最新2019年整理布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
固体物理复习题
固体物理复习题第一章概念部分：1、晶体：是一种组成粒子在空间排列具有周期性，表现为长城有序且平移对称性的固体。
2、布拉菲格子（点阵）：晶体内部结构可以看成是由一些相同点子在空间做规则的周期性的无限分布。
沿三个不同方向通过点阵中的结点作平行的直线族，把结点包括无遗，点阵便构成一个三维网格。
这种三维格子称为晶格，又称为布拉菲格子，结点又称格点。
（P4-P5）3、原胞：以三个不同方向的周期为边长的平行六面体中体积最小的重复单元。
(P5)4、晶胞：能同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元。
(P5-P6)5、密勒指数：在晶胞基矢坐标系中求出的面指数称为密勒指数。
以三个互质的整数表示为（hkl ）。
(P11)6、倒格子：由式'=2l h πμ⋅R K 得到，l R 和h'K 的量纲是互为倒逆的，l R 是格点的位置矢量，称为正格矢，h'K 称为倒格矢，1122h'h h h =++K b b b ，其中2312[]πΩ⨯=a a b ，3122[]πΩ⨯=a a b ，1232[]πΩ⨯=a a b （Ω表示晶格原胞体积）是三个倒格基矢，倒格基矢平移可形成倒格子。
（P12-13）7、晶列：通过任意两格点作一直线，这一直线称为晶列。
(P9)8、晶面指数：任一晶面族的面指数，可以由晶面族中任一晶面在基矢坐标轴上截距系数的倒数求出，表示为(rst)。
(P11)9、密堆积：最紧密的堆积称为密堆积，密堆积对应最大的配位数。
（P4） 简答部分：1、原胞与晶胞的区别。
答：原胞只考虑点阵周期性的最小重复单元，而晶胞是同时可以反应晶体的周期性与对称性的重复单元。
晶胞的体积是原胞体积的整数倍。
2、什么是宏观对称性？答：一个晶体在经过某一变换后，晶格在空间的分布保持不变，与原来重合，这便体现了晶体的宏观对称性，这种变换称为对称操作。
3、简述几何结构因子的意义。
答：几何结构因子是指原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比（P30）。
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。
基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元；点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元；晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元；布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量；简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体；复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体；2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。
宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4，点群：元素为宏观对称操作的群螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n=的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作空间群：保持晶体不变的所有对称操作3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。
晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示；晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示；密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数；配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数；面间距：晶面族中相邻平面的间距；密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构；4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。
倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。
倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
正格基矢
倒格基矢
a1、a 2、a 3 ,
b 1、b 2、b 3
例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、 第三布里渊区。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的
扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 a，b。
解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分 布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N2 N3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为： (2π)3 VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2 π) 3
下面我们证明
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k(r
2 Rn )
k(r) 2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
感谢您的观看
THANKS
这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
简述布洛赫定理的内容
简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。
该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。
一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。
晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。
周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。
二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。
在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。
三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。
它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。
这个函数被称为布洛赫函数。
通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。
能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。
在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。
在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。
四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。
它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。
在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。
总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。
它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。
通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。
布洛赫定理知识点
布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
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本节主要内容: 5.1.1 布洛赫定理 5.1.2 波矢的取值和范围 5.1.3 布里渊区
§5.1 布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理
1.晶格的周期性势场 (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能 之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势 能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具 有周期性； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在 晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
(r)
(r
N
1a1
)
(r
)
(a1
) N1
1
(a1
)
e
i
2
π
l1 N1
同理可得：
(a2
)
i2π
e
l2 N2
,
(a3
)
e
i
2
π
l3 N3
这样
Tˆ
(
Rn
)
的本征值取下列形式
i 2π( n1l1 n2l2 n3l3 )
( Rn ) e
在直角坐标系中：
2 (r)
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2
(r
Rn
)
2
2
2
( x n1a1)2 ( y n2a2 )2 (z n3a3 )2
晶体中单电子哈密顿量 Hˆ 具有晶格周期性。
Tˆ
(
Rn
)Hˆ
(r)
(r)
Hˆ
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
1、N
2、N
个原胞，
3
由周期性边界条件
k
(r)
k
(r
N 1a1
)
k
T (Rn
)
f
(r
Rn
)
f (r 2Rn )
T
l
(
Rn
)
f
(r
)
f (r lRn )
f (r)可以是V(r)， (r)，Hˆ (r)
(2) [Tˆ , Hˆ ] 0
Hˆ 2 2 V (r)
2m
V (r ) V (r Rn ),
其中 k为电子波矢， Rn n1 a1 n2 a2 n3 a3 是格矢。
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
(a1
)、
(a2
)、(a3
)
?
uk r
uk
r Rn
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调
幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
)、(a3
)
?
设晶体在a1、a2、a3方向各有N 1、N 2、N 3个原胞,
由周期性边界条件
(r)
(r
N 1a1
)
(r)
(r
N 2a2
)
(r)
(r
N 3a3
)
根据上式可得到
Tˆ
N
1a1
(r
)
(a1
) N1
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r V
r
Rn
其中 Rn为任意格点的位矢。
2 2m
2
V r
E
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
(
r
Rn
)
eikRn
(
r
),
k
(r
)
a(k
K )ei(k Kh )r h
eikr
a(k Kh )eiKhr
设uk
h (r )
a(k
Kh
)e iK
h
r
h
则上式化为
h
k
(r)
eikr
uk
(r
)
uk (r Rn ) uk (r )
N1
N2
N3
引入矢量 k l1b1 l2b2 l3b3
N1
N2
N3
式中
b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
ai
bj
2π ij
,
(Rn ) eikRn
(r
Rn
)
eik
Rn
(r
)
---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
)
n1
Tˆ
(a2
)
n2
Tˆ
(a3
)
n3
可得到
Tˆ
(
Rn
)
(r
)
(
Rn
)
(r
)
(a1
) n1
(a2
) n2
(a3
) n3
(r
)
即
(
Rn
)
(a1
) n1
Байду номын сангаасa2
) n2
(a3
) n3
(a1
)、
(a2
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
(r
Rn
)
eikRn
(r)
k
(r
2 Rn )
k
(r
)
2
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
(r
Rn
)
(r
Rn
)
Hˆ
(r)Tˆ
(
Rn
)
(r)
[Tˆ , Hˆ ] 0
平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数
(r )
是
Hˆ 的本征函数，那么
(r )
也一定是算符
Tˆ
(
Rn
)
的本征函数。
(3) Tˆ (Rn ) eikRn
3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T (Rn )
(2)说明: [Tˆ , Hˆ ] 0
(3) Tˆ (Rn ) eikRn
(1)平移对称算符 T ( Rn )
T (Rn ) f (r ) f (r Rn )
T
2
( Rn
)
f
(r)
设Tˆ
(
Rn
)对应的本征值为(
Rn
)，则有
Tˆ
(
Rn
)
(r)
(r
Rn
)
(
Rn
)
(r)
根据平移特点
Tˆ
(
Rn
)
Tˆ
(n1a1
n2a2
n3a3
)
Tˆ
(n1a1
)Tˆ
(n2a2
)Tˆ
(n3a3
)
Tˆ
(a1
k
r
eikr
uk
r
u r k
u k
r
Rn
可以看出平面波
e ik r能满足上式。因此矢量
k具有波矢的
意义。当波矢增加一个倒格矢
K
，平面波
h
ei(k Kh )r也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加