小学思维数学讲义：溶液浓度问题(二)-带详解

溶液浓度问题（二）1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。

一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶液的混合液体。

浓度：溶质质量与溶液质量的比值。

二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、=100%=100%+⨯⨯溶质溶质浓度溶液溶质溶液三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下：::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-zy %浓度x 混合浓度z%3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题三种溶液混合多次例题精讲 知识精讲 教学目标【例 1】 有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为40%的盐水400毫升；乙容器中有清水400毫升；丙容器中有浓度为20%的盐水400毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答小结：在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的， 常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然．【答案】甲容器中盐水的浓度是27.5%，乙容器中浓度是15%，丙容器中浓度是17.5%【例 2】 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23，已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)方程法．设丙缸酒精溶液的重量为x 千克，则乙缸为()50x -千克．根据纯酒精的量可列方程：()25048%5062.5%10056%3x x ⨯+-⨯+⨯=⨯， 解得18x =，所以丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)． (法2)浓度三角法．由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为56%248%64%⨯-=．那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：()264%:64%62.5%32:183⎛⎫--= ⎪⎝⎭，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有1850183218⨯=+千克，丙缸中纯酒精的量是218123⨯=(千克)． 【答案】12【例 3】 有A 、B 、C 三种盐水，按A 与B 数量之比为2:1混合，得到浓度为13%的盐水；按A 与B 数量之比为1:2混合，得到浓度为14%的盐水．如果A 、B 、C 数量之比为1:1:3，混合成的盐水浓度为10.2%，问盐水C 的浓度是多少？【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 与B 按数量之比为2:4混合时，浓度仍为14%，而这样的混合溶液也相当于A 与B 按数量之比为2:1混合后再混入三份B 盐水，则B 盐水浓度为()()14%613%34115%⨯-⨯÷-=．A 盐水的浓度为14%315%212%⨯-⨯=．再根据A 、B 、C 三种溶液混合的情况，那么C 盐水的浓度为：()10.2%11312%115%138%⨯++-⨯-⨯÷=⎡⎤⎣⎦.【答案】8%【例4】已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3:5；第二种只含成分B和C，重量比为1:2；第三种只含成分A和C，重量之比为2:3.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A、B和C，这三种成分的重量比为3:5:2？【考点】溶液浓度问题【难度】4星【题型】解答【解析】注意到第一种混合物中A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3:5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3:5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质D.最终配成():35:24:1D C=+=的物质；第二种混合物不含A,B的含量为13，第三种混合物不含B,A的含量为25，所以237.55÷=倍第三种混合物含A为3，15153÷=倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为2:1；于是此时含有C，232129352145⨯+⨯=+，即():29:452929:16C D=-=,而最终混合物中:1:429:116C D==，所以第一种混合物的质量与后两种混合质量和之比为()11616:4520:9-=，所以三种混合物的重量比为20:6:3.【答案】20:6:3【例5】A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，充分混合后从A中取出10克倒入B中，再充分混合后从B中取出10克倒入C中，最后得到的盐水的浓度是0.5%．问开始倒入试管A中的盐水浓度是百分之几？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】整个过程中盐水浓度在下降．倒入A中后，浓度变为原来的10110102=+；倒入B中后，浓度变为A中的10110203=+；倒入C中后，浓度变为B中的10110304=+．所以对于一开始倒入A中的盐水浓度可以用倒推的方法，1110.5%12%432÷÷÷=，即一开始倒入A中的盐水浓度为12%．【答案】12%【例6】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为10%，盐浓度为30%，乙溶液中的酒精浓度为50%，盐浓度为10%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】一千克甲种溶液中含有酒精0.1千克，盐0.3千克，盐比酒精多0.2千克；而一千克乙种溶液中含有酒精0.5千克，盐0.1千克，盐比酒精少0.4千克．所以只需要0.5千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等．【答案】0.5【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？【考点】溶液浓度问题【难度】3星【题型】解答【解析】可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中．(事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设)．这时的处理后甲溶液盐浓度为10%(15%10%)0.4÷+=，处理后乙溶液的盐浓度为5%(45%5%)0.1÷+=，需要配置的溶液的盐浓度为1(13)0.25÷+=，由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为：(0.250.1):(0.40.25)1:1--=。

一千克原甲溶液中有10%15%25%+=的处理后甲溶液，即0.25千克，所以另需要0.25千克的处理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有5%45%50%+=的处理后乙溶液，即0.5千克，所以只需要0.5千克的乙溶液就能构成0.25千克的处理后乙溶液．所以需要0.5千克的乙溶液．【答案】0.5模块二、列方程解浓度问题【例 7】 使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克。

根据农科院专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。

现有两种农药共5千克，要配药水140千克，其中甲种农药需药______千克。

【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设甲种农药x 千克，则乙种农药（5-x ）千克。

列方程：(120)(5)(140)140x x ++-+=2120541140x x +-=2065x =3.25x = 【答案】3.25【例 8】 甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的3倍．将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水混合后得到浓度为15%的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设乙瓶盐水的浓度是%x ，甲瓶盐水的浓度是3%x ，有1003%300%(100300)15%x x ⨯+⨯=+⨯，解得10x =，即甲瓶盐水的浓度是30%．【答案】30%【例 9】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克．各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量．甲容器中纯硫酸的质量为6008%48⨯=(千克)；乙容器中纯硫酸的质量为40040%160⨯=(千克)；两容器中纯硫酸的质量和为48160208+=千克，硫酸溶液的质量和为6004001000+=千克．两容器中溶液互换后浓度为2081000100%20.8%÷⨯=，所以应交换的硫酸溶液的量为：()()60020.8%8%40%8%240⨯-÷-=(千克)．另解：假设各取x 千克放入对方容器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即(600):600:400x x -=，解得240x =，即各取240千克．【答案】240【例 10】 甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器有浓度为10%的盐水600克．分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为()()40020%60010%40060014%⨯+⨯÷+=，而甲容器中原来浓度为20%，所以相互倒了()()40020%14%20%10%240⨯-÷-=(克)．另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的．这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的．假设相互倒了x 克，那么甲容器中是由()400x -克20%的盐水和x 克10%的盐水混合，乙容器中是由x 克20%的盐水和()600x -10%的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以()()400::600x x x x -=-，解得240x =．【答案】240【例 11】 十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为A 和B ，浓度分别为%x 和%y （x y >），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为%z ，求证：()()::x z z y B A --=．【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 略【答案】甲溶液中溶质的质量为A %x ，乙溶液中的溶质质量为B %y ，则混和溶液中的溶质质量为%%Ax By +，所以混合溶液的浓度为%%Ax By A B ++，所以A x B y z A B+=+，即A z B z A x B +=+，()()A x z B z y -=-，可见()()::x z z y B A --=．也可以这样来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓度高，两瓶溶液混合后，浓度变为相同，相当于甲溶液拿出了(%%)A x z ⨯-的溶质给乙溶液，乙溶液则得到了(%%)B z y ⨯-的溶质，所以(%%)(%%)A x z B z y ⨯-=⨯-，得到()()::x z z y B A --=【例 12】 在浓度为%x 的盐水中加入一定量的水,则变为浓度10%的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为30%.求x .【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 不妨设原来的盐水为100克，加入的水(或)盐重a 克,可列方程：10%100x a=+，可得100.1x a =+；30%100x a a a+=++，可得300.6x a a +=+；解得40a =，14x =． 【答案】14x =【巩固】 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为 %。