-的值等于__ ▲ ．6．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，32)(-=xx f ，则=-)2(f __▲___．7．在△ABC 中，BC=1，3π=∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan __ ▲ ．8．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ▲ ． 9．设)(x f y =是一次函数，1)0(=f ，且)13(),4(),1(f f f 成等比数列，则++)4()2(f f …=+)2(n f _ ▲ ．10．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中,0m n >，则12m n+的最小值为__ ▲ ． 11．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB ∆∆-=+与则,2的面积之比为__▲ ． 12．若函数)(x f 是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为__ ▲ ．13．第29届奥运会在北京举行.设数列n a =)2(log 1++n n *)(N n ∈，定义使k a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅321为整数的实数k 为奥运吉祥数，则在区间[1，2018]内的所有奥运吉祥数之和为____▲____． 14．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =(k ∈Z)对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； 则其中真命题是__ ▲ ．1. {}1-2. 三3. 14. 255. 112-6. -17. -8. (1,0)9. )32(+n n 10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2186 14. ①②③。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题1集合与常用逻辑用语 第3练含解析
q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号) 2．命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．3．(2016·肇庆统测)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，则a⊥b；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中假命题是________．(填序号)①p∧q；②p∨q；③(綈p)∨q；④(綈p)∨(綈q)．4．已知命题p：x2－2x－3＜0，q：1x－2＜0，若p∧q为真，则x的取值范围是________．5．下列四个命题：①“∃x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；②“若x2＋x－6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sin A＞12”的充分不必要条件；④“函数f(x)＝tan(x＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命题的序号是________．(填序号)6．(2016·镇江模拟)若命题“∃x∈(1,2)，满足不等式x2＋mx＋4≥0”是假命题，则m的取值范围是__________．7．(2016·泰州一模)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝(12)x－m，若∀x1∈－1,3]，∃x2∈0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________．8．(2016·南京模拟)由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．9．已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的命题是________．(填序号)10．(2016·临夏期中)下列结论正确的有________．(填序号)①命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题；②命题p：∀x∈0,1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，则p∨q为真；③若p∨q为假命题，则p，q均为假命题；④“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题．11．(2016·淮安模拟)已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．12．(2016·宿迁模拟)已知命题p：∀a∈R，方程ax＋4＝0有解；命题q：∃m ＞0，直线x＋my－1＝0与直线2x＋y＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有________个．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是真命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．13．(2016·石家庄二模)已知命题p：x2－3x－4≤0，命题q：x2－6x＋9－m2≤0，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．14．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x ＞2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为__________．答案精析1．②③ 2.∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋13．④ 4.(－1,2) 5.①② 6.(－∞，－5]7．14，＋∞)解析因为∀x1∈－1,3]时，f(x1)∈0,9]，即f(x)min＝0，若∃x2∈0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则只要满足g(x)min≤0.而函数g(x)在区间0,2]上是单调减函数，故g(x)min ＝g(2)＝(12)2－m≤0，即m≥14.8．1解析∵“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2＋2x＋m＞0”是真命题，∴Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，故a的值是1.9．②③解析∵52＞1，∴命题p是假命题，又∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34≥34＞0，∴命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确．10．①②③解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题，故①正确；命题p：∀x∈0,1]，e x ≥1，为真命题，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1＜0，为假命题，则p∨q为真，故②正确；若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，故③正确；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，而当m2＝0时，由a＜b，得am2＝bm2，所以“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，故④不正确．11．②解析命题“∃x∈R，x2＋1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p ∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a＞5⇒a ＞2，但a＞2⇒/a＞5，故“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．12．2解析因为当a＝0时，方程ax＋4＝0无解，所以命题p为假命题；当1－2m＝0，即m＝12时两条直线平行，所以命题q是真命题．所以綈p为真命题，綈q为假命题，所以①错误，②错误，③正确，④正确．13．{m|m≤－4或m≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}， ∴{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意．当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}， 此时⎩⎨⎧ m ＋3≤－1，－m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≤－4.当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎨⎧ －m ＋3≤－1，m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得，m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．14．1,2]解析 对于命题p ：Δ＜0且a ＞0，故a ＞2；对于命题q ：a ＞2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x ＋1为增函数，所以2x －2x＋1＜1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题1集合与常用逻辑用语 第1练 Word版含解析
________.2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集个数是________．3．(2016·苏州调研)设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________.4．(2016·南通、扬州、泰州二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{a －1，a ＋1a }，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为______．5．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为____________________________．6．(2016·厦门模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是________．7．(2016·苏北四市一模)已知集合A ＝{2＋a ，a }，B ＝{－1,1,3}，且A ⊆B ，那么实数a 的值是________．8．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{2,2a －1}，A ∩B ＝{1}，那么实数a 的值为________．9．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是____________．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，则a ＋b 的值为________．11．(2016·成都模拟)已知集合M ＝{x |x ＞x 2}，N ＝{y |y ＝4x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝__________________.12．若集合A ＝{x |－1＜x ≤2}，B ＝{x |(x －a )(x －a ＋1)≥0}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是______________________．13．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎨⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )＜C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________.14．设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案精析1．{1} 2.16 3.{2} 4.15．{x |x ≤－1或0＜x ＜1} 6.47．1解析 因为A ⊆B ，当a ＝1时，A ＝{1,3}⊆B .当a ＝－1,3时不合题意，所以a ＝1.8．1解析 由题意知1∈B ，所以2a －1＝1，解得a ＝1.9．34，43) 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.10．－7解析 由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4.∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7.11．{x |12＜x ＜1}解析 对于集合M ，由x ＞x 2，解得0＜x ＜1，∴M ＝{x |0＜x ＜1}，∵0＜x ＜1，∴1＜4x＜4，∴12＜4x 2＜2，∴N ＝{y |12＜y ＜2}，∴M ∩N ＝{x |12＜x ＜1}．12．(－∞，－1]∪3，＋∞)解析 化简B ＝{x |x ≥a 或x ≤a －1}，又A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .由数轴知a ≤－1或a －1≥2，即a ≤－1或a ≥3.所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪3，＋∞)．13．3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ＞0，即a ＜－22或a ＞22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ＜0，即－22＜a ＜22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22＜a ＜0或0＜a ＜22时，C (B )＝2，不符合题意．所以S ＝{0，－22，22}．故C (S )＝3.14．①②解析 ①正确，任取x ，y ∈S ，设x ＝a 1＋b 13，y ＝a 2＋b 23(a 1，b 1，a 2，b 2∈Z )，则x ＋y ＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)3，其中a 1＋a 2∈Z ，b 1＋b 2∈Z .即x ＋y ∈S .同理x －y ∈S ，xy ∈S .②正确，当x ＝y 时，0∈S .③错误，当S ＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错误，设S ＝{0}⊆T ＝{0,1}，显然T 不是封闭集．因此正确命题为①②.。
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14个填空题专项强化练(一) 集合与常用逻辑用语A 组——题型分类练题型一 集合的基本关系1．已知集合A ＝{－1,3，m 2}，集合B ＝{3，－2m －1}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：∵B ⊆A ，∴m 2＝－2m －1或－1＝－2m －1，解得m ＝－1或m ＝0，经检验均满足题意，故m ＝－1或0.答案：－1或02．已知集合A ＝{0,1,2}，则A 的子集的个数为________． 解析：集合A 中有3个元素，故A 的子集个数为23＝8. 答案：83．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解析：由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}，得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个． 故共有1＋2＋3＋4＝10(个)． 答案：10题型二 集合的运算1．已知集合U ＝{x |x >0}，A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝________. 解析：因为集合U ＝{x |x >0}，A ＝{x |x ≥2}，所以∁U A ＝{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}，得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：13．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为________．解析：法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0,1)，(－1,0)}，即A ∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.法二：在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝x ＋1和圆x 2＋y 2＝1的图象，可知直线和圆有两个交点，即A ∩B 中有2个元素．因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.答案：44.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－x >0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为B ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，所以A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以阴影部分表示的集合为∁R (A ∩B )＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(2，＋∞)5．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －1≥0，x ∈R ，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R}，则M ∩N ＝________. 解析：由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x x －1 ≥0，所以x >1或x ≤0， 所以M ＝{x |x >1或x ≤0}． 又N ＝{y |y ≥1}，则M ∩N ＝{x |x >1}＝(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 题型三 常用逻辑用语1．命题：“若x ∈R ，则x 2≥0”的逆否命题为：“____________________”． 解析：x ∈R 的否定为x ∉R ；x 2≥0的否定为：x 2＜0，故原命题的逆否命题为： “若x 2＜0，则x ∉R”．答案：若x 2＜0，则x ∉R2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：当a ＝3时，A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.故“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若命题p ：4是偶数，命题q ：5是8的约数．则下列命题中为真的序号是________． ①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q .解析：命题p 为真，命题q 为假，故②④为真． 答案：②④4．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分5．若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题．当a ≤0时，不成立；当a >0时，由Δ＝16－4a 2<0，得a >2.故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)B 组——高考提速练1．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是__________________．解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是：∃x ≥2，x 2＜4.答案：∃x ≥2，x 2＜42．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈M }，则M ∩N ＝________. 解析：由已知条件得N ＝{－1,1,3}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：{1}3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是____________________． 解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”． 答案：若一个数的平方是正数，则这个数是负数4．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要5．设集合A ＝{1,3}，B ＝{a ＋2,5}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________.解析：由集合A ＝{1,3}，B ＝{a ＋2,5}，A ∩B ＝{3}，可得a ＋2＝3，则A ∪B ＝{1,3,5}． 答案：{1,3,5}6．已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝________. 解析：根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)． 答案：(－1,2)7．已知全集U ＝{－1,2,3，a }，集合M ＝{－1,3}．若∁U M ＝{2,5}，则实数a 的值为________．解析：由题意得(∁U M )∪M ＝{－1,2,3,5}＝U ，故a ＝5.答案：58．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．答案：{1,3}9．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：210．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是________．解析：当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1∈(0,3]， 因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以对于∀x 1∈[－2,2]，f (x 1)∈[－3,3]．因为对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)， 所以g (x )在[－2,2]上的值域A [－3,3]． 根据函数g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， 得A ＝[m －1，m ＋8]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤－3，m ＋8≥3，解得－5≤m ≤－2，即实数m 的取值范围是[－5，－2]． 答案：[－5，－2]11．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得A ＝{x |x <4}，且A B ，结合数轴易得a >4. 答案：(4，＋∞)12．若y ＝x 2＋ax ＋b ，A ＝{x |y ＝x }＝{a }，M ＝{(a ，b )}，则M ＝________. 解析：由A ＝{a }得x 2＋ax ＋b ＝x 的两个根为x 1＝x 2＝a ， 即x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两个根x 1＝x 2＝a ， 所以x 1＋x 2＝1－a ＝2a ，得a ＝13，x 1x 2＝b ＝19，所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1913．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，若A 的所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B ＝{－1,3,5,8}，则集合A ＝________.解析：在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以3(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝(－1)＋3＋5＋8＝15，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5，于是集合A 的四个元素分别为5－(－1)＝6,5－3＝2,5－5＝0,5－8＝－3，因此，集合A ＝{－3,0,2,6}．答案：{－3,0,2,6}14．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的___________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数，故y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称是y ＝f (x )是奇函数的必要不充分条件．答案：必要不充分。