优选考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 是等价无穷小【答案】（C ）【考点】同阶无穷小 【难易度】★★【详解】cos 1sin ()x x x α-=⋅Q ，21cos 12x x --:21sin ()2x x x α∴⋅-:，即1sin ()2x x α-:∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα:1()2x x α∴-:，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=（）（A ）2（B ）1（C ）-1（D ）-2 【答案】（A ）【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★【详解】当0x =时，1y =.方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得 将0x =，1y =代入计算，得(0)(0)1y f ''==所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点（B ）x π=为()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续不可导（D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ）【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★【详解】202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰Q ，(0)2F π+=，(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.()()()lim 0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰Q ，0()()()lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（）（A ）2α<-（B ）2α>（C ）20α-<<（D ）02α<<【答案】（D ）【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()e f x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>所以，02α<<，选D. 5、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（） （A ）2()yf xy '（B ）2()yf xy '-（C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x∂'=+∂11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）. 6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（）（A ）10I >（B ）20I >（C ）30I >（D ）40I > 【答案】（B ）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★【详解】根据对称性可知，130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰（Q 0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（Q 0y x -<）因此，选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）【考点】等价向量组 【难易度】★★【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L MM L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数（C ）2,0a b == （D ）2,a b =为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0. 因此，221111220224011020aaE A a b a b a a a a a-----=---=---=-=---0a ⇒=将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-=. 【答案】12e【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】其中，20000111ln(1)ln(1)11lim (1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-++⋅-====+ 故原式=12e 10、设函数()x f x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy==.【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知，(1)0f-=01()y xdy dx dx dxf xdx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为cos3()66rππθθ=-≤≤，则L所围平面图形的面积是.【答案】12π【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积62266600611cos61sin6()cos3()222612 S r d d dπππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰12、曲线arctan,x ty=⎧⎪⎨=⎪⎩1t=点处的法线方程为.【答案】ln204y xπ+--=【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】由题意可知，12//1dy dy dttdx dx dtt-===+，故11tdydx==曲线对应于1t=点处的法线斜率为111k-==-.当1t=时，4xπ=，ln2y=.法线方程为ln2()4y xπ-=--，即ln204y xπ+--=.13、已知321x xy e xe=-，22x xy e xe=-，23xy xe=-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件xy==，1xy='=的解为y=.【答案】32x x xy e e xe=--【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】312x x y y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解. 由分析知，*2x y xe =-是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3212()x x x x y C e e C e xe =-+-，12,C C 为任意常数. 由00x y ==，01x y ='=可得11C =，20C =. 通解为32x x x y e e xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A =.【答案】-1【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★【详解】**0T T ij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00T AA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与n ax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★【详解】00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34limlim n n x x x x x x x xaxax→→+++--⋅⋅= 故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 当2n =时，由题意得 16、（本题满分10分） 设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，15523330033()55aax V x dx x a πππ===⎰177333066277a ay V x x dx xa πππ=⋅==⎰. 因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy⎰⎰【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ 故2368222233xxx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())x x x x f x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=令()()x x g x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=.19、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★【详解】设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩得11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.，最短距离为1. 20、（本题满分11分）设函数1()ln f x x x =+（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x -'⇒=-=令()0f x '=，得唯一驻点1x =当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +>故数列{}n x 单调递增. 又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在，设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、（本题满分11分）设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心 【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得 （Ⅱ）由形心的计算公式，得 422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分）设110a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234xx C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩①由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换： 方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)T η= 方程组的通解为112212112(1,,,)T x k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫= ⎪⎝⎭.23、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0T T αβαβ==因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ= 由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T T r A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。