2018年高考数学总复习 11.1 随机事件的概率

如何选择各自的路径.
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考点一
考点二
考点三
解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有
12+12+16+4=44人.
故用频率估计相应的概率为
44 100
=0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率如下表.
所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
其中正确的是( B )
A.①②③④
B.①④⑤
C.①②③④⑤ D.②③
解析:由概率的相关定义知①④⑤正确.
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4.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13, 则甲不输的概率为( A )
A.56
B.25
C.16
D.13
选择 L1 的频率2
0.2
选择 L2 的频率 0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站; B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)得P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2), 故甲应选择L1;P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4 =0.9,P(B2)>P(B1),故乙应选择L2.
事件,A∪B A∩B=⌀,且A∪B=Ω ,则称事件 A 与事件 (Ω 为必然
事件)
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4.互斥事件与对立事件的关系 对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 5.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率:P(A)= 1 . (3)不可能事件的概率:P(A)= 0 . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)= P(A)+P(B) . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必 然事件.P(A∪B)= 1 ,P(A)= 1-P(B) .
这个射手射击一次,击中靶心的概率约是 0.90 . 解析:击中靶心的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,易知击 中靶心的频率在0.90附近摆动,故P(A)≈0.90.
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考点一
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考点三
随机事件的关系 例1一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6. 将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数,事件B 表示向上的一面出现的数字不超过3,事件C表示向上的一面出现的 数字不小于4,则 ( D ) A.A与B是互斥而非对立事件 B.A与B是对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 解析:根据互斥事件与对立事件的定义作答,A∩B={出现点数1或 3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=⌀,B∪C=Ω (Ω 为必然事件),故事 件B,C是对立事件.
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3.下列说法:
①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大
小;
②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率
������ ������
就是事
件A发生的概率;
③百分率是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不
依赖于试验次数的理论值;
解析:令 A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,
∵P(A)=12,P(B)=13,
且 A,B 互斥,
∴甲不输的概率为
P(A∪B)=P(A)+P(B)=12
+
1 3
=
56.
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5.某射手在同一条件下进行射击,结果如下:
射击次数
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 8 19 44 92 178 455
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频 数 60 50 30 30 20 10
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考点二
考点三
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(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A) 的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于 基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)事件发生的频率与概率是相同的. ( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事. ( × )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. ( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. ( √ )
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对点训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,则互斥
而不对立的事件有 ④ .(填序号) ①至少有一个红球,都是红球; ②至少有一个红球,都是白球; ③至少有一个红球,至少有一个白球; ④恰有一个红球,恰有两个红球.
解析:由互斥事件与对立事件的关系及定义知,①不互斥,②对立, ③不互斥,④互斥不对立.
1.从近五年高考试题来看,随 机事件及其概率不单独考
查,往往与统计交汇. 2.高考对该部分内容的考查 主要有两个方面:一是列出 频率分布表,由频率估计概 率;二是考查互斥事件、对立 事件的概率.
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1.事件的分类
确定 必然事件
在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件
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考点三
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解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知,一年内出险次数小于 2 的频率为602+0050=0.55, 故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.
由所给数据知,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 302+0030=0.3,
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3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含 关系
若事件 A 发生 ,则事件 B 一定发生 , 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包 含于事件 B)
B⊇A (或A⊆B)
相等 关系
若 B⊇A,且 A⊇B ,则称事件 A 与事件
B 相等
A=B
并事件 (和事件)
若某事件发生,当且仅当事件A发生或事件, B发生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件 A∪B(或A+B) (或和事件)
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思考如何判断随机事件之间的关系? 解题心得判断随机事件之间的关系有两种方法:(1)紧扣事件的分 类,结合互斥事件、对立事件的定义进行分析判断;(2)类比集合进 行判断,把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从 而断定所给事件的关系.由各个事件所含的结果组成的集合彼此的 交集为空集,则事件互斥;事件A的对立事件 ������ 所含的结果组成的集 合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
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随机事件的频率与概率
例2某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称 为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0
12
3
4
≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如 下统计表:
(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. ( × )
2.设甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,则 ( B ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 解析:互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件.
交事件 (积事件)
若某事件发生当, 且仅当事件A发生且事件,B发生 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件 A∩B(或AB) (或积事件)
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互斥 事件
对立 事件
定义
若 A∩B 为 不可能 与事件 B 互斥 若 A∩B 为 不可能 为 必然事件 B 互为对立事件
符号表示
事件,则称事件 A A∩B=⌀
故 P(B)的估计值为 0.3.
考点一
考点二
考点三
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(3)由所给数据得
保费 0.85a a
1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a ×0.05=1.192 5a.
考点一
考点二
考点三
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解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队 等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5 人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C, 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以 P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G, 所以P(H)=1-P(G)=0.44.