九年级数学圆知识点总结北师大版
北师大版九年级数学下册 第21讲 圆的基本性质 知识点梳理
3圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,
∠A=1/2∠O.
图a图b图c
( 2 )推论：
北师大版数学九年级圆知识点
北师大版数学九年级圆知识点在北师大版九年级数学教材中，圆是一个重要的几何概念。
圆的知识点涉及到圆的定义、性质、圆的方程等方面。
在本文中，我们将深入探讨这些知识点，并运用它们解决实际问题。
首先，我们来了解圆的定义。
圆是指平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的常数称为半径。
根据这个定义，我们可以得出圆的一个重要性质：圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离。
接下来，我们来研究圆的性质。
首先是切线的性质。
对于一条与圆相切的直线，它与圆的交点只有一个，并且与圆的切点的切线垂直于半径。
这个性质在实际问题中有很多应用，比如求圆的切线长度等。
除了切线的性质，我们还需了解弦的性质。
弦是连接圆上两点的线段。
对于相同弦的两条弧，它们所对的圆心角相等。
这个性质在解决一些角度问题时非常有用，例如求圆心角所对的弧长等。
在圆的知识点中，还有一些重要的定理需要掌握。
例如，弧与圆心角的关系定理。
根据这个定理，我们知道圆心角的度数等于其所对弧的弧度数。
这个定理的应用非常广泛，包括求解圆心角度数、弧度数等等。
圆的知识点中还有一个重要的内容是圆的方程。
在解决与圆相关的问题时，通过圆的方程可以方便地求解圆的各项参数。
圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
学生需要掌握这两种形式，并且能够在实际问题中应用它们。
除了上述知识点，我们还需要了解圆与其他几何图形之间的关系。
例如，圆与直线的位置关系。
当直线与圆相交时，我们可以根据交点的位置来判断直线与圆的位置关系。
这个知识点在解决位置问题时非常有用。
总之，圆是数学九年级的一个重要知识点。
通过学习圆的定义、性质、定理和方程，我们可以更好地理解和应用圆的知识。
在解决实际问题时，我们可以通过分析问题，利用圆的性质和定理来解决。
掌握好圆的知识对我们的学习和应用都有很大的帮助。
希望同学们能够认真学习，掌握好这些知识点。
这样，在数学学习中就能够游刃有余，并且能够将数学知识应用到实际生活中。
北师大版九年级数学圆
北师大版九年级数学教材中的圆包括以下内容：
1. 圆的定义：圆是由平面上到一个点的距离都相等的点的集合。
其中，这个点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的性质：
- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于其所对的弧的度数。
- 弧长和扇形面积：圆的弧长是圆周上任意两点间的弧长。
扇形是由圆心、圆周上的两个点和与之相连的弧组成的图形。
计算弧长和扇形面积需要使用圆周率π。
- 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，这个交点叫做切点。
切线与半径垂直。
- 弦和弦长：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的中垂线经过圆心，并且将弦分成两等分，弦长等于两等分部分长度之和的一半。
- 相交弧的性质：如果两个圆相交，那么它们相交弧的度数和为360°。
3. 圆的相关公式：
- 圆的周长：圆的周长等于圆周上一整个弧长，即2πr（其中r为半径）。
- 圆的面积：圆的面积等于πr^2。
以上是北师大版九年级数学教材中关于圆的主要内容。
通过学习这些知识，学生可以理解圆的定义、性质和相关公式，进而应用到解决与圆相关的问题中。
1。
北师大九年级 圆 知识点
北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。
在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。
下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。
2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。
- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。
二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。
圆弧的长度叫做弧长。
圆弧所对的圆心角称为弧度。
2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。
3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角。
4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。
三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。
2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。
3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。
4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。
5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。
3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。
总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。
在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。
希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。
九年级北师大版圆的知识点
九年级北师大版圆的知识点九年级北师大版数学教材中，圆是一个重要的知识点。
圆的特性和应用，对于学生的数学能力和几何思维的培养都有很大的帮助。
本文将介绍九年级北师大版数学教材中围绕圆的知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆周率以及圆的应用等内容。
在九年级的数学课本中，首先会介绍圆的基本概念和定义。
圆是由一个平面上的所有离一个固定点（圆心）相等距离的点组成的。
圆心是圆的核心，而这个相等的距离则被称为半径。
半径的长度决定了一个圆的大小。
半径相等的两个圆被称为同心圆。
除了圆的基本定义，九年级的课本还介绍了圆的一些重要性质。
其中一条非常关键的性质是圆的直径等于半径的两倍。
也就是说，通过圆心的直线，且两端点都位于圆上的线段称为直径。
直径是圆的最长线段，能够把圆分成两个相等的半圆。
圆还具备很多其他的性质。
例如，任意两条相交圆弦所对的圆心角相等；两个相交圆弧所对的圆心角相等；圆上的弧所对的圆心角等于弧对应的圆周角的一半等等。
这些性质为后续的几何问题解决提供了很多的便利。
在圆的知识点中，圆周率也是一个关键的概念。
圆周率是圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
圆周率是一个无理数，其近似值为3.14159。
因为无法精确表示，所以在计算中通常取近似值。
除了对圆的定义和性质的学习，九年级的数学课本还会介绍一些圆的应用。
例如，圆的面积计算是一项实际应用广泛的技能。
圆的面积等于半径的平方乘以圆周率，公式为S=πr²。
通过掌握这个公式，可以计算圆的面积，进而应用于实际生活中的问题。
另外，九年级数学课本还会介绍圆与其他几何图形的关系。
例如，圆与角的关系，圆与直线的关系等等。
这些关系的理解和应用，可以使学生进一步培养几何思维能力，提高解决几何问题的能力和灵活性。
在学习圆的知识点时，举一些实际的例子和案例也是非常重要的。
例如，学生可以通过测量不同碗的半径和直径，计算其容量，了解圆在日常生活中的应用。
此外，学生还可以通过绘制和计算圆的面积，理解面积的概念，并将其应用到解决问题中。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。
三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。
四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。
北师大九年级圆知识点归纳
北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。
圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。
1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。
2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。
我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。
周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。
圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。
面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。
切线的长度与切点到圆心的距离相等。
圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。
4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。
弦的长度称为弦长。
圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。
弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。
5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。
两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。
6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。
当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。
当两个圆没有公共点时，它们是外离的。
当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。
7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。
通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。
北师大版九年级下册数学第12讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理
北师大版九年级下册数学第 12 讲《圆的有关概念及圆的确定》知识点梳理【学习目标】1.知识目标：理解圆的描述概念和圆的集合概念；理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.2.能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，进行计算或证明；会过不在同一直线上的三点作圆.3.情感目标：在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题，养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.P rPrPr要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r，点P 到圆心O 的距离为d，那么：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d=r；点P 在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD 过圆心O 时，取“=”号)∴直径AB 是⊙O 中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【典型例题】类型一、圆的定义1．（2014 秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE 是△ABC 的高，求证：E，B，C，D 四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC 的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE 是△ABC 的高，∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形．∴DF，EF 分别为Rt△BCD 和Rt△BCE 斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D 四点在以F 点为圆心，BC 为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=2（0s）0.9相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.类型二、圆的有关计算3.已知，点P 是半径为5 的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )A.2B.3C.4D.5【思路点拨】在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.【答案】C.【解析】作图，过点P 作直径AB，过点P 作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC，由勾股定理，得，∴CD=2PC=8，又∵AB=10，∴过点P 的弦长的取值范围是，弦长的整数解为8，9，10，根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，所以弦长为整数的弦共4 条.故选C.【总结升华】利用垂径定理来确定过点P 的弦长的取值范围.根据圆的对称性，弦长为9 的弦有两条，容易漏解. 举一反三：【变式】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm【答案】C.类型三、确定圆的条件的有关作图与计算4.已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作：⊙O 使它经过点A、B、C.【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.【解析】作法：1、连结AB，作线段AB 的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC 的垂直平分线EF，交MN 于点O；3、以O 为圆心，OB 为半径作圆.所以⊙O 就是所求作的圆.【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.52 - 42【变式】（2015•江干区二模）给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）A ．已知圆心B ．已知半径C ．已知直径D ．不在同一直线上的三个点【答案】D.提示：A 、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；B 、C 、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；D 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，故选 D ．5. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是 .【思路点拨】求出符合条件的 OP 的最大值与最小值.【答案】3≤OP ≤5.【解析】OP 最长边应是半径长，为 5；根据垂线段最短，可得到当 OP ⊥AB 时，OP 最短．∵直径为 10，弦 AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得 AP=4，由勾股定理的 OP= = 3 ，∴OP 最短为 3.∴OP 的长的取值范围是 3≤OP ≤5.【总结升华】关键是知道 OP 何时最长与最短.举一反三：【变式】已知⊙O 的半径为 13，弦 AB=24，P 是弦 AB 上的一个动点，则 OP 的取值范围是．【答案】 OP 最大为半径，最小为 O 到 AB 的距离．所以 5≤OP ≤13.。
九年级圆知识点北师大
九年级圆知识点北师大圆是几何学中的一个重要概念，也是中学数学中常见的一个知识点。
在九年级数学课程中，我们将学习有关圆的定义、性质以及与圆相关的定理和公式。
本文将为大家详细介绍九年级圆的知识点，以及北师大对于这些知识点的教学要求。
一、圆的定义与性质在九年级数学课程中，我们首先学习到了圆的定义与性质。
圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定点就是圆心，而到圆心的距离称为半径。
圆的性质包括：1. 圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 圆的直径是通过圆心的任意两点，并且它的长度是半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。
二、圆的定理与公式除了圆的定义与性质外，九年级还将学习一些和圆相关的定理与公式。
这些定理与公式可以帮助我们推导出更多的几何关系，解决实际问题。
1. 相交弦定理：如果一个圆上有两条弦相交，那么它们的交点到圆心的距离乘积等于弦的分割线段的乘积。
2. 位于圆上的角定理：圆内接四边形的一个对角线所对的角，等于由圆心角所对的弦所对的角。
3. 弧长公式：如果一个圆上的弧所对的圆心角是θ度，那么这个弧的长度为s=2πr(θ/360°)。
4. 扇形面积公式：如果一个圆上的扇形所对的圆心角是θ度，那么这个扇形的面积为A=(θ/360°)πr²。
5. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线与半径的连线垂直。
三、北师大对于九年级圆的教学要求旨在帮助学生全面理解和掌握九年级圆的知识，北师大对于九年级圆的教学要求如下：1. 理解圆的定义与性质，能够准确给出圆的定义，以及圆的直径、周长和面积的计算公式。
2. 掌握圆的定理与公式，能够准确应用相交弦定理、位于圆上的角定理、弧长公式、扇形面积公式和切线定理解决相关问题。
3. 能够分析和解决与圆相关的实际问题，灵活运用所学的知识和方法。
北师大版九年级下册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](提高)
](https://img.taocdn.com/s3/m/c625eae47f1922791688e879.png)
北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。
北师大版九年级下册圆的知识点
北师大版九年级下册圆的知识点圆是几何学中的一个基本概念，也是数学中非常重要的一个知识点。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点涉及到圆的定义、性质、面积和周长的计算等方面。
下面我们就来一起探索一下这些知识点。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上一组离一个定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，记作O；到圆心距离相等的点称为圆上的点，它们组成了圆。
圆的性质是我们学习圆的关键。
首先，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离，我们用字母r表示。
半径相等的两个圆互为同心圆。
圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度称为弦。
弦通过圆心时，称为直径，直径的长度是半径的两倍，记作d=2r。
圆的面积是我们计算圆的重要指标之一。
圆的面积公式为S=πr²，其中π≈3.14是一个固定的近似值。
在计算圆的面积时，我们需要将半径的平方与π相乘，就可以得到圆的面积。
而圆的周长则是另一个重要的指标。
圆的周长公式为C=2πr，即圆的周长等于半径的二倍乘以π。
对于给定的圆，只要知道了半径，就可以根据公式计算出圆的周长。
正如我们在初中学习的内容一样，圆的知识点离不开实际生活中的应用。
例如，我们常常看到的钟表就是以圆形为基础的，它的指针不断地绕圆形表盘运动。
又如，在木匠工作中，我们需要制作木桶、木头盆等物品时，往往会采用圆的造型。
圆的知识点也有助于我们更好地理解其他几何图形，例如圆柱体、圆锥等等。
最后，我们还可以通过算术方式来深入理解圆的知识点。
例如，可以通过设定一个半径，计算圆的面积和周长，并与其他图形进行对比，从而更好地理解圆形的特点。
此外，还可以通过解决实际问题来应用圆的知识点，例如计算一个花坛的周长或面积，或者计算一个游泳池的圆周长度等等。
在北师大版九年级下册数学教材中，关于圆的知识点仅限于上述内容。
通过学习这些内容，我们可以对圆有一个全面而深入的认识，并能够应用这些知识点进行问题的求解。
总的来说，圆是几何学中非常重要的一个概念，也是数学中基础而重要的知识点。
九年级下册北师大版圆知识点
九年级下册北师大版圆知识点圆是我们学习数学的重要内容之一。
在九年级下册北师大版教材中，圆的知识点被分散在不同的章节中，下面我将逐一介绍这些知识点。
首先是圆的基本概念。
圆是由一个平面上所有到定点距离相等的点组成的集合。
在圆中，距离圆心最远的点称为圆的半径，而连接圆心和任意一点的线段称为半径。
圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，而通过圆心的弦则是圆的直径。
接下来是圆的性质。
圆的直径是圆的最长弦，它等于圆的半径的两倍。
两个半径相互垂直的圆被称为互相垂直的圆。
圆的半径、弦和切线之间有一定的关系，具体可以用切线定理和弦切角定理来描述。
此外，同一个圆内的两个相交弦的弦积等于这两个弦所夹的弧的弧积。
圆上的一个弧所对的圆心角等于这个弧所对的弦所对的圆心角的一半。
在九年级下册北师大版教材中，我们还学习到了圆与直线的相关知识。
当直线与圆相交时，根据位置与长度可以分为两个弦相交、切线相交和弦切线相交三种情况。
对于弦切线相交，我们需要掌握切线与半径的关系，以及如何根据已知条件求解问题。
另外，我们还学习到了与圆相关的计算问题。
例如，根据圆的半径或直径求解圆的周长和面积的公式。
这些公式是基础且实用的，能够帮助我们更好地理解和应用圆的知识。
除了圆的基本概念和性质，我们还学习到了与圆相关的证明问题。
通过证明，我们可以深入理解圆的性质，并通过推理和演绎的方法得出结论。
对于证明问题，我们需要灵活运用已有的圆的定理和性质，寻找合适的证明方法，从而解决各种与圆相关的问题。
在学习圆的知识时，我们还要注意与其他几何知识的联系和应用。
例如，我们可以将圆与三角形、四边形等图形进行结合，进一步理解并应用圆的性质和定理。
通过九年级下册北师大版教材中关于圆的学习，我们可以学会运用圆的基本概念和性质解决与圆相关的问题。
同时，我们还需要注重思维的拓展，灵活运用已有的知识和方法，培养数学思维能力和解决问题的能力。
最后，通过积极参与课堂讨论和练习，我们可以更好地掌握圆的知识，提高自己的数学水平。
(完整版)新北师大初三数学下册圆知识点汇总
圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆．．．。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线L 和⊙O 相离.※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※5. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.※1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) ※2. 弧长公式: 弧长180Rn l π=(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) ※3. 圆的面积公式. 圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式: 扇形的面积3602R n S π=扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:rl rl cl S ππ=⋅==22121侧)(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
北师大版数学初中九年级下册圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系C?rd??在圆内；1、点在圆内点r?d??B点在圆上；2、点在圆上rd???A3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系r?d??、直线与圆相离1 无交点；1d?r??有一个交点；2、直线与圆相切d?r??有两个交点；3、直线与圆相交四、圆与圆的位置关系d?R?r??；无交点）外离（图1d?R?r??；有一个交点）外切（图2R?r?d?R?r??；相交（图3）有两个交点d?R?r??；）内切（图4 有一个交点d?R?r??；无交点）内含（图5五、垂径定理2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB?CDCE?DEBCAC??ADABBD弧弧②是直径弧弧③⑤④①中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
CDOAB中，∵即：在⊙∥AC?BD∴弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对定理，即上述四个结论推3的弧相等，弦心距相等。
九年级数学圆知识点总结北师大版
九年级数学圆知识点总结北师大版九年级数学圆知识点总结（北师大版）一、圆的定义1、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
2、圆心：圆中心的点叫做圆心。
3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
4、直径：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。
二、圆的性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、圆心角和圆周角（1）顶点在圆心上的角叫做圆心角。
（2）顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
3、圆的基本性质（1）半径相等的圆是等圆。
（2）直径是圆中最长的弦。
（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆的面积和周长（1）圆的面积 S=πr²，其中r为半径。
（2）圆的周长 C=2πr，其中r为半径。
三、点和圆的三种位置关系1、点在圆内：点和圆心的距离小于半径。
2、点在圆上：点和圆心的距离等于半径。
3、点在圆外：点和圆心的距离大于半径。
四、直线和圆的三种位置关系1、直线和圆相离：直线和圆没有公共点。
2、直线和圆相切：直线和圆只有一个公共点。
3、直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。
五、圆和圆的位置关系1、外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外面。
2、外切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆外面。
3、相交：两圆有两个公共点。
4、内切：两圆只有一个公共点，且一个圆在另一个圆里面。
5、内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆里面。
六、正多边形和圆1、把正多边形的各边中心连向它的各边所在直线时，中心和边的垂线组成的角叫做正多边形的中心角。
2、正多边形的半径和边数之间存在如下关系：半径=r，边数n=2πr/α，其中α为正多边形的中心角。
七、弧长和扇形面积1、弧长公式：l=nπr/180，其中n为弧度制下的扇形圆心角。
2、扇形面积公式：S=nπr²/360，其中n为扇形圆心角。
北师大版九年级圆知识点
北师大版九年级圆知识点圆是我们数学学习中非常重要的一个概念。
在北师大版九年级的数学课本中，关于圆的知识点被详细地介绍和讲解。
下面我们来一起回顾和探讨这些知识点，加深对圆的理解。
一、圆的定义与性质圆是平面上所有到圆心的距离都相等的一组点的集合。
在数学中，我们通常用字母O表示圆心，字母r表示圆的半径，字母C 表示圆本身。
根据圆的定义，我们可以推导出几个重要的性质。
首先是圆的直径，它是通过圆心并且两端都在圆上的一条线段，它的长度等于圆的半径r的两倍。
第二个性质是圆的周长，也就是围绕圆一圈的长度，它等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.14。
最后一个性质是圆的面积，它等于πr²。
这些性质是我们研究圆的基础，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。
二、圆的元素与相关概念除了圆的定义与性质外，课本中还介绍了一些与圆相关的元素和概念。
其中一个是弧，它是圆上的一段弯曲的部分，我们通常用字母s表示。
弧长是弧所对的圆心角的度数与360°的比值，用字母l表示。
另外，我们还可以研究扇形和圆心角之间的关系。
扇形是由一条弧和两条半径所夹成的部分，而圆心角是由圆心和弧所对的两条半径所夹成的角。
三、圆与直线的位置关系在北师大版九年级的课本中，还有一些关于圆与直线的位置关系的知识点。
例如，两个圆之间可以相离、相切或者相交。
相离是指两个圆没有交点，相切是指两个圆有且仅有一个交点，而相交是指两个圆有两个交点。
此外，我们还可以研究圆与直线之间的位置关系。
例如，直线可以与圆相离、相切或者相交。
相切是指直线和圆有且仅有一个交点，相离是指直线没有与圆相交的点，相交是指直线与圆有两个交点。
四、圆的相似与全等在九年级的数学课程中，我们还学习了形状相似和全等的概念与判断方法。
对于圆，也存在相似与全等的概念。
两个圆相似是指它们的半径成比例，而两个圆全等是指它们的半径相等。
判断两个圆是否相似或全等，我们可以比较它们的半径长度，只有半径都相等或成比例时，才能说它们相似或全等。
北师版九年级数学圆知识点
北师版九年级数学圆知识点数学是一门充满魅力和奥秘的学科，其中关于圆的知识更是动人心弦。
在北师版九年级数学教材中，圆的知识点扮演着重要的角色。
本文将深入探讨北师版九年级数学教材中有关圆的知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和应用。
一、圆的基本概念首先，让我们来回顾一下圆的基本概念。
在平面几何中，圆可以定义为由平面内的所有离定点相等距离的点组成的集合。
这个定点被称为圆心，等距离的距离被称为半径。
圆的直径是连接圆上任意两点并且通过圆心的线段。
利用直径可以得出圆的周长和面积的公式，分别为πd和πr²，其中π是一个无理数，约等于3.14。
二、圆的性质及相关定理在学习圆的知识时，我们需要掌握一些重要的性质和定理，以便能够在解决问题时应用。
1. 切线与切点关系：如果一条直线与圆相交，且和圆只有一个公共点，那么这条直线被称为切线，相应的公共点被称为切点。
圆的切线与半径垂直，这个性质十分重要。
2. 弦与弧的关系：在圆上任意连接两点得到的线段称为弦。
根据弦的位置，圆上的弧被划分为两个部分。
当弦过圆心时，对应的两个弧为直径弧；弦未过圆心时，对应的两个部分分别为小弧和大弧。
而且，对于给定圆上的任意弦，其所对应的两个弧的弧长恒等。
3. 利用相似三角形求解问题：数学中的相似三角形是解决许多问题的重要工具。
在圆的相关定理中，相似三角形的性质经常被用到。
例如，在求解切线与半径的夹角时，可以利用相似三角形的性质快速得出结果。
4. 并列弧定理：如果两个弧并列且它们对应的弦相等，那么它们的弧长也相等。
这个定理在解决弧长问题时经常被使用。
三、圆的应用圆不仅仅是一个几何图形，它还在我们的生活中有许多应用。
让我们来看一些有趣的例子。
1. 圆的应用于航空航天：在航空航天领域，圆的知识被广泛应用于火箭、飞机等飞行器的设计和制造中。
圆的形状使得飞行器在高速飞行时能够减小空气阻力，提高飞行的稳定性。
2. 圆的应用于建筑：建筑中常常使用圆柱形的结构，比如圆形的拱门、穹顶等。
北师大版数学初中九年级下册第三章圆的知识点归纳
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学圆知识点总结北师大版
点的连线与切线所夹角为直角.
1.垂径定理及推论：在一个圆中，如果一条直线通过圆心且垂直于另一条直线，则这条直线被称为垂径，而另一条直线被称为弦。
根据垂径定理，垂径平分弦，并且中垂定理、中径定理和弧径定理都可以由垂径定理推导而来。
2.平行线夹弧定理：当两条平行弦穿过一个圆时，它们所夹的弧是相等的。
3.“角、弦、弧、距”定理：在同一个圆或等圆中，如果两个角相等，则它们所对的弦也相等；如果两个弦相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个弦的弦心距相等，则它们也相等。
4.圆周角定理及推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；如果两个弧相等，则它们所对的角也相等；如果两个角相等，则它们所对的弧也相等；如果一个三角形的一条边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
5.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角线互补，
并且任何一个外角都等于它的内对角。
6.切线定理及性质：如果一条直线通过圆的外部一点并且
与圆相切，则这条直线被称为切线。
根据切线定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
7.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线
长相等；圆心和这一点的连线与切线所夹角为直角。
点的连线平分两条切线的夹角。
因为AB是切线，所以
OC垂直于AB。
（3）几何表达式举例：因为PA、PB是切线，所以PA=PB。
因为PO过圆心，所以∠APO=∠BPO。
弦切角定理及其推论：（1）弦切角等于它所夹的弧对的
圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦
切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（如图）
相交弦定理及其推论：（1）圆内的两条相交弦，被交点
分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。
切割线定理及其推论：（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的
交点的两条线段长的积相等。
关于两圆的性质定理：（1）相交两圆的连心线垂直平分
两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
正多边形的有关计算：（1）中心角α=n360°，半径Rn，
边心距rn，边长an，内角βn，边数n；（2）有关计算在
RtΔAOC中进行。
公式举例：αn=360°/n，βn=(n-2)180°/n，
Rn=an/2sin(αn/2)，rn=Rntan(αn/2)。
基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高。
三角形有许多与圆相关的概念，包括外接圆、外心、内切圆、内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角。
有两个定理与圆有关：第一个是不在一直线上的三个点可以确定一个圆；第二个是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
此外，正n边形的半径和边心距可以将正n边形分为2n个全等的直角三角形。
圆的计算有三个公式：圆的周长C=2πR，弧长
L=nπR/180，圆的面积S=πR²。
此外，圆的扇形面积、弓形面
积以及圆心角和弧度的关系也可以用公式表示。
圆柱和圆锥的侧面展开图中，圆柱的侧面积是2πrh，圆
锥的侧面积是LR，其中L=2πr，R是圆锥母线长，r是底面半径。
圆是轴对称和中心对称图形，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
三角形的外心等于两边中垂线的交点等于三角形的外接圆的圆心，三角形的内心等于两内角平分线的交点等于三角形的内切圆的圆心。
直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离和圆的半径表示，圆与圆的位置关系可以用圆心到圆心的距离和两个圆的半径表示。
证直线与圆相切时，可以使用“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线。
关于圆的常见辅助线，可以构造弦心距、直角三角形、垂径定理、相似形等辅助线来解决问题。
此外，还可以将圆内角转化为圆周角、圆外角转化为圆周角，构造外公切线与垂直等方法来解决问题。
两个圆内切时，可以构造外公切线和内公切线，这些线都是平行的。
同时，与圆相切的切线垂直于半径。
当两个圆外切时，可以构造内公切线和平行的切线。
如果两个圆相交，可以构造它们的公共弦。
如果两个圆同心，可以通过作弦心距并连接圆心来构造中垂线。
这些操作可以证明得到AC=DB。
当PA、PB是两个圆的切线时，可以构造双垂图形和全等。
如果相交的弦相似，可以得到一些结论。
如果BF一切一割，可以得到相似，并且可以构造弦切角。
如果PB、PC是两个圆的割线，可以得到相似，并且可以构造圆周角。
如果构造双垂，可以得到相似，并且可以构造直角。
在规则图形中，折叠出一对全等和一对相似。
在等腰三角形中，底边上的高会过内切圆的圆心和切点，并且可以构造相似形。
对于一个内切圆，它的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计
算得到。
在一个半圆中，可以补全另一半圆。
如果AD和BC都是切线，连接OA和OB，则可以证明∠AOB=180°，即A、O、B三点共线。
对于一个直角三角形ABC，它的内切圆的半径可以通过公式r=(a+b-c)/2计算得到。
如果两个圆相切，可以构造内公切线和外公切线，并且这些线都是平行的。
同时，与圆相切的切线垂直于半径。
在一个等弧中，可以得到平行和相似。
如果构造AN⊥BC，则可以证明BDNECPC过圆心，PA 是切线，并且可以构造双垂和直角三角形。
最后，GFAM/BCAN=2AB/O1O2-（R-r）/（R+r）。