2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)

n1
n1
正确的是（） （A）①②（ B）②③（ C）③④（ D）①④
2
(4) 设 lim ln(1 x0
x) (ax x2
bx )
2 ，则（）
（A） a 1,b 5 ；（B） a 0, b 2 ；（C） a 0, b 5 ；（D） a 1,b 2
2
2
(5) 设 A 是 n 阶矩阵，齐次线性方程组（ I ） Ax 0 有非零解，则非齐次线性方程组（ II ） AT x b ，
三、解答题 15~23 小题，共 94 分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15) （本题满分 10 分）解： u x
u
u 2u , x2
2u
2u
22
2u
2
，
u y
u a
u 2u b , y2
a2
2u
2
2ab
2u
b2
2u
2
，
将以上各式代入原等式，得
(3a 2
2u 4a 1) 2
[6 ab
4( a
A2
1 3， A 3
1
2 。求
（I ）求 A 的全部特征值。（II ） A 是否可以对角化？ 2019-8-5
（22）（本题满分 11 分）设 A, B 为相互独立的随机事件，已知 P( A) p(0 p 1) ，且 A
发生 B 不发生与 B 发生 A 不发生的概率相等，记随机变量 （I ）求 (X , Y) 的联合分布律；
(9) 已知 y f 3x 2 ， f ( x) arcsin x2，则 dy
。
3x 2
dx x 0
x
(10) 方程 f (x t)dt
1 x3
0
3
2019-8-5
x
f (t )dt 满足 f (0) 0 的特解为。
0
(11)
D
(
x2 a2
y2 b2
)d
。其中 D 为 x2 y2 1。
1
x 2 x4 x 6
三、解答题 15~23 小题，共 94 分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分 10 分）设函数 u
f ( x, y) 具有二阶连续偏导数， 且满足等式
2u x2
2u
2u
4 xy
3 y2
0。
确定 a,b 的值，使等式在变换
x ay,
x by 下简化为 2u 0 。
(16) （本题满分 10 分）求幂级数 n( x 1)n 的收敛域及其在收敛域内的和函数；
1 ，所以 b 2
5 2
【也可以用泰勒公式计算】
（5）A
解： Ax 0 有非零解，充要条件是 r ( A) n ，由此即可找到答案。
（6）D
解：
AT 2
0
0= B1
2 AT 0
0 2B 1
2 AT 2 B 1 = ( 2)2n A B 1
（7）C
解：由于 X i ~ N (2, 22) ，所以 X i
当 x 0 和 x 2 时幂级数变为 ( 1)n n 及 n ，均发散，故原级数的收敛域为 (0, 2)
n1
n1
设 s( x)
n( x 1)n ( x 1) n(x 1)n 1 ( x 1)s1( x)
n1
n1
x
则 1 s1(x)dx
(x 1)n
n1
x1 1 ( x 1)
x 1， 2x
所以 s1 (x)
x y
O
x
O
x
(A)(B)
y
y
O
x
(C)(D)
O
x
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(3) 设有下列命题：
①若 (u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛；②若 u n 收敛，则 un 1000 收敛；
n1
n1
n1
n1
③若 lim un 1
n
un
1 ，则 un 发散；④若 (un
n1
n1
vn ) 收敛，则 un ， vn 收敛
n1
n1
n1
un 1000 收敛，
n1
若 lim un 1
n
un
1 ，则存在正整数 N ，使得 n
N 是， un 不变号。若 un
0 ，有正项级数的比值判别法
知 un 发散。同理可知，如果 un 0 ，则正项级数 ( un ) 发散，因此 un 发散。故②③正确，
nN
nN
nN
选B 2019-8-5
（4）A
(12) x(1
0
1! 2! 3!
)dx 。
(13) 设 A 是三阶矩阵， 已知 A E 0, A 2E 0, A 3E 0 ，B 与 A 相似，则 B 的相似对角形为。
(14) 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，
则另一件也是不合格品的概率为。
2 ~ N (0,1)
2
2
故 Xi 2 ~ 2
n
2 (1)，
Xi
2
2 ~
i1
2
2(n)
（8）B 因为 aX bY 服从正态分布，股根据题设 P( aX bY
) 1 知， 2
E(aX bY ) aE( X ) bE (Y) (a b)
，从而有 a b 1，显然只有（ B）满足要求。
二、填空题： 9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。 （9）应填 3 。
N
1b [b f (x)dx
a
a f (x)dx] ，则必有（）
20
0
（A） M N ；（ B） M N ；（ C） M N ；（ D） M
2N ；
b
xf ( x)dx ，
a
（2）设函数 f ( x) 在 ( , ) 内连续，在 ( ,0) (0, ) 内可导，函数 y y( x) 的图像为
y
O
则其导数的图像为（） y
2 解：由 y f 3x 2 ， f ( x) arcsin x2得
3x 2
(10) 应填 f ( x) 2( x 1) 2ex
x
解：令 x t u ，原方程变为 x f (u)du
x
uf (u) du
1 x3
0
0
3
x
方程两边对 x 求导得 f (u) du
x2
f ( x)
0
再两边对 x 求导得 f ( x) 2x f ( x) ，即 dy y 2x dx
2017 考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）
一、 选择题： 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（ 1 ） f ( x) 是 在 ( 0 , )内 单 调 增 加 的 连 续 函 数 ， 对 任 何 b a 0 ， 记 M
它与两坐标轴的交点为
(x 3y)y
x,0
和
(3x 0,
y) x
y。
3x y
x 3y
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 则只须求 (3x y)( x 3y) 在条件 3x2 2xy 3 y2 1 下的极值即可。
设 F (x, y, ) (3 x y)( x 3y) 3x2 2xy 3y2 1
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解： lim ln(1 x0
x) ( ax x2
bx2 )
1/ (1 x) (a
lim
x0
2x
2bx)
2 ，因 lim x x0
0 ，则
lim1/ (1 x) (a 2bx) 0 ，故 a 1 。而
x0
ln(1 x) (x bx2 )
ln(1 x) x
lim
x0
x2
lim
x0
x2
b 2 ，故 2 b
i1
2
i1
2
(8) 设随机变量 X ,Y 相互独立且均服从正态分布
（A） a 1 ,b 1 ；（B） a 1 , b
22
2
1 ；（ C） a 2
N ( , 2 ) ，若概率 P(aX bY
1 ,b 1 ；（D） a 1 , b
22
2
) 1 则（） 2
1； 2
二、填空题： 9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。
所以， M
b
xf ( x)dx
1 [b
b
f (x)dx
a
a f (x)dx]
N
a
20
0
(2)B
解：由于函数可导（除 x 0 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 x 轴有且仅 有两个交点，故 A， C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故 D不正确。 (3)B
解：因级数 un 1000 是 un 删除前 1000 项而得，故当 un 收敛时，去掉有限项依然收敛，因此
b)
2]
2u
(3b 2
4b
1)
2u
2
0，
由题意，令 3a2 4a 1 0, 且 6ab 4(a b) 2 0
2
3b 4b 1 0, 2019-8-5
a 1,
1
故
1或 a
, 3
b
, 3
b 1,
(16) （本题满分 10 分）解：（I ）由于 lim n 1 ，所以 x 1 1，即 0 x 2 ， n n1
(7) 总体 X ~ N (2,4) ， X1, X 2, , X n 为来自 X 的样本， X 为样本均值，则（）
（A） 1
n
(Xi
n 1i 1
X )2 ~ 2 (n 1) ；（B） 1
n
( Xi
n 1i 1
2) 2 ~ 2 (n 1) ；
（C） n ( X i 2)2 ~ 2 (n) ；（ D） n ( X i X )2 ~ 2(n) ；
（II ）在 Y 0 的条件下，求 X 的条件分布律； （Ⅲ）计算 XY .
（23）（本题满分 ห้องสมุดไป่ตู้1 分）设两随机变量 ( X ,Y) 在区域 D 上均匀分布，其中 D {( x, y) : x y 1} ，
又设 U X Y ， V X Y ，试求： （I ） U 与 V 的概率密度 fU (u) 与 fV ( v) ；
x
f (t )dt
0
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由 y(0) 0 得 C 2，故 y f ( x) 2( x 1) 2ex
(11)
应填
1 4 (a2
1 b2)
(12) 应填 1 (1 e 1) 2
解：因 x(1 x2 x4 x6 1! 2! 3!
x2 ( x2)2 ( x2 )3
) x[1
1!
2!
3!
] xe x2
f ( x) ex x
x
x 0 ， 其 中 f ( x) 在 x 0 处 二 阶 可 导 ， 且
ax b
x0
f (0) f (0) 1。
（I ） a 、 b 为何值时 g( x) 在 x 0 处连续？
（II ） a 、 b 为何值时 g( x) 在 x 0 处可导？ (20) （本题满分 11 分） (21) （本题满分 11 分）设 A 为三阶方阵， 1, 2 , 3为三维线性无关列向量组，且有 A 1 2 3 ，
又 lim F ( x)
f ( x) lim
1 1 ，所以，由极限的保号性，存在
b
a，
x
x
x
x
使 F (b) 0 ，即 F (b) 0 。 b
因此，由介值定理，至少存在一个
a, b (0, ) ，使 F ( ) 0 ，即 f ( )
。
(18) （本题满分 10 分）解：设 ( x, y) 为所给椭圆上任一点，则可求得在 (x, y) 处的切线方程为
故原式
1
xe
x2 dx
0
1
1
e
x2 dx2
20
1
1 e x2
2
0
1 (1 e 1) 2
1
(13) 应填
2
【形式不唯一，只要是对角线上为 -1 ， -2 ，-3 就对】 3
解：由 A E 0, A 2 E 0, A 3E 0 ，知 A 的特征值为 1 1, 12 2, 3 3 ，相似矩阵具有
1
相同的特征值，所以 B 的特征值也为 1 1, 12 2, 3 3 ，故 B 相似的标准形为
（II ） U 与 V 的协方差 cov(U ,V ) 和相关系数 UV
数三参考答案
二、 选择题： 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1） A
x
解：设 F ( x) x f (t )dt, x 0 ，则 0
对任何 b (b1,b2, bn )T
（A）不可能有唯一解； （ B）必有无穷多解；
（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解
(6) 设 A, B 均是 n 阶可逆矩阵，则行列式
AT 2
0
0 的值为 B1
（A） ( 2)n A B
1
；（B）
2 AT
B ；（ C）
2 A B 1 ；（D） ( 2) 2n A B 1
x1 2x
(2
1 x) 2
，则
s( x)
x1 (2 x)2
(17) （本题满分 10 分）证明：作函数 F ( x) f (x) x ，有
1
F ( x)dx
1
[ f (x) x] dx
1
f (x) dx
1
0。
0
0
0
2
所以由积分中值定理，存在 a [0,1] ，
1
使 F (x)dx (1 0)F (a) 0, 即 F (a) 0 。 0
2
3
(14) 应填 0.2
解：设 A：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品” ， B：“所取的两件都是不合格品”
因为 P( A)
1 P( A ) 1 (C62 / C120 )
2 ， P(B) 3
C
2 4
/
C120
)
2 15
所以 P(B A) P( AB) P( B) 1 P( A) P( A) 5
n1
1
(17) （本题满分 10 分）设 f ( x) 在 [0, ) 连续，且 f ( x)dx 0
1 ， lim f (x) 0 。证明：至少
2x
x
0, ，使得 f ( )
。
(18) （本题满分 10 分）过椭圆 3x2 2xy 3 y2 1上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴
所围成的三角形面积的最小值。 (19) （ 本 题 满 分 10 分 ） 设 g (x)