河北省大名县第一中学2019-2020学年高二10月月考数学试题

2019-2020年度高二第二次月考数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题（每小题5分，共12小题）1．若回归直线的方程为ˆ2 1.5yx =-，则变量x 增加一个单位时 （ ） A ．y 平均增加1．5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1．5个单位D ．y 平均减少2个单位2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ). A ．至少有1个白球；都是白球 B ．至少有1个白球；至少有一个红球 C ．恰有一个白球；恰有2个白球 D ．至少有一个白球；都是红球 3．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）A.B.C.D.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是 A ．45 B ．35 C ．25 D ．155．“21x >”是“24x -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件6．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥7．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥8．已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．抛物线218y x =的准线方程是（） A ．2y =-B ．12y =C ．132x =D ．132y =10．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>经过点(3,2)，且离心率为3，则它的虚轴长是（）A ．45B ．25C ．2D ．411．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于 A ．13B ．33C ．12D ．3212．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.23y x =±B.22y x =±C.3y x =±D.2y x =±二、填空题（每小题5分，共4个小题）13．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =__________．14．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________； 15．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点到焦点和点()4,0的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为__________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，直线()3y x c =--与双曲线的一个交点满足21122PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为_____． 三、解答题（17题10分，其余每题12分）17、设:p 实数满足22540x ax a -+<（其中0a >），实数满足25x <≤。

（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围。

18、节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以分组的频率分布直方图如图．求直方图中x 的值；求月平均用电量的众数和中位数；估计用电量落在中的概率是多少？19．（本小题12分）已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点2,1)M ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)作斜率为直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的长．20、已知抛物线22y x = 与直线:2l x ty =+ 相交于A 、B 两点，点O 是坐标原点. （Ⅰ）求证：OAOB ；（Ⅱ）当△OAB 的面积等于10时，求t 的值.21、“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：2 3 4 5 6 8 9 1112334568（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明与之间具有线性相关关系）；（2）根据（1）的判断结果，建立与之间的回归方程，并预测当24x =时，对应的利润ˆy为多少（ˆ,,ˆˆb a y 精确到0.1）.附参考公式：回归方程中ˆˆˆybx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估计分别为 1221ˆˆ,ni i i n i i x y nxy b ay bx x nx==-==--∑∑，相关系数()()12211ni n niii i x y nxyr x x y y ===-=--∑∑∑参考数据：88211241,6i i ii i x y x ====≈=∑∑.22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值。

高二月考数学试题参考答案1．C 由于回归直线方程为 1.52ˆyx =-+，其斜率为 1.5-，故变量增加一个单位时，平均减少1.5个单位.故选C. 2．C 3．D由表格中的数据可得，，由于回归直线过点，所以，，解得，故选：D.4．D 【解析】试题分析：据题意从两个集合中随机选取两个数，共有5315⨯=种可能，其中满足b a >的为()()()1,21,32,3共3种，有古典概型，可知所求概率为31155=.故本题选. 考点：古典概型 5．D 【详解】由题意，因为21x >，得21x -<-，不可以推出24x -<-； 但24x -<-时，能推出24x >，因此可以能推出21x >， 所以“21x >”是“24x -<-”的必要不充分条件.故选D. 6．B命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题9a ∴≥根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B 。

7．A由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ． 8．B 【解析】因为，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.9【答案】A解：根据题意，抛物线的方程为：218y x =，则其标准方程为：28x y =， 其焦点在y 轴正半轴上，且4p =，则其准线方程为：2y =-；故选：A ． 10．A 【详解】将点)代入双曲线方程及离心率为3得222223413a b ca c ab ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得b =2b =题选A. 11【答案】D已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，2a b ∴=，()2224a a c =-,2234ac =,椭圆的离心率c e a ==故选D.考点：1、椭圆的离心率；2、椭圆的简单性质. 12．A 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 13．63 【解析】2160063.1800n n =∴= 14．{|10}m m m <≠且 或者为其子集（答案不唯一） 【详解】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.15【答案】24y x =根据抛物线的定义，到焦点与点()4,0的距离之和等于点到准线的距离与到点()4,0的距离之和，其最小值为点()4,0到准线的距离，即452p+=，所以2p=，所以抛物线方程为24y x=.16．31+【详解】解：如图所示，直线2PF的斜率3k=-，则对应直线的倾斜角为120o，即2160PF F∠=o，则2112260PF F PF F∠=∠=o，1230PF F∠=o，即1290F PF∠=o，2PF c∴=，13PF c=，由双曲线的定义可得：122PF PF a-=，即32c c a-=，即()231312cea+===+，即双曲线的离心率31e=+，故答案为：31+.17．（1）若1a=，则:p14x<<，又25x<≤，因为p q∧为真，所以真，q真同时成立，所以14,25,xx<<⎧⎨<≤⎩解得：24x<<，所以实数的取值范围24x<<.（2）:p4a x a<<，25x<≤，因为q⌝是p⌝的必要不充分条件，所以是q的必要不充分条件，所以q中变量的取值集合是中变量的取值集合的真子集，所以2,5245,4aaa≤⎧⇒<≤⎨>⎩.18．由频率分布直方图的性质可得，，解得x=0.0075．由频率分布直方图可知，最高矩形的数据组为，故众数为．的频率之和为，的频率之和为，∴中位数在设中位数为y ， 则解得故中位数为224．由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是．19． 【详解】 （1）22c e a ==，又222a b c =+Q ， 222a b ∴=，即椭圆方程是222212x y b b+=，代入点()2,1M,可得222,4b a ==，椭圆方程是22142x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y直线方程是()21y x =-，联立椭圆方程()2221142y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 291640x x ⇒-+= 1212164,99x x x x +== ()222121212114AB k x k x x x x =+-=++-代入可得AB =20．（I ）由2222402y x y ty x ty ⎧=⇒--=⎨=+⎩，设()11 , A x y ，()22, B x y 则12122–4y y t y y +=⎧⎨=⎩.∴ 22212121212(4)(4)044y y OA OB x x y y y y →→-⋅=+=+=-+=∴ OA OB →→⊥ （II ）设:2l x ty =+与x 轴交于E, 则() 2 , 0 E ，∴2OE =，121212()OAB S OE y y y y =+=-==V解得：t =21．（1）由题意得6,4x y ==， 又816i i i x y ==≈=∑，所以()()8882418640.990.818.256x x y y x y xyr ----⨯⨯==≈≈>⨯，所以与之间具有线性相关关系.（2）因为818222182418640.7356868ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 40.760ˆˆ.2a y bx =-≈-⨯=-， 所以回归直线方程为0.7.2ˆ0yx =-， 当24x =时， 0.7240. 6.ˆ216y=⨯-=.22．解：（I）由题设：,3c bc a == 解得223,1a b ==∴椭圆C 的方程为2213x y +=（Ⅱ）.设()()1122,x ,A x y B y 、1.当ABx 轴时，AB =2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y kx m=+2=，得()22314m k=+把y kx m=+代入椭圆方程消去y，整理得()222316330k x kmx m+++-=,有()2121222316,3131mkmx x x xk k--+==++()()()()()222222212222121361k13131mk mAB x x kkk⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦,()()()()()()2222222221213131913131k k m k kk k++-++==++,()242221212330196196kkk k kk=+=+≠++++,1234236≤+=⨯+,当且仅当2219,kk=，即3k=±时等号成立.当0k=时，AB=综上所述max2AB=，从而△AOB【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。