新人教版八年级上册数学13.1.2_线段的垂直平分线的性质
人教版初中数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质(2)
一、复习回顾 1.线段的垂直平分线的性质定理： 2.线段的垂直平分线的判定定理：
尺规作图：经过已知直线外的一点作这 条直线的垂线。 已知：直线AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C。
（教材62页）
这样作垂线的原理是什么？
下面的交通标志是轴对称图形吗?如果是 轴对称图形,你能找到它的对称轴吗?
活动:画对称轴
我们已经学过,如果两个图形 关于某条直线对称,那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直 平分线,所以我们只要找到两个图 形的一对对应点,然后画出以对应 点为端点的线段的垂直平分线即 可,如何作线段的垂直平分线呢?
例2.如图(1)所示,已知点A和点B关于某条
直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
过这两点的直线,即为对称轴.
思考
作对称轴的前提是两个图形成轴 对称或一个图形是轴对称图形,否 则,不存在对称轴。
两个图形成轴对称时,任找一对对应 点,作出连接它们的线段的垂直平分 线就是对称轴.
检测反馈 1.正六边形的对称轴有 ( B )
A.3条 B.6条 C.9条 D.12条
2．如图所示的四角星图形是轴对称图 形,它共有对称轴 ( D ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:如图所示,共有 4条对称轴.故选D.
3.下列图形中,对称轴条数最多的是 ()
解析:A.如图 所示,该图形 的对称轴有4 条;
C.如图所示,该图 形的对称轴有3条;
B.如图所示,该 图形的对称轴有 6条;
D.如图所示,该图形
的对称轴有5条.
综上所述,对称轴条数最多的是B选项.故选B.
4.如图所示,作出它们的对称轴.
解析: 找对称点,作对称点连线的垂直
13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时) 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级上册
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）说课稿选题及教材分析本课是人教版数学八年级上册的第13章几何图形的认识，第1节线段的垂直平分线的性质，第2课时。
本节课主要介绍线段的垂直平分线的性质，即垂直平分线的定义和性质。
本节课的主要内容包括：垂直平分线的定义和性质；垂直平分线的判定方法；垂直平分线的特点和应用；垂直平分线的应用于解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够初步认识垂直平分线的概念和性质，能够判断是否为垂直平分线，并能够应用垂直平分线解决几何问题。
教学目标1.知识与能力：–掌握垂直平分线的定义和性质；–掌握垂直平分线的判定方法；–掌握垂直平分线的特点和应用；–能够应用垂直平分线解决几何问题。
2.过程与方法：–通过引导学生观察实例，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；–组织学生合作探究，激发学生的学习兴趣。
3.情感、态度与价值观：–培养学生对几何图形的兴趣，并提高对几何的艺术欣赏能力；–培养学生观察、思考和合作的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
教学重点1.垂直平分线的定义和性质；2.垂直平分线的判定方法；3.垂直平分线的特点和应用。
教学难点1.垂直平分线的判定方法。
教学过程导入（5分钟）引导学生回顾上节课学习的内容，复习线段的定义和性质。
通过问题导入，激发学生的思考兴趣。
问题：如何判断一个线段的中垂线和一条直线相垂直？概念讲解（10分钟）通过示意图，向学生解释垂直平分线的定义。
引导学生观察图形，总结垂直平分线的性质，并与其他类型的平分线进行对比。
探究活动（15分钟）1.将学生分成小组，每个小组给出一个线段，让小组成员观察线段上的点是否能构成垂直平分线。
2.每个小组选择一个代表，将自己的观察结果进行讲解和展示。
3.引导学生总结判定垂直平分线的方法。
辅助讲解（10分钟）对学生总结出的判定方法进行讲解，解答学生提出的疑惑。
拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的引导，让学生运用垂直平分线的性质解决几何问题。
人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质教学设计
人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质教学设计一、教学目标1.理解线段的垂直平分线的概念。
2.掌握线段的垂直平分线的性质及证明方法。
3.运用垂直平分线的性质求解相关问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：线段的垂直平分线的定义和性质。
2.教学难点：垂直平分线的证明方法。
三、教学方法和手段1.案例分析法：通过具体案例，引导学生认识线段的垂直平分线的性质。
2.演示法：通过绘制图形、推导公式等形式说明垂直平分线的性质和证明方法。
3.讨论法：引导学生通过讨论、对比来深入理解垂直平分线的性质和应用。
四、教学过程设计1. 自主探究（15分钟）1.引导学生观察并思考。
线段AB的垂直平分线CD线段AB的垂直平分线CD2.学生通过观察和思考，得出线段AB的垂直平分线CD的定义。
2. 案例分析（15分钟）1.给出。
线段OA的垂直平分线BC线段OA的垂直平分线BC2.要求学生利用线段OA的垂直平分线BC的性质，求出线段OA的中点坐标。
3. 教师讲解（20分钟）1.给出。
线段AB的垂直平分线CD和EF线段AB的垂直平分线CD和EF2.讲解垂线的定义和性质，并推导出线段AB的垂直平分线CD与EF的性质及证明方法。
4. 讨论练习（20分钟）1.给出。
线段AB的垂直平分线CD和EF，以及G点的坐标线段AB的垂直平分线CD和EF，以及G点的坐标2.让学生在小组内，通过讨论、对比来解决求证垂直平分线、求证垂线与平行线的问题。
五、教学作业1.完成与本节课相关的练习题。
2.思考并总结垂直平分线的性质及证明方法。
六、板书设计1.线段的垂直平分线的定义。
2.垂线的定义和性质。
3.线段的垂直平分线的性质及证明方法。
七、教学反思本节课通过探究、案例分析和讨论等探究性教学方法，激发了学生的学习兴趣和自主探究能力。
但部分学生还存在证明垂线与平行线的方法上的困难，需要在后续的教学中进一步加强讲解和引导。
人教版八年级上册数学课件：13.1.2
(2)作线段 AB 的垂直平分线画弧时半径之所以大于2AB,是因为
1
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点一 已知对称点求三角形的周长 例1 如图,点P为∠AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称 点P1,P2,连接P1P2交OA于点M,交OB于点N,P1P2=20,则△PMN的周 长为( ) A.5 B.10 C.20 D.40
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点一 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 名师解读 (1)与角的平分线的性质相同的是得出的结论都是线段 相等;所不同的是,角的平分线平分的是角,而线段的垂直平分线平 分的是线段. (2)线段垂直平分线的性质可以用来证明两条线段相等.
②以点P为圆心,以PK的长为半径作弧,与直线l相交于点A和点B; ③作线段AB的垂直平分线CD(如图所示).
则直线CD就是过点P的直线l的垂线. 名师解读 尺规作图时要注意以点P为圆心画弧时,半径应该大于 点P到直线l的垂线段的长,目的在于保证所画的弧与直线l有两个交 点.
知识点一
知识点二
知识点三
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
解析:∵点P关于OA,OB的对称点为P1,P2,∴OB垂直平分P2P,OA垂 直平分P1P. ∴P1M=PM,P2N=PN. ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2. ∵P1P2=20, ∴△PMN的周长=20.故选C. 答案:C
拓展点一
13.1.2__线段的垂直平分线性质
平分线的性质
M P
定理:线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等.
B
A N
C
提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一.
几何语言：
∵AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任意一点(已知)， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点距离相等).
P A B
小结与作业：
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
教科书习题13.1第6、9题．
12.3 角的平分线
D A P O E
13.1 线段的垂直平分线
M P A N 定 理 线段垂直平分线上的点和 这条线段两个端点的距离相等. 逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合. B
你能用其 他方法证线的判定：
定理：与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． P ∵ ∴
用数学符号表示为： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上． A
B
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一.
归纳：
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相 等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距 离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？ 线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l A 上，所以直线l 可以看成与两点A、 B 的距离相等的所有点的集合．
C
B
课堂练习
初中数学八年级上册《13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1)》
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）学习目标：1.掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．3会过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图，了解作图的道理．一、学前准备1. 线段的垂直平分线的概念： .二、预习导航（一）预习指导活动1 线段的垂直平分线的性质（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的性质）2.线段的垂直平分线的性质： .几何推理形式：如图所示，∵，∴ .活动2 线段的垂直平分线的判定（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的判定）3.线段的垂直平分线的判定： .4.如图，已知PA=PB，求证：点P在线段AB 的垂直平分线上.活动3过点作已知直线的垂线（阅读教材第62页，过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理）5.如图，已知直线AB及AB上的一点P，求作：直线AB的垂线，使它经过点P.（保留作图痕迹，不写作法）预习疑惑：（二）预习检测6.如图，PA=PB.（1）若PC⊥AB，垂足为C，则AC= ；（2）若AC=BC，则PC⊥ .（3）已知线段AB及一点P，PA=PB=3 cm，则点P在 .7.如图，AB=AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于D.若△ADB的周长为18，求DC的长.三、课堂互动问题1线段垂直平分线性质和判定的应用8.如图，在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA =OC ，求证:点O 在BC 的垂直平分线上.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则BC = ．2.如图，D 为BC 边上一点，且BC=BD+AD ，则AD DC ，点D 在 的垂直平分线上. 第1题图第2题图3.如图，CD为AB的垂直平分线，若AC=1.6 cm，BD=2.4 cm，则四边形ACBD的周长为（）第3题图A.4 cmB.8 cmC.5.6 cmD.6.4 cm4.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为边AB的垂直平分线，则AC+BC=cm.第4题图5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D. 若△BCD的周长为8，求BC的长.AEDB C第3题图《13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）》参考答案一、学前准备1.略.二、预习导航2.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何推理形式：∵PC 是AB 的垂直平分线，∴PC ⊥AB ，AC=BC .3.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.解：如图，过点P 作PC ⊥AB 交AB 于点C .∵PC ⊥AB ，∴∠PCA =∠PCB =90°.在Rt △PCA 和Rt △PCB 中，PA PB PC PC ==⎧⎨⎩ ∴Rt △PCA ≌Rt △PC B(HL ) .∴AC=BC .∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.5.略.6.（1）BC ；（2）AB ；（3）AB 的垂直平分线上.7.解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB .又∵AB=AC=8，△ABD的周长为AB+AD+DB=18，∴8+2AD=18，解得AD=5.又∵AC=8，∴DC=AC-AD=8-5=3.三、课堂互动8.证明：∵ON是AB的垂直平分线，∴OA=OB.又∵OA=OC，∴OB=OC.∴点O在BC的垂直平分线上.五、达标检测1.答案：15.2.答案：=；AC.3.解：B.4.解：7.5.解∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵△BCD的周长为8，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=8.∵AB=AC=5，∴BC=3.。
新人教版八年级上册数学13.1.2_线段的垂直平分线的性质[2]
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聚焦中考
• △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的 垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF
A
C
E
M
F
B
D
随堂练习
1、如图,已知AB是线段CD的垂直 平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 ∠ECD=600,那么∠EDC= 60 0.
C
AE
B D
A 2、如图所示，
在△ABC中，
AB=AC＝32， MN是AB的垂
M
直平分线，且
N
有BC=21，求
△BCN的周长。 B
C
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称，
P与B关于OM对称。若AB长为15cm
求：PCD的周长.
解: P与A关于ON对称
N A
ON为PA的中垂线（
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？
通过探究可以得到：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l
线段的垂直平分线上。
∵PA=PB
P
∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
l
∴∠ACP=∠BCP= 90
13.1.2线段的垂直平分线的性质
A
A
M PP1 P2 P3
C
B
B
•已,MAN如 AA是知C上BB=左l :任B钉 ，的如C图在 P意,点，图1M一，一、N木⊥起分P点条2A，别、.BLL,量与PP垂3一木是直…量条于…点 求P证1、:PPA2=、PBP.3……到Ａ与
人教版数学八年级上册第十三章13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法难点：运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题自主学习一、知识链接线段是轴对称图形吗？通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O.（1）点A的对称点是_______（2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？（3）AB与直线l在位置上有什么关系？经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.二、新知预习已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.（1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？（2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？（3）由（1），（2），你得到什么结论？要点归纳：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________.三、自学自测如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD 上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3四、我的疑惑___________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质 证一证：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在MN 上．求证：PA =PB ．典例精析 例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为( ) A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm方法总结:利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2： 已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 实际应用：某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.例3：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延课堂探究B ACM N M ' N ' PBAC长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.方法总结:证明线段相等的方法一般有：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.针对训练1.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）第1题图第2题图2.如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，则△BCD的周长为_________.3.如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB，交AB于D，求证：BE+DE=AC．探究点2：线段垂直平分线的判定1.做一做:用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的弓，箭通过木棒中央的孔射出去.图①图②（1）如图①要使CO垂直于AB，需要添加什么条件？为什么？点C在_____________上.（2）如图②，拉动C，到达D的位置，若AD=DB，那么点D在__________上.（3）由（1），（2），你得到什么猜想？要点归纳：DA BOOBAC与线段两个端点距离________的点在这条线段的______________上.2.证一证：已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．典例精析例4：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.针对训练1.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是__________________________________________.3.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．二、课堂小结PA B线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.证明线段相1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ ACB2.在锐角三角形ABC 内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P 是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3.已知线段AB ，在平面上找到三个点D 、E 、F ，使DA ＝DB ，EA ＝EB,FA ＝FB ，这样的点的组合共有_________种.4.下列说法：①若点P 、E 是线段AB 的垂直平分线上两点，则EA ＝EB ，PA ＝PB ； ②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA ＝PB ，则点P 必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA ＝EB ，则经过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的有_________（填序号）.5.如图，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于E,连接BE ，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是_________cm.6.如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，试说明AD 与EF 的位置关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．当堂检测ABDC第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第2课时线段垂直平分线的有关作图学习目标：1.能用尺规作已知线段的垂直平分线．2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题温故知新1.按如下要求，用尺规作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．2.轴对称图形的性质是_______________________________________.3.线段垂直平分线的性质是_______________________________________.二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的画法问题1：如何验证两个图形是轴对称的？不折叠图形，你能准确地作出图形的对称轴吗？图①图②问题2:如何作出线段的垂直平分线?[提示:由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出到线段两端点距离相等的两点即可.]已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.作法:思考1:在上述作法中,为什么要以“大于AB的长”为半径作弧?思考2:根据上面作法中的步骤,请你说明CD为什么是AB的垂直平分线,并与同伴进行交流.归纳总结：可以运用线段垂直平分线的尺规作图，确定线段的中点.典例精析例1：如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．方法总结:到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线段的垂直平分线上.课堂探究探究点2：作轴对称图形的对称轴问题：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？方法总结:对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.典例精析如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.方法总结:成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，交点必定在对称轴上.针对训练1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2.如图,小河边有两个村庄,要在河岸边建一自来水厂向A村与B村供水,若要使厂部到A,B 的距离相等,则应选在哪里?二、课堂小结ABCA′B′C′线段垂直平分线的有关作图用尺规作图作线段垂直平分线作轴对称图形的对称轴作对称轴的重要方法l1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线第1题图第2题图2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴．4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.当堂检测A BC DCAB。
13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质
解：∵点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴CA＝CE. ∵AD⊥BE，BD＝DC， ∴AB＝AC， 又∵△ABC 的周长为 22 cm， ∴AB＋BC＋AC＝2AC＋2DC＝2(AC＋CD)＝2(CE＋CD)＝2DE＝22， 解得 DE＝11 cm.
6．如图 13-1-21，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D，AC 边 的垂直平分线 l2 交 BC 于点 E，l1 与 l2 相交于点 O，△ADE 的周长为 6 cm.
(2)∵AB 边的垂直平分线 l1 与 AC 边的垂直平分线 l2 相交于点 O， ∴OB＝OA＝OC. ∵△OBC 的周长为 16 cm， 即 OC＋OB＋BC＝16 cm， ∴OC＋OB＝16－6＝10 (cm)， ∴OC＝OB＝5 cm，∴OA＝5 cm.
分层作 业
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4．小明做了一个如图 13-1-19 的风筝，其中 EH＝FH，ED＝FD，小明说不 用测量就知道 DH 是 EF 的垂直平分线，其中蕴含的道理是 与一条线段两个端点
距离相等的点，在这条线段的垂直平分线． 上
图 13-1-19
5．如图 13-1-20，在△ABE 中，AD⊥BE 于点 D，C 是 BE 上一点，BD＝DC， 且点 C 在 AE 的垂直平分线上，若△ABC 的周长为 22 cm，求 DE 的长．
3．[2018 春·渝中区校级期中]如图 13-1-14，在△ABC 中，直线 ED 是线段 BC
的垂直平分线，直线 ED 分别交 BC，AB 于点 D，E，已知 BD＝3，△ABC 的周
长为 20，则△AEC 的周长为( A )
A．14
B．20
C．16
D．12
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质 课件(共22张PPT)人教版数学八年级上册
例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点， BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接BE.求证： BE垂直平分CD.
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°.∵BD＝BC，BE＝BE， ∴Rt△BED≌Rt△BEC，点B在CD的垂直平分线上， ∴DE＝CE，∴点E在CD的垂直平分线上， ∴BE垂直平分CD.
13.1 轴对称
13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用 线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问 题的能力.
2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操 作能力和逻辑推理能力.
4.如果将已知、求证换一下位置，还能成立吗？试着探究一下.
如图，已知 PA＝PB，
求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上．
证明：如图，过点 P 作 AB 的垂线 l 交 AB 于点 C，
在
R
t△PAC
和
Rt△PB
C
中，
PA＝PB， CP＝CP，
∴R t △PAC≌R t △PB C(H L )．
∴AC＝BC.∴直线 l 垂直平分 AB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上．
小组讨论
1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平 分线ON交于点O，分别交BC于点D，E，△ADE的周长为5 cm. (1)求BC的长；(2)求证：点O在线段BC的垂直平分线上．
(1)解：∵OM，ON分别是线段AB，AC的垂直平分线， ∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周长＝AD＋AE＋DE＝5 cm， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝5 cm.
最新人教版八年级数学上册《13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第2课时)》优质教学课件
课后作业
1.基础型作业：梳理本节课知识点。 2.发展型作业：完成本课时练习。
总结点评 反思
同学们，这节课你们表现得都非常棒。 在以后的学习中，请相信你们是存在着巨 大的潜力的，发挥想象力让我们的生活更 精彩吧。
于
1 2
AB的长为半径作弧，两弧交于
C，D两点.
A
（2）作直线CD. CD即为所求.
C B
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的
D
尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
探究新知
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一
个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽
车站应建在什么地方？
人教版 数学 八年级 上册
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第2课时
导入新知
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一 个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共 汽车站应建在什么地方？
B A
公路
素养目标
3. 能够运用尺规作图的方法解决简单的作 图问题．
2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语 言，理解作图的依据．
课堂小结
尺规 作图
属于基本作图之一，必须熟熟练掌握.
线段的垂直 平分线的 有关作图
作对称轴的 常见方法
(1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的 中点，然后作垂线.
你还有什么疑惑？
请与同伴交流！
小 结 与 思 考
这节课的学习你有 什么收获？
课后总结
通过这节课的学习，你明白了什 么? 还有什么疑问吗?
M A
O N
B
13.1. 2.线段的垂直平分线的性质说课稿-2022-2023学年人教版八年级上册数学
13.1.2.线段的垂直平分线的性质导入在初中数学的学习中，线段的垂直平分线是一个重要的概念。
它不仅能帮助我们理解几何图形的性质，还可以用来解决一些实际问题。
接下来，我们将对线段的垂直平分线的性质进行深入讲解。
线段的垂直平分线的定义首先，我们来回顾一下线段的垂直平分线的定义。
在线段上取一点，将该点与线段的两个端点连线，如果这条连线与线段垂直且平分线段，那么我们就称这条连线为线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线具有以下性质：1.垂直性：线段的垂直平分线与线段垂直相交。
这意味着，垂直平分线所形成的两个角是直角。
2.平分性：线段的垂直平分线将线段分成两个相等的线段。
3.唯一性：线段的垂直平分线只有一条。
这意味着，对于任意一条线段，只有唯一一条垂直平分线。
线段的垂直平分线的证明下面，我们将通过一个简单的几何证明来说明线段的垂直平分线的性质。
证明：设有线段AB，取C点在AB上。
连接AC和BC，且使∠ACB为直角。
根据三角形的性质，我们知道∠ACB为直角。
所以AC与CB垂直相交。
再证明平分性：我们需要证明AC与CB相等。
根据三角形的性质，我们知道∆ACB为直角三角形，所以AC与CB相等。
综上所述，线段的垂直平分线具有垂直性和平分性，且是唯一的。
线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线的性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面，我们将介绍两个常见的应用情景。
1.垂直平分线的应用于建筑设计中。
在建筑设计中，经常需要垂直平分线来确保建筑物的对称性。
通过合理地使用垂直平分线，可以在建筑物的布局和设计中达到更好的美学效果。
2.垂直平分线的应用于地图绘制中。
在地图绘制中，垂直平分线可以用来确定地图上的等距离标记。
通过在地图上使用垂直平分线，可以更准确地表示不同位置之间的距离关系。
总结线段的垂直平分线是一个重要的概念，它具有垂直性、平分性和唯一性的性质。
在建筑设计和地图绘制等实际问题中，垂直平分线有着广泛的应用。
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∵PA=PB,DA=DB
∴PD⊥AB,AC=CB
A
C
D
B
辨析：
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端 点距离都相等。 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与 线段两个端点距离相等的所有点的 集合。
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
A
D E B
C
5、如图，在△ABC中，∠C=90°， BC=16cm，DE垂直平分AB，连接AE,若 CE﹕AE=2﹕6，求CE的长。
C E
B
D
A
6、如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线DM、 EN分别交BC于D、E两点，已知△ADE的周长为 12cm，求BC的长。
A
M
N
B
D
E
C
①
② ④ ③
① ②
③ ④
① ②
①
②
③
√
作业：P37-38 5、9、10、11、12 注9、10、11不抄题
N A
ON为PA的中垂线（
DA=DP（ ）
O
D P
同理可有：CB=CP
C
M
PCD周长＝PC+PD+CD PCD周长＝BC+AD+CD＝AB 又AB＝ 15cm PCD周长为15cm
B
例2 如图，点A和点B关于某条直线 成轴对称，你能作出这条直线吗？
A
B
分析:我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直 平分线，就可以得到点A和B的对称轴。而由两点 确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作 出到点A，B距离相等的两点即可。
A
E B
M
C F D
小结：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对 称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等。 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
4、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的 垂直平分线， △BCE的周长为26cm，求BC 的长。
A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
M
M’
∴PA=PB(？) (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）. 同理 PB=PC.
P
∴PA=PC. B C ∴点P在AC的垂直平分线上; N (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
1 2、分别以点A、B为圆心，大于2 AB
作法 1、连接AB
C
的长为半径作弧（为什么），两弧相 交于C、D两点 3、 作直线CD。
D
CD就是所求的直线
思考：怎样得到图形的对称轴？
聚焦中考
• △ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的 垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB 于E，作DF⊥AC于F，求证：BE=CF
A
M N
B
C
已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB Δ BDC的周长20厘米. 求:AB的长.
A M D B
8
的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米,
C
N
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称， P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求：PCD的周长. 解: P与A关于ON对称
M
P
C N
B
反过来，如果PA=PB，那麽点P是否在线段 AB的垂直平分线上呢？ 通过探究可以得到： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 l 线段的垂直平分线上。 ∵PA=PB P ∴点P在线段AB的垂直平分线上
A B
C
已知：PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明：作PC⊥AB,垂足为C
13.1.2线段的垂直平分线的性质
M
P1 P P2 P3
C
A
A
N
• 如左图，木条L与木条 已知:如图 AB钉在一起，L垂直于 ,AC=BC,MN⊥AB,P是 AB，P1、P2、P3…… MN 上任意一点 . 是 l 的点，分别量一量点 B 求证 :PA=PB. P1 、 P2、P3……到Ａ与 B B的距离，你有什么发现？
猜想：线 段垂直平 分线上的 点到这条 线段两个 端点距离 相等.
性质 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点距离相等.
性质应用格式： ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上 任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线 A 上的点与这条线段两个端 点距离相等). 提示:这个结论是经常用来证明 两条线段相等的根据之一.
N’
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 随堂练习
1、如图,已知AB是线段CD的垂直 平分线,E是AB上的一点,如果 EC=7cm,那么ED= 7 cm;如果 ∠ECD=600,那么∠EDC= 60 0.
C A B
E
D
2、如图所示， 在△ABC中， AB=AC＝32， MN是AB的垂 直平分线，且 有BC=21，求 △BCN的周长。
∴∠ACP=∠BCP= 90 在Rt△ACP和Rt△BCP中
l
PAPB PC PC
A
C
P
B
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL) ∴AC=BC ∴点P在线段AB的垂直平分线上
在线段AB垂直平分线l上的点与A、B距离都 相等；反过来，与两点A 、B的距离相等的 点都在l上,所以直线l可以看成与两点A、B的 l 距离相等的所有点的集合 P
l
猜想： 线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点距离相等.
M
P
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB, P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
B
A
C
N
证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中 PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．