浙江省杭州二中高三数学下学期适应性考试题 理 新人教A版

2014届杭州二中高三数学热身考数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 考试时间120分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{, }A a b =，集合{}25, log (3)B a =+，若{2}AB =, 则A B 等于（ ）A ．{}2,5,7B ．{}1,2,5-C ．{}1,2,5D ．{}7,2,5-2. 已知函数()cos2f x x =，若()'f x 是()f x 的导数，则4'3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．． 3. 在21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 （ ）A. 15B. 20C. 30D. 1204. 设函数),0(),tan()(>+=ωϕωx x f 条件P ：“0)0(=f ”；条件Q ：“)(x f 为奇函数”，则P 是Q 的 （ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+, 则53a a 的值为（ ） A.16 B. 13 C. 35 D. 566. 设O 为ABC ∆的外心，且=++，则ABC ∆的内角C =（ ） A. 6π B. 4π C. 3πD.2π A 1B 1C 1D 17．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ） A ．6π B ． 3π C ． 6 D ． 38. 过O 的直径的三等分点,A B 作与直径垂直的直线分别与圆周交,,,E F M N ，如果以,A B 为焦点的双曲线恰好过,,,E F M N ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．11 D ．129. 已知正方形ABC D 的边长为6，空间有一点M （不在平面ABC D 内）满足10=+MB MA ，则三棱锥BCM A -的体积的最大值是（ ）A. 48B. 36C. 30D. 24 10．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间”B ．函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间” C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数1()log 8x c f x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0c >，1c ≠）不存在“和谐区间”第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11. 如果复数()a iz a R i+=∈的实部和虚部相等，则zi 等于 ▲ . 12. 各项均为实数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，3070S =，则40S 等于 ▲ .13．如上图所示算法程序框图中，令tan 315,sin 315,a b == cos315c =，则输出结果为 ▲ .14．在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a 、b 、c ．若tan 210tan A cB b++＝，则A = ▲ .15. 已知点),(y x P 的坐标满足240510x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，设(3,0)AAOP ∠（O 为坐标原点）的最大值为 ▲ .16. 正方体1111D C B A ABCD -的12条棱的中点和8个顶点共20个点中，任意两点连成一条直线，其中与直线D B 1垂直的直线共有 ▲ 条.17．将()22xxaf x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m且2m >，则实数a 的取值范围为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）已知函数()sin (0)f x m x x m =>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．19．（本小题满分14分）袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同.每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k 次(5)k ≥.（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差； （Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望.20. （本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，ABD ∆和BCD ∆均为等边三角形，2,AB AC ==（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A BC D --的余弦值； （Ⅲ）求O 点到平面ACD 的距离.21. （本小题满分15分）给定椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”. 若椭圆C 的一个焦点为)0,2(F ，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且21,l l 分别交其“准圆”于点M, N ，（1）当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求21,l l 的方程. （2）求证：MN 为定值.22.（本小题满分15分）已知函数)1(1)ln()(+++-+=n n n x n n x x f n （其中n 为常数，*N n ∈）， 将函数()n f x 的最大值记为n a ，由n a 构成的数列{}n a 的前n 项和记为n S .（Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若对任意的*N n ∈，总存在+∈R x 使1n x x a a e -+=，求a 的取值范围；（Ⅲ）比较()11nn n f e e e n+++⋅与n a 的大小，并加以证明.2014年杭州二中高三数学热身考理科数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. C2. D.3. A4. B5. D6. B7. A8. B. 根据题意()42222242244222481001010b c c c a a c a a c c e e a=⇒-=⇒-+=⇒-+= 9. D 10. 根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间],[b a 即可，对函数2)(x x f =（0≥x ），“和谐区间”],[b a =[0,2]，函数xe xf =)(是增函数，若存在“和谐区间” ],[b a ，则22a b e ae b⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此方程2x e x =至少有两个不等实根，考虑函数()2x h x e x =-，由'()2xh x e =-0=，得ln 2x =，可得()h x 在ln 2x =时取得最小值，而(ln 2)22ln 20h =->，即()h x 的最小值为正，()20xh x e x =-=无实根，题设要求的,a b 不存在，因此函数xe xf =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”， 函数14)(2+=x xx f (0≥x ）的“和谐区间”为[0,1]，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D ，事实上，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f 在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”],[b a为11[log ((22a a ，故D 中的命题是错误的．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 1i - 12. 150 13．cos315（c 也可以） 14. 三角形中问题在解决时要注意边角的互化，本题求角，可能把边化为角比较方便，同时把正切化为正弦余弦，由正弦定理可得sin sin c C b B=，tan 2sin cos 2sin 110tan cos sin sin A c A B CB b A B B++=++=，所以有cos sin sin cos 2sin cos 0A B A B C A ++=，即sin()2sin cos 0A B C A ++=，在三角形中sin()A B +sin 0C =≠，于是有12cos 0A +=，1cos 2A =-，23A π=． 15. 2 16．平面11A BC 与B 1D 垂直，这样的与B 1D 垂直的平面(与平面11A BC 平行)有四个，此时与B 1D 垂直的直线有423C 条，中点E 、F 、G 、H 、M 、N 所构成的平面与B 1D 垂直，此时与B 1D 垂直的直线有26C 条，∴与B 1D 垂直的直线有423C +26C =27 17. 首先应求出()g x 的表达式，曲线1C 对应的函数式为2222x x a y --=-， 曲线2C 与1C 关于x 轴对称，因此2C 的函数解析式为2222(2)222x x x x a a y ----=--=-+，2C 向上平移2个单位，就是函数()g x 的图象，则22()222x x a g x --=-++.2221()2222x x x x aF x a --=--++，其最小值大于22221441()222242x x x x x x a a a G x a a ----=--+=⋅+下面观察函数()G x ，若44aa-0<，则当x →+∞时，()G x →-∞，()G x 无最小值，同理当410a -<时，x →-∞时20x→，412xa -→-∞，()G x 无最小值，因此40,4104a a a-≥-≥，()G x ≥=，当且仅当 441242x x a a a --⋅=时等号成立，即()G x >122a <<.三、解答题：本大题共5小题，共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（1）由题意，()f x 的最大值为．而0m >，于是m =，π()2sin()4f x x =+． ()f x 为递减函数，则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z ，即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z ． 所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得32=23sin sin 60c R C ==．化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，得sin sin sin A B A B +=．由正弦定理，得()2R a b +=，a b +=． ① 由余弦定理，得229a b ab +-=，即()2390a b ab +--=． ②将①式代入②，得()22390ab ab --=．解得3ab =，或 32ab =-（舍去）．19．（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时， ξ的可能取值为1，2，3，4，5，易知1(),1,2,3,4,5.5P n n ξ=== 11111123453,55555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211111(13)(23)(33)(43)(53) 2.55555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k 次结束，η的可能取值是1,2,,k ，所求概率分布列为221[12()3()(1)()]()55555k k E k k η--=++++-⋅+ ……2分所以， 2214144444[1()2()(2)()(1)()]()5555555k k k E k k k η--=+++-+-+上述两式相减，整理得 221444441()()()()5[1()]55555k k k E η--=+++++=-20．解法一：（I ）证明：连结OC ， ∴ABD ∆为等边三角形，O 为BD 的中点，AO BD ∴⊥ ABD ∆和CBD ∆为等边三角形，O 为BD的中点，2,AB AC ==AO CO ∴=在AOC ∆中，22AO CO +=2AC ，90AOC ︒∴∠=，即AO AC ⊥,0BD OC =， AD ⊥面BCD（Ⅱ）过O 作OE BC ⊥于,E 连结AE ，AO ⊥平面BCD ，AE ∴在平面BCD 上的射影为OEAE BC ∴⊥ AEO ∴∠为二面角A BC D --的平角。