2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标17 定积分与微积分基本定理理

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2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示学案文

H基础知识过尖2. 1函数及其表示［知识梳理］2•函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域在函数y =f(x), x € A中，其中所有x组成的集合A称为函数y=f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y = f (x)的值域.(2) 函数的三要素：定义域、对应关系和值域______(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表________ 3 •分段函数(1) 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数.(2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，丄值域等于各段函数的值域的并 _集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.4.必记结论函数与映射的相关结论 (1) 相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等. (2) 映射的个数若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从集合 A 到集合B 的映射共有n m 个. (3) 与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1个交点.［诊断自测］ 1.概念思辨(1) 函数y = f (x )的图象与直线x = a 最多有2个交点.( ) (2) 函数 f (x ) = x - 2x 与 g (t ) = t - 2t 是同一函数.()(3) 若 A = R , B = {x |x >0}, f : X T y =|x |，其对应是从 A 到 B 的映射.( )(4) f cj x — 1) = x ，则 f (x ) = (x + 1)2(x >- 1).( )答案 (1) X (2) V (3) X ⑷ V2. 教材衍化的图象都符合；C 项中对于大于零的x 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义.故选C.(2)(必修A1P 18例2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是 ( )A.f (x ) = |x | ,g ( x ) = x 2(1)(必修A1B 3T 2)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是(答案 C解析由函数定义知，定义域内的每一个B. f (x) = x2, g( x) = ( 一x)2x — 1C. f (x ) = ；x —y , g (x ) = x + 1D.f (x )=希• x —,g (x ) = x 2—1答案解析 AA 项，函数g (x ) = x 2= | x |，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数；B 项，函数f (x ) = ■ x 2= | x | , g (x ) = x (x >0)，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是 x 2— 1相等函数；C 项，函数f (x )= 的定义域为{x |x 工1}, g (x ) = x + 1的定义域为 R 两个 x — 1x + 1》0,函数的定义域不相同，不是相等函数；D 项，由弋解得x > 1,即函数f (x )的定x —1> 0,2义域为{x | x > 1}.由x — 1 >0,解得x >1或x <— 1,即卩g (x )的定义域为{x | x >1或x < — 1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数.故选A.3. 小题热身A. — 10 C.— 2 答案 C解析因为f (1) =— 2，所以f ( — 2) = — 2.故选C.题型1函数的概念典例1 集合A = {x |0 w x w 4}, B= {y |0 w y w 2}，下列不表示从 A 到B的函数的是1B. f : x T y = 3X3(1)(2018 •广东深圳模拟 )函数y —x 2 — x + 2 In x的定义域为( A. ( — 2,1) B. [ — 2,1]C. (0,1) 答案 CD. (0,1]解得0<x <1.故选C.(2)若函数f (x )= 2x + 2, x w 0, 2x — 4, x >0,B. 10 D. 2A. f :用定义法答案 CC. f :D. f : x T y = x2x T解析依据函数概念，集合A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应. 选8项C 不符合，因为当x = 4时，y = 3?B 故选C.典例2(2018 •秦都区校级月考)判断下列各组中的两个函数是同一函数的是( )y 2= x — 5; ② f (x ) = x , g (x ) = x 2； ③ f (x ) = x , g (x )=饭; ④ f i (x ) = (2x — 5)2, f 2(x ) = 2x — 5.A.①②C.③捺］I 用定义法.答案 C解析对于①，y i = x +；+；-5 = x —5( X M — 3), 与y 2= x — 5( x € R)的定义域不同，不是同一函数. 对于②， f (x ) = x ,与g (x ) = x 2= | x |的对应关系不同，不是同一函数.对于③，同一函数. f (x ) = x (x € R)，与g (x )= 扳=x (x € R)的定义域相同，对应关系也相同，是对于④，f 1(x ) = ( 2x — 5)2= 2x — 5 x > 2 ,与f 2(x ) = 2x — 5(x € R)的定义域不同，不是同一函数. 综上，以上是同一函数的是③.故选C.方法技巧与函数概念有关问题的解题策略1.判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.见典例1.2•两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数•见典例2.冲关针对训练1.下列图象可以表示以 M= {x |0 w x < 1}为定义域，以N= {x |0 w x < 1}为值域的函数的是()①y i = B.②③ D.③④BCD答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项 C 正确.故选C.2. ____________________________________ 下列函数中- -定是同一函数的是 . ① y =x 与 y = a log a ; ②y = 2x +1-2x 与 y = 2x ;④y = f (x )与 y = f (x + 1). 答案②③解析 ①y = x 与y = a 10叮定义域不同. ② y = 2x +1-2x = 2x (2 - 1) = 2x 相同.③ f (u )与f (v )的定义域及对应法则均相同.④ 对应法则不相同.典例1题型2函数的定义域「參维探更(2015 •湖北高考)函数 f (x ) =4- |x | + lgx I 2- 5x + 6 x — 3的定义域为(A. (2,3) C. (2,3) U (3,4]法点.捷]|列不等式组求解.答案 C B. (2,4]D. ( - 1,3) U (3,6]1③ f ( u )=A. ( — 1,1) C. ( —1,0)D 1 1l ［ ! ■-"- ■■■］已知 f (x ) , x € ［a , b ］，求 f ［g (x )］的定义域，则 a <g (x )<b . 答案 B 解析由函数f (x )的定义域为(—1,0)，则使函数f (2x + 1)有意义，需满足—1<2x + 1<0,解得—1<x < — £即所求函数的定义域为—1,— 2 .故选B.［结论探究］典例2中条件不变，求函数g (x ) = f (2x + 1) + f (3x + 1)的定义域.21解函数f (3x + 1)有意义，需—1<3x + 1<0，解得—3<x < — 3，又由f (2x + 1)有意义，解得一1<x <— 2，所以可知g (x )的定义域为j — |,— 2 .［条件探究］若典例2中条件变为：“函数 f (x — 1)的定义域为(—1,0) ”，则结果如何？解因为f (x — 1)的定义域为(一1,0),即一1<x <0,所以一2<x — 1<— 1，故f (x )的定义域为(—2,— 1)，则使函数f (2x + 1)有意义，需满足—2<2x + 1<— 1,3(3 y解得—2<x <— 1.所以所求函数的定义域为—2，— 1 .方法技巧1 .求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1) 已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式 (组)求解.见典例1.(2) 抽象函数(见典例2)① 若已知函数f (x )的定义域为［a , b ］，则复合函数f ［ g (x )］的定义域由a w g (x ) < b 求出. ② 若已知函数f ［g (x )］的定义域为［a , b ］,则f (x )的定义域为g (x )在x € ［a , b ］时的值域.(3) 实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求. 2•求函数定义域的注意点(1) 不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.(2) 当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3) 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.解析依题意，知4- |x | >0,x 2- 5x + 6>0,B - 1，- 2冲关针对训练1. (2017 •临川模拟)已知函数y = f(x + 1)的定义域是［—2,3］，则y = f(2x —1)的定义域是()A. ［—3,7］B. ［—1,4］-51C. ［ -5,5］D. |0, 2 1答案 D解析由y = f (x + 1)定义域［—2,3］得y = f (x )定义域为［—1,4］，所以一1w2x — 1w 4,5解得O W x < 2.故选D.)已知函数 y = f (x )的定义域是(一g, 1)，贝U y = f (x — 1) +答案 A解析•••函数y = f (x )的定义域是(—g,1),___「x —1<1, 訂2 — x••• y = f (x — 1) +2中，自变量x 应满足2— x > 0,2x — 3x — 2|、2x 2— 3x — 2工 0,rx<2,即 x <2且 x M — 2,•- f (x )的定义域是i — g,题型3求函数的解析式配凑法x + 1) — 2,故 f (x ) = x 2— 2，且 x W — 2 或 x >2.< x 7典例2 已知f 2 + 1 = lg x ，求f (x )的解析式. 幺 J换元法.2 2 2 2解令 t =x + 1>1，得 x =匚^，所以 f (t ) = lg :J ，即 f (x ) = lg (x >1). 典例 3 已知 f (x )是二次函数，且 f (0) = 0, f (x +1) = f (x ) + x + 1，求 f (x ).圧点担H 待定系数法.2 2解设 f (x ) = ax + bx + c ,由 f (0) = 0,得 c = 0，对 f (x + 1) = a (x + 1) + b (x + 1), f (x )2. (2018 •石河子月考 2—x2x 2 — 3x —2的定义域是( 解得典例1 已知f求f (x )的解析式.£ 1 2丄 f x+x =x + x 2)—m ,— 1 U A.B. ( —g, 1)+ x + 1 = ax 2 + bx + x +1，即 ax 2 + (2a + b )x + a + b = ax 2 + (b + 1)x + 1,得 a = b = 2.所以 f (x ) =2x 2+ 2x ( x € R).典例4已知函数f (x )的定义域为(0 ,IE 任圧点握]|方程组法.f 汙2f (x )x 1-1，消掉戌可得 f (x ) = 3.x +3. 方法技巧函数解析式的常见求法1.配凑法.已知f [h (x )] = g ( x )，求f (x )的问题，往往把右边的 g ( x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用 x 将h (x )代换.见典例1.2 •待定系数法•已知函数的类型 (如一次函数、二次函数)可用待定系数法•见典例 3.3.换元法.已知 f [ h (x )] = g (x )，求f (x )时，往往可设 h (x ) = t ，从中解出x ,代入g (x )进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.见典例2.4.方程组法.已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f £ , ( - x )等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ) •见典例4.冲关针对训练1. (2018 •衢州期末)已知f (x )是(0 , +8)上的增函数，若f [f (x ) - In x ] = 1,则f (e) =( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. e答案 A解析根据题意，f (x )是(0 ,+8)上的增函数，且 f [ f (x ) -1n x ] = 1，则f (x ) - ln x 为定值，设 f (x ) — ln x = t , t 为常数，则 f (x ) = ln x +1 且 f (t ) = 1, 即有ln t + t = 1，解得t = 1, 则 f (x ) = ln x + 1, 则 f (e) = ln e + 1= 2.故选 A._ 22 .已知二次函数 f (2x + 1) = 4x - 6x + 5，求 f (x ).解解法(换元法)令2x + 1= t (t € R),则x =号1 所以f (t ) = 4+ 8)，且 f (x ) = 2f -1，求 f (x ).由 f (x ) = 2f2-6.亍22所以f(x) = X - 5X+ 9( x € RR .解法二：(配凑法)因为f (2x + 1) = 4x2-6x + 5 = (2x+ 1)2—10x + 4 = (2x+ 1)2—5(2 x +1) + 9,2所以f (x) = x - 5x+ 9( x € R .解法三：(待定系数法)因为f (x)是二次函数，所以设f (x) = ax2+ bx+ c(a^0)，则f(2x2 2+1) = a(2 x+ 1) + b(2x + 1) + c= 4 ax + (4 a+ 2 b) x+ a+ b+ c."4a= 4, "a= 1, 因为f(2x+ 1) = 4x2- 6x + 5,所以4a+ 2b =- 6, 解得b=- 5, 所以f (x)a+ b+ c= 5, c= 9,2=x - 5x + 9(x€ R).3.已知f(x)满足2f (x) + f - = 3x- 1，求f(x).込丿解(消元法)已知2f(x) + f x = 3x- 1,①1以-代替①式中的x( x工0),x得2f 1+ f(x) = 3- 1，②& X3 ① x 2—②得3f(x) = 6x- - - 1, x, 1 1 故f (x) = 2x-x-3(X M0).多角探究］题型4求函数的值域角度1分式型5x一1 典例求f(x) = 4x^2,x € [ - 3,- 1]的值域.【■ ■ ■ ■■ J分离常数法.5x-1 5 7解由y=菲可得y=4-42x r r.••• —3w x<- 1,7 7 7/. 一W —W _,20 4 2x+ 1 4'8 ••• 5< y w 3,即卩y€角度2根式型典例求函数的值域.(1) y = 2x+ 1 - 2x；(2) y = x + 4+ 9 - x2.「方:丈穴桜* (1)用换元法，配方法；(2)用三角换元法.(i )令t =匸丢，贝y x =1 3 5•••当t =，即x =时，y 取最大值，y max =，且y 无最小值，2 84⑵令 x = 3C0S 0 ,[0 , n ]，则 •/ 0<0 <n,字sin• 1< y <32+4,•函数的值域为[1,3,2+ 4].角度3对勾型函数典例求y = log 3X + log x 3 — 1的值域.用分类讨论法.2二 y =— t + t + 1 =— 1 2 5t -2 + 4（t 》°）-y = 3cos 0 + 4 + 3sin y = log 3X + log x 3— 1,变形得1y =log3x +硏—1.•函数的值域为5 40 = 3 2sin i 0根据指数函数的性质可知，3x>0,所以，3x+ 1>1,所以f(x) = log 2(3x+ 1)>log 2I = 0.故选A.角度5有界性型1 - 2x典例求函数y=订艺的值域. 匸为法点捺H本题用转化法.X .—2 1 —y解由y=订歹可得2X=77?.x x由指数函数y=2的有界性可知2>0,1 —y•••>0,解得—1<y<1.1 + y所以函数的值域为(一1,1).角度6数形结合型sin | 1 —丁典例求函数y= —, x€ \2, n 的值域.法点摄］|本题用数形结合法.B(1 , —1)是定点，A( x, sin x)在曲线y = sin x,方法技巧求函数值域的常用方法1. 分离常数法(见角度1典例)I•- k Bp W y < k BQ,即解函数y =豊A(x, sin x),耳1 , —1)两点决定的斜率,(1)代数换元；6 22. 配方法(见角度2典例(1))3. 换元法(见角度2典例(2))6 2(2)三角换元.4•有界性法(见角度5典例) 5•数形结合法(见角度6典例) 6.基本不等式法(见角度3典例)7•利用函数的单调性(见角度4典例) 冲关针对训练求下列函数的值域： ⑵ y = . x + 3 2+ 16 + ■ x - 5 2+ ° 解⑴ T x 2 - 2x + 2= (x — 1)2+ 1> 1,(2)(数形结合法)如图，函数 y = . x + 3 2+ 16+ . x — 5 2+ 4的几何意义为平面内一点 F (x, 0)到点A — 3,4)和点B (5,2)的距离之和.由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B (5 , — 2)，连接AB 交x 轴于一点P,此时距离之和最小，••• y min = |AB | = , 82 + 62=10,又y 无最大值，所以y € [10 ,+^).角度1求分段函数的函数值典例 (2015 •全国卷n )设函数f (x )= 1 + log 2 2 — x , x <1,x — 12 , x >1,A. 3 C. 9D. 12F 上圧点迭J 确定自变量所在区间，代入相应解析式.答案 C 解析 T — 2<1, log 212>1,A f ( — 2) = 1 + log 2[2 — ( — 2)] = 3; f (log 212) = 2log 212—1 =二函数 f (x ) = J -*2的值域是0, 1题型5 分段函数舉角探究则 f ( — 2) + f (log 212)=( )B. 6 log=6.(1) f (x )=解析由题意作出y =|f (x )|的图象：由图象易知，当a >0时，y = ax 与y = ln (x +1)的图象在x >0时必有交点，所以当a w 0, x >0时，|f (x )| > ax 显然成立；当x <0时，要使| f (x )| = x 2— 2x > ax 恒成立，贝U a >x — 2 恒成立，又 x — 2<— 2,••• a >— 2. 综上，—2w a w 0.故选D.方法技巧分段函数问题的常见类型及解题策略1•求函数值•弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算•见角度2典例.2•求参数.“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式.见角度2典例.3. 解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提•见角度3典例.4. 数形结合法也是解决分段函数问题的重要方法，在解决选择填空问题中经常使用，■2x- 2, x < 1, 典例 (2018 •襄阳联考)已知函数f (x )=且f (a ) =- 3,则—log 2(x + 1 y x>1,f [f (14 — a )] = ___________ .本题用方程思想求 a ,再根据区间分类讨论，由内到外，逐层求解. 答案15~8解析当 a wl 时，f (a ) = 2a — 2=— 3 无解；当 a >1 时，由 f (a ) =— log 2(a +1) =— 3, 得 a + 1 = 8,解得 a = 7,所以 f [f (14 — a )] = f [f (7)] = f (— 3) = 2—3— 2=15"8角度3分段函数与不等式的交汇■ 2—x + 2x , x w 0,典例已知函数 f (x )= |n (x + 1 , x >0.( )若|f (x )| >ax ,贝U a 的取值范围是A. ( —s, 0]B. ( —s, 1]C. [— 2,1]D. [ — 2,0]本题用数形结合思想方法、分离常数法. 答案 D而且解题速度更快更准•见角度3典例.冲关针对训练.2X + 2x, x<0,1.已知函数f(x) = 2 若f( —a) + f(a) <0,则实数a的取值范围是x —2x, x>0.( )A. [ —1,1]B. [ —2,0]C. [0,2]D. [ —2,2]答案Da> 0,解析依题意可知]2 2 或a —2a+ (—a)+ 2(—a 尸0a<0,芒 2 2 解得a€ [ —2,2].(一a)—2(—a 沖a + 2a w 0,故选D.2. 已知函数f(x)= 2一则f(2018)=2，x三0，f x —2 + 1, x>0 ,答案1008解析根据题意：f(2018) = f (2016) + 1 = f(2014) + 2 = •••= f (2) + 1008= f (0) + 1009 =1008.W真题模拟闻就1.(2014 •山东高考)函数f (x) = -------------- 2——的定义域为()■詁[log 2X — 1B. (2 ,+^) A. 0,C. 0,答案解析1U (2 ,+s)C_ 2 2要使函数f (x)有意义,需使(log 2X)—1>0 ,即(log次)>1 , • log次>1D. 0, 3 U [2 ,+s)或log 2X<—1.解之得x>2或0<x<1.故f (x)的定义域为i0 ,1U (2 , +s).故选C.2. (2018 •河北名校联盟联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 f (x)= log 3 x + 1 , x > 0 , gx , x<0,A. —1 则g[f( —8)]=( )B.—2C. 1D. 2答案Alog 3(x +1 X,x > 0 ,解析•••函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) = 1 'l g(x), x<0 ,••• f( —8)=-f (8) =- log 39=- 2,「. g [f ( - 8)] = g ( - 2) = f ( - 2) =- f (2) =-log 33=- 1.故选 A.3. (2018 •工农区模拟 A.(―汽.2] C [ - . 2, 2] 答案 Cx + 1》0, 解析要使函数有意义，需满足*1-x > 0, 1,1],根据函数的解析式，x 增大时，x + 1增大,即该函数为增函数.所以最小值为f ( — 1) =- 2，最大值为f (1) =2,所以值域为[-•. 2,2] •故选C.x + 1, x < 0,4. (2017 •全国卷川)设函数f (x ) = x|2 , x >0,取值范围是 _________答案-4’+^1 1 一解析由题意知，可对不等式分 x W 0,0 V x < 2, x >"2二段讨论.1 当x W0时，原不等式为 x + 1 + x +2 > 1,11解得 X >- ；,•••- ；Vx <0.4 41 x 1当0 V x < 2时，原不等式为2 + x + 2 > 1,显然成立.1 “ x 1 当x >2时，原不等式为2 + 2x -2> 1,显然成立.1 综上可知，x > — 4.H 课后作业夸笑[基础送分提速狂刷练]一、选择题1 .已知 A = {x | x = n 2, n € h}，给出下列关系式：① f (x ) = x :②f (x ) = x 2；③f (x ) = x 3； ④f (x ) = x 4:⑤f (x ) = x 2+ 1,其中能够表示函数 f : A T A 的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5答案 C解析对⑤，当x = 1时，x 2 + 1?A,故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确•故选 C.)函数y =•.x + 1-1 -x 的值域为(B. [0,2]D [ - 2, 0]解得一1W X W 1,所以函数的定义域为[—1- x 减小，—1-x 增大，所以y 增大，则满足 f (x ) + f x -2 >12. （2018 •吉安四校联考）已知函数f （x ）=答案匚 21 — x (x <1 ,| 2x + x — 2 x >1-1 "I 则f I 防J 的值为（）-6C .2716D. 18解析f (2) = 4, f 13. A.C. 5已知f (x ) = lg lg 2 1 32 lg f 2= f 4 = 1 -x ，则f (2)等于(B. lg 32 1 狩2答案155令 x = t ，贝U x = t ( t >0), 5 1 1•-f (t ) = lg t = 5lg t.••• f (2) = 5lg 2.解析故选D.4.A.C. (2017 •山西名校联考)设函数f (x ) = lg (—9, +m) [—9, +m) (1 — x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )B. ( — 9,1) D. [ — 9,1)答案 B解析 f [f (x )] = f [lg (1 — x )] = lg[1 — lg 1 — x >0,(1 — x )],则=? — 9<x <1.1 — lg (1 — x >0故选B.若函数y = f （x ）的定义域是[0,1] ）|-a —2， 2 5. 域是（ A. C. [—a, 1 — a ] ,则函数 F (x ) = f (x + a ) + f (2x + a )(0< a <1)的定义B. |- 2， 1 — aD.— a ,)15屁.故选A.1答案 A0< x + a < 1,* ■- 0W2 x + a wl解析1 — a2 .故选A.6.函数y = J + 1的值域答案 C解析由于x 2>0,所以x 2+ 1> 1所以0<「^w 1,结合函数y = 1 x 在(0,1]上的图X 十 1 \2 /1x^2 1象可知函数y =饭!％的值域为占，1 .故选C.了log s x , x >0,7. (2018 •黄冈联考)已知 f (x ) = x且 f (0) = 2, f ( — 1) = 3,则 f [f (—'a 十 b, x w 0,3)]=()A. — 2B. 2C. 3D.— 3答案 B解析由题意得f (0) = a 十b = 1十b = 2,解得b = 1 ；—1 一 1f ( — 1) = a 十 b = a 十 1 = 3,解得a =1.故 f ( — 3) = £ 厂十 1 = 9,从而 f [f ( — 3)] = f (9) = log 39= 2.故选 B.& (2018 •银川模拟)已知具有性质：f f j=— f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：x , 0<x <1,1 1 0, x =1,① y = x — x •，② y = x + x ；③ y =x x 1 —一，x >1.X ，其中满足“倒负”变换的函数是 ( )A.①②B.①③C.②③D.①答案 B解析对于①，f (x ) = x —x , ff =1— x = — f (x )满足；对于②， fx =x + x =f(x), 不满足；对于③，B. D.1A.故 f - =- f (x )，满足.X综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③ •故选B.9. (2018 •铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点 Rx ，y )皆满足y 2> x 2,贝U f (x )的解析式可以是()1xA. f (x ) = x — xB. f (x ) = e — 1 4C. f (x ) = x +D. f (x ) = tan xx答案 C2 2 1 解析 A项，当 x = 1 时，f (x ) = 1 — 1= 0,0 >1 不成立；B 项，当 x =— 1 时，f (x )=一 e—1 € ( — 1,0) , 1— 1 2> ( — 1)2 不成立；D 项，当 x =严时，f (x ) = 1, 12> 5n2 不成立；百丿4I 4丿2 216 2 (对于C, f (x ) = x + —2 + 8>x ，符合题意.故选 C.x3x — 1, x <1,10. (2017 •山东模拟)设函数f (x ) = x 2 , x > 1. 值范围是（）B. [0,1]答案 C 2f (a)3a — 1解析 ①当 a <3时，f (a ) = 3a — 1<1, f [f (a )] = 3(3a — 1) — 1 = 9a — 4,2= 2 ，显然f [f (a )]工2f(a).② 当字 a <1 时，f(a) = 3a -1>1 f [f(a)] = 23a —1,2f(a) = 23a —1 故 f [f (a )] = 2f(a).a③ 当 a >l 时,f (a ) = 2a >1, f [f (a )] = 22 ,a2f(a) = 22，故 f [f (a )] = 2f(a). 综合①②③知a > |.故选C. 、填空题*x 2- 35, x >3,11.已知x € N , f (x )= < 其值域设为 D 给出下列数值：一26,-r 1x ，则满足f [f (a )] = 2f(a)的a 的取D. [1 ,+m)1 1 0, x =1,.-x , 0<x <1-pmf(x+ 2 , x<3,1,9,14,27,65 ，则其中属于集合D的元素是 ________ .(写出所有可能的数值)答案—26,14,65解析注意函数的定义域是N,由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f(3) = 9 —35=—26, f (4) = 16—35=—19,f(5) = 25 —35=—10, f(6) = 36 —35= 1, f(7) = 49 —35= 14, f (8) = 64 —35= 29, f(9)= 81 —35= 46, f (10) = 100 —35 = 65.故正确答案应填—26,14,65.f1 —2a]x+ 3a, x<1,12. (2018 •厦门一模)已知函数f (x) = V x—! 72 , x>1的值域为R,则实数a的取值范围是 __________ .答案|0, 1Jx—1 (1 —2a x + 3a, x<1, 解析当x时，f(x) = 2 > 1, T函数f (x) = r x—t ' 的值域为R,2 , x>11 —2a>0,•••当x<1时，(1 —2a)x + 3a必须取遍(一® 1)内的所有实数，则c1 —2a + 3a > 1,解得O w a v 2.13. 定义：区间［X1, X2】(X1<X2)的长度为X2 —X1.已知函数y = 2|x|的定义域为［a, b］，值域为［1,2］，则区间［a, b］的长度的最大值与最小值的差为_________ .答案1解析［a, b］的长度取得最大值时［a, b］= ［—1,1］，区间［a, b］的长度取得最小值时［a,b］可取［0,1］或［—1,0］，因此区间［a, b］的长度的最大值与最小值的差为 1.14 . (2018 •绵阳二诊)现定义一种运算“①”:对任意实数a , b , a ® b = b, a—b> 1, 2设f (x) = (x —2x) ® (x + 3)，若函数g(x) = f (x) + k的图象与x轴恰有两a, a—b<1.个公共点，则实数k的取值范围是____________ .答案(一8,—7］U ( —3,—2) U {1}解析因为(x2—2x) —(x + 3) — 1 = (x—4)( x + 1)，所以f (x) = (x2—2x) ® (x+ 3)=x + 3, x€ ( — a, —1］U ［4 ,+s )21综上，得a= 3.16. 如果对? x, y € R都有f (x+ y) = f(x) • f (y)，且f(1) = 2.(1)求f(2) , f (3) , f(4)的值；⑵求厘+ LA + LA + ...+厘竺++竺坐的值X —2x, x € —1, 4 .作出函数y = f(x)的图象如图所示.函数g(x) =f(x) + k的图象与x轴恰有两个公共点，即函数y = f (x)的图象与直线y=- k有两个公共点，结合图象可得—k=—1或2< —k<3或7W—k<8,所以实数k的取值范围是k € ( —8, —7] U ( —3, —2) U {1}.三、解答题15. (2018 •福建六校联考)已知函数f(x) = log a(x + 2) + log a(4 —x)( a>0 且a z 1).(1) 求函数f (x)的定义域；(2) 若函数f (x)在区间[0,3]上的最小值为一2,求实数a的值.x+ 2>0,解(1)依题意得* 解得—2<x<4,4—x>0,••• f(x)的定义域为(—2,4).(2) f (x) = log a(x + 2) + log a(4 —x)=log a[( x+ 2)(4 —x)],2令t = (x + 2)(4 —x)，则可变形得t = —(x —1) + 9,•/ 0< x< 3,「. 5W t w 9,若a>1，则log a5< log a t w log a9,2 1 入•f ( x) min = log a5 =—2，则a = <1(舍去),5若0<a<1,则Iog a9< log a t w log a5,•- f ( x) min = log a9 =一2 ,2 1 1贝U a = 9，又0<a<1,「. a = 3.3f(3) = f (1 + 2) = f (1) • f(2) = 2 = 8,f(4) = f (1 + 3) = f (1) • f(3) = 24= 16.⑵解法一:由⑴知£= 2,貯=2,晋=2,「寫=2，故原式=2X 1009= 2018.解法二：对？x, y € R 都有f(x+ y) = f(x) • f(y)且f (1) = 2,令x= n, y = 1,贝U f (n + 1) =f(n) • f(1),即曙丄=f(1) = 2,故f-2=卜4= •••=卜需=2,故原式=2X 1009 =2018.I x|w4,即f (x- 3 (x- 2工0 解之得2<x<3或3<x< 4,即函数的定义域为(2,3) U (3,4] •故[x - 3 ，选C.典例2 已知函数f (x)的定义域为(一1,0)，则函数f(2x + 1)的定义域为()1①当log 3X>0,即卩x>1 时，y= log 3X+ — 1 >2— 1 = 1,log 3X当且仅当log 3X= 1,即卩X = 3时取“=”.②当log3X<0,g卩0<x<1 时，y w—2—1 = —3.1 当且仅当log 3X=—1，即x = 3■时取“=”.综上所述，原函数的值域为(一R,—3] U [1 ,+^).角度4单调性型典例函数f( x) = log 2(3X + 1)的值域为()A. (0，+m)B. [0，+m)C. (1 ,+^)D. [1 ,+^)I 皿旦捺]本题用复合函数“同增异减”的单调性原则求解.答案A解析根据对数函数的定义可知，真数3X+ 1>0恒成立，解得x€ R.因此，该函数的定义域为R,原函数f(x) = log 2(3 x+ 1)是由对数函数y= log 2t和t = 3X+ 1复合的复合函数，由复合函数的单调性定义(同增异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的.f 1 f 3 f 5 f 2013 f 2015 f 2017解(1) T ? x, y€ R, f(x+ y) = f(x) • f(y)，且f(1) = 2,•f(2) = f (1 + 1) = f (1) •f(1) = 21 2= 4,。

2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标16导数与函数的综合问题理

课时达标第16讲[解密考纲]本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．1．已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116.解析 (1)f ′(x )＝2x －a －ax，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1．经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极小值，所以a ＝1． (2)由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x22－4x ＋116＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116，由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝x －3x(x >0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝13－32＋3－116＝0，∴当x >0时，g (x )≥g (1)＝0，于是f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116.2．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝12a －b ＝0，f ＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)得f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3，当x ＝2时，f (x )有极小值－3，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．因为f (x )＝k 有3个不同的根，所以直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283. 3．(2018·河南新乡调研)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋ex－x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，则f (x )min ＝f (1)＝1－a .②当1<a <e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，则f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)ln a －1．③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae .综上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1<a <e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)知f (x )在[e ，e 2]上单调递增，f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae，g ′(x )＝(1－e x )x .x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，则g (x )为减函数．所以g (x )min ＝g (0)＝1．所以e －(a ＋1)－ae <1，即a >e 2－2e e ＋1.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.4．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收，设每件产品的日售价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．(1)求商店的日利润L (x )元与每件产品的日售价x 元的函数关系式； (2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L (x )最大，说明理由．解析 (1)设日销售量为k e x 件，则ke 40＝10，∴k ＝10e 40. 则日销售量为10e40e x 件，每件利润为(x －30－a )元，则日利润L (x )＝10e 40·x －30－aex(35≤x ≤41)．(2)L ′(x )＝10e 40·31＋a －x ex(35≤x ≤41)． ①当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，L ′(x )≤0，L (x )在[35,41]上是减函数．∴当x ＝35时，L (x )的最大值为10(5－a )e 5.②当4<a ≤5时，35<31＋a ≤36，由L ′(x )＝0得x ＝a ＋31，当x ∈(35，a ＋31)时，L ′(x )＞0，L (x )在(35，a ＋31)上是增函数．当x ∈(a ＋31,41]时，L ′(x )<0，L (x )在(a ＋31,41]上是减函数． ∴当x ＝a ＋31时，L (x )的最大值为10e9－a.综上可知，当2≤a ≤4时，日售价为35元可使日利润L (x )最大，当4<a ≤5时，日售价为a ＋31元可使日利润L (x )最大． 5．(2018·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝(ax －1)ln x ＋x 22.(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的方程；(2)设函数g (x )＝f ′(x )有两个极值点，x 1，x 2，其中x 1∈(0，e]，求g (x 1)－g (x 2)的最小值．解析 (1)当a ＝2时，f ′(x )＝2ln x ＋x －1x＋2，f ′(1)＝2，f (1)＝12，∴切线l 的方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0.(2)函数g (x )＝a ln x ＋x －1x＋a ，定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋a x ＋1x 2＝x 2＋ax ＋1x2，令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝1，故x 2＝1x 1，a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1.g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝a ln x 1＋x 1－1x 1＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln 1x 1＋1x 1－x 1＋a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1＋2a lnx 1＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1ln x 1，令h (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln x ，x ∈(0，e]．则[g (x 1)－g (x 2)]min ＝h (x )min ，h ′(x )＝＋x －x xx2，当x ∈(0,1]时，h ′(x )≤0，当x ∈(1，e]时，h ′(x )<0，则当x ∈(0，e]时，h (x )单调递减， ∴h (x )min ＝h (e)＝－4e ，故[g (x 1)－g (x 2)]min ＝－4e.6．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)当a ＝23时，求函数f (x )的单调区间；(2)当a >12时，设g (x )＝(x 2－2x )e x，求证：对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)成立．解析 (1)由题知，定义域为x ＞0，f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x.当a ＝23时，f ′(x )＝23x －73＋2x＝x －x －3x，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜32或x ＞2，令f ′(x )＜0，解得32＜x ＜2，则函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. (2)若要命题成立，只需当x ∈(0,2]时，f (x )max ＜g (x )max由g ′(x )＝(x 2－2)e x可知，当x ∈(0,2]时，函数g (x )在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，2)上单调递增，g (0)＝g (2)＝0，故g (x )max ＝0，所以只需f (x )max ＜0.对函数f (x )来说，f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x＝ax －x －x.当a ＞12时，0＜1a ＜2，则函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－2ln a －12a －2；当a ≥1时，显然小于0，满足题意；当12＜a ＜1时，可令h (a )＝－2ln a －12a －2，h ′(a )＝1－4a2a2 ，可知函数h (a )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时单调递减，则h (a )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2－3＜0，满足题意；综上所述，当a ＞12时，对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)＜g (x 2)成立．。

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.1函数及其表示课件理

经典题型冲关
题型 1 函数的概念典例1 集合 A＝{x|0≤x≤4}， B＝{y|0≤y≤2}，下列 ) 1 B．f：x→y＝3x D．f：x→y＝ x
不表示从 A 到 B 的函数的是( 1 A．f：x→y＝2x 2 C．f：x→y＝3x
用定义法．
解析依据函数概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项 C 不符合．故选 C.
4．必记结论函数与映射的相关结论 (1)相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． (2)映射的个数若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个． (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点．
值域．
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
解析 ①y＝x 与 y＝alogax 定义域不同； ②y＝2x＋1－2x＝2x(2－1)＝2x 相同； ③f(u)与 f(v)的定义域及对应法则均相同； ④对应法则不相同.
x＋1≥0，等函数；D 项，由解得 x≥1，即函数 f(x)的定 x－1≥0，
义域为{x|x≥1}．由 x2－1≥0，解得 x≥1 或 x≤－1，即 g(x) 的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选 A.
3．小题热身－x2－x＋2 (1)(2018· 广东深圳模拟)函数 y＝的定义域 ln x 为( ) A．(－2,1) B．[－2,1] C．(0,1) D．(0,1]

19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.6对数与对数函数课件理

解析由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.
2．(2017· 青岛统考)已知函数 g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有
方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．见典例．
冲关针对训练 1．(2017· 郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为 {y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
角度2 解对数不等式典例 log
2 1 2
(2017· 江西名校联考)设函数f(x)＝ 8 (x ＋1)＋ 2 ，则不等式f(log2x)＋ 3x ＋1
2
f(log1 x)≥2的解集为( A．(0,2] C．[2，＋∞)
)
1 ， 2 B. 2 1 D.0，2 ∪[2，＋∞)
2 2 B. C．(1， 2) D．( 2，2) ， 1 2 2
a的取值范围是(
A. 0 ，
用数形结合法，排除法．
解析解法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞ 1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在
1 1 1 的图象，可知f 2 ＜g 2 ，即2＜loga 2 ，a＞范围为 2 ， 1 .故选B. 2 1 0 ， 2

2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课件理

0
其中正确命题的个数为( A．1 C．3
) B．2 D．4
b f(x)dx＝F(b)－F(a)＞0，得 F(b)＞F(a)，未必 f(x)＞0.因此①错误；解析：①由
a
②
2π π
|sinx|dx＝ |sinx|dx＋ |sinx|dx＝
2π (－ sinx)dx＝ (－cosx) ＋
f(x)dx＝________.
1 x 2 x (2x＋e )dx＝(x ＋e ) 解析：(1)
0
＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.
1－cosx (2)因为 sin ＝， 2 2
2x
2 2 2 2 2 2 (x － 1)dx ，令 y ＝ (3)由已知得 f ( x )d x ＝ 1 － x d x ＋ 1 － x ，得 x ＋ y ＝ 1 -1 -1
a a
3．微积分基本定理
b f(x)dx＝一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么
a
F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． ___________
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
b b b 作 F ( x )| a ，即 f(x)dx＝F(x)a＝F(b)－F(a)．为了方便，常把 F(b)－F(a)记_________
|
2 1 所以 f ( x )d x ＝ -1 -1
π 4 1－x dx＋ (x －1)dx＝＋ . 2 3
2
2 1
2
(4)由函数 y＝f(x)的图象可知． y＝f(x)的图象关于点(π，0)对称．所以对应的面积大小相等，其代数和为 0. 则 f(x)dx＝0. 0

2019届高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用听课学案理

学习资料专题第二单元函数、导数及其应用第4讲函数概念及其表示课前双击巩固1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为.(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=+;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=若f[f(e)]=2a,则实数a= .3.[教材改编]函数f(x)=的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是.(填序号)①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.6.设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.课堂考点探究探究点一函数的定义域考向1求给定函数解析式的定义域1 (1)[2017·洛阳调研]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=e ln x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=ln xC.y=D.y=10x(2)[2017·揭阳二模]函数f(x)=+lg(6-3x)的定义域为()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2][总结反思] 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.考向2求抽象函数的定义域2 (1)若函数y=f(x)的定义域为[-1,1),则函数y=f(x2-3)的定义域为. (2)已知f(2x)的定义域是[-1,2],则f(log2x)的定义域为.[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.考向3已知定义域求参数范围3 (1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为()A.B.C.D.∪(2)已知函数y=的定义域为R,则实数m的取值范围是.[总结反思] 根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.强化演练1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是()A.B.[-1,4]C. D.[-5,5]2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)3.【考向1】[2017·江西重点中学盟校联考]函数y=ln1++的定义域为.4.【考向3】函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是.5.【考向3】记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,则实数a的取值范围为.探究点二函数的解析式4 (1)已知f=ln x,则f(x)= .(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)= .(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3·f+1,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)构造法:已知关于f(x)与f(或f(-x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.式题 (1)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)= .(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)= .探究点三分段函数考向1分段函数的函数求值问题5 (1)[2017·河南新乡二模]已知函数f(x)=则f[f(-1)]= .(2)[2017·抚州七校联考]设函数f(x)=则f(3)+f(4)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.考向2分段函数的自变量求值问题6 [2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为()A.2B.-1或2C.±1或2D.1或2[总结反思] 与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.考向3分段函数与方程、不等式问题7 (1)已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(,+∞)B.(-1,)C.(-1,0)∪D.(2)[2017·渭南二模]设f(x)=若f[f(4)]=,则a= .[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.强化演练1.【考向1】[2017·桂林中学三模]已知函数f(x)=则f(2+log32)的值为()A.-B.C. D.-542.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足f(0)=2,f(-1)=3,则f[f(-3)]=()A.-3B.-2C.3D.23.【考向2】[2017·石家庄二中三模]已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则a=()A.-2B.-1C.-1或-D.24.【考向3】已知函数f(x)=则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(0,+∞)B.(-1,0)C.(-2,0)D.(-∞,-1]∪[0,+∞)5.【考向3】设函数f(x)=则满足f[f(a)]=2f(a)的a的取值范围是()A .B.[0,1]C .D.[1,+∞)第5讲函数的单调性与最值课前双击巩固1.单调函数的定义自左向右看图像是2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值常用结论1.复合函数的单调性函数y=f (u ),u=φ(x ),在函数y=f [φ(x )]的定义域上,如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相同,则y=f [φ(x )]单调递增;如果y=f (u ),u=φ(x )的单调性相反,则y=f [φ(x )]单调递减. 2.单调性定义的等价形式设任意x 1,x 2∈[a ,b ],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0或>0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是增函数.(2)若有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0或<0,则f (x )在闭区间[a ,b ]上是减函数.3.函数单调性的常用结论(1)若f (x ),g (x )均为区间A 上的增(减)函数,则f (x )+g (x )也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf (x )与f (x )单调性相同,若k<0,则kf (x )与f (x )单调性相反.(3)函数y=f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y=-f (x ),y=的单调性相反.(4)函数y=f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.题组一常识题1.[教材改编] 函数f (x )=(2a-1)x-3是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .2.[教材改编] 函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 .3.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.4.函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.课堂考点探究探究点一函数单调性的判断与证明1 判断函数f(x)=(a>0),x∈(-1,1)的单调性,并加以证明.[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.式题 [2017·南阳一中月考]下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=-x2+1B.y=|x-1|C.y=x3D.y=2-x探究点二求函数的单调区间2 (1)[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.[总结反思] 求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.式题 (1) 函数y=的单调递增区间为()A.(1,+∞)B.C.D.(2)函数f(x)=(a-1)x+2在R上单调递增,则函数g(x)=a|x-2|的单调递减区间是. 探究点三函数单调性的应用考向1利用函数的单调性比较大小3 (1)[2017·吉林实验中学二模]设a=log52,b=,c=log73,则a,b,c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c(2)[2017·达州二诊]已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈(0,+∞),f[f(x)-ln x]=e+1,设a=f,b=f,c=f(log2π),则a,b,c的大小关系是.(用“>”号连接表示)[总结反思] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.考向2利用函数的单调性解决不等式问题4 (1)已知函数f的定义域为R,对任意x1<x2,都有f-f<x1-x2,且f=-4,则不等式f>lo|3x-1|-1的解集为()A.B.C.∪D.∪(2)[2017·云南师大附中月考]已知函数f(x)=e x+x3,若f(x2)<f(3x-2),则实数x的取值范围是.[总结反思] 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.考向3利用函数的单调性求最值问题5 设函数f(x)=+2016sin x,x∈-,的最大值为M,最小值为N,那么M+N= .[总结反思] 若函数在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.考向4利用函数的单调性求参数6 [2017·南充三模]已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D.[总结反思] (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立.若a=f(log47),b=f(log23),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c2.【考向2】已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.3.【考向3】[2017·青岛一模]已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值是.4.【考向4】若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于.5.【考向4】[2017·武汉调研]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数a 的取值范围为.第6讲函数的奇偶性与周期性课前双击巩固1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫作f(x)的最小正周期.常用结论1.奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)为奇函数.2.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期为T(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.3.函数图像的对称关系(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=对称;(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点对称.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=+|x|中,偶函数的个数是.2.[教材改编]若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是函数.3.[教材改编]已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=-1,则f(-2)= .4.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=log4(x2+3),则f(2017)= .题组二常错题◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;找不到周期函数的周期从而求不出结果;性质应用不熟练,找不到解题方法;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.5.函数f(x)=是(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数.6.具有性质f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.有下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=其中满足“倒负”变换的函数是.(填序号)7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f,且f(1)=2,则f(2017)= .8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+4x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)=.课堂考点探究探究点一函数奇偶性的判断1 (1)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数(2)下列函数奇偶性的判断,正确的是()①f(x)=+;②f(x)=;③f(x)=A.①是奇函数,②是奇函数,③是偶函数B.①是偶函数,②是奇函数,③是偶函数C.①既是奇函数又是偶函数,②是奇函数,③是奇函数D.①既是奇函数又是偶函数,②是偶函数,③是偶函数[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0 (偶函数)是否成立.式题 (1)[2017·衡水中学三调]已知函数f(x)=,g(x)=,则下列结论正确的是()A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数B.h(x)=f(x)+g(x)是奇函数C.h(x)=f(x)g(x)是奇函数D.h(x)=f(x)g(x)是偶函数(2)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A.f(x)=x+sin 2xB.f(x)=x2-cos xC.f(x)=3x-D.f(x)=x2+tan x探究点二函数的周期性2 (1)已知函数f(x)满足f x-=f x+,当x∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间(0,6]上的零点个数是()A.3B.4C.5D.6(2) [2017·芜湖二模]已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-,且对任意的x都有f(x+2)=,则f(2018)=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+[总结反思] (1)只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合考查.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.式题已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,当x∈(1,4]时,f(x)=3x-1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)= .探究点三函数性质的综合应用考向1奇偶性的应用3 (1)[2017·福建四地六校联考]设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)=()A.-B.C.2D.-2(2)[2017·许昌二模]已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8[总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得出方程(组),进而得出参数的值.(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值和为零可求一些特殊结构的函数值.考向2奇偶性与单调性4 (1)已知f(x)是奇函数,并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是()A. B.C.-D.-(2)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则满足f(a-2)>0的实数a的取值范围为()A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.(-∞,0)∪(4,+∞)[总结反思] (1)利用偶函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于坐标原点对称的区间上单调性相同,可以把函数不等式化为一般的不等式;(2)注意偶函数性质f(x)=f(|x|)的应用.考向3奇偶性与周期性5 (1)[2017·广州花都区二模]已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=1,则f(2016)+f(2017)=()A.-2B.1C.0D.-1(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin |x|在[-10,10]内的根的个数为.[总结反思] 利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值,把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.考向4奇偶性﹑周期性与单调性6 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A.[3,7]B.[4,5]C.[5,8]D.[6,10](2)[2017·哈尔滨六中二模]定义在R上的奇函数f(x)满足f x+=f(x),当x∈0,时,f(x)=lo(1-x),则f(x)在区间1,内是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.强化演练1.【考向1】[2018·济南外国语学校月考]已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=()A. B.C.πD.2.【考向2】[2017·大连二模]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(ln x)<f(2),则x的取值范围是()A.(0,e2)B.(e-2,+∞)C.(e2,+∞)D.(e-2,e2)3.【考向4】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)4.【考向3】设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f= .5.【考向3】[2017·武汉模拟]设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1.则f+f(1)+f+f(2)+f= .第7讲二次函数与幂函数课前双击巩固1.二次函数的图像和性质上单调递增上单调递减2.幂函数(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较常用结论1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.题组一常识题1.[教材改编]若函数f(x)=4x2-kx-8在上是单调函数,则实数k的取值范围是.2.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则函数f(x)= .3.[教材改编]已知f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是.4.[教材改编]若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b= .题组二常错题◆索引:图像特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位;幂函数的图像掌握不到位.5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号).图2-7-16.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)(填“>”“<”或“=”)0.7.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.8.已知当x∈时,函数y=x p的图像在直线y=x的上方,则p的取值范围是.课堂考点探究探究点一幂函数的图像和性质1 (1)若幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像大致是()图2-7-2(2)[2017·南阳一中月考]已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.若a,b∈R且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.式题幂函数的图像经过点2,,则它的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)探究点二二次函数的解析式2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)= .(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.式题 (1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)= .(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为f(x)= .探究点三二次函数的图像与性质考向1二次函数的单调性问题3 (1)[2017·安徽江淮十校三模]函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定(2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是()A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2][总结反思] (1)对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.考向2二次函数的最值问题4 已知函数f(x)=ax2-2x(a>0),求函数f(x)在区间[0,2]上的最小值.[总结反思] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分类讨论求解.考向3二次函数中的恒成立问题5 (1)[2017·仙桃中学月考]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围为.(2)函数f(x)=a2x+3a x-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为.[总结反思] 二次函数中恒成立问题的解题关键是根据二次函数的对称性、单调性等得出关于参数的不等式,进而求得参数范围.强化演练1.【考向1】函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为()A.-3B.13C.7D.52.【考向2】若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为()A. [-3,3]B.[-1,3]C.{-3,3}D.{-1,-3,3}3.【考向2】[2017·皖北联考]若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 的值为.4.【考向3】已知函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x ∈-2,-时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为.5.【考向3】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.第8讲指数与指数函数课前双击巩固1.根式x=±,记作=叫作,2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质①a r a s= (a>0,r,s∈Q);② (a r)s= (a>0,r,s∈Q);③ (ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像与性质常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.题组一常识题1.[教材改编]若x+x-1=3,则x2-x-2= .2.[教材改编]已知2x-1<23-x,则x的取值范围是.3.[教材改编]函数y=a x-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点.4.[教材改编]下列所给函数中值域为(0,+∞)的是.(填序号)①y=-5x,②y=,③y=,④y=.题组二常错题◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算+= .6.若函数f(x)=(a2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f(x)=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2x)与f(3x)的大小关系是.课堂考点探究探究点一指数幂的化简与求值1 (1)[2017·兰州铁一中月考]已知a-=3(a>0),则a2+a+a-2+a-1的值为()A.13-B.11-C.13+D.11+(2)计算0.02+2560.75--72= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.式题 (1)计算:×2+3π0= .(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则= .探究点二指数函数的图像及应用2 (1)函数y=1-e|x|的图像大致是()图2-8-1(2)[2017·天津河西区二模]已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思] (1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.式题 (1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是()图2-8-2(2)已知函数y=的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为()A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小3 (1)[2017·遂宁三诊]已知a=,b=,c=2,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,,a3的大小关系是(用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小.考向2解简单的指数方程或不等式4 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x)<f的解集是.(2)方程4x+|1-2x|=11的解为.[总结反思] (1)a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x).(2)a f(x)>a g(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).考向3指数函数性质的综合问题5 (1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln 3,,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈时恒成立,则实数a的取值范围是.[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化.强化演练1.【考向1】[2017·南昌一模]已知a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为.4.【考向2】若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为.5.【考向3】已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数m的取值范围为.第9讲对数与对数函数课前双击巩固。

2019版高考数学一轮复习《第二章函数与导数》课时训练含答案.doc

第二章函数与导数第1课时函数及其表示一、填空题1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； ② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x ≥－1}，f(x)＝2x ＋1；⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．答案：0解析：根据题设条件，∵ π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________．答案：－14解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.4. 如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f(x)＝________．答案：1x －1解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴ f(x)＝1x －1.5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：答案：6E6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x2x2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________．答案：15解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．答案：－2 解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为______________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x ≤1，此时f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－12.② 当0<x ≤1时，－1≤－x<0，此时，f(x)＝－x ＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<32，则0<x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为____________________．答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t ∈[1，2)解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时间t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、解答题10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx22，即y ＝－π＋42x 2＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，∴ 函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.12. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1) 当t ＝4时，求s 的值；(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2) 当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t2，t∈[0，10]，30t －150，t∈（10，20]，－t2＋70t －550，t∈（20，35].13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x∈[0，1]，x －3，x∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的取值范围．解：因为f(f(x))＝1，所以0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.① 由0≤f(x)≤1，可得0≤x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，所以0≤x ≤1或3≤x ≤4；② 由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，所以x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值范围是[0，1]∪[3，4]∪{7}．点评：由于f(x)是分段函数，所以在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．第2课时函数的定义域和值域一、填空题1. 函数f(x)＝－x2＋x ＋6x －1的定义域是______________．答案：[－2，1)∪(1，3]解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x≠1，所以定义域为[－2，1)∪(1，3]． 2. 已知f(x)＝1x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________．答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝11x ＋1＋1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x≠－2.所以定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析：令t ＝f(x)，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，所以函数F(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.4. 函数y ＝4－3＋2x －x2的值域是__________________．答案：[2，4]解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2＋4≤4， ∴ 所给函数的值域为[2，4]．5. 函数y ＝x －x(x ≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，所以y ≤0. 6. 函数y ＝|x|x＋x 的值域是____________________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，x －1，x<0可得值域．7. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2)＝2，所以f(2b)＝2b ，结合b>1，得b＝2.8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，|x|≥1，x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．答案：[0，＋∞)解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、解答题9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.解：(1) 令x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1≥1，所以y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t ≥0，所以y ≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(2) y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减函数，所以其值域为(0，2]．点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值范围．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x ∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，14]．令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，则f(x)＝F(t)＝t t2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t ∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]，即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a ∈R )．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围．解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴ y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x·1x＝22，当且仅当x ＝22时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)． (2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴ 当x ∈(0，1]时，g(x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴ 只要a<－3即可，∴ a 的取值范围是(－∞，－3)．12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a ≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax2＋（b －1）x ＝0有等根.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∴ 2n ≤12，即n ≤14.而函数f(x)＝－12x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，∴ 函数f(x)＝－12x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m2＋m ＝2m ，－12n2＋n ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN ⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a2.当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2；当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·M N ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －a28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2；当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－12x 2＋2ax －5a24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a≤x≤2a .综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2，12ax －a28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2，－12x2＋2ax －54a2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2≤x≤2a .其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34a2.第3课时函数的单调性一、填空题1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ；③ f(x)＝－1x ＋1；④ f (x)＝－|x|.答案：③解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上递增．2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________．答案：(1，2)解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.3. 函数f(x)＝x2－2x －3的单调增区间为________．答案：[3，＋∞)解析：∵ t ＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x ≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x ∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x ∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x ∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值范围是____________．答案：0＜m ＜32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜32.5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．答案：a ≥－2解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a ≤4，a ≥－2.6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，3x －1，x∈[2，＋∞）.画出函数的图象容易得出其在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a ≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a ≤14.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.8. 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：(0，1]解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x1x1－a －x2x2－a＝－a （x1－x2）（x1－a ）（x2－a ），因为x 1<x 2，且a>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立．又x ∈(1，＋∞)，所以a ≤1.综上，实数a 的取值范围是0<a ≤1.9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x ，x≥0，4x －x2，x ＜0.若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－2，1)解析：由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x≥0，－（x －2）2＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.二、解答题10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，y 1－y 2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1（x1＋1）（x2＋1），∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，∴ x2－x1（x1＋1）（x2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．11. 讨论函数f(x)＝axx2－1(a>0)在x ∈(－1，1)上的单调性．解：设－1<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax1x22－ax 1－ax 2x21＋ax 2（x21－1）（x22－1）＝a （x2－x1）（x1x2＋1）（x21－1）（x22－1）.∵ －1<x 1<x 2<1，∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴ 函数f(x)在(－1，1)上为减函数．12. 已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x1＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2，解得a ＝25.13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2.(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵ 当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．(2) 解：∵ m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时函数的奇偶性及周期性一、填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________．答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧a2－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.2. 若函数f(x)＝x ＋ax2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．答案：f(x)＝xx2＋1解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0， ∴ a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b，∴ b ＝0.∴ f(x)＝xx2＋1.3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x(|x|－2)解析：设x ≤0，则－x ≥0，∵ 当x ≥0时，f(x)＝x 2－2x ，∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2＋2x)，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x （x≥0），－x2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x ∈R )．4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________．答案：27解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．答案：1解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴ －f(1－a)＝f(a －1)，∴ 原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜12①.又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.由①和②得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．答案：1解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1. 8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤解析：∵ f(x ＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：{x|x ＞4}解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－3x ，x≤0，x2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0，即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－x ＋2，x≤1，x2－5x ＋4，x ＞1.所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x2－x ＋2＞－x ＋4，x≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1，解得x ＞4.10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，∴ y ＝x 3＋2x 2①，P 关于点(2，1)的对称点为Q(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x′2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，代入①得2－y ′＝(4－x ′)3＋2(4－x ′)2，化简得y ′＝(x ′)3－14(x ′)2＋64x ′－94，即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、解答题11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴ 函数y ＝f(x)是R 上的减函数．(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x ∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴ 当x ∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴ 当x ∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴ 当x ∈[0，3]时，f(x)＝－13x ，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x ，x∈[0，3]，－（x －5）2＋3，x∈（3，6].又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x∈[－6，－3），－13x ，x∈[－3，3]，－（x －5）2＋3，x∈（3，6].13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1) ∵ 对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴ 令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.(2) f(x)为偶函数．令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴ f(－1)＝12f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f (16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴ x 的取值范围是{x ⎪⎪⎪－73≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时指数、对数运算一、填空题1. 设a ≥0，计算(36a9)2·(63a9)2的结果是________．答案：a 2解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数可以直接约分．2. 化简32－6227＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232－3－（102）2－42的结果是________．答案：9解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝3－827＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9.点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ：若a>0，则3a>0；若a<0，则3a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．3. log 29×log 34＝__________．答案：4解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4. 方程1＋3－x1＋3x＝3的解是________．答案：x ＝－1解析：3－x·3x＋3－x 1＋3x＝3－x＝3，x ＝－1.5. 若f(10x)＝x ，则f(5)＝________．答案：lg 5解析：由题意得10x＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________．答案：5解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－24x ＋2－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x 2＋4x ＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值范围是____________．答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a ≠3. 8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232(a ＞0)，则log 23a ＝________．答案：3解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，所以log 23a ＝3.9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.答案：c<a<b解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴ 55< 2.又2＝68，33＝69，∴ 33> 2.故c ＜a ＜b.二、解答题10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 32b2－9b 43a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43·b3a 34＋3b 53的值．解：由于a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，∴ 原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 34b －1）2·ba 34＋3b 53＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 34＋3b 53）＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 34b －1＝－b 2＝－50.11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) （a 12－a －12）（a2＋a －2－4）a4－a －4.解：(1) (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3) （a 12－a －12）（a2＋a －2－4）a4－a －4＝（a 12－a －12）（a2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7＝535. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以原式可化为2t －2t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x－2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧logaC ＋logbC ＝3，logaC×logbC＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1logCa ＋1logCb ＝3，1logCa ×1logCb＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧logCa ＋logCb ＝3，logCa×logCb＝1.所以(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，所以 log C a －log C b＝± 5.又log a b C ＝1logC a b＝1logCa －logCb ＝±55，所以log a b C 的值为±55.点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键．第6课时指数函数一、填空题1. 函数f(x)＝2x －4的定义域为__________．答案：[2，＋∞)解析：由2x－4≥0，得x ≥2.2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________．答案：(－∞，2]解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]就是所给函数的单调增区间． 3. 函数y ＝ex －1ex ＋1的值域是________．答案：(－1，1)解析：y ＝ex －1ex ＋1，则e x＝1＋y 1－y>0，则－1<y<1.4. 若指数函数y ＝a x在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．答案：5±12解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)；若a ＞1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上，a ＝5±12. 5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围是_________．答案：t ≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t ≤0，即t ≤－3.6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x的图象关于__________对称．答案：原点解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x，(x ，y)→(－x ，－y)，即关于原点对称．7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，所以应有3a ＋25－a >1，解得34<a<5.8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．答案：3或13解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.当0＜a ＜1时，∵ －1≤x ≤1，∴ a ≤t ≤1a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a2＋2a －1＝14，即1a2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－15(舍去)；当a ＞1时，∵ －1≤x ≤1，∴ 1a≤t ≤a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a ≥23.二、解答题10. 求函数y ＝4x －2·2x＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．解：令t ＝2x ，则t ∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t ∈[1，4]．∵ y ＝t 2－2t ＋5在区间t ∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)．(1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1，f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(2) 证明：f(x)＝x 2·2x ＋12x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，即f(x)>0，∴ f(x)>0.12. 已知9x －10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12时，y min ＝1，此时，x ＝1；当t ＝1时，y max ＝2，此时，x ＝0.13. 已知函数f(x)＝2x(x ∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x )＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x ，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x ，－g （x ）＋h （x ）＝2－x ，解得g(x)＝12(2x －2－x)，h(x)＝12(2x ＋2－x )．(2) 由2a·g(x )＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x ∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x ∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a ≥－t2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t2＝2－t22t2<0，知φ(t)在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为单调减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a ≥－1712.第7课时对数函数一、填空题1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)答案：①解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)首先改为y ＝log 1ax(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域首先排除②，当a>1时，0<1a<1，函数y ＝a x单调递增，y ＝log 1ax 单调递减，①中图象正确，③中图象错误，当0<a<1时，1a>1，函数y ＝a x单调递减，y ＝log 1ax 单调递增，④中图象错误．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析：由－x 2＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32.4. 函数f(x)＝1－2log6x 的定义域为__________．答案：(0，6]解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤12，即0＜x ≤6，故所求的定义域为(0，6]．5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)答案：③解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.6. 已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值范围是____________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k ≥0，解得k ≥1或k ≤0.7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．答案：{x|x ＞－1}解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.则不等式的解集为{x|x ＞－1}．8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范围是________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x1－x<1，∴ x ∈(－1，0)．9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[2－23，2]解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵ 函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函数，∴ u ＝g(x)＝x 2－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1－3，g （1－3）≥0，解得2－23≤a ≤2. 二、解答题10. 已知函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2) 因为f(x)的定义域为R ，所以y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2.所以实数a 的取值范围是[1，2)．11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)．如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．解：因为f(x)＝log a x ，所以y ＝|f(x)|的图象如图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1，只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，即0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，∴ y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵ 函数f(x)的定义域为[1，9]，∴ 要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x2≤9，1≤x≤9，∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴ 当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a ≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0，即x ＋11－x>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时二次函数与幂函数一、填空题1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x ∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范围是____________．答案：[0，＋∞)解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b2≤0，故b ≥0.2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案：13解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log23＝2－log 23＝2log 213＝13.3. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n 的值为________．答案：－1或2解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a ≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.5. 已知a ＝x α，b ＝x α2，c ＝x 1α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．答案：c<a<b解析：∵ α∈(0，1)，∴ 1α>α>α2.又∵ x ∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α2，即c<a<b.6. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32，其最小值为－254，并且当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则32≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m ∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．答案：1解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m ∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x2＋bx ＋c ，x≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x ≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x>0. 9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC ⊥BC ，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC ⊥BC ，利用斜率关系得2t －x1·2t －x2＝－1，所以a ＝－12.二、解答题10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域．解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t ∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值范围；(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m ≤－59，即当m ≤－59且m ≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点．综上可知，当m ≤－59时，此函数的图象与x 轴总有交点．(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵ 1x1＋1x2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴ －2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f(x)≥18，求实数a 的值．解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16，得－1≤a ≤1，函数f(x)的对称轴是直线x ＝a 3.当－1≤a<34时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上单调递减，而f(x)≥18，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a ≥1，与－1≤a<34矛盾，即不存在；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38，即f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a ≥1，又34≤a ≤1，故a ＝1.综上，a ＝1.13. 设f(x)＝－14x 2＋x ＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫k∈R，k≤32，是否存在实数m ，n(m<n)，使得当x ∈[m ，n]时，f(x)的值域恰好为[2m ，2n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：f(x)＝－14(x －2)2＋2k ＋1，当x ∈R 时，f(x)max ＝2k ＋1，从而2n ≤2k ＋1≤4，故n ≤2.f(x)在[m ，n]上单调递增，从而⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m2＋4m －8k ＝0，n2＋4n －8k ＝0.显然m ，n 是关于t 的方程t 2＋4t －8k ＝0的两个根．Δ＝16＋32k ，(1) 当Δ<0，即k<－12时，方程无实根；(2) 当Δ＝0，即k ＝－12时，方程有两个相等实根，即m ＝n 与m<n 矛盾；(3) 当Δ>0，即32≥k>－12时，方程有两个不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k ≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k ≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.第9课时函数的图象一、填空题1. 已知f(x)的图象恒过(1，1)点，则f(x －4)的图象恒过____________．答案：(5，1)解析：(解法1)由f(x)的图象恒过(1，1)点知f(1)＝1，即f(5－4)＝1，故函数f(x －4)的图象恒过点(5，1)．(解法2)f(x －4)的图象可由f(x)的图象向右平移4个单位而得到，(1，1)向右平移4个单位后变为(5，1)．2. 为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点__________________．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：∵ y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴ 将y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再将y ＝lg(x ＋3)的图象上所有的点向下平移1个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．3. 下列函数图象中，正确的有________．(填序号)。

19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.7函数的图象习题课件理

16．已知f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)作出函数f(x)的图象； (2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性； (3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解
(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
2 x －4x＋3，x≤1或x≥3， 2 － x ＋4x－3，1<x<3，
解析由于f(x)＝xcosx， ∴f′(x)＝cosx－xsinx，当x＝0时，f(0)＝0，f′(0)＝1，排除B、D；当f′(x)>0时，f(x)是增函数，曲线是上升的，f′(x)<0 时，f(x)是减函数，曲线是下降的，判断出C是正确的，排除A.故选C.
1 9．(2018· 郑州模拟)函数y＝的图象与函数y＝ 1 －x 2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( A．2 B．4 C．6 D．8 )
使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．当直线y＝kx－1与y＝ln (m，ln m)， 1 又y＝ln x的导数为y′＝x， 1 则km－1＝ln m，k＝m，解得m＝1，k＝1，可得函数y＝ln 点．故选B. x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交 x的图象相切时，设切点为
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1 象可得a∈0，2 .
14．(2017· 湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝－f(x＋1)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，若关于x的方程f(x)＝kx有3个不同的实数根，则k的取值范 (5－2 6，1)∪{－3＋2 2} 围是________________________________ ．

2019年高考数学(文)一轮复习第二章函数、导数及其应用第二章函数、导数及其应用及答案

第二章⎪⎪⎪函、导及其应用第一节函及其表示1．函与映射的概念2．函的有关概念(1)函的定义域、值域：在函y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函值，函值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函：如果两个函的定义域和对应关系完全一致，则这两个函相等，这是判断两函相等的依据．(4)函的表示法表示函的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函若函在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函通常叫做分段函．1．下列函中，与函y ＝13x定义域相同的函为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案：D2．若函y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函y ＝f (x )的图象可能是()答案：B3．函f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________．答案：1．设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 答案：±12．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一函的定义域基础送分型考点——自主练透1．函f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪ B ．C ．，则函g (x )＝f x ＋x －1的定义域是( ) A ．B ．C ．(1,2 017]D ．解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函的定义域为，可知1≤t ≤2 017.要使函f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 017，解得0≤x ≤2 016，故函f (x ＋1)的定义域为．所以使函g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 016，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2 016.故函g (x )的定义域为．4．函f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函的定义域为(0,2]．答案：(0,2]函定义域的求解策略(1)已知函解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函：①若已知函f (x )的定义域为，其复合函f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函f (g (x ))的定义域为，则f (x )的定义域为g (x )在x∈时的值域．考点二求函的解析式重点保分型考点——师生共研(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．解：(1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x >1.(3)(待定系法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3.求函解析式的4种方法1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：(配凑法)∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点三分段函题点多变型考点——多角探明高考对分段函的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有： (1)分段函的函求值问题； (2)分段函的自变量求值问题；(3)分段函与方程、不等式问题．角度一：分段函的函求值问题1．(2017·西安质检)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：109角度二：分段函的自变量求值问题2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，x ∈[0，＋，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6. 答案：14或－π6角度三：分段函与方程、不等式问题3．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)1．分段函的求值问题的解题思路(1)求函值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起．1．(2017·唐山统考)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.2．(2015·山东高考)设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ． B ．(0,1]C ．D ．．∴原函的定义域为(0,1]．4．已知函y ＝f (x )的定义域是，则函g (x )＝f x x －1的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，1B ． D ．解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0可得0≤x <1，选B.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函，我们称为满足“倒负”变换的函，下列函：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函是①③. 6．函f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1， ∴f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意．当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意．当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意．答案：1 27．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：148．已知函y ＝f (x 2－1)的定义域为，则函y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为， ∴x ∈，x 2－1∈， ∴y ＝f (x )的定义域为．答案：9．已知函f (x )＝2x ＋1与函y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x10．如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函y ＝kx ＋b 的图象和反比例函y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函和一次函的解析式． (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为B (1,4)在反比例函y ＝mx上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函y ＝m x ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函y ＝kx ＋b 上的点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝4x，y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)，所以△AOC 的面积为：S ＝12×2×2＝2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实a ≠0，函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－34解析：选B 当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.2．已知函f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：73.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常)．如图是根据多次实验据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函的单调性与最值1．函的单调性 (1)单调函的定义如果函y ＝f (x )在区间D 上是增函或减函，那么就说函y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函y ＝f (x )的单调区间．2．函的最值1．下列函中，定义域是R 且为增函的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|答案：B2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．答案：(－∞，3]3．若函f(x)＝1x在区间上的最大值与最小值的和为34，则a＝________.解析：由f(x)＝1x的图象知，f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函，∵⊆(0，＋∞)，∴f(x)＝1x在上也是减函，∴f(x)m ax＝f(2)＝12，f(x)min＝f(a)＝1a，∴12＋1a＝34，∴a＝4.答案：41．易混淆两个概念：“函的单调区间”和“函在某区间上单调”，前者指函具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函f(x)在区间(－1,0)上是减函，在(0,1)上是减函，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函，如函f(x)＝1x .3．两函f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函，则f(x)＋g(x)也为增(减)函，但f(x)·g(x)，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．1．设定义在上的函y＝f(x)的图象如图所示，则函y＝f(x)的增区间为________．答案：，2．函f (x )＝2x －1在上的最大值与最小值之差为________．解析：易知f (x )在上是减函，∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一函单调性的判断基础送分型考点——自主练透1．下列四个函中，在(0，＋∞)上为增函的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函．2．试讨论函f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函f (x )在(－1,1)上递增．法二(导法)：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－a x －2.当a >0时，f ′(x )<0，函f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f ′(x )>0，函f (x )在(－1,1)上递增．3．判断函y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1x 1＋x 2＋.∵x 1>－1，x 2>－1， ∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x2－x1x 1＋x2＋>0，即y1－y2>0.∴y1>y2，∴函y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．法二：y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1.∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函，∴y＝1x＋1在(－1，＋∞)上是减函，∴y＝1＋1x＋1在(－1，＋∞)上是减函．即函y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上单调递减．判断或证明函的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导法，其基本步骤：求导函确定符号得出结论考点二求函的单调区间重点保分型考点——师生共研求下列函的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12(x2－3x＋2)．解：(1)由于y＝错误!即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2＋2，x ＜0.画出函图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和，单调递减区间为和确定函的单调区间的3种方法单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．1．函y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．高考对函单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函的值域或最值；(2)比较两个函值或两个自变量的大小； (3)解函不等式；(4)利用单调性求参的取值范围或值．角度一：求函的值域或最值 1．函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函f (x )＝1x为减函，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函值或两个自变量的大小2．(2017·哈尔滨联考)已知函f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c .角度三：解函不等式3．已知函f (x )为R 上的减函，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由f (x )为R 上的减函且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.故选C.角度四：利用单调性求参的取值范围或值4．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实a 的取值范围为________．解析：要使函f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实a 的取值范围是(2,3]．答案：(2,3]函单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函最值(五种常用方法)(2)比较大小比较函值的大小，应将自变量转到同一个单调区间内，然后利用函的单调性解决．(3)解不等式在求解与抽象函有关的不等式时，往往是利用函的单调性将“f”符号脱掉，使其转为具体的不等式求解．此时应特别注意函的定义域．(4)利用单调性求参视参为已知，依据函的图象或单调性定义，确定函的单调区间，与已知单调区间比较求参．①若函在区间上单调，则该函在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．已知函f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函，则a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．解析：选A 法一：由一次函的图象可知选A. 法二：设∀x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， ∵f (x )＝kx ＋b 在R 上是增函，∴(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，即k (x 1－x 2)2>0， ∵(x 1－x 2)2>0，∴k >0，故选A.3．(2017·北京东城期中)已知函y ＝1x －1，那么( )A ．函的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)B ．函的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．函的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)D ．函的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：选A 函y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.4．函y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y m ax ＝14.答案：145．函f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：由x 2－4>0得x <－2或x >2.又u ＝x 2－4在(－∞，－2)上为减函，在(2，＋∞)上为增函，y ＝log 12u 为减函，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知函f (x )＝x 2－2x －3，则该函的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ． D ．∪上单调递减，在B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]解析：选C 因为log 12a ＝－log 2 a ，且f (x )是偶函，所以f (log 2a )＋f (log12a )＝2f (log 2a )＝2f (|log 2a |)≤2f (1)，即f (|log 2a |)≤f (1)，又函在的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2是R 上的单调递减函，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(0,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：选B因为函为递减函，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138，故选B.5．(2017·安徽皖江名校联考)定义在上的函f (x )满足(x 1－x 2)>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实a 的取值范围为( )A ．>0，x 1≠x 2，∴函在上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2<a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a <1或a >2，∴0≤a <1，故选C.6．函f (x )＝1x －1在区间上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b＝________.解析：易知f (x )在上为减函，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 答案：67．已知函f (x )＝x 2－2ax －3在区间上具有单调性，则实a 的取值范围为________________．解析：函f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函在(－∞，a ]和上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪∪上的最大值为4，最小值为m ，且函g (x )＝(1－4m )x 在上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m <14矛盾；当0<a <1时，函f (x )在上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]． 10．已知函f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实a 的取值范围．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函．(2)由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实a 的取值范围是(－∞，3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如果函y ＝f (x )在区间I 上是增函，且函y ＝f xx在区间I上是减函，那么称函y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函”，区间I 叫做“缓增区间”．若函f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函”，则“缓增区间”I 为( )A ． C ．D ．解析：选D 因为函f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函y ＝f (x )在区间上单调递减，故“缓增区间”I 为．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)证明：f (x )为单调递减函．(2)若f (3)＝－1，求f (x )在上的最小值．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函，所以f (x )在上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在上的最小值为－2.第三节函的奇偶性及周期性1．函的奇偶性(1)周期函对于函f (x )，如果存在一个非零常T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函f (x )为周期函，称T 为这个函的周期．(2)最小正周期如果在周期函f(x)的所有周期中存在一个最小的正，那么这个最小正就叫做f(x)的最小正周期．1．下列函中，既是偶函又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A．y＝x B．y＝cos xC．y＝e x D．y＝ln |x|答案：D2．已知函f(x)是定义在R上的奇函，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x ，则f(－1)＝________.答案：－23．若函f(x)是周期为5的奇函，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.答案：－11．判断函的奇偶性，易忽视判断函定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．分段函奇偶性判定时，误用函在定义域某一区间上不是奇偶函去否定函在整个定义域上的奇偶性．1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函，那么a＋b的值是( )A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在上的偶函，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．下列函中，为奇函的是( ) A ．y ＝3x＋13xB ．y ＝x ，x ∈{0,1}C ．y ＝x ·sin xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0解析：选 D 由函奇偶性定义易知函y ＝3x＋13x 和y ＝x ·sin x都是偶函，排除A 和C ；函y ＝x ，x ∈{0,1}的定义域不关于坐标原点对称，既不是奇函又不是偶函，排除B ；由奇函的定义知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0是奇函，故选D.考点一函奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透判断下列函的奇偶性：(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x －3－x ； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )． ∴f (x )既是奇函又是偶函．(2)∵函f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函f (x )既不是奇函，也不是偶函． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函．(5)易知函的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函是偶函．判定函奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．(1)“性质法”中的结论是在两个函的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函的周期性重点保分型考点——师生共研设f(x)是定义在R上的奇函，且对任意实x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函．(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.1．判断函周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．1．若f(x)是R上周期为5的奇函，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于( )A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选A 由f(x)是R上周期为5的奇函，知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.2．已知定义在R 上的函满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017) ＝504＋f (504×4＋1)＝504⎝⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＝1 345. 答案：1 345考点三函性质的综合应用题点多变型考点——多角探明函的奇偶性、周期性以及单调性是函的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函相结合，并以结合奇偶性求函值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．角度一：奇偶性的应用1．(2017·福建三明模拟)函y ＝f (x )是R 上的奇函，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x解析：选C x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C 因为f (x )是定义在R 上的偶函，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.角度三：周期性与奇偶性结合3．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实a 的取值范围是( ) A ．(－1,4)B ．(－2,1)C ．(－1,2)D ．(－1,0)解析：选A 因为函f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4，故选A.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．已知定义在R 上的奇函f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间上是增函，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函f (x )是以8为周期的周期函，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间上是增函，f (x )在R 上是奇函，所以f (x )在区间上是增函，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．函性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函单调性与奇偶性结合．注意函单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函值的自变量转到已知解析式的函定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．1．(2017·广州模拟)已知f(x)在R上是奇函，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )A．2 B．－2C．－98 D．98解析：选B 因为f(x＋4)＝f(x)，所以函f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.2．已知偶函f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( ) A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)B．f(－6.5)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)D．f(－1)<f(0)<f(－6.5)解析：选 A 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函f(x)的周期是2.∵函f(x)为偶函，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．3．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函，若在区间上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 018)＝________.解析：设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .f (x )是定义在R 上周期为4的奇函，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝2×12－1＝0. 答案：0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·石家庄质检)下列函中，既是偶函又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x | 解析：选B A 中函y ＝1x不是偶函且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函满足题意，故B 正确；C 中函不是偶函，故C 错误；D 中函不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.2．已知f (x )为定义在R 上的奇函，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C.54 D ．3解析：选A 因为f (x )为R 上的奇函，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．2解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．函f (x )在R 上为奇函，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函，x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．设函f (x )是定义在R 上周期为2的偶函，当x ∈时，f (x )＝x＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·山西考前质检)下列函中，既是偶函又在区间(1,2)内单调递减的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x解析：选B 对于A ，偶函与单调递减均不满足；对于B ，符合题意；对于C ，不满足单调递减；对于D ，不满足单调递减，故选B.2．设f (x )是周期为2的奇函，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( ) A ．－12B ．－14C.14D.12 解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 3．(2017·绵阳诊断)已知偶函f (x )在区间(a <b <0)上的值域为，则在区间上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B 法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈时，－x ∈，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4，∴－4≤f (x )≤3，即在区间上f (x )min ＝－4，f (x )m ax ＝3，故选B.5．设f (x )是定义在实集上的函，且f (2－x )＝f (x )，若当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选C 由f (2－x )＝f (x )可知函f (x )的图象关于x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53<f (2)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)，故选C. 6．(2017·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函，g (x )＝2＋f x f x .若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f f ＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f －f －＝2－1－1＝－1.答案：－17．定义在R 上的奇函y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函y＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或x >12 8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函和偶函，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函和偶函，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函，当x >0时，f (x )＝x1－3x .(1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )<－x 8. 解：(1)因为f (x )是奇函，所以当x <0时， f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝x1－3x ，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x 1－3－x. (2)f (x )<－x 8，当x >0时，即x 1－3x <－x 8，所以11－3x <－18，所以13x －1>18，所以3x －1<8，解得x <2，所以x ∈(0,2)．当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18，所以3－x >32，所以x <－2，所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 10．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函．(1)求实m 的值；(2)若函f (x )在区间上单调递增，求实a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实a 的取值范围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知y ＝f (x )是偶函，当x >0时，f (x )＝x ＋4x，且当x ∈时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是________．解析：∵当x ∈时，n ≤f (x )≤m 恒成立，∴n ≤f (x )min 且m ≥f (x )m ax ，∴m －n 的最小值是f (x )m ax －f (x )min ，又由偶函的图象关于y 轴对称知，当x ∈时，函的最值与x ∈时的最值相同，又当x >0时，f (x )＝x ＋4x，在上递减，在上递增，且f (1)>f (3)， ∴f (x )m ax －f (x )min ＝f (1)－f (2)＝5－4＝1.答案：12．设函f (x )是定义在R 上的奇函，对任意实x有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函，求实a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函．故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立．于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0. 第四节函的图象1．描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：(1)①确定函的定义域；②简函的解析式；③讨论函的性质(奇偶性、单调性、周期性)．(2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点)．(3)描点，连线．。

2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第二章函数与导数

第二章函数与导数第1课时函数及其表示(对应学生用书(文)、(理)9～11页)1. (必修1P 26练习3改编)下列对应关系中________是函数．(填序号) ① A ＝R ＋，B ＝R ，对于任意的x∈A，x →x 的算术平方根；② A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{0，2，4，6，8}，对于任意的x∈A，x →2x ；③ x →－12x ，x ∈R ；④ x →y ，其中y ＝|x|，x ∈R ，y ∈R ；⑤ x →y ，其中y 为不大于x 的最大整数，x ∈R ，y ∈Z . 答案：①③④⑤解析：①③④⑤均符合函数的定义，②对于集合A 中的元素5，在集合B 中找不到元素与之对应．2. (必修1P 26练习4改编)下列各组函数中，表示同一函数的是__________．(填序号)① y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1；② y＝x 0和y ＝1；③ f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④ f(x)＝（x ）2x 和g(x)＝x （x ）2. 答案：④解析：只有④表示同一函数，①与②中定义域不同，③是对应法则不同．3. (必修1P 31习题1改编)设函数f(x)＝41－x.若f(a)＝2，则实数a ＝__________．答案：－1解析：由题意可知，f(a)＝41－a＝2，解得a ＝－1.4. (必修1P 31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__________．答案：－4解析：由表中函数值得f(3)＝－4. 5. (必修1P 36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为____________．答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2解析：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式．当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0<x≤2时，f(x)＝－x2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0，－12x ，0<x ≤2.1. 函数的概念(1) 函数的定义一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．(2) 函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的定义域；若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(3) 函数的要素函数的构成要素：定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数为相同的函数或同一函数．这是判断两函数相等的依据．2. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法(解析式法)、图象法． 3. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．4. 映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．函数是映射，但映射不一定是函数．[备课札记], 1 函数的概念), 1) 下列集合A 到集合B 的对应关系中，是从集合A 到集合B 的映射的有________．(填序号)① A ＝R ，B ＝{y|y>0}，f ：x→y＝|x|；② A ＝{x|x≥2，x ∈N *}，B ＝{y|y≥0，y ∈N }，f ：x→y＝x 2－2x ＋2； ③ A ＝{x|x>0}，B ＝{y|y∈R }，f ：x→y＝±x ；④ A ＝{α|α是三角形的内角}，B ＝{y|y∈R }，对应法则：y ＝tan α；⑤ A ＝{m|m∈Z }，B ＝{y|y ＝0或y ＝1}，对应法则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ＝2n ，n ∈Z ，1，m ＝2n ＋1，n ∈Z ；答案：②⑤解析：① 集合A 中的零元素，在集合B 中没有相应的对应元素． ② 按照对应法则，满足题设条件． ③ 一对多，不满足映射的概念．④ ∵ π2∈A ，但π2的正切值不存在，∴ 此对应不是从集合A 到集合B 的映射．⑤ ∵ 集合A 中的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，∴ 此对应是从集合A 到集合B 的映射．点评：判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；② B 中元素可无原象，即B 中元素可以有剩余．备选变式（教师专享）已知映射f ：A→B，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝－x 2＋2x ，对于实数k∈B，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________．答案：(1，＋∞)解析：由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1时满足题意．, 2 函数的解析式), 2) 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f(x)； (3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)．解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2(t≥2)，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1.由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝ax 2＋bx ＋1＋2x ，整理，得(2a －2)x ＋a ＋b ＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴ f(x)＝x 2－x ＋1. 变式训练根据下列条件分别求出f(x)的解析式． (1) f(x ＋1)＝x ＋2x ；(2) 二次函数f(x)满足f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2.解：(1) 令t ＝x ＋1，∴ t ≥1，x ＝(t －1)2.则f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f(x)＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2) 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，∴ f(x ＋2)＝a(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋c ，则f(x ＋2)－f(x)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 又f(0)＝3，∴ c ＝3，∴ f(x)＝x 2－x ＋3., 3 分段函数), 3) 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA由B 点(起点)向A 点(终点)移动．设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f(x)．(1) 求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数解析式； (2) 作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．解：(1) 这个函数的定义域为(0，12)，当0＜x≤4时，S ＝f(x)＝12·4·x ＝2x ；当4＜x≤8时，S ＝f(x)＝8；当8＜x ＜12时，S ＝f(x)＝12·4·(12－x)＝24－2x.∴ 函数解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（0，4]，8，x ∈（4，8]，24－2x ，x ∈（8，12）.(2) 其图象如图所示，由图知f max (x)＝8.变式训练已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的取值范围是____________．答案：(－1，2－1)解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0的图象如图所示：f(1－x 2)>f(2x)⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，1－x 2>0，解得－1<x<2－1. 备选变式（教师专享）对于实数a 和b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1，设函数f(x)＝(x ＋2)*(3－x)，x ∈R .若方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．答案：(－∞，2)解析：令x ＋2－(3－x)≤1，求得x≤1，则f(x)＝(x ＋2)*(3－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤1，3－x ，x>1，画出函数f(x)的图象，如图，方程f(x)＝c 恰有两个不同的解，即是函数f(x)的图象与直线y ＝c 有2个交点，数形结合可得c<2.特别提醒：本题主要考查分段函数的解析式、函数的零点以及新定义问题，属于难题．已知函数零点个数(方程根的个数)求参数取值范围的三种常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g(x)，y ＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g(x)的图象的交点个数问题．1. (2018·溧阳中学周练)若x∈R ，则f(x)与g(x)表示同一函数的是________．(填序号)① f(x)＝x ，g(x)＝x 2；② f(x)＝1，g(x)＝(x －1)0；③ f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x（x ）2； ④ f(x)＝x 2－9x ＋3，g(x)＝x －3.答案：③解析：①中，g(x)＝x 2＝|x|≠x；②中，g(x)＝(x －1)0＝1(x≠1)；③中，f(x)＝（x ）2x＝1(x>0)，g(x)＝1(x>0)；④中，f(x)＝x 2－9x ＋3＝x －3(x≠－3)．因此填③.2. 二次函数y ＝f(x)＝ax 2＋bx ＋c(x∈R )的部分对应值如下表：则关于x 答案：[－3，2] 解析：由表格数据作出二次函数的草图，结合数据与图象即可发现不等式f(x)≤0的解集为[－3，2]．3. 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．答案：44. 有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间的关系如图所示．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y 与x 之间的函数关系是____________________．答案：y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953 解析：设进水速度为a 1 L/min ，出水速度为a 2 L/min ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝20，5a 1＋15（a 1－a 2）＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95.当水放完，时间为x ＝953 min ，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95⎝⎛⎭⎪⎫20≤x≤953. 5. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0.若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是____________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a ＜0时，－a －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．6. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ＞0，12－|12＋x|，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析：如图，作出函数图象，y 2＝kx －k 过定点(1，0)，临界点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12和(1，0)连线的斜率为－13，又f′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．, 3. 分段函数意义理解不清致误)典例已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为__________．易错分析：(1) 误以为1－a<1，1＋a>1，没有对a 进行讨论直接代入求解；(2) 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－34特别提醒：(1) 注意分类讨论思想在求函数值中的应用，对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解；(2) 检验所求自变量的值或范围是否符合题意，求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．1. 已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{1，2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是______，从B 到A 的映射个数是______．答案：8 9解析：依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.所以填写答案依次为：8；9.2. 已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．答案：9解析：列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．3. 若函数f(x)＝xax ＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，则f(x)＝________．答案：2x x ＋2解析：由f(2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，∵ 方程有唯一解，∴ 1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴ f(x)＝2xx ＋2.4. 如图，动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，当x表示点P 的行程，y 表示PA 之长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值．解：当P 在AB 上运动时，y ＝x(0≤x≤1)；当P 在BC 上运动时，y ＝1＋（x －1）2(1<x≤2)；当P 在CD 上运动时，y ＝1＋（3－x ）2(2<x≤3)；当P 在DA 上运动时，y ＝4－x(3<x≤4). ∴ y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （0≤x≤1），1＋（x －1）2（1<x≤2），1＋（3－x ）2（2<x≤3），4－x （3<x≤4），∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52.5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．答案：[－4，2]解析：f(x)≥－1，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1，解之得－4≤x≤0或0<x≤2，即原不等式的解集是[－4，2]．6. (2018·溧阳中学周测)设函数f(x)定义如下表，数列{x n }(n∈N *)满足x 1＝1，且对于任意的正整数n ，均有x n ＋1＝f(x n )，求x 2 018的值．解：因为x 1＝1，所以x 2＝f(x 1)＝f(1)＝2，x 3＝f(x 2)＝f(2)＝3，x 4＝f(x 3)＝f(3)＝4，x 5＝f(x 4)＝f(4)＝1，x 6＝f(x 5)＝f(1)＝2，…，不难看出数列{x n }是以4为周期的周期数列，所以x 2 018＝x 4×504＋2＝x 2＝2.点评：通过观察一些特殊的情形，来获得深刻的认识，是探索数学问题的一种重要方法，应注意学习，同时函数的表示也可以利用列表法来给出．1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数．从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法、换元法、待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的范围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．第2课时函数的定义域和值域(对应学生用书(文)、(理)12～14页)1. (必修1P 25例2改编)函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是____________________．答案：[2，3)∪(3，＋∞)解析：要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，解得x≥2且x ≠3.2. (必修1P 26练习6(2)(4)改编)函数y ＝1x 2－1＋x ＋1的定义域为__________________．答案：(－1，1)∪(1，＋∞)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≠0，x ＋1≥0，∴ x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)．3. 函数y ＝1x 2＋2的值域为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：∵ x 2＋2≥2，∴ 0<1x 2＋2≤12.∴ 0<y ≤12.4. 若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．答案：[－5，＋∞)解析：∵ x 有意义，∴ x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，函数y ＝x 2＋3x －5在[0，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝0时，y min ＝－5.∴ 函数y ＝x 2＋3x －5的值域是[－5，＋∞)．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是____________________．答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析：∵ x∈(－∞，1)∪[2，5)，∴ x －1∈(－∞，0)∪[1，4)．当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1，4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.1. 函数的定义域(1) 函数的定义域就是使函数表达式有意义的所有的输入值x 组成的集合．在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观念．(2) 求定义域的步骤① 写出使函数有意义的不等式(组)． ② 解不等式(组)．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ．⑤ y ＝tan x 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与定义域中输入值x 对应的y 的值叫做输出值，所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b 24a，＋∞)；当a<0时，值域为(－∞，4ac －b24a ]．③ y ＝kx (k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥ y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tan x 的值域是R ． 3. 函数的最值一般地，设y ＝f(x)的定义域为A. (1) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最大值，记为y max ＝f(x 0)．(2) 如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x 0)，那么称f(x 0)为y ＝f(x)的最小值，记为y min ＝f(x 0)．4. 值域与最值的关系若函数y ＝f(x)的最大值为b ，最小值为a ，那么y ＝f(x)的值域必定是数集[a ，b]的子集，若f(x)可以取到[a ，b]中的一切值，那么其值域就是[a ，b]．5. 复合函数如果函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)，则y ＝f(g(x))叫做由函数y ＝f(u)(u∈A)，u ＝g(x)(x∈B，u ∈A)合成的复合函数，u 叫做中间变量．y ＝f(u)(u∈A)，叫做该复合函数的外层函数，而u ＝g(x)(x∈B)叫做该复合函数的内层函数．注意：由u ＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即内层函数的值域是外层函数的定义域．6. 函数解析式的表示离不开函数的定义域．[备课札记], 1 求函数的定义域), 1) (1) 已知函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是__________． (2) 函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为____________．答案：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 (2) (－1，1) 解析：(1) 因为函数f(x)的定义域是[0，2]，所以函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x＋12≤2，0≤x －12≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤32，12≤x ≤52.所以12≤x ≤32，所以函数g(x)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x<1.变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 函数f(x)的定义域是[－1，1]，求f(log 2x)的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0，∴ 函数定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)． (2) ∵ 函数f(x)的定义域是[－1，1]，∴ －1≤log 2x ≤1，∴ 12≤x ≤2.故f(log 2x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 备选变式（教师专享）求下列函数的定义域：(1) y ＝lg （2－x ）12＋x －x2＋(x －1)0； (2) y ＝lg sin x ＋64－x 2. 解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－x>0，12＋x －x 2>0x －1≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x<2，－3<x<4x≠1，，∴ －3<x<2且x≠1，∴ 所求函数的定义域为{x|－3<x<2且x≠1}．(2) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，64－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<2k π＋π，k ∈Z ，－8≤x≤8. ∴ －2π<x<－π或0<x<π或2π<x ≤8.∴ 所求函数的定义域为(－2π，－π)∪(0，π)∪(2π，8]．, 2 求函数的值域), 2) 求下列函数的值域： (1) f(x)＝x －1－2x ；(2) y ＝1－x21＋x 2；(3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (解法1：换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是f(t)＝1－t22－t＝－12(t ＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.(解法2：单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.(2) y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1.因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<21＋x2－1≤1，即y∈(－1，1]．所以函数的值域为(－1，1]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y2－y.因为x∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t－2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．备选变式（教师专享）求下列函数的值域：(1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f(x)＝1－x ＋x ＋3的定义域是[－3，1]．令y ＝f(x)，则y≥0，∴ y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3），即y 2＝4＋2－（x ＋1）2＋4(－3≤x≤1)．令t(x)＝－(x ＋1)2＋4(－3≤x≤1)．∵ x ∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，知0≤t(x)≤4，从而y 2∈[4，8]，即y∈[2，22]， ∴ 函数f(x)的值域是[2，22]．(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12＝（x ＋3）（x －3）（x －3）（x －4）＝x ＋3x －4＝1＋7x －4(x≠3且x≠4)．∵ x ≠3且x≠4，∴ g (x)≠1且g(x)≠－6.∴ 函数g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)． (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}．当x>1时，log 3x>0，log x 3>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，log x 3<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]－1≤－2－1＝－3.∴ 函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)., 3 函数值和最值的应用)●典型示例, 3) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【思维导图】函数恒成立→不等式恒成立→分类讨论→新函数的最值→a 的取值范围【规范解答】解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2.∵ f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴ f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) (解法1)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，∴ x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)．∵ y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在[1，＋∞)上单调递增，∴ 当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.(解法2)f(x)＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故当x ＝1时，f(x)min ＝3＋a ，当且仅当f(x)min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3. 【精要点评】解法1运用转化思想把f(x)>0转化为关于x 的二次不等式；解法2运用了分类讨论思想．●总结归纳(1) 求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．(2) 函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求具备较高的数学思维能力、综合分析能力以及较强的运算能力．(3) 运用函数的值域解决实际问题此类问题的关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题目要求具有较强的分析能力和数学建模能力．●题组练透1. 函数y ＝x 2＋x ＋1的值域是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：∵ x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，∴ y ≥32，∴ 值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2. 函数y ＝x ＋1－2x 的值域是____________．答案：(－∞，1]解析：令1－2x ＝t(t≥0)，则x ＝1－t 22.∵ y ＝1－t 22＋t ＝－12(t －1)2＋1≤1，∴ 值域为(－∞，1]．3. 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域．解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min ＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0，∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32.当－1≤a≤1时，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4；当1<a≤32时，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－(a －12)2＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2.∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 4. 已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R . (1) 求实数m 的取值范围；(2) 当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．解：(1) 当m ＝0时，x ∈R ；当m≠0时，m ＞0且Δ≤0，解得0＜m≤1.故实数m 的取值范围是0≤m≤1.(2) 当m ＝0时，f(0)＝22；当0＜m≤1时，因为y ＝m （x －3）2＋8－8m ，故f(m)＝8－8m(0＜m≤1)．所以f(m)＝8－8m (0≤m≤1)，其值域为[0，22]．1. 函数f(x)＝ln （2x －x 2）x －1的定义域为____________．答案：(0，1)∪(1，2)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0得0＜x ＜2且x≠1.2. 已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．答案：{1}解析： x 2－2x ＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a ＝0，则a ＝1.3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为____________．答案：(－∞，1]解析：可由函数的图象得到函数f(x)的值域为(－∞，1].4. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案：(1，2]解析：当x≤2时，－x ＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x ＞2时，f(x)＝3＋log a x 的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a ＞1，所以3＋log a 2≥4，解得1＜a≤2，所以实数a 的取值范围是(1，2]．5. 已知函数f(x)＝a x＋b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案：－32解析：当a>1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，该方程组无解；当0<a<1时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝12，则a ＋b ＝12－2＝－32. 6. (2018·南阳一中二模)设g(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 若g(x)的定义域为R ，求m 的取值范围；(2) 若g(x)的值域为[0，＋∞)，求m 的取值范围．解：令f(x)＝mx 2＋x ＋1.(1) 由题意知f(x)≥0在R 上恒成立．① 当m ＝0时， f(x)＝x ＋1≥0在R 上不恒成立；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≤0，∴ m ≥14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2) 由题意知，f(x)＝mx 2＋x ＋1能取到一切大于或等于0的实数． ① 当m ＝0时，f(x)＝x ＋1可以取到一切大于或等于0的实数；② 当m≠0时，要满足题意必有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝1－4m≥0，∴ 0<m ≤14.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 点睛：本题主要考查函数的定义域与值域、分类讨论思想，属于中档题．分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数的问题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并能应用于解题当中．1. 函数f(x)＝|x －2|－1log 2（x －1）的定义域为__________．答案：[3，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1）≠0，x －1>0，|x －2|－1≥0，解得x≥3.2. (2018·溧阳中学周练)函数f(x)＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为____________．答案：[－4，0)∪(0，1)解析：函数的定义域必须满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得x∈[－4，0)∪(0，1)．3. 当x ＝__________________时，函数f(x)＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取得最小值．答案：a 1＋a 2＋…＋a nn解析：f(x)＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )，当x ＝a 1＋a 2＋…＋a nn时，f(x)取得最小值．4. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x>2，x ＋a 2，x ≤2.若f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是____________________．答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：f(x)的值域为R ，则22＋a≤2＋a 2，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞).5. 已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a ，b](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a ，b)共有______个．答案：5解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，即1≤4|x|＋2≤2，解得0≤|x|≤2，满足条件的整数数对有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．6. 求函数y ＝（x ＋3）2＋16＋（x －5）2＋4的值域．解：函数y ＝f(x)的几何意义：平面内一点P(x ，0)到两点A(－3，4)和B(5，2)的距离之和就是y 的值．由平面几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B′(5，－2)．连结AB′，交x 轴于一点P ，点P 即为所求的最小值点，y min ＝AB′＝82＋62＝10.所以函数的值域为[10，＋∞)．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等．理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．[备课札记]第1课时函数的单调性(对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. 下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．(填序号)① y ＝1x 2；② y＝x 3；③ y＝x 0 ；④ y＝x 2.答案：④解析：∵ 函数y ＝x 2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴ 函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2. (必修1P 44习题2改编)(1) 函数f(x)＝2x ＋1的单调增区间是__________；函数g(x)＝－3x ＋2在区间(－∞，＋∞)上为________函数．(2) 函数f(x)＝x 2－2x －1的单调增区间为________，单调减区间为________．(3) 函数f(x)＝－1x －1在区间(－∞，0)上是单调________函数．(4) 函数y ＝1x在区间[1，3]上是单调________函数．答案：(1) (－∞，＋∞) 单调减 (2) [1，＋∞) (－∞，1] (3) 增 (4) 减3. (必修1P 54本章测试6改编)若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m ＝__________．答案：10解析：函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图象为开口向上，对称轴是x ＝－m 10的抛物线，要使函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m 10＝－1，∴ m ＝10.4. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：f(x)＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，由复合函数的增减性可知，g(x)＝1－2ax ＋2在(－2，＋∞)上为增函数，∴ 1－2a<0，∴ a>12.5. 设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是____________．答案：f(－3)>f(－π)解析：由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．1. 增函数和减函数一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图①所示)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说y ＝f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图②所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间D 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说这个函数在这个区间D 上具有单调性(区间D 称为单调区间)．3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质如果f(x)，g(x)为增函数，则① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f （x ）为减函数(f(x)>0)；③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．4. 函数的单调性的证明方法已知函数解析式，证明其在某区间上的单调性一般只能严格用定义(或导数)来证明．主要步骤：(1) 设元； (2) 作差(商)；(3) 变形(变形要彻底，一般通过因式分解、配方等方法，直到符号的判定非常明显)； (4) 判断符号； (5) 结论．[备课札记], 1 函数单调性的判断), 1) 判断函数f(x)＝axx 2－1(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．分析：此函数既不是常见函数，也不是由常见函数经过简单的复合而成，因此要判断其在区间(－1，1)上的单调性，只能用函数单调性的定义．解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a （x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）. 由－1<x 1<x 2<1得（x 1x 2＋1）（x 2－x 1）（x 21－1）（x 22－1）>0，∴ 当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(－1，1)上单调递减；同理，当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增．备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x2在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， ∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．∴ f(x)＝x1＋x2在[1，＋∞)上为减函数．点评：亦可证明函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[－1，1]上是增函数．由于函数f(x)＝x1＋x2是定义在R 上的奇函数，故利用单调性与奇偶性可作出函数f(x)＝x1＋x2的图象．同时也可得到函数f(x)＝x 1＋x 2在[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12., 2 求函数的单调区间), 2) 求下列函数的单调区间：(1) y ＝x 2－3|x|＋14；(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ； (3) y ＝log 2(6＋x －2x 2)．解：(1) ∵ y＝x 2－3|x|＋14＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －322－2（x≥0），⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－2（x<0）， ∴ 由图象可知，y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．(2) 易得定义域为R ，令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则u 在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．(3) 由题意得6＋x －2x 2>0，化简得2x 2－x －6<0，即(2x ＋3)(x －2)<0，解得－32<x<2，即定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.设u ＝6＋x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋498，易知其在⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2上为减函数，又y ＝log 2u 在定义域上为增函数，∴ y ＝log 2(6＋x －2x 2)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，14，单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，2. 点评：已知函数的解析式，讨论或求函数的单调区间，应首先确定函数的定义域，然后再根据复合函数单调性的判断规则在函数的定义域内求内层函数相应的单调区间．变式训练函数y ＝－(x －3)|x|的单调递增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －3）x ，x ≥0，（x －3）x ，x<0.画图象如图所示，可知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.备选变式（教师专享）作出函数f(x)＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时， y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x<1时， y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.函数图象如图，由函数图象可知函数单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)． ,3函数的单调性与最值)●典型示例, 3) 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思维导图】判断对称轴与区间的不同位置关系→分别画出图象→判断f(x)在区间的单调性→求出最值【规范解答】解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1) 当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2) 当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3) 当1<a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4) 当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max ＝3－4a；当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max ＝－1.【精要点评】 (1) 二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故需要确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2) 不是应该分a<0，0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0，2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．●总结归纳(1) 要注意函数思想在求函数值域中的运用，求函数最值常借助函数单调性．含有参数的最值问题，需要分类讨论参数在不同范围内时函数单调性的变化，进而判断最值的位置．(2) 不等式恒成立问题也可以转化为求函数的最值问题．●题组练透1. 函数y＝2x＋x＋1的值域是____________．答案：[－2，＋∞)解析：x≥－1，y是x的增函数，当x＝－1时，y min＝－2，∴函数的值域为[－2，＋∞)．2. 已知x∈[0，1]，则函数y＝x＋2－1－x的值域是______________．。

全国通用近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业十七2.12定积分的概念与微积分基本定

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时分层作业十七2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时分层作业十七2.12 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业十七定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题(每小题5分，共35分）1。

(x2+x3-30)dx= ( ）A.56 B。

28 C。

D.14【解析】选C。

(x2+x3-30)dx==（43-23)+（44—24）—30(4—2)=。

【变式备选】下列积分的值等于1的是( )A.xdx B。

（x+1）dxC。

dx D。

dx【解析】选C.dx=x=1。

2。

设函数f（x)=则定积分f(x）dx等于（)A。

B.2 C。

D。

【解析】选C。

f(x）dx=x2dx+dx=x3+x=.3.（2018·厦门模拟)设函数f(x）=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1，则f(-x）dx的值等于( ）A.B。

C。

D.【解析】选A。

f′（x)=mx m-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x，所以f（—x）=x2-x，所以f(—x）dx=(x2—x)dx==.4。

(2018·新余模拟）已知(x2+mx）dx=0，则实数m的值为（）A.—B.—C。

沪科版2019年高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练(含答案)

二、解答题
10. 如图，用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为 x，求此框架围成的
面积 y 与 x 的函数式 y＝f(x)，并写出它的定义域．
解：设
C︵D AB＝2x，＝πx，于是
1－2x－πx AD＝ 2 ，
1－2x－πx πx2
π＋4
则 y＝2x· 2 ＋ 2 ，即 y＝－ 2 x2＋x.
函数 f(x)的值域为[3，13]． a
11. 函数 f(x)＝2x－x的定义域为(0，1](a∈R)．
(1) 当 a＝－1 时，求函数 y＝f(x)的值域；
(2) 若 f(x)>5 在定义域上恒成立，求 a 的取值范围．
a
1
1
2x·
解：(1) 当 a＝－1 时，∵ x∈(0，1]，∴ y＝f(x)＝2x－x＝2x＋x≥2
③ A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1；
④ A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1；
⑤ A＝Z，B＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1.
答案：①②④⑤
解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集 A 到非空数集 B 的映射．③中集合 A 中的元素 3 在集合 B
中无元素与之对应，故不是 A 到 B 的函数．其他均满足．
{ ) { ) 1，x > 0，
0，x＝0，
1，x为有理数，
2. 设 f(x)＝－1，x < 0， g(x)＝ 0，x为无理数，则 f(g(π))的值为________．
答案：0
解析：根据题设条件，∵ π 是无理数，∴ g(π)＝0，
∴ f(g(π))＝f(0)＝0.
答案：[0，＋∞) 解析：若 f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则 g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又 g(x)是定义在 R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此 g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若 g(x)的值域为(－∞，－1]，则 f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以 g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、解答题 9. 求下列函数的值域： (1) y＝2x－ x－1； (2) y＝ x＋1－ x－1.

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2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标17
定积分与微积分基本定理理
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．
一、选择题
1．⎠⎛0
1e x
d x 的值等于( C )
A ．e
B ．1－e
C ．e －1
D ．1
2
(e －1) 解析 ⎠⎛0
1e x
d x ＝
e x |1
0＝e 1
－e 0
＝e －1，故选C ．
2．⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝( C )
A ．e 2－2
B ．e －1
C ．e 2
D ．e ＋1
解析 ⎠⎛1
e ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|e 1＝e 2
.故选C ．
3．求曲线y ＝x 2
与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ) A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2
)d x
B ．S ＝⎠⎛01(x 2
－x )d x
C ．S ＝⎠⎛0
1(y 2
－y )d y
D ．S ＝⎠⎛0
1(y －y )d y
解析由图象可得S ＝⎠⎛0
1(x －x 2
)d x .
第3题图第4题图
4．曲线y ＝2
x
与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( D )
A ．2ln 2
B ．2－ln 2
C ．4－ln 2
D ．4－2ln 2
解析由曲线y ＝2
x
与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，
故所求图形的面积为
S ＝⎠
⎛2
4⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －1－2x d x ＝(1
2x 2－x －2ln x )|42＝4－2ln 2. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
，x ∈[0，1]，1
x
，x ∈，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0
e f (x )d x 的值为
( A )
A ．4
3 B ．1
π C ．1
2
D ．π－2π
解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1
e 1x d x ＝13x 3|10＋ln x |e
1＝13＋1＝43
，故选A ．
6．如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( D
)
A ．2
π B ．1π C ．1
2
D ．π－2π
解析因为⎠⎜⎛0
π
2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪
π2
＝1
故所求概率为π－1×2π＝π－2
π.
二、填空题
7．⎠⎜⎛0
π
2 (cos x －sin x )d x ＝__0__. 解析 ⎠⎜⎛0
π
2 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪
π2
＝0.
8．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠
⎛1
e f (x )d x ＝ e 2
＋1
2 .
解析 ⎠⎛1e
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x |e 1＝
e 2
＋12.
9．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(图中的阴影部
分)
解析由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0
π
4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪
π4
＝2(2－1)．
三、解答题
10.求下列定积分．,(1)⎠⎛12⎝
⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠
⎛0－π(cos x ＋e x
)d x .
解析 (1)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2
d x ＋⎠⎛121x
d x ＝
x 2
22
1
－
x 3
3
21
＋ln x |2
1＝32－73
＋ln
2＝ln 2－5
6
.
(2) ⎠⎛－π0
(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0
cos x d x ＋⎠⎛－π0
e x
d x ＝sin x |0－π＋
e x |0－π＝1－1e π.
11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数
g (x )＝x 2
围成的图形的面积．
解析 ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3
－x 2
＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k 则k ＝f ′(1)＝(3x 2
－2x ＋1)|x ＝1＝2
∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2
围成的
图形如图．,由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，y ＝2x 可得交点A (2,4)．
∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2
围成的图形的面积
S ＝⎠⎛0
2(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－1
3
x 3|20＝4－8
3＝43
.,12.已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图
象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．,(1)求a ，b ，c
的值；,(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．,
解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则
⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝0，a ·82
＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 2
4a ＝16，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝8，
c ＝0.
(2)由(1)知，函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2
＋8x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－t 2
＋8t ，y ＝－x 2
＋8x ，得x 2
－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .
∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2
＋8t )，由定积分的几何意义知：
S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t
2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2|t 0＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3
3＋4x 2－－t 2＋8t x |2t
＝－43t 3＋10t 2－16t ＋40
3
.。