浙江省杭州二中高三年级仿真考

2015年浙江省杭州二中高三年级仿真考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页．满分150分,考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =++其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数()f x 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（） A ．()()x R f x f x ∀∈-≠-，B ．()()x R f x f x ∀∈-=，C ．000()()x R f x f x ∃∈-≠-，D ．000()()x R f x f x ∃∈-=，2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a =（） A ．11B ．10C ．9D ．83．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201x y x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（）A ．34B.43C.12D.1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF FS S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为（）A ．2221+B ．132-C ．12+D ．12- 8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面ACC 1A 1所成角为50°的直线条数为（） A ．1B ．2D 1C 1B 1A 1D CC ．3D ．无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分． 9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},xN x R =∈>则M N ⋃= ；M N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______. 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .12．已知圆22:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______．13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅OM ，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅=u u u r u u u r ，求a c +的值.④③②①17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA 上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）若二面角B QC D --的大小为23π，点M 为BC 的中点，求直线QM 与AB 所成角的余弦值.CA18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当k '=时，问直线PQ20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x a g x x++=， （Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题：9.(,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞10.45；725-11.③②②；83；12.221x y +=；相交;13.2;14.31[,]22-;15.52三、解答题：16.解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c .于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅=u u u r u u u r ,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅=u u u r u u u r 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+=∴3a c +=.17.（Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x =，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BEBFE EFπ∠==，BE=1，则A 到QC ，则有x =⋅x =. 过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，QG ==AM ==2QM ==，22234104cos 2QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得1231111()()26323n n n a --=-⋅=-⋅，则2113()232n n a =-⋅+； 由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+，得：12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=--+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++2311112[()()()]6(123)93333n n n =-+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+- 2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 显然，当n N *∈时，2{S }n 单调递减， 当1n =时，2703S =>，2n =时4809S =-<，则当2n ≥时，2S 0n <；22122315S S ()36232n n n n a n n -=-=⋅--+，同理可得仅当1n =时，21S 0n ->，综上，可得满足条件S 0n >的n 的值为1和2.19.解：（Ⅰ）22221,1422x y y x +=+=； （Ⅱ）直线MP的方程为y kx =22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y得22(21)0k x +-=，则221P x k =+，则点P 的坐标为222:(,2121P k k ++同理可得点Q 的坐标为：:Q ，又4k k '=，则点Q为：，12PQk k ==-， 则直线PQ的方程为：2221()21221y x k k k -=--++，即2221()21221y x k k k --=--++,化简得12y x k=-+，即当0x =时，y =PQ过定点.方法2：先证明一个结论：曲线22221x y a b+=上的任一点00(,)T x y 和曲线上两个关于中心的对称点(,),Q(,)P x y x y ''''--（T 不同于P ，Q ）连线的斜率乘积为22b a-.证明：2200022000TP TQy y y y y y k k x x x x x x'''-+-⋅=⋅='''-+-，点00(,)T x y ，点(,)P x y ''在曲线22221x y a b +=上，则有：2200221x y a b +=，22221x y a b ''+=，两式相减得：222200220x x y y a b ''--+=，则22202220TP TQ y y bk k x x a'-⋅==-'-。