电工技术教案正弦元件伏安关系、交流电路分析-11

i
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
+
_ C u_ C
设：i 2 I sinω t
uR 2IRsinωt
uL 2Iω L sin(t 90)
uC
2I 1 sin(t 90) C
根据KVL可得：
图1 电阻、电感与电容 串联的交流电路
u uR uL uC
二、相量法分析
S UI 单位：伏安、千伏安
注： S＝UI 可用来衡量发电机可能提供的最大功率
（负载端口额定电压×额定电流）
5. 功率三角形
有功功率 无功功率 视在功率
P UI cos Q UI sin
S UI
S
Q

P
（有助记忆）
电压三角形、阻抗三角形、功率三角形之间关系
U UR2 (UL UC )2
方法1：相量伏安法 解： V 220 20V

jU I

jL
jX L
电感的功率
i 2I sinω t
u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
Um Im
sinω t
cos ω t

Um Im 2
sin2 ω t
UI sin2 ω t
+
v
L
v
_
L
(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图； C
_
+
v
_
C
(4)有功功率 P、无功功率 Q 和视在功率 S 。
解： XL ω L 314 127 103 40Ω ,
XC

1 ωC

1 314 40 10-6


80 Ω ,
Z R2 ( XL XC )2 302 (40 80)2 50Ω,
件 号 关系
关系 复阻抗
i
R u R u Ri U R U RI
I
向量图

IU
L
u
i L
u L di dt
U L
I
U jLI
Cu
i C
i C du dt
U 1
I C
U j 1 I C

U

I

I

U
交流电路元件的功率
元 UI相量 件 关系
瞬时功率 p
有功功率 P
(2) 平均功率（有功功率）
1T
P T
o
p dt
1
T
UI sin (2ω t ) dt 0
To
L是非耗 能元件
(3) 无功功率 Q
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
用无功功率Q来衡量电感电路中能量交换的规模。 表征瞬时功率达到的最大值。
无功功率 Q 为瞬时功率 p 的幅值，即：电压 有效值与电流有效值的乘积。
• 容抗的性质
I 2fCU
XC
Um Im
U I
1
C

1
2fC
电容元件的容抗与频率成反比 0
XC

1 2fC
f
f 0
XC
对电流的阻碍能力为无穷大— —对直流相当于开路
f
XC 0
对电流的阻碍能力为零—— 对高频交流相当于短路。
所以电容C具有隔直通交的作用
• 电容电压、电流之间的相量关系

1 Z2
）
1= 1 1 Z Z1 Z2
Z = Z1 Z2 Z1Z 2
5.6 复杂正弦交流电路的分析方法
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参 数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、 公式、分析方法都能用。
1、据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)；
u U、 i I
R R 、 L jL、 C 1 jC
无功功率 Q
R U RI UI (1 cos 2t) UI U 2 I 2R
R
0
L U jLI UI sin 2t C U j 1 I UI sin 2t
C
0
UI
U2 XL

XLI2
0
UI
U2
XC
XCI2
5.5 RLC串联的交流电路
一. 电流、电压的瞬时关系

类似电导定义 Y I —复导纳 U
Y1 Z
复阻抗
阻抗三角形
Z Z R j XL XC
|Z|

XL XC
阻抗模：Z U I
R2 (X L XC )2
R
阻抗角： ψu ψi
arctan
XL XC R
arctan ω L 1/C
Q UI
U2 XL

X LI 2
单位：乏 (Var) 或千乏 (kVar).
5.4.3 电容上电流、电压的基本关系
i
C qu
u C i dq C du dt dt
当u U(直流) 时, du 0
i0
dt
所以，在直流电路中电容相当于断路。
• 电容电压、电流瞬时值关系
ui u i
O
ωt
90
电感相位差 ψu ψi 90
① 频率相同
② U =I L
③ 电压超前电流90
• 电感电压、电流有效值关系
i Im sin t u LIm sin(t 900)
U m LIm
定义感抗
U LI
XL

Um Im

U I
L 2fL
P 1 T
T
0 pdt PR U R I
U
其中： UR U cos

P UI cos
UL UC
UR
总电压 总电流 u 与 i 的相角
COS ----- 功率因数
φ角越小，功率因数越大，电路越耗能，电能利用率越高。
3. 无功功率 Q
在 R、L、C 串联的电路中，储能元件 R、L、C
R
复阻抗Z与电路元件的参数有关，其值决定了电路的性质。
当 XL >XC 时， > 0 ，u 超前 i 当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i 当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相
呈感性 呈容性
呈电阻性
电感性电路：

u
i

arctan
L
1/ R
i
u
C

I

U
相量图：


U
I j
C
XC


U
u Um sin t
U U00

i CUm sin( t 900) I I900 CU900

U


I
U 00 I 900

U jI


j1
C


jX C
复容抗
电容的功率
i
u 2Usinω t
+
i
2Uω C sin( ω t 90)

ULUC



I
UR
UC
电压相量
三角形
电压三角形和阻抗三角形的关系
U UR UL UC
Z R jXL XC
UL
U
UL UC
UC I U R
相 似
Z X XL XC
R
U I R j X L XC
将电压三角形的有效值同除电流I得到阻抗三角形。
(C)

0

|Z| U
X
R

I
电压将超前于电流，电路中电感的作用比电容的作用大。
电容性电路：

u
i

arctan
L
1/ R
(C)

0
R

|Z|

I
XL-XC

U
电压将滞后于电流，电容的作用比电感的作用大。
串联谐振电路：
若：XL=XC
L 1 C
1
LC
则： arctan X L XC 0
设 u Um sin t
则
i

C
du dt

CU m
cost
CUm sin(t 900 )
i
u
C
Im CUm 2fCU m
i u 90
u Um sin t
i CU m sin(t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 落后 i 90° ）
R
U
电路中电流与电压同相，电感
I
作用和电容作用相互抵消，这种
电路呈电阻性。这种情况也叫串
联谐振电路。
R、L、C 串联电压相量三角形
考虑R、L、C串联交流电路
I
元件电压相量图
U R R
U U L jL
U C
1
jC
U U R U L U C

UL UC

U


v
I
i
CU
90
t
U
U
u Um sin t
i CU m sin(t 90 )