九年级数学圆知识点总结北师大版

九年级数学圆知识点总结北师大版

点的连线与切线所夹角为直角.

1.垂径定理及推论：在一个圆中，如果一条直线通过圆心且垂直于另一条直线，则这条直线被称为垂径，而另一条直线被称为弦。根据垂径定理，垂径平分弦，并且中垂定理、中径定理和弧径定理都可以由垂径定理推导而来。

2.平行线夹弧定理：当两条平行弦穿过一个圆时，它们所夹的弧是相等的。

3.“角、弦、弧、距”定理：在同一个圆或等圆中，如果两个角相等，则它们所对的弦也相等；如果两个弦相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个弦的弦心距相等，则它们也相等。

4.圆周角定理及推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果一个三角形的一条边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

5.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角线互补，

并且任何一个外角都等于它的内对角。

6.切线定理及性质：如果一条直线通过圆的外部一点并且

与圆相切，则这条直线被称为切线。根据切线定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线

长相等；圆心和这一点的连线与切线所夹角为直角。

点的连线平分两条切线的夹角。因为AB是切线，所以

OC垂直于AB。（3）几何表达式举例：因为PA、PB是切线，所以PA=PB。因为PO过圆心，所以∠APO=∠BPO。

弦切角定理及其推论：（1）弦切角等于它所夹的弧对的

圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦

切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（如图）

相交弦定理及其推论：（1）圆内的两条相交弦，被交点

分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。

切割线定理及其推论：（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的

交点的两条线段长的积相等。

关于两圆的性质定理：（1）相交两圆的连心线垂直平分

两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

正多边形的有关计算：（1）中心角α=n360°，半径Rn，

边心距rn，边长an，内角βn，边数n；（2）有关计算在

RtΔAOC中进行。公式举例：αn=360°/n，βn=(n-2)180°/n，

Rn=an/2sin(αn/2)，rn=Rntan(αn/2)。

基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高。

三角形有许多与圆相关的概念，包括外接圆、外心、内切圆、内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角。

有两个定理与圆有关：第一个是不在一直线上的三个点可以确定一个圆；第二个是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。此外，正n边形的半径和边心距可以将正n边形分为2n个全等的直角三角形。

圆的计算有三个公式：圆的周长C=2πR，弧长

L=nπR/180，圆的面积S=πR²。此外，圆的扇形面积、弓形面

积以及圆心角和弧度的关系也可以用公式表示。

圆柱和圆锥的侧面展开图中，圆柱的侧面积是2πrh，圆

锥的侧面积是LR，其中L=2πr，R是圆锥母线长，r是底面半径。

圆是轴对称和中心对称图形，圆心角的度数等于它所对弧的度数。三角形的外心等于两边中垂线的交点等于三角形的外接圆的圆心，三角形的内心等于两内角平分线的交点等于三角形的内切圆的圆心。直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离和圆的半径表示，圆与圆的位置关系可以用圆心到圆心的距离和两个圆的半径表示。证直线与圆相切时，可以使用“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线。

关于圆的常见辅助线，可以构造弦心距、直角三角形、垂径定理、相似形等辅助线来解决问题。此外，还可以将圆内角转化为圆周角、圆外角转化为圆周角，构造外公切线与垂直等方法来解决问题。

两个圆内切时，可以构造外公切线和内公切线，这些线都是平行的。同时，与圆相切的切线垂直于半径。

当两个圆外切时，可以构造内公切线和平行的切线。

如果两个圆相交，可以构造它们的公共弦。如果两个圆同心，可以通过作弦心距并连接圆心来构造中垂线。这些操作可以证明得到AC=DB。

当PA、PB是两个圆的切线时，可以构造双垂图形和全等。如果相交的弦相似，可以得到一些结论。

如果BF一切一割，可以得到相似，并且可以构造弦切角。如果PB、PC是两个圆的割线，可以得到相似，并且可以构造圆周角。如果构造双垂，可以得到相似，并且可以构造直角。

在规则图形中，折叠出一对全等和一对相似。

在等腰三角形中，底边上的高会过内切圆的圆心和切点，并且可以构造相似形。

对于一个内切圆，它的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计

算得到。

在一个半圆中，可以补全另一半圆。

如果AD和BC都是切线，连接OA和OB，则可以证明∠AOB=180°，即A、O、B三点共线。

对于一个直角三角形ABC，它的内切圆的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计算得到。

如果两个圆相切，可以构造内公切线和外公切线，并且这些线都是平行的。同时，与圆相切的切线垂直于半径。

在一个等弧中，可以得到平行和相似。

如果构造AN⊥BC，则可以证明BDNECPC过圆心，PA 是切线，并且可以构造双垂和直角三角形。

最后，GFAM/BCAN=2AB/O1O2-（R-r）/（R+r）。