与名师对话2019届高三数学一轮复习课时跟踪训练：第九章 平面解析几何 课时跟踪训练46 Word版含解析

课时跟踪训练(四十六)
[基础巩固]
一、选择题
1．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析]∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a
⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.
[答案]D
2．(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )
A ．3x ＋4y ＋5＝0
B ．3x ＋4y －5＝0
C ．－3x ＋4y －5＝0
D ．－3x ＋4y ＋5＝0
[解析]在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.
[答案]A
3．(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )
A ．x ＋2y －4＝0
B ．x －2y ＝0
C ．2x －y －3＝0
D ．2x －y ＋3＝0
[解析]因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，所以直线l 的斜率为2，且直线l 过点(2,1)，故选C.
[答案]C
4．(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围为( )
A ．{k |k ≠±5且k ≠1}
B ．{k |k ≠±5且k ≠－10}
C ．{k |k ≠±1且k ≠0}
D ．{k |k ≠±5}
[解析] 三条直线围成一个三角形，则三条直线互不平行，且不过同一点，∴－k ±5≠0，且5×1－k －15≠0，∴k ≠±5且k ≠－10.故选B.
[答案] B
5．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则m 的取值范围是( )
A ．{m |m <2} B.⎩⎨⎧
m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32 C.⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32 D.⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫－32<m <2 [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ， 得x ＝2m ＋37，y ＝3m －621＝m －27.
∵其交点在第四象限，∴2m ＋37>0，且m －27<0.
解得－32<m <2.
[答案] D
6．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距
离为( )
A ．4 B.21313 C.52613D.72010
[解析] 由题意知，m ＝2，把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，
则两平行线间的距离为d ＝|1－(－6)|62＋2
2＝72010. [答案] D
二、填空题
7．直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．
[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0，直线l 2：3x ＋y －23＝0，联立方程组可求得x ＝1，y ＝ 3.
[答案] (1，3)
8．直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的
方程是________．
[解析] 由已知得所求直线过点(0，－4)，且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°
＝－3，故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ，即3x ＋y ＋4＝0.
[答案] 3x ＋y ＋4＝0
9．过点P (－4,2)，且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________．
[解析] 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＋2＝0，由点到直线的距离公式得
|k －1＋4k ＋2|k 2＋1
＝5，解得k ＝125，此时直线方程为12x －5y ＋58＝0.当直线的斜率不存在时，x ＝－4也满足条件．综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4.
[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4
三、解答题
10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．
(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
[解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.
又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.
故a ＝2，b ＝2.
(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．
∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .
故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.
[能力提升]
11．(2017·武汉调研)在直角坐标系中，过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )
A ．x －2y ＋5＝0
B ．2x ＋y ＋4＝0
C ．x －3y ＋7＝0
D ．3x －y －5＝0
[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件，因为直线OP
的斜率为k OP ＝－2，故所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y
－2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0，选A.
[答案] A
12．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－2， ∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3
(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方
程为y －2＝3－2－1－(－4)
·(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C. [答案] C
13．(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，
c >0)恒过点P (1，m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的
最小值为( )
A.92
B.94 C ．1 D ．9
[解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， ∴(4－1)2＋(－m )2
＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
2a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫
52＋c
2a ＋2a c ≥
12⎝ ⎛⎭⎪⎫
52＋2c 2a ·2a
c ＝9
4，当且仅当c ＝2a ＝4
3时取等号，故选B.
[答案] B
14．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．
[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，
4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3k －7
3k ＋4，－5k ＋83k ＋4；
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB |＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫
53k ＋42
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
5k 3k ＋42＝2，
整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－1
7.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.。