2020届北京延庆区高三数学一模试卷含答案

延庆区高三模拟考试试卷数学2020. 3本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数2i 2i z a a =--是正实数，则实数a 的值为（A ）0（B ）1（C ）1-（D ）1±（2）已知向量(1,)a k =r ，(,2)b k =r ，若a r 与b r方向相同，则k 等于（A ）1（B ）2±（C ）2- （D ）2（3）下列函数中最小正周期为π的函数是（A ）sin y x =（B ）1cos 2y x = （C ）tan 2y x = （D ）|sin |y x =（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（A ）1y x =（B ）tan y x = （C ） e e x x y -=- （D ）2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩（5）某四棱锥的三视图所示，已知 该四棱锥的体积为433，则它的表 面积为（A ）8 （B ）12 （C ）443+ （D ）20（6）251(2)x x+的展开式中，4x 的系数是（A ）160 （B ）80 （C ）50 （D ）101 1正（主）视图1 1侧（左）视图俯视图（7）在平面直角坐标系xOy 中，将点(1,2)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于（A ） （B ） （C （D ）25- （8）已知直线,a b ，平面,αβ，b αβ=I ，//a α，a b ⊥，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9） 某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取lg20.3010=） （A ）6 年（B ）7年 （C ）8年（D ）9年（10） 已知双曲线22:1169x y C -=的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF ∆的面积为（A ）2 （B （C ）32 （D ）92 第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知集合{|1}kM x x=>-，且3M -∈，则k 的取值范围是 ． （12）经过点(2,0)M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是 ． （13）已知函数22()sin sin 2cos f x x x x =+-，则()12f π= ．（14）某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.（15）在ABC ∆中，10AB =，D 是BC 边的中点. 若6AC =，60A ∠=︒，则AD的长等于 ；若45CAD ∠=︒，62AC =，则ABC ∆的面积等于 .三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB =，PD PC ⊥，O 是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC上的一点，//PA 平面BDE . （Ⅰ）求证：E 是PC 的中点； （Ⅱ）求证：PD 和BE 所成角等于90︒.（17）（本小题14分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =， . （Ⅰ）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由； （Ⅱ）求n S 的最值.从 ①810a =，②88a =，③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（18）（本小题14分）A ，B ，C 三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：A 班 12 13 13 18 20 21B 班1111.512131317.520OEDABP（Ⅰ）试估计A 班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率. （19）（本小题14分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围. （20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为(F ，且经过点(C ，,A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点的直线与G 交于,P Q 两点（点在第一象限），且与线段交于点. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）若3PQ =，求直线的方程；（Ⅲ）若的面积是的面积的4倍，求直线的方程. （21）（本小题14分）在数列{}n a 中，若*n a ∈N ，且1, ,23, nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数（1,2,3,n =L ），则称{}n a 为“J 数列”.设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）若110a =，求3n S 的值；O l Q AB M l BOP ∆ΔBMQ l（Ⅱ）若317S =，求1a 的值； （Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3.延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. C 2．D ． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）11．(,3)-∞； 12. 3(2)3y x =±+； 13．132-；14．16,29； 15．7,42.三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（Ⅰ）联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ， …………1分 因为 //PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以 //PA EF …………4分 因为 ABCD 是正方形，所以 F 是AC 的中点 所以 E 是PC 的中点 …………6分 （Ⅱ）（法一）因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO BC ⊥ …………7分 因为 ABCD 是正方形， 所以 BC CD ⊥因为PO CD O =I所以 BC ⊥平面PDC …………10分 所以 BC PD ⊥ 因为 PD PC ⊥ 因为BC PC C =I所以 PD ⊥平面PBC …………13分ED A CB PFO因为 BE ⊂平面PBC 所以 PD BE ⊥所以 PD 与BE 成90︒角. …………14分 （法二）连接OF ，因为 PO ⊥平面ABCD ，所以 PO ⊥CD ， PO ⊥OF .因为 ABCD 是正方形，所以OF CD ⊥.所以 ,,OF OC OP 两两垂直.以,,OF OC OP 分别为x 、y 、z 建立空间直角坐标系O xyz -.………8分 则(0,0,2)P ，(0,2,0)D -，(4,2,0)B ，(0,1,1)E ，(0,2,2)PD =--u u u v ，(3,1,1)BE =--u u u v, ………10分 0(3)(2)(1)(2)1PD BE ⋅=⨯-+-⨯-+-⨯u u u v u u u v0= ………13分所以所以 PD 与BE 成90︒角. ………14分17. 解：选① （Ⅰ）因为10816,10a a ==，所以3d = …………2分 所以 187102111a a d =-=-=- …………4分 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =- …………6分令 3142024n -=，则32038n = 此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项. …………8分 （Ⅱ）（法一）令0n a >， 即 3140n ->，解得：142433n >= ∴当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a < …………11分∴当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.…13分n S 无最大值 …………14分（Ⅱ）（法二）21()325222n n n a a S n n +==-， 2514266b a -== …………11分 ∴当4n =时，n S 的最小值为43251642622S =⨯-⨯=-.…13分n S 无最大值 …………14分选② （Ⅰ）10816,8a a ==Q ，4d ∴= …………2分18782820a a d ∴=-=-=- …………4分 1(1)20(1)4n a a n d n ∴=+-=-+-⨯424n =- …………6分令 4242024n -=，则42048n = 解得512n =2024∴是数列{}n a 中的第512项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 4240n -≥，解得：6n ≥∴当6n =时，0,n a =∴当6n >时，0,n a >当6n <时，0,n a < …………11分 ∴当5n =或6n =时，n S 的最小值为562016128460S S ==-----=-. …………13分 n S 无最大值 …………14分选③ （Ⅰ）10816,20a a ==Q ，2d ∴=- …………2分187201434a a d ∴=-=+= …………4分 1(1)34(1)(2)n a a n d n ∴=+-=+-⨯-236n =-+ …………6分令 2362024n -+=，则994n =-（舍去）2024∴不是数列{}n a 中的项. …………8分（Ⅱ）令0n a ≥， 即 2360n -+≥，解得：18n ≤∴当18n =时，0,n a =∴当18n >时，0,n a <当18n <时，0,n a > …………11分 ∴当17n =或18n =时，n S 的最大值为 171818(340)3062S S ⨯+===. …………13分n S 无最小值. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样 方法，A 班的学生人数估计为61203620⨯=． …………3分 （Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分设此人一周上网时长超过15小时为事件D,其中D 包含的选法有3+2+4=9种， …………6分9()20P D ∴=. …………7分 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920. ……………8分 （Ⅲ）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F 则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++===⨯U . ……………14分 （Ⅲ）另解：从A 班的6人中随机选2人，有26C 种选法，从B 班的7人中随机选1人，有17C 种选法，故选法总数为：2167157105C C ⋅=⨯=种 ……………10分设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为E ， 则E 中包含以下情况：（1）从A 班选出的2人超15小时，而B 班选出的1人不超15小时， （2）从A 班选出的2人中恰有1人超15小时，而B 班选出的1人 超15小时， ……………11分所以21111353322167151811()15735C C C C C P E C C ++===⨯. ……………14分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：222)1()1(2)(1+-='=x x x f a 时，当.∴切线的斜率2)0(='=f k ； 0)0(=f∴曲线)(x f y =在原点处的切线方程为：x y 2=. ……………5分 （Ⅱ）2222)1(2)12()1(2)(+-+-+='x xa ax x a x f 22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++（）（）……………7分 （1）当时，0>a 0100)(21>=<-=⇒='a x a x x f ；则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('）上单调递减，）上单调递增，在（在（+∞∴,11,0)(a a x f……………9分x 0 （0，a 1） a 1 （∞+，a1）)(x f ' + 0- )(x f 12-a 递增 )1(af 递减法1：2)1()(aaf x f =∴的最大值为……………10分,1)0()(0)(2恒成立）时，，（存在最小值，则若-=≥∞+∈a f x f x x f1112222-≥+-+a x a ax 即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≥∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，0212≤-∴a a .1001,02≤<∴≤-∴>a a a ，Θ ……………13分所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分法2：2)1()(a af x f =∴的最大值为； ……………10分当1x a>时，22ax >，222110ax a a +->+>， 0)(,→+∞→∴x f x 时；即]1,0[a x ∈时，22()[1,]f x a a ∈-；)1[∞+∈，ax 时，2()0]f x a ∈（， 01)0()(2≤-=a f x f 存在最小值，则若，10≤<∴a所以a 的取值范围为]1,0(. ……………14分（2）当时，0<a 0100)(21<=>-=⇒='a x a x x f ；. 则的变化情况如下表：随、x x f x f )()('x 0 （0，a -） a -（∞+-，a ） )(x f ' - 0 +)(x f 12-a 递减 )(a f -递增∴)(x f法1：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为.2()[0()1,f x x f x a ∈+∞≤-若存在最大值，则，）时，恒成立2222111ax a a x +-≤-+即：xa a x a ax 12112222≤-⇔-≤∴）（在),0(+∞∈x 恒成立，101,0,02122-≤∴≥-∴<≤-∴a a a aa ，Θ.综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（. 法2：1)()(-=-∴a f x f 的最小值为；当x a >-时，222ax a <-，222110ax a a +-<--<，0)(,→+∞→∴x f x ；即[0,]x a ∈-时，]1,1[)(2--∈a x f ；[)x a ∈-+∞，时，)0,1[)(-∈x f 01)0()(2≥-=a f x f 存在最大值，则若， 1.a ≤-综上：a 的取值范围是]1,0(]1,Y -∞-（.20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）法一：依题意可得22222211,.c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 法二：设椭圆的右焦点为1F ，则1||3CF =，24,2a a ∴==，c =Qb ∴=所以椭圆的标准方程为22142x y +=. …3分 （Ⅱ）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， …4分设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， …5分 易知0∆>，且1212240,12x x x x k-+==+， …6分则PQ == …7分3===，所以27,2k k ==(负舍)，所以直线l的方程为y x =. …8分 （Ⅲ）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为20x -=. …9分若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，只需使得4OQ MQ =， …10分 法一：即34M Q x x = ① . …11分 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得，M …12分由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得，Q ， …13分代入①可得21470k -+=，即：27702k -+=解得814k =，所以814y x ±=. …15分 法二：所以444(,)333m m OQ OM x y ==u u u v u u u u v，即44(,)33m m Q x y . …11分设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得，M …12分所以Q ，因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=， …13分代入可得21470k -+=，即：27702k -+=解得814k =，所以y x =. …15分 法三：所以00333(,)444OM OQ x y ==u u u u v u u u v，即0033(,)44M x y . …11分点M 在线段AB上，所以003204x y -=，整理得0083x =，① …12分因为点Q 在椭圆G 上，所以2200142x y +=，②把①式代入②式可得200970y -+=，解得013y =. …13分于是008433x =-=，所以，00814y k x ==. 所以，所求直线的方程为814y x =. …15分 21.解：（Ⅰ）当110a =时，{}n a 中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,L ，所以3716n S n =+. …………………………3分 （Ⅱ）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解. 综上，15a =. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a L 单调递减， 注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6ia ≤成立.经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；l当6i a 时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3. …………………………14分。