《圆周角和圆心角的关系》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入圆周角和圆心角的概念，让学生在实际情境中感受数学与生活的联系。
接着，通过观察和操作活动，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而证明圆周角定理。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的变换有一定的了解。
然而，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极参与观察、操作和思考。
此外，学生可能对圆的相关概念和性质有一定的了解，但需要进一步引导他们运用这些知识来解决实际问题。
三. 教学目标1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的概念及它们之间的关系。
2.圆周角定理的证明及其推论。
3.运用圆周角定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际情境，引导学生感受圆周角和圆心角的关系，激发学生的学习兴趣。
2.观察操作法：让学生通过观察、操作和思考，发现圆周角和圆心角之间的数量关系，培养学生的观察能力和操作能力。
3.问题驱动法：设置一系列问题，引导学生逐步深入探讨圆周角和圆心角的关系，培养学生的问题解决能力。
4.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，分享彼此的想法和成果，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片、实例和动画效果，帮助学生直观地理解概念和关系。
圆周角和圆心角的关系-北师大版九年级数学下册教案
圆周角和圆心角的关系 - 北师大版九年级数学下册教案一、知识目标1.记住圆周角和圆心角的定义，知道它们的度数关系。
2.熟悉相关概念和公式，能够灵活运用。
3.理解圆周角和圆心角的概念对于解题的重要性。
二、教学重点1.记住圆周角和圆心角的定义，明确它们的度数关系。
2.了解使用相关概念和公式解题的方法。
3.掌握圆周角和圆心角的应用技巧。
三、教学难点1.掌握圆周角和圆心角的应用技巧。
2.在实际应用中能够识别圆周角和圆心角。
四、教学过程1. 导入环节老师可以出示两个圆形图片，一个是圆周角的例子，一个是圆心角的例子，让学生自主分析其定义和特点，提出不同于直角角度的新角度，并引出本节课的主旨：圆周角和圆心角的关系。
2. 讲解圆周角和圆心角的概念1.圆周角：以圆心为端点，它所对的弧所对应的角度称为圆周角。
常用的表示方法为：θ=弧长/圆周长×360°。
2.圆心角：以圆的圆心为端点，它所对的弧所对应的角度称为圆心角。
常用的表示方法为：θ=弧长/半径。
3. 圆周角和圆心角的度数关系1.当圆弧等于圆周时，圆周角为360°，圆心角为2π。
2.当其他弧对应的圆周角大小为x°时，圆心角的大小为2x°。
3.当弧对应的圆周角大小为x°，半径为r时，弧长为x/360×2πr。
4. 综合练习1.练习1：在相同半径的圆中，一圆周角为120度，求另一圆弧所对的圆心角的大小。
2.练习2：半径为3cm的圆上的一弧所对的圆周角的大小为60度，求这个弧的长度。
3.练习3：在相同圆周上，圆心角比圆周角小20度，求这个圆弧对应的圆心角和圆周角的大小。
五、教学体会本节课主要介绍了圆周角和圆心角的概念和度数关系，通过逐一分析演示，使学生更加深刻地了解到各种情形下圆周角和圆心角的度数大小，并通过解题练习加深了对相关知识的掌握。
在教学的过程中，应适时提醒学生注重归纳总结，加强题目训练，以提高学生对知识点的理解和认识。
3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时(教案)-北师大版数学九年级下册
第4节圆周角和圆心角的关系1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程.2.理解圆周角的概念,了解并证明圆周角定理及其推论.3.理解圆的内接四边形的性质.1.经历探索圆周角和圆心角及其所对弧的关系的过程,培养学生观察、分析、猜想、归纳和逻辑推理的能力.2.通过渗透分类讨论、归纳等数学思想方法,培养学生的探究意识和探索新知识的能力.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中,感受探索的艰辛与喜悦,体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习欲望.【重点】1.掌握圆周角定理及其证明过程.2.运用圆周角定理及其推论解决相关问题.3.圆的内接四边形的性质及其应用.【难点】1.圆周角定理的证明过程.2.体会分类讨论、归纳等数学思想方法的应用.第1课时圆周角定理及其推论11.理解圆周角的概念,掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)及其推论1,并会运用它们进行有关的证明和运算.2.理解并掌握圆周角和圆心角之间的关系(圆周角定理)的证明方法.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,学会以特殊情况为基础,通过转化来解决一般性问题的方法,渗透分类的数学思想.通过观察、猜想、验证、推理,培养学生探索数学问题的能力和方法.【重点】掌握圆周角的概念、圆周角定理及推论1及其证明过程.【难点】了解圆周角与圆心的三种位置关系,用化归思想合情推理验证圆周角定理.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.复习三角形外角的知识和圆的基础知识.2.圆规和直尺.导入一:课件出示:如图所示,有一只小蚂蚁从C点出发,沿着圆周的方向逆时针爬行,在爬行的过程中,蚂蚁所在的点B与点A,C所组成的∠ABC的度数会发生变化吗?若∠AOC=60°,那么∠ABC的度数可能是多少?学生猜测:∠ABC的度数应该不会发生变化,∠ABC的度数可能是30°.【问题】∠ABC是什么角?圆心角∠AOC和∠ABC之间有什么样的关系?[设计意图]通过活泼的小蚂蚁的运动,让学生初步感知圆周角的基本概念以及圆周角与圆心角的关系,使学生对本节课的探究任务一目了然.导入二:课件出示:同学们,你们喜欢踢足球吗?看了2014年巴西世界杯和2015年加拿大女足世界杯了吗?(投影展示世界杯的精彩片段)【问题】请同学们想一想,球员射中球门的难易与什么有关?【学生活动】学生思考后积极回答,学生的答案可能会五花八门.【引导】射门球员与两个门柱组成的角度会决定球员射中球门的难易程度,相信学完本节课的知识你就可以解决这个问题了.[设计意图]由学生熟知的世界杯为引子,创设问题情境,吸引学生的注意,激发学生的学习兴趣.复习所学过的圆心角,并且引出要学习的圆周角,引导学生在观察图形的基础上进行独立思考,然后再进行合作交流,最后达成共识.课件出示:如图所示,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.当球员分别站在B,D,E的位置上射门时,哪个位置进球的可能性大?【学生活动】学生思考后并猜测,可能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大,也有学生认为一样大.【教师活动】教师对于学生的回答,暂时不做评论,教师出示动画效果的视频进行演示,继续引导学生思考下面的问题.【问题】图中的三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC,以前见过这种类型的角吗?它们有什么共同特征?【学生活动】生观察后,与同伴交流,代表小结三个角的共同特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角在圆的内部;(3)角的两边都与圆相交.【教师点评】我们把具有这样特征的角称为圆周角.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.【教师强调】理解圆周角的概念的两个特征:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交.[过渡语]同学们了解了圆周角的概念,通过下面的题目,来检测一下同学们对圆周角概念的理解程度.判断下列图中的角是否是圆周角,并说明理由.【学生活动】先让学生观察思考,独立判断,基础差的学生回答,并说明是与不是的理由.[设计意图]让学生学好基础知识、基本概念,识别其内容反映出来的数学思想和方法,培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力,使学生通过自己的观察与探索,发现、理解并掌握圆周角的定义.课件出示:【做一做】如图所示,∠AOB=80°.问题1请你画出几个所对的圆周角,这几个圆周角有什么关系吗?请与同伴进行交流.教师引导学生动手操作并思考下面的问题:1.你所画出的圆周角的度数之间有什么关系?你是怎么得到这个结论的?2.你能画出多少个圆周角?【师生活动】要求学生动手操作,师巡视,发现学生出现的问题,及时纠正.学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.1.使用量角器进行测量可得所对的圆周角的度数都相等.2.可以画出无数个相等的圆周角.问题2这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流.【师生活动】学生继续进行操作,师参与其中.【学生活动】学生独立完成并与同伴进行交流后,代表发言.利用量角器得出所对的圆周角都等于40°,都等于所对的圆心角80°的一半.【议一议】如果改变图中的∠AOB的度数,上面的结论还成立吗?【活动方式】分组探究,分别以∠AOB的度数为30°,90°,120°和150°为例,分四组练习,得出结论.再结合各组的结论,总结出圆周角与圆心角之间的关系.【学生活动】学生在小组内交流、汇总,并在全班交流、补充.【教师归纳】圆周角与圆心的位置关系只有三种:(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示);(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示);(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示).【教师活动】要求学生独立写出已知和求证,并利用图(1)进行证明.教师引导学生思考下面的问题:1.△AOC是什么三角形?2.∠AOB与△AOC有什么关系?代表展示:如图(1)所示,∠ACB是所对的圆周角,∠AOB是所对的圆心角.求证∠C=·∠AOB.证明:圆心O在∠C的一条边上,如图(1)所示.∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC,∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C,即∠C=∠AOB.【做一做】请你完成其他两种情况的证明.教师引导学生思考下面的问题:1.证明圆周角定理的主要思路是什么?2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的.对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理.如何进行转化呢?【师生活动】学生分组讨论,师要参与其中,对有困难的小组进行指点.代表发言:1.主要是利用等腰三角形的外角的知识进行证明.2.可以通过作直径的方法进行转化.【活动方式】分成四组解答,第一、三组利用图(2)进行证明,第二、四组利用图(3)进行证明.【学生活动】学生讨论后,理清了思路,独立解答.找2名学生代表板演展示.【教师活动】师利用多媒体出示证明过程,规范学生的证明步骤.证明:圆心O在圆周角的内部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD+∠BCD=∠AOD+∠BOD.即∠ACB=∠AOB.证明:圆心O在圆周角的外部(如图所示).在☉O中作直径CD,由前面的结论可知∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,∴∠ACD-∠BCD=∠AOD-∠BOD.即∠ACB=∠AOB.[设计意图]通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理,加深了学生对于圆周角定【想一想】在射门游戏中,当球员在B,D,E处射门时,所形成的三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗?学生分析:如图所示,因为∠ABC,∠ADC,∠AEC都是同一条所对的圆周角,根据圆周角定理,它们都等于所对的圆心角∠AOC度数的一半,所以这三个角都相等.【问题】根据上述探究的结论,以及三个圆周角的共性,你还能得出什么样的结论?【师生总结】圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.【想一想】你现在知道球员在哪个位置把球射进球门的可能性大了吗?学生统一了想法:因为∠ABC=∠ADC=∠AEC,所以球员在B,D,E处把球射进球门的可能性是一样大的.[设计意图]利用情境题及时巩固新知,使每个学生都有收获,感受成功的喜悦,充分肯定探索活动的意义,提高学生的积极性和主观能动性.[知识拓展]在同一个圆中,同弦所对的圆周角可能相等也可能互补.如图所示.【教师强调】(1)“同弧”指“同一个圆”.(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”.(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”.1.圆周角的概念.2.圆周角定理.3.圆周角定理的证明方法.4.圆周角定理的推论1.1.(2014·温州中考)如图所示,已知A,B,C在☉O上,为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C解析:由圆周角定理可得∠AOB=2∠C.故选A.2.如图所示,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25°B.50°C.60°D.80°解析:∵OA=OB,∴∠B=∠BAO=25°,∵AC∥OB,∴∠BAC=∠B=25°,∴∠BOC=2∠BAC=50°.故选B.3.如图所示,☉O的直径CD⊥AB,∠AOC=50°,则∠CDB的大小为.解析:由垂径定理,得=,∴∠CDB=·∠AOC=25°.故填25°.4.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,点D为上一点,∠ABC=∠BDC=60°,AC=3cm,求△ABC的周长.解:∵=,∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠ACB=60°.∴△ABC为等边三角形.∵AC=3cm,∴△ABC的周长为3×3=9(cm).第1课时1.圆周角的概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角.2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.一、教材作业【必做题】1.教材第80页随堂练习第1,2题.2.教材第80页习题3.4第1,2,3题.【选做题】教材第81页习题3.4第4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2014·山西中考)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2014·株洲中考)如图所示,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是.3.如图所示,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是.【能力提升】4.(2014·齐齐哈尔中考)如图所示,在☉O中,OD⊥BC,∠BOD=60°,则∠CAD的度数等于()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图所示,点E是的中点,点A在☉O上,AE交BC于D.求证BE2=AE·DE.6.如图所示,A,B,C,D是☉O上的四点,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2,ED=4,求AB的长.7.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=50°,∠APD=80°.(1)求∠ABD的大小;(2)求弦BD的长.【拓展探究】8.(2015·安徽中考)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图(1)所示,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图(2)所示,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.【答案与解析】1.B(解析:∵OA=OB,∠OBA=50°,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-50°×2=80°,∴∠C=∠AOB=40°.故选B.)2.28°(解析:∵∠AOB=2∠ACB,∠AOB+∠ACB=84°,∴3∠ACB=84°,∴∠ACB=28°.故填28°.)3.(解析:∵∠AED与∠ABC都对应,∴∠AED=∠ABC,在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,根据勾股定理得BC=,则cos∠AED=cos∠ABC==.)4.D(解析:∵在☉O中,OD⊥BC,∴=,∴∠CAD=∠BOD=×60°=30°.故选D.)5.证明:∵点E是的中点,∴=.∴∠BAE=∠CBE,∵∠E=∠E(公共角),∴△BDE∽△ABE,∴BE∶AE=DE∶BE,∴BE2=AE·DE.6.解:∵在☉O中,AB=AC,∴弧AB=弧AC.∴∠ABC=∠D.又∠BAE=∠DAB,∴△ABE∽△ADB.∴=,即AB2=AE·AD=2×6=12.∴AB=2.7.解:(1)∵∠APD是△APC的外角,∠CAB=50°,∠APD=80°,∴∠C=80°-50°=30°,∴∠ABD=∠C=30°.(2)如图所示,过点O作OE⊥BD于点E,则BD=2BE,由(1)知∠ABD=30°,OB=5cm,∴BE=OB·cos30°=3×=(cm),∴BD=2BE=2×=3(cm).8.解:(1)连接OQ,如图(1)所示,∵PQ∥AB,OP⊥PQ,∴OP⊥AB,在Rt△OBP中,∵tan B=,∴OP=3tan30°=,在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,∴PQ==.(2)连接OQ,如图(2)所示,在Rt△OPQ中,PQ==,∴当OP的长最小时,PQ的长最大,此时OP⊥BC,则OP=OB=,∴PQ长的最大值为=.本节课教学设计上,一是注重了创设情境,激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望,为下一步教学的顺利展开开个好头;二是注重了引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程,鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习,使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.探索并证明圆周角和圆心角的关系,学生解决起来是有一定难度的,教学时可以给学生留出充足的时间和空间,让他们进行思考、交流.学生在经历画图、猜想、推理、交流、严格证明等过程后,自己得出了结论,收到了预期的效果.在学生证明圆周角定理时由于引导效果不好,导致有些学生解决问题还有困难,不知如何入手.今后在教学中多训练学生的思维能力,再放手,采取结对子帮扶,充分发挥小组长的示范作用.练习(教材第80页)1.解:∠A=∠BOC=×50°=25°.2.解:∠BDC=∠BAC.相等的角还有:∠ADB=∠ACB,∠DBA=∠DCA,∠CAD=∠CBD.习题3.4(教材第80页)1.解:∠ACB=2∠BAC.∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,且∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.2.解:∵∠C=100°,∴∠BOD(大于180°的)=200°,∴∠BOD(小于180°的)=160°,∴∠A=∠BOD=×160°=80°.3.解:尽量保证同排的人视角相同.4.解:当船位于安全区域时,∠α小于“危险角”.对于圆周角的概念的得出,可以通过对情境题的仔细观察就可以直接得出圆周角的概念,而定理的探索,则需要通过动手操作,利用量角器测量的方法得出圆周角与圆心角之间的关系.对于圆周角定理的证明遵循“由特殊到一般”的方法,对于三种可能性的证明则可以利用“转化”的思想方法进行解决.。
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿
2024年《圆周角和圆心角的关系》说课稿《圆周角和圆心角的关系》说课稿1“圆周角和圆心角的关系”是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级数学下册第三章第三节的内容，共两个课时，下面我从第一个课时的设计进行说明.一、教材分析本课是在学习了圆的各种概念和圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是本章重点内容之一。
1、本节知识点（1）圆周角的概念（2）圆周角的定理2、教学目标（1）理解并掌握圆周角的概念；（2）掌握圆周角定理，并能熟练地运用它们进行论证和计算；（3）通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。
教学重点：圆周角定理。
教学难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
（重点与难点的突破将在教学过程中详细说明）二、本节教材安排本节共分两个课时，第一课时主要研究圆周角和圆心角的关系，第二课时研究圆周角定理的几个推论，并解决一些简单问题。
今天我向大家汇报的是第一课时的设计。
三、教学方法数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法与学法是密不可分的。
本节主要采取探究合作、启发引导的教学方法，多媒体的运用，激发了学生探究合作的积极性，为教师的启发引导提供了生动的素材，使学生获得知识，形成技能。
四、教学步骤（一）、旧知回放，探索新知（圆周角的概念的突破）1、出示课件，演示将圆心角的顶点由圆心拖至圆上，请同学们仿照圆心角的概念给形成的新角起名字，学生很容易的就会命名为圆周角。
2、引导学生进行讨论，规范圆周角的概念。
（设计意：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数学思想和方法，培养学生的基本技能、分析问题和解决问题的能力，使学生通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义。
）特别说明：本节的引入我采用了动态演示的方法，从学生已知的圆心角出发，引申到这节课要学的圆周角，便于学生在已有的知识基础上掌握所学，符合学生的认知规律．本节教材中给出的引例是一个生动而实际的例子，但我并没有采用它，是因为这个例子映射的是＂同弧所对的圆周角相等＂的知识点，它要引出的是第二课时的内容．本着活用教材原则，在深入挖掘教材之后，我觉得这个例子放在第一课时并不太合适．3、巩固练习，看谁最棒（请同学们判断各形的角是否是圆周角，并说明理由。
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
（3）课后作业和测试，了解学生对知识点的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。
4.教学反思：
教师应在课后对教学过程进行反思，了解学生在学习过程中的困惑和问题，不断调整教学策略，以提高教学效果。同时，关注学生的情感态度，鼓励学生克服困难，树立自信心，使他们在数学学习中获得成功体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入：通过展示生活中的实例，如自行车轮子、风扇叶片等，引导学生观察并思考这些物体上的角度特点，从而引出圆周角和圆心角的概念。
2.提问：询问学生对圆的基本概念、性质和角度计算方法的掌握情况，为新课的学习做好铺垫。
3.复习：简要复习圆的基本性质，如圆的半径相等、圆的周长和面积公式等，为新课的学习打下基础。
2.合作交流：鼓励学生在小组合作中，学会倾听、表达、交流，培养学生的团队协作能力。
3.理性思考：培养学生用数学的眼光看待问题，善于从多个角度分析问题，形成理性思考的习惯。
4.求知欲：通过解决实际问题，激发学生的求知欲，培养学生勇于探索、追求真理的精神。
二、学情分析
九年级学生在学习圆周角和圆心角的关系这一章节时，已具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。他们对圆的基本概念、性质以及圆中角度的计算方法有了一定的了解，这为学习圆周角和圆心角的关系奠定了基础。然而，学生在解决涉及圆周角和圆心角的复杂问题时，可能会遇到以下困难：
第四步：总结规律，教师引导学生总结圆周角和圆心角的性质，并给出严谨的证明。
第五步：巩固练习，设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中巩固所学知识。
第六步：拓展提高，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的创新意识和能力。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4节的内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现并证明圆周角定理。
教材通过生活中的实例引入，激发学生的兴趣，接着引导学生进行观察、思考、探究，从而发现圆周角和圆心角之间的关系。
教材内容丰富，既有理论探究，又有实际应用，有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级的圆的相关知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和形象的图示，帮助学生建立直观的认识，引导学生进行观察、思考和探究。
三. 教学目标1.理解圆周角定理，掌握圆周角和圆心角之间的关系。
2.能够运用圆周角定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和数学语言表达能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的证明。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生直观地认识圆周角和圆心角的关系。
2.探究教学法：引导学生观察、思考、探究，发现圆周角定理。
3.实践教学法：通过解决实际问题，巩固圆周角定理的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关实例和图示。
2.教学素材：准备一些与圆周角和圆心角相关的实际问题。
3.板书设计：设计板书，突出圆周角定理的关键信息。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如自行车轮子的旋转，引导学生观察和思考圆周角和圆心角的关系。
让学生意识到圆周角和圆心角之间存在某种联系。
2.呈现（10分钟）教师展示一些几何图形，如圆、圆周角和圆心角，引导学生观察并思考它们之间的关系。
通过观察和思考，学生可以发现圆周角和圆心角之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，如在自行车轮子旋转过程中，圆周角和圆心角的变化关系。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系(教案)
在本次教学过程中，我发现学生们对圆周角和圆心角的概念及其关系的理解程度有所不同。有的学生能够迅速掌握，而有的学生则感到困惑。这让我意识到，在教学中需要更加关注学生的个体差异，因材施教。
在导入新课环节，通过提出与生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣。然而，在讲授理论知识时，我发现部分学生对圆周角和圆心角的空间观念不够清晰。为此，我及时调整了教学方法，利用多媒体演示和实物模型，帮助学生建立起空间观念。
学生小组讨论环节，我鼓励学生们提出自己的观点和想法，但发现部分学生发言不够积极。为了提高学生的积极性，我将在今后的教学中多给予鼓励和肯定，同时注意引导他们进行深入思考。
在总结回顾环节，我对本节课的教学效果进行了反思。我认为，在今后的教学中，我需要以下几点：
1.加强对学生的关注，了解他们的学习需求，因材施教；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角和圆心角的概念，以及圆周角定理这个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量不同圆上的圆周角和圆心角，验证圆周角定理的正确性。
突破方法：利用多媒体教学手段，如动态图、三维模型等，让学生直观地感受圆周角和圆心角的空间关系。
（2）圆周角定理的推理过程：学生在理解圆周角定理的证明过程中，可能会遇到逻辑推理的困难。
突破方法：引导学生分步骤地分析证明过程，强调每一步的逻辑关系，让学生逐步理解并掌握证明方法。
（3）解决实际问题时，如何将问题转化为圆周角和圆心角问题：学生在解决具体问题时，可能不知道如何将问题与所学知识联系起来。
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2
北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》说课稿2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第三章第四节的内容。
本节课的主要内容是探究圆周角和圆心角的关系，即圆周角定理。
这个定理是圆的基础知识之一，对于学生理解和掌握圆的相关概念和性质有着重要的意义。
教材中，首先通过观察和思考，引导学生发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
接着，通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析九年级的学生，已经学习了平面几何的基础知识，对一些几何图形的性质和概念有一定的了解。
但是，对于圆的相关知识，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生复习一些与圆有关的基础知识，如圆的定义，圆心角的定义等。
同时，九年级的学生，抽象思维能力较强，善于通过逻辑推理来解决问题。
因此，在教学过程中，可以引导学生通过观察，思考，证明等方法，来理解和掌握圆周角定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解圆周角定理，并能运用圆周角定理解决一些与圆有关的问题。
2.过程与方法目标：通过观察，思考，证明等方法，学生能够发现和理解圆周角和圆心角之间的关系。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的发现和证明。
2.教学难点：圆周角定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察，思考，证明的教学方法，引导学生发现和理解圆周角定理。
2.教学手段：利用多媒体课件，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角之间的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一些与圆有关的问题，引导学生复习圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究：引导学生观察和思考，发现圆周角和圆心角之间的关系。
然后通过证明，使学生理解圆周角定理。
3.应用：通过一些练习题，让学生应用圆周角定理，解决一些与圆有关的问题。
北师大版数学九年级下册《圆周角和圆心角的关系》教学设计1
北师大版数学九年级下册《圆周角和圆心角的关系》教学设计1一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第20章“圆”的一部分。
本节课主要内容是探究圆周角和圆心角之间的关系，理解并掌握圆周角定理。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解圆的性质，为后续学习圆的其他性质和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法，以及一些简单的圆的性质。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，学生可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来逐步建立概念。
三. 教学目标1.了解圆周角定理，理解圆周角和圆心角之间的关系。
2.能够运用圆周角定理解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆周角定理的推导和理解。
2.圆周角定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考和推理。
2.运用多媒体辅助教学，展示实例和动画，帮助学生直观地理解圆周角和圆心角的关系。
3.学生进行小组讨论和交流，促进学生之间的合作和思考。
4.通过练习和问题解决，巩固学生对圆周角定理的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆规、量角器等数学工具。
3.相关的图片和实例。
4.练习题和问题解决题。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片，如圆形的桌面、车轮等，引导学生观察和思考圆的性质。
然后提出问题：“你们认为圆周角和圆心角之间有什么关系呢？”让学生发表自己的观点和想法。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角定理的推导过程。
首先，画出一个圆和一条弧，然后通过旋转这条弧，形成一个圆周角。
接着，画出圆心角，并通过几何推理说明圆周角和圆心角之间的关系。
最后，给出圆周角定理的表述：“圆周角等于它所对的圆心角的一半。
”操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过观察和推理来验证圆周角定理。
每个小组都可以通过画图和测量来寻找圆周角和圆心角之间的关系。
《圆周角和圆心角的关系》第1课时示范课教学设计【九年级数学下册北师大】
第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第1课时一、教学目标1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.3．体会分类、归纳等数学思想方法.二、教学重点及难点重点：圆周角的概念及圆周角定理．难点：圆周角定理的证明．三、教学用具多媒体课件，圆规.四、相关资源微课，思维导图.五、教学过程【情境导入】在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？师生活动：教师出示问题，学生思考，初步了解本节课所要研究的问题．设计意图：通过射门问题，让学生从生活中发现数学问题，激发他们的好奇心和求知欲，为引出圆周角的概念作准备．【探究新知】想一想 观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有另一个交点．归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．设计意图：提出问题引起学生思考，让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念．做一做 如图，∠ AOB =80°．（1）请你画出几个AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角与圆心角∠ AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论．答：（1）能画出无数个，如下图所示．通过度量可以发现：∠ ADB ，∠ ACB ，∠ AEB 这几个圆周角相等．（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠ AOB 的一半．EC D证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交AB于点M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB．∴∠ACB=12∠AOB=12×80°=40°．结论：这样的圆周角有许多个，只要在ACB上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．议一议在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下：已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．求证：∠C=12∠AOB．分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C．∴∠AOB=2∠C，即∠C=12∠AOB．情况（2）和情况（3）可以转化为情况（1）来证明，详细证明见PPT．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．设计意图：进一步将问题一般化，探索结论是否依然成立，向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．想一想在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？师生活动：教师出示问题，学生独立完成．答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（AC）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于AC所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．结论：推论同弧或等弧所对的圆周角相等．设计意图：利用圆周角定理解决本节课开始提出的问题并得出圆周角定理的推论，提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力．【典例精析】例 如图，⊙O 的直径AB =8 cm ，∠CBD =30°，求弦DC 的长．师生活动：教师出示例题，学生独立完成，教师给出规范解题步骤．解：如图，连接OC ，OD ，则OC =OD =4 cm ，∠COD =2∠CBD =60°．故△COD 是等边三角形．所以CD =4 cm ．设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．【课堂练习】1．如图，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD =60°，则∠CAD 的度数为（ ）．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°2．如图，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，点P 在劣弧CD上，是不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）．A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3．如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是优弧AB 上一点，D ，E 是AB 上不同的两点（不与A ，B 两点重合），则∠D +∠E 的度数为（ ）．A ．mB ．180°-2mC ．90°+2mD ．2m4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．5．如图，在⊙O中，∠O=50°，∠A= ．6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．D．2．A．3．B．4．70°．5．25°．6．答：∠BDC=∠BAC；还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．7．解：∵∠C=100°，∴BAD所对的圆心角=2∠C=200°．∴∠BOD=360°-200°=160°．又∵∠A=12∠BOD，∴∠A=12×160°=80°．设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．六、课堂小结1．圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．3．圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计3.4圆周角和圆心角的关系（1）1．圆周角2．圆周角定理3．圆周角定理的推论。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.4.2《圆周角和圆心角的关系》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.4.2《圆周角和圆心角的关系》是本章的重要内容。
本节内容通过探究圆周角和圆心角之间的关系，引入圆周角定理，进一步引导学生发现圆周角定理的实际应用，从而加深学生对圆的性质的理解。
教材通过丰富的例题和练习，帮助学生掌握圆周角定理，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆周角和圆心角之间的关系，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索圆周角和圆心角的关系，从而得出结论。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理的得出和应用。
2.难点：圆周角定理的理解和运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现圆周角和圆心角的关系。
2.合作交流法：学生分组讨论，分享探究成果，培养团队合作意识。
3.实践操作法：学生动手操作，加深对圆周角定理的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作圆周角和圆心角关系的课件，便于引导学生观察和思考。
2.教学素材：准备一些关于圆周角和圆心角的例题和练习题，用于巩固所学知识。
3.学生活动材料：准备一些圆形的纸片，让学生动手操作，探索圆周角和圆心角的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一些关于圆周角和圆心角的图片，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，分享探究成果，教师引导学生得出圆周角定理。
最新数学北师版初中九年级下册3.4第1课时圆周角和圆心角的关系1公开课教学设计
34 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角和圆心角的关系1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)一、情境导入在下图中，当球员在B D E 处射门时，他所处的位置对球门A 分别形成三个张角∠AB ∠AD ，∠AE 这三个角的大小有什么关系？二、合作探究探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角的度数如图，已知D 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠的度数是( )A ．25°B ．30° ．40° D．50°解析：∵OA ∥DE ，∠D ＝50°，∴∠AOD ＝50°∵∠＝错误!∠AOD ，∴∠＝错误!×50°＝25°故选A方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数如图，在⊙O 中，(AB ︵)＝(A ︵)，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75° ．60° D ．15°解析：因为(AB ︵)＝(A ︵)，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠，因为∠A ＋∠B ＋∠＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°故选B方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为点，交⊙O 于点D ，E 在⊙O上．(1)∠AOD ＝52°，求∠DEB 的度数； (2)若A ＝7，D ＝1，求⊙O 的半径．解析：(1)由OD ⊥AB ，根据垂径定理的推论可求得(AD ︵)＝(BD ︵)，再由圆周角定理及其推论求∠DEB 的度数；(2)首先设⊙O 的半径为，然后由勾股定理得到方程解答．解：(1)∵AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，∴(AD ︵)＝(BD ︵)，∴∠DEB ＝错误!∠AOD ＝错误!×52°＝26°；(2)设⊙O 的半径为，则O ＝OD －D ＝－1∵O 2＋A 2＝OA 2，∴(－1)2＋(7)2＝2，解得＝4，∴⊙O 的半径为4方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合如图，△AB 内接于⊙O ，AB ＝A ，点D 在弧AB 上，连接D 交AB 于点E ，点B 是(D ︵)的中点，求证：∠B＝∠BE解析：由点B 是(D ︵)的中点，得∠BE＝∠BA ，即可得∠BE ＝∠AB ，然后由等腰三角形的性质，证得结论．证明：∵B 是(D ︵)的中点，∴(B ︵)＝(BD ︵)，∴∠BE ＝∠BA ∵∠BE ＝180°－∠B －∠BE ，∠AB ＝180°－∠BA －∠B ，∴∠BE＝∠AB∵AB＝A，∴∠B＝∠AB，∴∠B＝∠BE 方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合如图，A、P、B、是⊙O上四点，且∠AP＝∠PB＝60°连接AB、B、A(1)试判断△AB的形状，并给予证明；(2)求证：P＝BP＋AP解析：(1)利用圆周角定理可得∠BA＝∠PB，∠AB＝∠AP，而∠AP＝∠PB＝60°，所以∠BA＝∠AB＝60°，从而可判断△AB的形状；(2)在P上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△AD，证明BP＝D，即可证得．(1)解：△AB是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BA与∠PB是(B︵)所对的圆周角，∠AB与∠AP是(A︵)所对的圆周角，∴∠BA＝∠PB，∠AB＝∠AP又∵∠AP＝∠PB＝60°，∴∠AB＝∠BA＝60°，∴△AB为等边三角形；(2)证明：在P上截取PD＝AP，连接AD又∵∠AP＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠AD＝120°又∵∠APB＝∠AP＋∠BP＝120°，∴∠AD＝∠APB在△APB和△AD中，错误!∴△APB≌△AD(AAS)，∴BP＝D又∵PD＝AP，∴P＝BP＋AP方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．【类型六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合如图，点E是(B︵)的中点，点A在⊙O上，AE交B于D求证：BE2＝AE·DE解析：点E是(B︵)的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠BE，可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．证明：∵点E是(B︵)的中点，即(BE︵)＝(E ︵)，∴∠BAE＝∠BE∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的问题常常考虑此定理．三、板书设计圆周角和圆心角的关系1．圆周角的概念2．圆周角定理3．圆周角定理的推论本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起问题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起则相对困难，因此在教学过程中要着重引导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出。
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
4.教师对学生的作业完成情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、实践能力和创新思维。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例通过生活中的圆形物体导入新课，使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
4.强调圆周角和圆心角在几何图形中的重要性，及其在实际生活中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论话题：“圆周角和圆心角之间的关系有什么应用？你们能想到哪些实际问题需要用到这一关系？”
2.学生分组进行讨论，分享自己的观点和发现。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点给予个性化的指导和建议。
（四）总结归纳
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.2“圆周角和圆心角的关系”这一节内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上进行讲解的。本节内容主要让学生了解圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角是圆心角的两倍。这一节内容对于学生来说，既是对圆的相关知识的一个巩固，又是为后续学习圆的更复杂性质和应用打下基础。
4.结合现实问题，如圆形场地、圆形路径等，让学生思考圆周角和圆心角在实际中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题：圆周角和圆心角之间有什么关系？它们在几何图形中有什么特殊性质？
2.设计具有启发性的问题，如：为什么圆周角是圆心角的两倍？这个结论在实际生活中有哪些应用？
3.鼓励学生自主探索，引导学生通过对圆的性质的观察和推理，发现圆周角和圆心角之间的关系。
2.培养学生运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题的能力，如计算未知角度等。
2024北师大版数学九年级下册3.4.2《圆周角和圆心角的关系》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.4.2《圆周角和圆心角的关系》教学设计一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章《圆》的第4节内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，从而加深学生对圆的性质的理解。
教材通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本性质和垂径定理，对几何图形的观察和分析能力有一定的基础。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，学生可能初次接触，需要通过实例和动手操作来理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，以引导为主，让学生在探究中掌握知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理的理解和运用。
2.难点：圆周角定理的证明和圆心角、圆周角、弦的关系的理解。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的思维。
2.小组合作法：学生分组讨论，培养团队协作能力。
3.实例分析法：通过生活中的实例，让学生理解圆周角定理的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片和动画。
2.学具：为学生准备圆规、直尺、剪刀等学具，方便学生动手操作。
3.实例：收集生活中的圆周角和圆心角的实例，用于课堂讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示圆周角和圆心角的图片，引导学生关注圆周角和圆心角的关系。
提问：你们观察过这些图片，发现有什么特点吗？2.呈现（10分钟）教师简要介绍圆周角定理，让学生尝试理解圆周角定理的含义。
提问：你们能用自己的语言解释一下圆周角定理吗？3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用学具进行动手操作，验证圆周角定理。
最新北师大版九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系公开课优质教案 (1)
圆周角和圆心角地关系一、教学目标1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.2．会熟练运用定理解决问题.二、教学重点和难点重点：圆周角定理及其应用难点：圆周角定理证明过程中地“分类讨论”思想地渗透.三、教学过程（一）复习回顾：1.圆心角地定义?——顶点在圆心地角叫圆心角 2.圆心角地度数和它所对地弧地度数有何关系? 如图：∠AOB 弧AB 地度数3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量都分别相等.A2（二）探究新知：【探究一】问题：我们已经知道，顶点在圆心地角叫圆心角，那当角地顶点位置发生变化时， 我们得到几种情况?类比圆心角定义，得出圆周角定义： 顶点在 ，并且两边分别与圆还有 地角叫做圆周角.练习如图，指出图中地圆心角和圆周角解：圆心角有 ，圆周角有识别图形：判断下列各图中地角是否是圆周角？并说明理由．点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.B O C A .B O C A O B C 顶点在圆心.C .A O B圆心角 圆周角【探究二】观察与思考1.如图，AB 为⊙O地直径，∠BOC 、∠BAC 分别是BC 所对地圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 地度数．（4）图（１）中∠BAC 地度数是_____ 图（２）中∠BAC 地度数是_____图（３）中∠BAC 地度数是_____．通过计算发现：∠BAC ＝_____∠BOC ．由图（4）试证明这个结论：证明：【探究三】4如图， BC 所对地圆心角有多少个？_______ BC 所对地圆周角有多少个？_______请在图中画出BC 所对地圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2.思考与讨论（1）观察上图，在画出地无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？共____种，分别是：_______________________________________________设BC 所对地圆周角为∠BAC ，活动二中圆心O 在∠BAC 地一边上，对于这种位置关系，结论∠BAC ＝21∠BOC 成立，对于下面两种圆心O 与∠BAC 地位置关系，结论∠BAC＝1∠BOC还成立吗？试证明．2图①图②证明：①②通过上述讨论得到：圆周角定理：一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地________符号语言：________________________________________圆周角定理推论1：同弧或等弧所对地圆周角________3.尝试练习（1）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线地同侧，∠BAC=350(1) ∠BOC =_______°，理由是_________________________________________．(2) ∠BDC =_______°，理由是_________________________________________．（2）如图，点A、B、C在⊙O上，①若∠BAC=60°，求∠BOC=______°②若∠AOB=90°，求∠ACB=______°.（三）巩固训练：1.如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______2.如图，已知CD为⊙O地直径，过点D地弦DE平行于半径OA，若∠D地度数是50°，则∠C地度数是_______3.如图，AB是⊙O地直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，6则∠ABD＝___________。
圆周角和圆心角的关系 (教学设计) 九年级数学下册(北师大版)
3.4.1圆周角和圆心角的关系教学设计学生喜闻乐见的足球射门的场景。
将实际图形抽象成几何图形，在球门前以球门AC为弦划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。
球员射中球门的难易与他所处的位置对球门AC的张角有关。
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？两边都与圆相交．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
练一练：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
如图，∠AOB = 80°.̂所对的圆周角，这几个圆周（1）请你画出几个AB角有什么关系？与同伴进行交流.（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流.通过画图，我们知道：以圆上任意一点为顶点的圆周角有无数多个，但它们与圆心的位置关系只有三=OA OB∴∠AOC（2）第二种情况如果圆心不在圆周角的一边上时，结果会怎样？当圆心球门AC分别形成的圆周角∠ABC，∠ADC，∠AEC 这三个角的大小有什么关系?．圆上一条弧所对的圆周角能做出几个？它们之间有什么关系？如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？教师总结概括圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（）A.140°B.130°C.120°D.110°2.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A.84°B.60°C.36°D.24°3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°, ∠ABC=47°, 则∠AOB= ．4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠B＝30 °，AC＝2，则⊙O的半径是 .5.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?̂=DÊ.(2)求证：BD。
最新北师大版九年级数学下册3.4圆周角和圆心角的关系公开课优质教案 (3)
圆周角和圆心角地关系教学目标：1.掌握圆周角定理地三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）3.理解推论地“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题地“转化”．教法及学法指导：本课时地学习内容，是在已学圆周角定理地基础上进行推理，论证较为简单，学生易于接受，因此侧重于推论地总结表达与应用，帮助学生从直观感受到理性表述地提升，并能严谨地表达自己地见解.难点是灵活运用定理及推论进行灵活转化；关键是真正让学生交流讨论起来，发挥集体智慧，通过相互间地合作与交流，发展学生合作交流地能力和数学表达能力；教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生地主体作用.2 课前准备：圆规、三角板、相关图片学生提前预习教学过程：一、复习巩固，引入课题师：同学们请回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系地角？它们之间有什么关系？生：学习了圆心角和圆周角，一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半．即圆周角定理． 师：下面两个小练习，看谁算得又准又快：1、已知：如图，∠BOC 是_______角，∠BAC 是_______角；若∠BOC=80°则∠BAC=_______ 2、已知：如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上， 若∠BCO=65°则∠BAC=_______生：40°、25°A师：要求圆周角，由关系定理转化为圆心角来确定，这是在圆中常用地转化思想，请大家想着它并加以应用．师：圆周角定理应用地不错，今天我们继续学习圆周角和圆心角地关系．（设计意图：回忆旧知，为本节课学习新地知识做铺垫，通过简单地应用，让学生感受知识之间地互相联系，为后面学习推论地论证作好准备．）二、出示目标，确定学习内容师：今天需要学习掌握地内容是：1.掌握圆周角定理地三个推论．（重点）2.能熟练应用圆周角推论解决问题．（重点）（设计意图：明确目标，使学生明确这节课地学习任务，利于学生集中精力学习重点内容．）三、讨论交流，掌握新知师：同学们请看下面这个图形：4 在⊙O 中，以A 、C 为端点地弧所对地圆周角，我画出了三个，∠ABC 、∠ADC 、∠AEC ，这样地圆周角有多少个？它们地大小有什么关系？你是如何得到地？生1：以A 、C 为端点地弧所对地圆周角有无数个，它们地大小相等，测量一下就可以得到地．师:测量是最直观地验证方法，但有误差，我们能否用推理验证地方法得到上图中地∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC ？生2:连接AO ，CO 可以看出，∠ABC 、∠ADC 和∠AEC是同弧所对地圆周角，它们都等于圆心角∠AOC 地一半，所以这几个圆周角相等．师:用一句话概括出此结论．生: 同弧所对地圆周角相等．B D师:回到课本P108开头图3-13遗留下来地问题，看看它地结论，你找到依据了吗？生:找到了，它们属于同弧所对地圆周角，实景抽象出来就是我们所画地这个图．师：为什么有些电影院地坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计地合理性．生3：减少盲区．生4：那是要求后排比前排高地设计．师：结合我们刚得到地结论．生：电影院地横排坐位排列呈圆弧形，是想尽量保证同排地观众视角相等．师: 对，保证同排地观众相对于舞台地张角相等；如果我们把上面地同弧改成等弧，结论一样吗？生：一样，等弧所对地圆心角相等，这样，我们便可得到等弧所对地圆周角相等．师：补充完善我们刚才地结论．生：同弧或等弧所对地圆周角相等．生5：好像要强调在同圆或等圆中吧．师：这个问题提地不错，谁能回答？生6：不需要，“同弧”只能在“同一个圆”中；“等弧”暗含“在同圆或等圆中”．师：真棒！一定要注意特殊词语里地暗含条件；这是我们所学地第一个推论．谁能改写成“如果---那么---”地形式？生7：如果同弧或等弧所对地圆周角，那么相等．师：分清了题设与结论，但太过简单了．生8:如果两个角是同弧或等弧所对地圆周角，那么这两个角相等．师：真不错；若将上面推论中地“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们先画一画，再议一议．生9：“等弦”不一定成立，它没有暗含等圆地条件，可能出现一大一小两Array个圆．图中∠C与∠D不相等．(师出C6示图片一)(图一） （图片二)师：同弦呢?生：结论不一定成立．因为一条弦所对地圆周角有两种可能，一种是在弦地同一侧，也是同弧所对地圆周角，此时相等；一种是圆周角分布在弦地两侧，就不再相等．（师出示图片二）师：两种状况，再次体现分类思想，你们能猜出∠C 与∠D 什么关系吗？提示一下，可以找一下和它们有关系地圆心角．生：（思考，讨论）∠C +∠D =180°CC D8师：这是补充地第二个推论，同学们需要了解清楚． 在同圆中，同弦所对地圆周角要么相等要么互补． 因此推论一中地“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．接下来我们看下面地问题：如下图，BC 是⊙O 地直径，它所对地圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断地？(同学们互相交流、讨论)生10:直径BC 所对地圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对地圆心角 是∠BOC ＝180°，所以∠BAC ＝∠90°．师:反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC ＝90°，那么它所对地弦BC 经过圆心O 吗？为什 么？生11:弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O地一条直径．师:通过刚才大家地交流，我们又得到了圆周角定理地第三个推论：直径所对地圆周角是直角；90°地圆周角所对地弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目地已知条件中有直径时，往往作出直径上地圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．（设计意图：教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，总结规律，充分发挥学生地主体作用.）四、例题展示，学会应用师：为了进一步熟悉推论，我们看下面地例题．[例]如图示，AB是⊙O地直径，BD是⊙O地弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD地大小有什么关系？为什么？[师生共析]：有直径，就可以构造直角，得到垂直；此处AB是⊙O地直径，故连接AD．由推论直径所对地圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形地三线合一，可证得BD ＝CD．下面哪位同学能叙述一下理由？生：口述过程BD＝CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O地直径，10∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．又∵AC＝AB，∴BD＝CD．师：通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明．生：在得出本节地结论过程中，我们用到了度量与证明地方法．比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角相等；还学到了分类与转化地方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理地证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明地基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决．再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习到地圆心角类比得出圆周角地概念……（设计意图：通过例题地应用，直观地展示定理地应用过程，感受转化思想地具体应用方法；方法归类总结，利于学生灵活应用．）五、自我测评，巩固新知1．如下图，哪个角与∠BAC相等？生答：∠BDC＝∠BAC．2．如下图，⊙O地直径AB＝10cm，C为⊙O上地一点，∠ABC＝30°，求AC地长．生解：∵AB为⊙O地直径．∴∠ACB＝90°．又∵∠ABC＝30°，∴AC＝12AB＝12×10＝5(cm)．3．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆12形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？生答：图(2)是半圆形、理由是：90°地圆周角所对地弦是直径．（设计意图：通过针对性地简单应用，加深理解本课新知，而不是仅仅停留在了解记忆地层面．）六、分组讨论，合作探究师：下面我们一起来看一个问题：做一做船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点地一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔地夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔地夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．14(1)当船与两个灯塔地夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔地夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？生：就近四人一组，交流讨论，互相提示，感受不同地思维方法、角度．[师生共析]：这是一个有实际背景地问题．数学化以后就是：船在危险区域点在圆内 ∠α＞∠C船在临界区域 点在圆上 ∠α=∠C船在安全区域 点在圆外 ∠α＜∠C这也是“点与圆地位置关系”地另一种判定方法；我们可采用反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔地夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．注意：1.“不在圆内”包含“在圆上或圆外”，要分类说明，体现分类思想．2.用反证法证明命题地一般步骤：(1)假设命题地结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题地结论正确．师：模仿(1)地过程，口述(2)地推理过程．生：先相互口述，再由一名学生代表口述．（设计意图：以这道题目来探究，使学生感受“学习数学服务生活”地目地；对于实际问地抽象，学生需要集思广益，充分讨论，充分质疑，然后通过师生地辩论、展示形成规范、合理地思路，最后进行严谨地表述．）七、自我小结，归纳提高师：小结一下本节所学内容学生在自己座位上七嘴八舌地总结本课地学习重点及学习过程.八、作业：1.课本P116课后习题.2.助学P244知识梳理、巩固训练1、2、3.163.预习下一课时.板书设计：教后反思:本节课引导学生自主学习，通过讨论交流进行新知地总结归纳，教师在学生探究学习过程中尽力成为一个引导者、合作者、组织者，适当放开学生地手、口、脑，使学生充分表现总结地潜力与智慧，表现真实地思维和真实地自我，让数学教学地过程是师生共同活动、共同成长与发展地过程．成功体验：本节课能充分利用现实生活和数学教材中地素材，激发学生学习地积极性，在得出结论地过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用地方法，如度量和证明、分类和转化、类比等.存在问题：本节课容量较大，教学时要注意好节奏.18。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆周角和圆心角的关系》教学设计
圆周角和圆心角的关系是义务教育北师大九年级下册第三章圆的第四节内容，本章主要学习与圆有关的性质，本节课要求理解圆周角的概念及其相关性质，所以本节的重点是圆周角和圆心角的关系。
【知识与能力目标】
理解圆周角的概念及其相关性质 【过程与方法目标】
经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】
1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
3．
【教学重点】
圆周角和圆心角的关系
【教学难点】
圆周角和圆心角的关系
PPT 课件
◆ 课前准备
◆
◆ 教学过程
◆ 教材分析
◆ 教学目标
◆ 教学重难点 ◆
课前热身：
1、 回顾圆周角和圆心角的关系 定理
2、 在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的
位置B 对球门AC 的张角（∠ABC ）有关。
自主学习：
1、 圆周角与圆心角 通过射门游戏引入圆周角的概念。
提出这一问题意在引起学生思考，为本
节活动埋下伏笔。
圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦
圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径 2、 讲解例题
例1 下列图形中的角是不是圆周角。
分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。
3、 讲解例题
例2 下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A 是同对一条
弧。
分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。
同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系
☆ 议一议 书本P 101 议一议
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理的几个推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
A B C O B C O A B C O A
B C O D A
B
C O A
B O
4、总结方法
☆议一议书本P 106 议一议
☆做一做书本P 107 做一做
5、讲解例题
例3 如图，AB是的直径，BD是的弦，延长BD到C，使CA = AB。
BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？
分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。
布置作业：
A组：习题3.1 1--4 B组：习题3.1 1--3 C组：习题3.1 1--2
1.
略。
O
D B
A
C
A
O C
A ◆教学反思。