圆与圆的位置关系课件3

方法 2：将两圆的方程联立得到方程组
2 2 x ＋y ＋4x＋4y－2＝0 2 2 x ＋ y －2x－8y－8＝0
① ②
，
由①－②得 x＋2y＋1＝0③， 由③得 x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得 y2－1＝0， ④ 方程④的判别式 Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0，
所以，方程③有两个不相等的实数根y1，y2，把y1，y2分别
解法二：(代数法)
2 2 x ＋ y －2x－3＝0， 联立方程 2 2 x ＋y －4x＋2y＋3＝0，
x1＝1， 解得 y1＝－2，
x2＝3， y2＝0，
即方程组有 2 组解，也就是说
两圆的交点个数为 2，故可判断两圆相交．
规律总结： 判断两圆位置关系的方法有两种，一是
－(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0，即4x＋3y－2＝0.
●互动探究 两圆的位置关系 已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋
y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系，
[探究] 思路 1： 求圆C1，圆C2 比较|C1C2|与|r1－ 得出 → 求|C1C2| → → 的半径r1，r2 r2|，r1＋r2的大小 结论 联立圆C1，圆 整理成关于x或y 判断判别 思路 2 ： → → C2的方程 的一元二次方程 式的符号 → 得出结论
规律总结：(1)两圆的公共弦所在直线方程及长度求
解步骤
①两圆的方程作差，求出公共弦所在直线方程； ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离； ③利用勾股定理求出半弦长，即得公共弦长． (2)两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦． (3) 两圆的公共弦长的求解转化为其中一个圆的弦长的求 解．
代入方程③，得到x1，x2. 所以，圆 C 1 与圆 C 2 有两个不同的公共点 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y2)，即两圆的位置关系是相交．
x＋1 [注释] 由③可得 y＝－ 2 ，将此式代入①，并整理得 x2 ＋2x－3＝0，同理也可以通过判断上述方程的判别式来判断两 圆的位置关系．
由此可推广：经过两曲线f(x，y)＝0，g(x，y)＝0交点的曲
线系方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0.
●预习自测 1．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是(
A．相切 C．内含 [答案] C B．外离 D．相交
)
[解析]
圆 x2＋y2＝1 的圆心 O1(0,0)，半径 r1＝1，圆 x2＋
＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
[探究] (1)将两圆的化成标准形式．
(2)
(3)思路1：求交点． 思路2：利用弦长公式求解．
[解析] (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆 C1 的圆心为(1，－5)，半径 r1＝5 2； 圆 C2 的圆心为(－1，－1)，半径 r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10，r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为 x－2y＋4＝ 0.
第四章 4.2 4.2.2 直线、圆的位置关系 圆与圆的位置关系
●知识衔接 1．圆与圆的位置关系 大于 (1)外离⇔圆心距__________ 两圆半径长之和；
等于 (2)外切⇔圆心距__________ 两圆半径长之和； 大于 (3)相交⇔圆心距__________ 两圆半径长之差的绝对值小于 两圆半径长之和； 等于 (4)内切⇔圆心距__________ 两圆半径长之差的绝对值；
[考点定位] 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间 的距离公式，点与圆的位置关系，以及恒过定点的直线方程， 直线与圆的位置关系利用 d 与 r 的大小来判断，当 0 ≤ d < r 时，直
线与圆相交；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d > r 时，直线与圆
相离．
6 ．(2015·湖南浏阳望城高一上学期期末，9) 圆P： x2＋y 2 ＝5，则经过点M(－1,2)的切线方程为( A．x－2y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 ) B．x＋2y＋5＝0 D．x－2y＋5＝0
位置 关系 图 示 d与 r1 ， r2 的 关系 d< |r1－r2|<d d ＝|r1－r2| ________ r1 ＋r2 |r1－r2| <_________ 外离 外切 相交 内切 内含
＝r1＋r2 d>r1＋r2 d________ ________
(2)代数法：圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆O2：x2＋
小于 (5)内含⇔圆心距__________ 两圆半径长之差的绝对值．
2．相切两圆的性质 切 相切两圆的连心线必经过__________ 点．
3．相交两圆的性质 垂直平分 两圆的公共弦． 相交两圆的连心线__________ 4．两圆的公切线 和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，当两圆在公切
外 线的同侧时，公切线为________ 公切线；当两圆在公切线的两
A．相离
C．相交 [答案] C
B．相切
D．内含
[解析] 解法一：(几何法) 把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4， (x－2)2＋(y＋1)2＝2， 所以两圆圆心为 C1(1,0)， C2(2， －1)， 半径为 r1＝2， r2＝ 2， 则连心线的长|C1C2|＝ 1－22＋0＋12 ＝ 2， r1＋r2＝2＋ 2，r1－r2＝2－ 2，故 r1－r2<|C1C2|<r1＋r2， 两点的圆系方程x2＋y2＋D1x
＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)中，要 注意参数 λ 的取值以及此方程不能包括第二个圆，但可以包括 第一个圆(λ＝0)．
对于过两已知圆交点的圆系方程，当 λ ＝－ 1 时，得到 ( D 1 －D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方 程．因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦 所在的直线方程．
[解析]
圆 x2＋y2＝4 的圆心 O1(0,0)，半径 r1＝2，圆(x－
4)2＋(y－7)2＝1 的圆心 O2(4,7)，半径 r2＝1，则 d＝|O1O2|＝ 4－02＋7－02＝ 65>r1＋r2＝3. ∴这两圆的位置关系是外离．有 4 条公用线，故选 D．
3．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋ 16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________. [答案] 4x＋3y－2＝0 [解析] 由圆系方程得公共弦方程为(x2＋y2－12x－2y－13)
＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋
y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.
圆系方程表示的是满足某些条件的圆的集合，在处理有关 问题时，利用圆系可使问题得到简化．同心圆系中半径变化， 可得圆心相同的一系列的圆；在方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2中， a，b变化，就得到半径相等的一系列的圆；而过直线与圆的交
规律总结： 利用几何法判断两圆的位置关系，直
观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的 位置关系，不能准确地判断位置关系 ( 如 Δ ＝ 0 仅能说明两圆只 有一个公共点，但确定不了是内切还是外切； Δ<0仅能说明两 圆没有公共点，但确定不了是外离还是内含，所以必须借助于
图形)．
两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的 位置关系是( )
r2，其中a，b为定值，r是参数．
(2) 半径为定值 r 的圆系方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，其中 a，b为参数，r>0是定值．
(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的 交点的圆系方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＋ λ ( Ax ＋ By ＋ C ) ＝ 0(λ∈R)． (4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x
∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)． ∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
方法 2：两方程联立，得方程组
2 2 x ＋y －2x＋10y－24＝0， 2 2 x ＋y ＋2x＋2y－8＝0.
两式相减得 x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程； 由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50， 其圆心为 C1(1，－5)，半径 r1＝5 2. 圆心 C1 到直线 x－2y＋4＝0 的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 ∴两圆的公共弦长为 2 r2－d2＝2 50－45＝2 5.
[解析] 方法 1：把圆 C1 的方程化为标准方程，得(x＋2)2 ＋(y＋2)2＝10. 圆 C1 的圆心坐标为(－2，－2)，半径长 r1＝ 10， 把圆 C2 的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25. 圆 C2 的圆心坐标为(1,4)，半径长 r2＝5. 圆 C1 和圆 C2 的圆心距 d＝ －2－12＋－2－42＝3 5， 又圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1＋r2＝5＋ 10，两半 径长之差是 r2－r1＝5－ 10. 而 5－ 10<3 5<5＋ 10，即 r2－r1<d <r1＋r2， 所以，两圆的位置关系是相交．
[答案] D
●自主预习
1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法：
2 圆 O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2 ( r >0) ，圆 O ： ( x － x ) 1 1 2 2 ＋(y－