布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
BLACKSCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、服从对数；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在和；4、该期权是，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
b-s定价模型操作策略
b-s定价模型操作策略BS定价模型操作策略1. 引言BS定价模型（Black-Scholes Model）是一种用来评估期权价格的数学模型，该模型最初由费舍尔·布莱克和默顿·米勒·斯科尔斯于20世纪70年代提出。
这个模型被广泛应用于金融市场，特别是期权交易，因为它提供了一种确定期权合理价格的方法。
在本文中，我们将讨论如何使用BS定价模型来制定操作策略。
2. BS定价模型简介BS定价模型的核心思想是，一个期权的价格取决于多个因素，包括标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、预期波动率等。
根据这些因素，BS定价模型可以计算出一个期权的合理价格。
3. 确定标的资产价格在使用BS定价模型之前，我们首先需要确定标的资产的价格。
这可以通过市场报价、历史价格数据或技术分析等方法进行估计。
标的资产价格的准确性对于后续操作策略的制定至关重要。
4. 选择行权价格和剩余期限除了标的资产价格，行权价格和剩余期限也是操作策略制定过程中需要考虑的重要因素。
行权价格应该根据市场情况、预期收益、风险承受能力等因素进行选择。
剩余期限则需要根据投资目标、资金需求等因素来确定。
5. 确定无风险利率和预期波动率BS定价模型中的另外两个重要参数是无风险利率和预期波动率。
无风险利率可以通过国债收益率等无风险投资工具的收益率来确定。
预期波动率可以通过历史数据、隐含波动率等方法进行估计。
这两个参数的准确性对于期权定价的准确性至关重要。
6. 计算期权的合理价格一旦确定了标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率和预期波动率，就可以使用BS定价模型来计算出期权的合理价格。
这个价格将作为操作策略的参考依据。
7. 制定操作策略根据期权价格、投资目标和风险偏好，可以制定相应的操作策略。
例如，如果期权价格高于合理价格，可以考虑买入期权；如果期权价格低于合理价格，可以考虑卖出期权。
操作策略的选择应该综合考虑多个因素，包括市场预期、个人风险承受能力、资金需求等。
布莱克舒尔斯默顿期权定价模型
• dz项可以消除。
其它方程
•BSM 微分方程
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
• BSM 期权定价公式
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
10.2 股票价格的变化过程
•人们通常用形如公式
dS dt dz
的几S何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程。
这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主 要的假设。 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因 素。通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维纳过程（Wiener Process)。
15
• 由特征1知道，z 本身也具有正态分布。均 值为零，标准差为 t ，方差为 t
• 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有 独立增量的性质。
维纳过程的性质
进一步发现，变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。用 z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，即N个长度为 t的小时
间间隔中z的变化总量，其中N=(T-t)/t
N
z(T ) z(t) i t i1
• Z(T) − Z(t) 也服从正态分布
Z(T) − Z(t)均值等于0
方差等于N t =T − t
标准差等于√T − t
方差可加性
可知
• 1）在任意长度的时间T-t中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为
√T − t。 • 2)在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可
• 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱克)& Myron Scholes(梅隆.舒尔 斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提 出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票 期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响 ；同年，Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地 提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
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本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
布莱克休尔斯莫顿期权定价模型(ppt41张)
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布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型 11.3.1
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
和 为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型 11.0
MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧 式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响； 同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的 模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学 奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模 型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
14
11.2.６ 衍生品价格所服从的随机过程
当股票价格服从几何布朗运动 dS 时，由 Sdt Sdz 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
5
11.2.1
布朗运动
x a t b t ，显然，Δx也 普通布朗运动的离差形式为 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为 b 2 t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T ，方差为b2T。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
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▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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13.4 几何布朗运动与对数正态分布
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4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
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布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
11.布莱克-舒尔斯-,默顿期权定价模型
• 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态 过程：
– a dt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a； – b dz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪 音是由维纳过程的b倍给出的。
• 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然， Δx也具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b ， t 方差为 b 2 t • 1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征， 其均值为a T，标准差为 b T ，方差为b2T。 • 2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
G G 1 2 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名 的伊藤引理。
由于
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
dS Sdt Sdz
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
• 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。 • 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化 的过程。
– 可分为离散型的和连续型的。
• 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 • 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分 布只取决于该证券现在的价格。
i 1
z(T )- z(0) ~ N(0, T )
其中：N△t=T
当△ t0时，我们就可以得到极限的标准布朗运 动：
dz dt
• 为何使用布朗运动？ • 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续复利收 益率近似地服从正态分布 • 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是一个马 尔可夫随机过程 • 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（ Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率在时间 上存在转折尖点等性质也是相符的
第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型讲义
唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期
权价格的最根本因素。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票 价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后， 我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期 权定价。
市场有效理论与随机过程
市场有效理论的三种形式 一、弱式效率市场假说 该假说认为在弱式有效
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即 漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函 数，我们就可以得到
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz
（一）对 的理解
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等 于
2 / 2
，这是因为较长时间段后的连续复利
收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结
果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。
（一）对 的理解
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益 率的年标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数
的影响，但是标准差就不具有可加性。
结论2：当 t 0 时，就可以近似得到极限的或者 说连续的标准布朗运动
dz dt
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运 动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变 量x 的普通布朗运动： dx adt bdz
x at b t
假设：
1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 常数；
2、允许卖空标的证券；
为
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分 的； 5、存在无风险套利机会；
《金融工程》第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
41.09 ST 71.41
因此， 6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率
为 95% 。
30
半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为 60.46 或
7.78 。
E ST 50e0.180.5 54.71
2
dGt d ln St dt dz t
2
服从期望值
d ln St
说明连续复利收益率
正态分布
注意：
d ln St
dt
2
2
方差为
2
dt 的
dSt
St
21
应用2 ： F 所遵循的随机过程
假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数
dSt Stdt Stdz t
几何布朗运动：扩散过程的特例
= +
其中 µ 和 σ 均为常数
一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程
可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题
几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较
为吻合。
14
伊藤引理
若变量 x 遵循伊藤过程，
= +
F
S
e
由于 t t
r T t
，则
F rT t 2 F
F
e
, 2 0,
rFt
S
S
t
运用伊藤引理可得
dFt r Fdt
Fdz
t
t
t
金融工程 第八章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型
14.4.2 交易日天数与日历天数
交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高； 因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易 日天数（252天）而不是日历天数；
金融工程 第八章 12
14.5 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念
背景：1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格， 在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立 地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了 1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介 绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型）， 并由此导出衍生证券定价的一般方法。
c e
rT
E[max(ST K ,0)]
金融工程 第八章
25
欧式看涨期权
风险中性世界里期权到期时回报的期望值： E [ max(ST K ,0)]
E 为风险中性世界中的期望值 ，欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利
率贴现后的现值，
c e rT E[max(ST K ,0)]
f f f 1 2 f 2 2 Df ( S S )Dt SDz 2 S t 2 S S
：
金融工程 第八章 17
14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导
（3）为了消除维纳过程（风险源）△z ，可以构建一个包括一单 f 位衍生证券空头和 单位股票多头的组合。
f 1 2 f D ( 2 t 2 S
2
S 2 )Dt
布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型
代入上式可得
f 1 2 f 2 2 f ( S ) t r ( f S )t t 2 S 2 S
化简为
f f 1 2 2 2 f rS S rf t 2 S S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程， 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有 衍生证券的定价。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 dx a( x, t )dt b( x, t )dz 以得到 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
)dt dz
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 (
2
2 )dt ，方差为
2 dt 的正态分布。
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： dS Sdt Sdz 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
G 1 2 G 1 G , 2 2 , 0 S S S S t
t G 2 G 我们就可得到 G ln S b )dt bdz 2 2 x x
2
代入式 dG ( G a G 1
x
所 (
2
2
ln ST ln S ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E(ST ) Se (T t ) 和 var( S T ) S e
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© & , 2008
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过
程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
© & , 2008
ln ST
ln
S
~ [(
2 2
)(T
t),
T t]
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由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明服从对数正态分布。根据对数正态分布的
特性，以及符号的定义，我们可以得到 和 var(ST ) S 2 e 2(T t) [e 2 (T t) 1]
8
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
案例11.1
运用伊藤引理推导所遵循的随机过程
假设变量S服从 dS Sdt Sdz
其中μ和σ都为常数，则遵循怎样的随机过程？
由于μ和σ是常数，S显然服从 a(S,t) ，S b(S,t) S的伊藤过程，我
们可以运用伊藤引理推导所遵循的随机过程。
2
由于是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
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一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动）
来表示：dS Sdt Sdz
©解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知 执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价 格是影响期权价格的最根本因素。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。
1973年，美国芝加哥大学教授 提出了著名的定价模型，用于确定欧式股票期权
价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， C. 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由 此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将 循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期 权定价模型（下文简称模型），并由此导出衍生证券定 价的一般方法。
z = t 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ，z 的 值相互独立。
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将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx adt bdz
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从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出， 股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率
2 / 2 和恒定的方差率 2 。由前文的分析可知，当一个变量服 从普通布朗运动 dx adt bdz 时，其在任意时间长度内的变化值都 服从均值为 aT 、t 方差为 b2 T 的t2 正态分布。也就是说，
令G ln S，则
G 1 , 2G 1 , G 0 S S S 2 S 2 t
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
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从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动， 则有 dG d ln S ( 2 )dt dz
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
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普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为b 2t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到 dx a(x, t)dt b(x, t)dz
这就是伊藤过程（ ）。其中，是一个标准布朗运动，a、 b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
根据众多学者的实证
研究，发达国家的证券 市场大体符合弱式效率 市场假说。一般认为， 弱式效率市场假说与马 尔可夫随机过程（ ）
是内在一致的。因此我 们可以用数学来刻画股 票的这种特征。
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布朗运动（ ）起源于英国植物学家布郎对水杯中的 花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小 的时间间隔长度，z 代表变量z在 t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
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市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说