正弦定理和余弦定理补偏学案
正弦、余弦定理教案
A
1200 C B
例 2 如图， 在三角形 ABC 中， 已知 a=3,b=2,c= 19 ,求此三角形各个角的大小及其面积。 （精确到 0.1） 。 A
C
B
例 3 已知 ABC 的顶点为 A(6,5),B(-2,8)和 C(4,1)，求 A (精确到 0.1 )
四、课堂练习： 已知 ABC 的三个角 A，B, C 所对的边分别为 a,b,c，根据下列条件，分别解三角形（保留根号 或精确到 0.01）
三．三角形中正弦定理的证明： 法 1：从特殊到一般，穷举法： 直角三角形中特性： 锐角三角形中有无特性？ 钝角三角形如何？ C B
A
法 2：在三角形的外接圆中论证：
分学习小组探讨，教师适当点拨。
四、 定理应用： 例 1：已知Δ ABC 中， 0 （1）a=20 , A=30 , （2）a=20 , b=40 , （3）a=20 , b=40 , （4）a=20 , b=30 , （5）a=20 , b=25 , （6）a=20 , b=15 ,
a ,sinB=____________,sinc=___________。 2R
（3）a:b:c=__________________________. (4)Δ ABC 面积 S=_______________=_______________=________________。 二、公式应用： （30 分钟） 1．在△ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（ A. A B B. A B C. A ≥ B ） ）
0 0 0 0
学生完成后，教师订正答案
六、课后作业：见作业 1。
七、课后反思
第 2 课时 知识与技能
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。
2. 余弦定理的定义及证明。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
4. 相关例题解析。
5. 实践练习。
三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。
2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。
3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。
4. 布置实践练习题，巩固所学内容。
五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。
4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。
5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。
4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。
七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
《正弦定理和余弦定理》学案4(新人教A版必修5)
高一数学导学案必修5 正弦定理、余弦定理的应用一、学习目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.二、学习重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
三、自主预习四、自主探究：在平面几何中，平行四边形的四边的平方和等于两条对角线长的平方和。
你能用余弦定理加以证明吗？五．能力技能交流活动一、解三角形在几何中的应用：【总结】例2．作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向，【总结】活动三、计算平面图形的面积例3．如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？【总结】【回顾反思】【课时作业】11.3,cos ,______.22.2cos cos ________.3.6,8,4.,,,,2,233__________.5.ABC a A ABC ABC a b C c B ABC AB BC AC AC ABC A B C a b c a c b a b c ABC ∆==-∆∆=+=∆===∆+=+=∆在中，若则的外接圆的半径为在中，已知，则在中，则边上的高为________.三个内角所对边分别为，满足，则的三个内角中最大的角为三角形2226.222,_____.-7.,___________.4ABC a a b c A a b c ABC C <<+∆3的两边之差为2，夹角的余弦为，面积为14，那么这个三角形的5这两条边长分别为__________________.在不等边三角形中，为最大边，如果则的取值范围是若的面积为则内角等于8．已知的两边是方程的两个根，的面积是，周长是，试求及的值；9．如图，，，， ，， 求的长.10.1,.(1)ABCD AD AB BAD BCD ABCD θθθ==∠=∆如图所示，在平面四边形中，，而是正三角形将四边形的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值.。
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版教案主题：高中数学§1正弦定理、余弦定理教案教学目标：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.掌握正弦定理和余弦定理的计算方法，并能够应用于相关题目。
教学重点：1.正弦定理的推导和应用；2.余弦定理的推导和应用。
教学难点：1.正弦定理和余弦定理的灵活应用。
教学准备：1.教材：北师大版高中数学教材；2.教具：教学投影仪、复印件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问或展示一些实际问题引起学生对三角形定理的兴趣，如“当我们观测星星时，我们如何测量两个不可达的距离？”2.学生提出的问题或思考可以引导教师进一步引入正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理（30分钟）1.教师先介绍正弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示正弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
三、余弦定理（30分钟）1.教师先介绍余弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示余弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
四、综合应用（30分钟）1.教师设计一些综合性的问题，引导学生运用所学的正弦定理和余弦定理进行综合应用。
2.学生进行小组讨论，解决一些相关的综合应用题，教师逐一点评。
五、归纳总结（10分钟）1.教师引导学生总结正弦定理和余弦定理的计算方法和应用场景。
2.学生进行笔记整理，进行知识点的归纳总结。
六、作业布置（5分钟）1.教师布置相关的练习题，巩固所学的知识点。
2.学生预习下一节内容，做好相关的准备。
教学反思：通过本节课的教学，学生对正弦定理和余弦定理的定义和原理都有了基本的了解。
教师通过具体例题和综合应用题的演示，使学生掌握了计算方法和灵活应用的技巧。
在今后的教学中，需要加强学生的实际应用能力，让学生能够将所学的理论知识应用于实际问题的解决中。
余弦定理、正弦定理的应用 学案-苏教版高中数学必修第二册
第十一章解三角形11.3 余弦定理、正弦定理的应用1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.1.教学重点：利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.2.教学难点：深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.题型一距离问题【例1】如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离.在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ACB中利用余弦定理求解【训练1】某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A.15 3 kmB.30 kmC.15 kmD.15 2 km题型二高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M 的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.题型三角度问题【例3】某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向.【训练3】 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 点(3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，与A 距离2 n mile 的我方缉私船，奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h 的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A.12 mB.8 mC.2 3 mD.4 3 m2.海上A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( )A.10 3 n mileB.1063 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A.10 mB.5 3 mC.5(3－1) mD.5(3＋1) m4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD的张角为________.。
正弦定理、余弦定理(同步辅导教案)
难
点
一、 课前检测 1．在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等于( A．30° C．60° B．45° D．75°
b2＋c2－a2 1＋4－3 1 解析：选 C ∵cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2×1×2 2 又∵0° <A<180° ，∴A＝60° . 2．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45° ，则此三角形有( A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 b 24 2 2 ∴sin B＝ sin A＝ sin 45° ，∴sin B＝ . a 18 3 )
【证明】由余弦定理知 。所以
，两式相减得 ，所以
。
由正弦定理， 立。
四、变式练习
，所以
=
。故等式成
好方法事半功倍，好习惯受益终身
第6页
共8页
天元地元
★ 学好数学“三步曲” ：概念---做题---反思
1. △ABC 中 a=6,b=6 3 A=30°则边 C=（ C ） A、6 B、 、12 C、6 或 12 D、6 3
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即 2. 直角三角形 （1） （2） ， 中 ，
（3）
，
，
；
，
，
知识点二：正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明
（
为
的外接圆半径） ；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 、变形： （1） a 2 R sin A ， b 2 R sin B ， c 2 R sin C （2） sin A
6
20 ;
4.△ABC 中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为 10 3 ，则其周长为 5.△ABC 中 A：B：C=1：2：3 则 a：b：c= 1: 3 :2 .
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
《正弦定理和余弦定理》教案6新人教A版
《正弦定理和余弦定理》教案6（新人教A版必修5）讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。
一、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R例1．（1）、已知ABC中，A，,求 (=2)（2）、已知ABC中，，求（答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在ABC中，已知，，，求b及A （）（2）、在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
例3．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。
练习：（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例4．在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即，从而例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。
公路的走向是M站的北偏东40。
开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。
问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。
在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,则sinC =1- cosC =,sinC =,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC = 在MAC中，由正弦定理得 MC ===35从而有MB= MC-BC=15 答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA = bcosB（等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC = （直角三角形）2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1） AB的长（2）、求四边形ABCD的面积解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30 ，又因为BDC=45，所以 DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，所以AD=DC=在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，BD = =在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,所以得 AB=（2） S= ADBDsin75= 同理， S=所以四边形ABCD的面积S=。
《正弦定理、余弦定理的应用》学案3(人教A版必修5)
A C BD高一数学必修5导学案 正弦定理、余弦定理的应用一、学习目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．二、学习重点，难点重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。
三、自主预习：1.实际问题中常用的角：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线___________的角叫仰角，在水平线_____________的角叫俯角（如图①）（2）指从正北方向____________转到目标方向线的水平角，如B 点的方位叫为α（如图②）。
（3）坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.四、能力技能检测：活动一、测量距离问题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取1km 长的点CD ，并测得90ACD ∠=，60BCD ∠=，75BDC ∠=︒，30ADC ∠=，试求,A B 之间的距离.【总结】变式训练1、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 。
变式训练2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行, 铅垂线视线① 水平线 视线仰角俯角东西在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°, 30分钟后航行到B处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B 处的距离.（其中sin20°=0.342，结果保留到0.1）活动二、方位角问题：例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45° 、距离为10海里的C 处，并测得渔船以9海里/时的速度沿方位角为105°的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。
《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
《余弦定理、正弦定理的应用》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第3课时余弦定理、正弦定理的应用【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。
正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。
把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。
【教学目标与核心素养】A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。
3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ （2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知 类型一 距离问题例1 如图， A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B两点间的距离的方法.并求出A ，B 间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===c b a C B A ::sin :sin :sin =Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=;π=++C B A C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
【精品】正弦定理和余弦定理辅导教案
2、利用正、余弦定理求解平面图形中线段长
[典例] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC的长．
[活学活用]
如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
课堂总结
1．辨明两个易误点
(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解
2．三角形解的判断
3．特别强调：把a＝2Rsin A，b＝2Rsin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．
4. 已知两边及其中一边所对角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边长度关系特点进行取舍．课后作业。
正弦定理和余弦定理一轮复习配套导学案
第21讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=π-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.式题 (1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图2-21-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图2-21-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图2-21-2所示,在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.图2-21-2式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.课时作业(二十一)第21讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°等于()2.在△ABC中,若A=60°,a=,则--A.2B.C.D.3.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.4.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5=,则角5.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-B=.能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A. B. C. D.10.已知△ABC的面积为5,A=,AB=5,则BC=()A.2B.2C.3D.11.[2017·宜春四校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,B=,△ABC 的面积S=2,则的值为.12.[2017·杭州质检]设a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,面积S=c2.若ab=,则a2+b2+c2的最大值是.13.[2017·河南新乡二模]如图K21-1所示,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE ⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A=.图K21-114.[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底]如图K21-2所示,在△ABC中,C=,·=48,点D在BC边上,且AD=5,cos∠ADB=.(1)求AC,CD的长;(2)求cos∠BAD的值.图K21-215.[2017·潮州二模]在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin C.(1)求C的值;(2)若=2,求△ABC的面积S的最大值.难点突破16.[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.。
高中《正弦和余弦定理》数学教案
高中《正弦和余弦定理》数学教案教学目标：1. 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理；2. 掌握正弦定理和余弦定理的运用方法；3. 能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理和余弦定理的概念和原理；2. 正弦定理和余弦定理的运用方法。
教学难点：1. 正弦定理和余弦定理的应用；2. 能够灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
教学准备：1. 教材和课件；2. 板书工具；3. 黑板或白板；4. 直尺和量角器。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 回顾三角函数的基本概念和计算方法；2. 引导学生思考：在什么情况下可以使用正弦定理和余弦定理？Step 2：正弦定理的介绍和推导（10分钟）1. 讲解正弦定理的概念和原理；2. 推导正弦定理的公式：$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C}$。
Step 3：正弦定理的应用（10分钟）1. 解决已知三边求角度的问题；2. 解决已知两边和夹角求第三边的问题；3. 解决已知两边和一个对角度求另一对角度的问题。
Step 4：余弦定理的介绍和推导（10分钟）1. 讲解余弦定理的概念和原理；2. 推导余弦定理的公式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$。
Step 5：余弦定理的应用（10分钟）1. 解决已知三边求角度的问题；2. 解决已知两边和夹角求第三边的问题；3. 解决已知三边求面积的问题。
Step 6：综合应用练习（15分钟）在实际问题中综合运用正弦定理和余弦定理解决复杂的三角形问题。
Step 7：总结与拓展（5分钟）1. 小结正弦定理和余弦定理的应用方法；2. 引导学生应用所学知识解决更复杂的问题。
Step 8：作业布置（5分钟）完成教材上相关的练习题，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，将正弦定理和余弦定理的概念、原理和应用结合起来，既有助于学生了解两者之间的联系，又能帮助学生更好地掌握其应用方法。
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案(4)
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案（4）
1、学习目标
正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；
2、新知导读
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水
平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
3、范例点睛
例1.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C 、D 两处，测得
烟囱的仰角分别是45α=︒和60β=︒，CD 间的距离是12m.已知测角仪器高 1.5m,求烟囱的高。
例2、某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东0
60的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
4、达标检测
（1）某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 ____________________________
（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为0
30，则甲、乙两楼的高分别是_______________________________
（3）练习册P81考点5的对应演练 5、学后反思。
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解三角形学案
一、“我学习，我主动，我参与，我收获！”
1、正弦定理
（1）在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R (其中R 为外接圆半径)
（2）a ：b ：c=____________________
2、三角形常用面积公式：
11sin sin ____________22
ABC S ab C ac B ∆=== 3、余弦定理： a 2＝__ ______ b 2＝_ _______ c 2＝___ _____
余弦定理的推论：
cosA=____ ___ _ cosB=___ ____ cosC ＝__ _____
二、“我探究，我分析，我思考，我提高！”
1、已知两角及一边解三角形
典型例题1：已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆
变式训练：在△ABC 中，b B A c 求边,60,45,3 ===
2、已知两边及其中一边的对角解三角形
典型例题2：根据已知条件解三角形 60,65,10===C c b 。
变式训练：已知在△ABC 中，,45,2,3 ===B b a 求A 及c
3、求三角形面积
典型例题3：在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；
变式训练：在ABC ∆中，已知30,ABC B AB ∆∠==面积S 试求BC 。
4、已知两边及其夹角求第三边
典型例题4：已知060,1,3===A c b ，求a ；
5、已知三边求角
典型例题4：已知6,5,4===c b a ，求A
基础自测：1、在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________.
2、在ABC ∆中，已知6=a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________.
3、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c =
4、在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于________________
5、在ABC ∆中，已知3=b ，33=c ， 30=B ，则=a __________________
6、在ABC ∆中，已知222
a b ab c ++=，求C 的大小。