2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题:1~8⼩题,每⼩题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续,则()(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛,则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=,则()(A)A 与C 相似,B 与C 相似(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独⽴,与C 相互独⽴,则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本,记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题:9~14⼩题,每⼩题4分,共24分。
2017考研数学三真题_最新修正版
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设 3 阶矩阵 A 1,2,3 有 3 个不同的特征值,且3 1 22 .
(I)证明 r( A) 2 ; (II)若 a1 a2 , a3 ,求方程组 Ax 的通解.
(21)(本题满分 11 分)
设二次型 f x1, x2, x3 2 x12 x22 ax32 2 x1 x28 x1 x3 2 x2 x在3 正交变换 x Qy 下的标准形为
(
(A) A 与 B 相互独立 (C) AB 与 C 相互独立
(B) A 与 B 互不相容 (D) AB 与 C 互不相容
B 与 C 相互独立的充
)
(8) 设
X1, X 2,...X n (n
2)
为来自总体
N (,1)
的简单随机样本,记
x
1 n
n i 1
xi
则下列结论正确的是
()
n
(A) (xi )2 服从 x2 分布 i 1
差 Zi Xi i 1, 2, n ,利用 Z1, Z2 , Zn 估计 .
(I)求 Z1 的概率密度; (II)利用一阶矩求 的矩估计量; (III)求 的最大似然估计量.
(A) E 不可逆
(B) E 不可逆
(C) E 2 不可逆
(D) E 2 不可逆
2 0 0 2 1 0 1 0 0
(6)已知矩阵
A
0
2
1
,
B
0
2
0
,
C
0
2
0
,则(
)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。
(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。
(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。
2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
zy
x(3
x
y)
xy
x(3
x
2y)
0
求解,得驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)。进一步求二阶导:
A
2z x2
2 y
B 2z 2z 3 2x 2y xy yx
C
2z y2
2x
对于点(0,0),(0,3),(3,0),计算得 AC-B2=3<0,这三点都不是极值点。对
于点(1,1),计算得 AC-B2=3>0,又 A=-2,所以函数 z=xy(3-x-y)在点(1,
A.ab=1/2
B.ab=-1/2
C.ab=0
D.ab=2
【答案】A
【考点】连续的定义;等价无穷小
【解析】由连续的定义知
lim f (x) lim f (x) f (0) b
x0
x0
即
又当 x→0 时,
lim 1 cos x b
x0
ax
1 / 22
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n
(Xi )2 ~ 2 (n)
i 1
B 项,
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Xn
X1
~
N(0, 2)
Xn
X1 2
~
N (0,1)
Xn
X1 2
2
~
2 (1)
即(Xn-X1)2/2~χ2(1)。
C 项,由
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
n
(n 1)S 2 ( Xi X )2 ~ 2 (n 1) i 1
2 / 22
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1)处有极大值 1。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
.
5
19.(本题满分 10 分)
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
,
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
(1)证明 an xn 的收敛半径不小于1. n0
(2)证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ,并求出和函数的表达式.
0
2
10.差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
.
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ;
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
,代入方程,得 a
1 2
;
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11.设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ,其中产量为 Q ,则边际成本为
8.设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本,若
X
1 n
n i 1
Xi
,则下列结论中不
正确的是( )
n
(A) ( X i )2 服从 2 分布 i 1
(B) 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
(C) ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时, g(x) g(0) 0 ,进一步得到当 x (0,1) 时, f (x) 0 ,也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少.
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1,∴A
可相似对角化,且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ,∴B 不可相似对角化,显然 C 可相似对角化, ∴ A ~ C ,且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛,所以1 k 0 k 1 .选 C.
(5)设 是 n 维单位列向量, E 为 n 阶单位矩阵,则( )
( A ) E T 不可逆 ( B ) E T 不可逆 ( C ) E 2 T 不可逆 ( D ) E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
(D) n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1),C 正确, i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
(A) f (1) f (1) (B) f (1) f (1) (C) f (1) f (1) (D) f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1:
f
(x)
f
'(x)
2017年考研数学三真题与解析
20XX 年考研数学三真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A ) 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂,232zx x xy y∂=--∂, 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布 (C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sinx dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122t t t y y +-=的通解为 . 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e-+-.平均成本()1Q C Q e -=+,则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)y f x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)y f x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3xtxuu x x x x dt edu du ++++--→→→→==== 16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 (1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ 1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分) 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q . 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为21121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ). 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。
(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。
(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。
2017年考研数学三真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =,处连续,则( )(A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =(2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0)(B )(0,3)(C )(3,0)(D )(1,1)(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( ) (A )(1)(1)f f >- (B )(1)(1)f f <-(C )(1)(1)f f >- (D )(1)(1)f f <-(4)设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1(B )2(C )1-(D )2-(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆(C )2T E αα+不可逆(D )2TE αα-不可逆(6)设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A )A 与C 相似,B 与C 相似(B )A 与C 相似,B 与C 不相似 (C )A 与C 不相似,B 与C 相似(D )A 与C 不相似,B 与C 不相似(7)设,,A B C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是(A )A 与B 相互独立(B )A 与B 互不相容(C )AB 与C 相互独立(D )AB 与C 互不相容(8)设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是 (A )21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B )212()n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布(D )2()n X μ-服从2χ分布二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及答案(重庆文登)
绝密★启用前2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)(科目代码:303)考生注意事项1. 答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号,并涂写考生编号信息点。
2. 选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上,非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸试题册上答题无效。
3. 填(书)写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔书写,字迹工整,笔迹清晰;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4. 考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则( )(A) 12ab =(B) 12ab =- (C) 0ab = (D) 2ab = (2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A)(0,0) (B) (0,3) (C) (3,0) (D) (1,1) (3) 设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( )(A)(1)(1)f f >- (B) (1)(1)f f <- (C) (1)(1)f f >- (D) (1)(1)f f <-(4)若续数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A)1 (B) 2 (C) -1 (D) -2 (5) 设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则( )(A) E ααT-不可逆 (B) E ααT+不可逆 (C) 2E ααT+不可逆 (D) 2E ααT-不可逆(6)已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则( ) (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似(C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似 (7)设A ,B ,C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A)A 与B 相互独立 (B )A 与B 互不相容 (C )AB 与C 相互独立 (D )AB 与C 互不相容(8)设1,2,...(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i x x n ==∑则下列结论正确的是( )(A)21()nii x μ=-∑服从2x 分布 (B) 212()n x x -服从2x 分布(C)21()nii x X =-∑服从2x 分布 (D) 2()n X μ-服从2x 分布二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.(9)3(sinx dx ππ-=⎰________.(10)差分方程122tt t y y +-=通解为t y =(11) 设生产某产品的平均成本()1qC q e -=+,其中产量为q ,则边际成本为(12)设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(,)(1)y ydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =(13)设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1α、2α、3α为线性无关的3维列向量组。
2017~2019年考研数学三真题及答案
2017~2019年考研数学三真题及答案2017考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】000112lim ()lim lim2x x x xf x ax a +++→→→===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A ) 2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )T E αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ). 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则AB 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布 解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =;设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)y f x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=. 三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,xtx u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3txuu x x x x dt edu du ++++--→→→→==== 16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域.【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑1lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥. 假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他.(1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim lim x x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x xx x =在 0x =处可导对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2017数三考研真题
2017数三考研真题2017数学三考研真题(正文开始)一、选择题考点:数列与级数1. 设等差数列 {$a_n$} 初项为 3,公差为2. 若 $a_9=10$,则$S_{10}+$ 为()A. 35B. 37C. 40D. 45解析:根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 可知,$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。
所以 $a_9=2 \cdot 9 + 1=19$。
由于 $S_n=n(a_1+a_n)/2$,代入公式可得 $S_{10}=10(3+19)/2=110$,所以 $S_{10}+$ 为 $110+10=120$,故选项为 D。
2. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$,则 $f(x-1)-f(x)$ 的值为()A. 1B. $x$C. $\dfrac{1}{x}$D. $\dfrac{1}{x(x-1)}$解析:将 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ 带入得 $f(x-1)-f(x)=\dfrac{1}{1-(x-1)}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{x}$,故选项为 C。
考点:微分3. 曲线 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 的切线方程为()A. $y=4x-8$B. $y=4x$C. $y=2x-2$D. $y=2x+4$解析:根据切线的定义,其斜率等于曲线在该点的导数值。
求导得$y'=3x^2$,将 $x=2$ 带入得 $y'=12$。
因此,曲线在点 $(2,8)$ 的切线斜率为 12。
由点斜式得出切线方程为 $y-8=12(x-2)$,即 $y=12x-16$,故选项 A。
考点:概率论与数理统计4. 设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=3$,方差 $Var(X)=4$,则 $E[(X-2)^2-(X+1)^2]$ 的值为()A. 10B. 11C. 12D. 13解析:根据数理统计的知识,$E(X-2)^2=E(X^2-4X+4)=E(X^2)-4E(X)+4=E(X^2)-12+4=E(X^2)-8$。
2017年考研数学三真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则() ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒= (2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答案】D【解析】(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩,只有C 选项满足(1)且满足(2),所以选C 。
(4)若级数2111n sin kln nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【解析】(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A) T E αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆 【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解,故0αα-=T E .即αα-TE 不可逆.选项B,由()1ααα=Tr 得ααT的特征值为n-1个0,1.故αα+TE 的特征值为n-1个1,2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似 【答案】B【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1.因为3(2)1r E A --=,∴A 可相似对角化,且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=,∴B 不可相似对角化,显然C 可相似对角化, ∴~A C ,且B 不相似于C.(7)设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是 (A) A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 【答案】C 【解析】(8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是: (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B【解析】2212221222211(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2i ni i ni i n n XN X N X n A n S X X n X N X N n X D nX X X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒-∑∑正确,正确,正确,故错误.由于找不正确的结论,故B 符合题意.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分。
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若函数f(x)=在x=0处连续,则( )A.ab=1/2B.ab=-C.ab=0D.ab=2正确答案:A解析:=1/2a,∵f(x)在x=0处连续,1/2a=bab=1/2,选A.2.二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A.(0,0)B.(0,3)C.(3,0)D.(1,1)正确答案:D解析:=-1,从而AC-B2>0,从而(1,1)为极值点.3.设函数f(x)可导,且f(x)f’(x)>0,则( )A.f(1)>f(-1)B.f(1)<f(-1)C.|f(1)|>f(-1)|D.|f(1)|<|f(-1)|正确答案:C解析:举特例,设f(x)=ex,可排除BD;设f(x)=-ex,可排除A,故选C.4.若函数收敛,则k=( )A.1B.2C.-1D.-2正确答案:C解析:因为原级数收敛,所以1+k=0k=-1.选C.5.设α为n维单位向量,E为n阶单位矩阵,则( )A.E-ααT不可逆B.E+ααT不可逆C.E+2ααT不可逆D.E-2ααT不可逆正确答案:A解析:选项A,由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解,故|E-ααT|=0.即E-ααT不可逆,选项B,由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0,1故E-ααT的特征值为n-1个1,2,故可逆.6.已知矩阵A=,则( )A.A与C相似,B与C相似B.A与C相似,B与C不相似C.A与C不相似,B与C相似D.A与C不相似,B与C不相似正确答案:B解析:由(λE-A)=0可知A的特征值为2,2,1因为2E-A=得r(2E-A)=1,∴A可相似对角化。
且A~由|λE-B|=0可知B特征值为2,2,1因为2E-B=得r(2E-B)=2,∴B不可能相似对角化,显然C可相似对角化,∴A~C,且B不相似于C.7.设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A.A与B相互独立B.A与B互不相容C.AB与C相互独立D.AB与C互不相容正确答案:C解析:由题设知,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),由A∪B与C相互独立知,P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C),即AB与C相互独立.8.设X1,X2,…,Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记Xi,则下列结论不正确的是( )A.(X1-μ)2服从χ2分布B.2(Xn-x1)2服从χ2分布C.)2服从χ2分布D.n(-μ)2服从χ2分布正确答案:B二、填空题9.∫-ππ(sin3x+)dx=_______.正确答案:π3/2解析:∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π/2πcost.πcostdt=2π2∫0π/2πcos2tdt=2π22.=π3/2.10.差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______.正确答案:φt=C.2t+t.2t解析:由yt+1-2y1=2tλ=2,∴=C2t设y1*=C1t21,则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R).11.设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q,其中产量为Q,则边际成本为_______.正确答案:1+(1-Q)e-Q解析:C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q.12.设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则f(x,y)=_______.正确答案:xyey解析:f’k=yey,f’y=x(1+y)ey,f(x,y)=∫yeydx=xyey+c(y),故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey,故c’(y)=0,由f(0,0)=0,即f(x,y)=xyey.13.设矩阵A=,α1、α2、α3为线性无关的三维向量组,则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______.正确答案:2解析:由a1,a2,a3,线性无关,可知矩阵a1,a2,a3,可逆,故r(Aa1,Aa2,Aa3)=r(A(a1,a2,a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1,Aa2,Aa3)=2.14.设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1/2,P={X=1}=a,P{X=3}=b,若EX=0,则DX=_______.正确答案:9/2解析:由归一性得+a+b=1,再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1/4,故EX2=(-2)2×=9/2,DX=EX2-(EX)2=9/2.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年数学三真题答案解析
所以Z的概率密度为
O<z <L
几(z)�r-- 2, 2<z<3,
(23)解
0'
其他.
CI) Z1 的分布函数为
厂王) -], F(z)�P{Z,,s;;z}�P{IX,-pl,s;;z}�
z�o.
o,
z < 0,
所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
z歹o,
z<O.
=厂叮 z 厂 C II) EZ1
已AB与C相互独立,故应选C. (8) B
解 因为X, �NCµ ,1),
所以X,
— µ
�N(O,l),
�ex, 则
—µ尸~贮(n), 故A正确;
,-1
一` (n — 1)S 2
�(X,
,-1
因为 z =
�X气n — 1)'
C,
1
故C正确;
因为
X
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µ
,—1 ), n
X—µ
所以
�N(O,l),
1
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(z)dz =
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z z a
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6
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1 +=
1
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—
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产
0
—
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+=
(17)解
2 —迈 = 16 兀
n (--;;) --;; 杻心: -杻心: n k
2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题及参考答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,
只有一个选项是符合题目要求的.
1.若函数1cos ,0(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续,则()
(A)12
ab =
(B)12
ab =-
(C)0
ab =(D)2
ab =2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点()
(A)(0,0)
(B)(0,3)
(C)(3,0)
(D)(1,1)
3.设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()
(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()
11f f >-(D)()()
11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞
=⎡⎤
⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦∑收敛,则k =(
)
(A)1(B)2(C)-1(D)-2
5.设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()
(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆
(D)2T E αα-不可逆
6.已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,则()
(A)A 与C 相似,B 与C 相似(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似
(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似
7.设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是()
(A)A 与B 相互独立
(B)A 与B 互不相容
(C)AB 与C 相互独立(D)AB 与C 互不相容
8.设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记1
1n
i
i X X n ==∑则下列结论中不正确的是()
(A)
2
1()n
i i X μ=-∑服从2χ分布(B)2
12()n X X -服从2χ分布
(C)
21
()n i
i X
X =-∑服从2χ分布
(D)2()n X μ-服从2χ分布
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
9.3(sin x dx π
π
-=
⎰.
10.差分方程122t
t t y y +-=的通解t y =
.
11.设生产某产品的平均成本)1Q C Q e -=+,其中Q 为产量,则边际成本为
.
12.设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++,
(0,0)0f =,则(,)f x y =
.
13.矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,3,ααα为线性无关的三维列向量组,则向量组
1,2,3,A A A ααα的秩为
.
14.设随机变量x 的概率分布为{}1
22
P X =-=
,{}{}1,3P X a P X b ====,若0EX =则DX =
.
三、解答题:15~23小题,共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.求0
x
t x dt →.
16.计算积分()
3
2
2
41D
y dxdy x
y
++⎰⎰
,其中D
是第一象限中曲线y =与x 轴边
界的无界区域.
17.求2
1lim ln 1n
n k k k n
n →∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑.18.已知方程
()11
ln 1k x x
-=+在区间()0,1内有实根,求k 的范围.19.若01a =,0n a =,111
()(1,2,3....)1n n n a na a n n +-=
+=+,()S x 为幂级数1
n n n a x ∞
=∑的和函数.
(1)证明1n
n n a x ∞
=∑的收敛半径不小于1;
(2)证明(1)()()0x S x xS x '--=(1,1)x ∈-,并求()S x 的表达式.
20.设2阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值,且3122ααα=+.(I)证()2r A =;
(II)123βααα=++,求AX β=的通解.
21.设二次型()222
123123121323,,2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换
x Qy =下的标准型为22
1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .
22.设随机变量X,Y 相互独立,且X 的概率分布为{}{}1
02,
2
P X P X ====Y 的概率密度为()2,010,y y f y <<⎧=⎨
⎩
其他.(I)求{}P Y EY ≤;
(II)求Z X Y =+的概率密度.
23.(本题满分11分)
某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n x x x 相互独立,且均服从正态分布()2
,N μσ
,该工程师记录的是n 次测量的绝对误差(),1,2,,i
i z
x i n μ=-= ,
利用12,,,n z z z 估计σ.(I)求1z 的概率密度;
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量;(III)求σ的最大似然估计量.
数学三参考答案:。