最新上海市高考理科数学试卷及答案(打印版)

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2021年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含答案

2021年一般高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则UAB = ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的全部棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为．8.在报名的3名男老师和6名女老师中，选取5人参与义务献血，要求男、女老师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为．10.设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为． 11.在10201511x x ⎛⎫++⎪⎝⎭的开放式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）． 12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规章是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的确定值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（） A ．33 B ．53 C ．112 D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn n y x →∞-=-（）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F AE 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A 地动身匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并推断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即n n a a ≥0（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =.（1）验证()sin3xh x x =+是以π6为余弦周期的余弦周期函数；（2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，含答案）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

上海市高考数学(理)试题(word版,含答案)

普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2023高考上海数学理科试卷含详细解答

2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）　数学（理工农医类）全解全析一填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是（结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。

理数高考试题答案及解析-上海

理数高考试题答案及解析-上海亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i （ i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i) 2-4i= = =1-2i1+i (1+i)(1-i) 2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合 } 0 1 2 | { + = x x A ， } 2 | 1 || { = x x B ，则 = B A . 【答案】3 ,21 【解析】根据集合 A 2 1 0 x+ ，解得12x ，由 1 2, , 1 3 x x 得到，所以 = 3 ,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数 1 sincos 2) (= xxx f 的值域是 . 【答案】 23,25 【解析】根据题目 2 2 sin212 cos sin ) ( = = x x x x f ，因为1 2 sin 1 x ，所以23) (25 x f . 【点评】本题主要考查1/ 18行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 ) 1 , 2 ( = n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 2 arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则 2 arctan , 2 tan = = . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx 的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 3 3 34 62C ( ) 160 T xx= = . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V2 1，则= + + + ) ( lim2 1 nnV V V . 【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111) ( lim21== + + + nnV V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数| |) (a xe x f= （ a 为常数）.若 ) (x f 在区间 ) ,1 [ + 上是增函数，则 a 的取值范围是 . 【答案】 ( ] 1 , 【解析】根据函数,( ),x ax ax ae x af x ee x a += =看出当 a x 时函数增函数，而已知函数 ) (x f 在区间 [ ) + , 1上为增函数，所以 a 的取值范围为：( ] 1 , . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ，母线长为 l ，根据条件得到 2212=l ，解得母线长 2 = l ，1 , 2 2 = = = r l r 所以该圆锥的体积为：331 231S312 2= = = h V 圆锥 . 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知2) ( x x f y + = 是奇函数，且 1 ) 1 ( = f ，若 2 ) ( ) ( + = x f x g ，则 = ) 1 ( g . 【答案】 1 】【解析】因为函数2) ( x x f y + = 为奇函数，所以 , 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 1 ( ) 1 ( = = + =g f f g 所以，又 1 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 1 ( = + = + = = f g f . ( 1) (1). f f = 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 ) ( x f y = 为奇函数，所以有) ( ) ( x f x f = 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.3/ 1810．如图，在极坐标系中，过点 ) 0 , 2 ( M 的直线 l 与极轴的夹角 6 = ，若将 l 的极坐标方程写成 ) ( f = 的形式，则 = ) ( f . 【答案】)6sin(1 【解析】根据该直线过点 ) 0 , 2 ( M ，可以直接写出代数形式的方程为：) 2 (21 = x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1) (= f . 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形 ABCD 中，3= A ，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足| || || || |CDCNBCBM= ，则 AN AM 的取值范围是 . 【答案】 [ ] 5 , 2 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1 , 2 = = AD AB ，所以 5 1(0,0), (2,0), ( ,1) ( ,1).2 2A B C D 设1 5 1 5 5 1 5 1 5 1( ,1)( ), , - , - , (2 ,( )sin ).2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3N x x BM CN CN x BM x M x x = = = + 则根据题意，有 )83 2 3 5,4 821( ), 1 , (x xAM x AN = = . 所以83 2 3 5)4 821(x xx AN AM+ = 2521x ，所以 2 5. AM AN 64224610 5 5 10ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数 ) ( x f y = 的图象是折线段 ABC ，其中 ) 0 , 0 ( A 、 ) 5 ,21( B 、 ) 0 , 1 ( C ，函数 ) ( x xf y = （ 1 0 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110 ,02( )110 10, 12x xf xx x = + 从而得到22110 ,02( )110 10 , 12x xy xf xx x x = = +所以围成的面积为45) 10 10 ( 101212210= + + =dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2 = BC ，若 c AD 2 = ，且 a CD AC BD AB 2 = + = + ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】 1322 2 c a c 【解析】据题 a CD AC BD AB 2 = + = + ，也就是说，线段 CD AC BD AB + + 与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 互相垂直，当 ABD BC 平面时，此时有最大值，此时5/ 18最大值为：1322 2 c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若 i 2 1+ 是关于 x 的实系数方程 02= + + c bx x 的一个复数根，则（） A． 3 , 2 = = c b B． 3 , 2 = = c b C． 1 , 2 = = c b D． 1 , 2= = c b 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 1 2 i 也是该方程的另一个根，所以 b i i = = + + 2 2 1 2 1 ，即 2 =b ，c i i = = + 3 ) 2 1 )( 2 1 ( ，故答案选择 B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若 C B A2 2 2sin sin sin + ，则 ABC的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C 【解析】由正弦定理，得 , sin2, sin2, sin2CRcBRbARa= = = 代入得到2 2 2a b c + ，由余弦定理的推理得2 2 2cos 02a b cCab+ = ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设44 3 2 110 10 xx x x ，5510 = x ，随机变量1 取值5 4 3 2 1x x x x x 、、、、的概率均为 2 . 0 ，随机变量2 取值2 2 2 2 21 5 5 4 4 3 3 2 21x x x x x x x x x x + + + + +、、、、的概率也均为 2 . 0 ，若记2 1 D D 、分别为2 1 、的方差，则（） A．2 1 D D B．2 1 D D = C．2 1 D D D．1 D 与2 D 的大小关系与4 3 2 1x x x x 、、、的取值有关【答案】 A 【解析】由随机变量2 1 , 的取值情况，它们的平均数分别为：1 1234 51( ),5x x x x x x = + + + + ，2 3 3 4 45 5 1 122 11,5 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x+ + + + + = + + ++ =且随机变量 2 1 , 的概率都为 2 . 0 ，所以有 1 D ＞2 D . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1 nna n = ，n na a a S + + + = 2 1，在100 2 1, , , S S S 中，正数的个数是（） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（74分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是7/ 18矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2 = AB ， 2 2 = AD ， 2 = PA ，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形 PCD 的面积为 3 2 3 2 221= ................6 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14 分）已知函数 ) 1 lg( ) ( + = x x f ．（1）若 1 ) ( ) 2 1 ( 0 x f x f ，求 x 的取值范围；（2）若 ) ( x g 是以 2 为周期的偶函数，且当 1 0 x 时，有 ) ( ) ( x f x g = ，求函数 ) ( x g y = （ ] 2 , 1 [ x ）的反函数. 【答案及解析】，3132 x 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7 ．（1）当 5 . 0 = t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1C ：1 22 2= y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 12 2= + y x 相切，求证：OQ OP ；（3）设椭圆2C ：1 42 2= + y x ，若 M 、 N 分别是1C 、2C 上的动点，且 ON OM ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点 A与渐近线 x y 2 = 平行的直线方程为22 , 2 1.2y x y x= + = +即 1 = ON ，22= OM ,则 O 到直线 MN 的距离为33. 设 O 到直线 MN 的距离为 d . 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 x y = ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题． 23．（4+6+8=18 分）对于数集 } 1 {2 1 nx x x X ，，，， = ，其中nx x x 2 10 ， 2 n ，定义向量集} , ), , ( |9/ 18{ X t X s t s a a Y = = ，若对任意 Y a 1，存在 Y a 2，使得02 1= a a ，则称 X 具有性质 P ．例如 } 2 , 1 , 1 { 具有性质P ．（1）若 2 x ，且 } , 2 , 1 , 1 { x 具有性质 P ，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P ，求证：X 1 ，且当 1 nx 时， 11= x ；（3）若 X 具有性质 P ，且 11= x 、 q x =2（ q 为常数），求有穷数列nx x x ，，， 2 1的通项公式. 【答案及解析】必有形式 ) , 1 ( b 显然有2a 满足 02 1= a a 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 X 具有性质 P 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。

上海高考数学试题(理科)及试卷答案解析

20XX年上海高考数学试题(理科)及试卷答案解析20XX年上海市秋季高考数学(理科)及部分解析一、填空题1．计算：limn20______ n3n13【解答】根据极限运算法则，limn201．n3n133b a8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）C5213【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为12． C9189．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA两个焦点之间的距离为________ 4，若AB=4，BC的x2y221，于是可算得C(1,1，【解答】不妨设椭圆的标准方程为)得4b面面积为48，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为1228216． 22I}14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I){y|y g(x),x，已知定义域为[0,3]的函数y f(x)有反函数y f1(x)，且f1([0,1))[1,2),f1((2,4])[0,1)，若方程f(x)x0有解x0，则x0_____【解答】根据反函数定义，当x[0,1)时，f(x)(2,4]；x[1,2)时，f(x)[0,1)，而y f(x)的定义域为[0,3]，故当x[2,3时，f(x)取值应集合(,0)[1,2](4,)，故若f(x0)x0，只有x02．二、选择题15．设常数a R，集合A{x|(x1)(x a)0},B{|1，若AB Ra 的取值范围为（）(A) (,2) (B) (,2] ) (D) )a1【解答】集合AB． a16(A)充分条件 (C)B．17．在数列{anann1行列的矩阵的第i行第j列的元素,2,1;7,,2,12,i ai,j ai aj））则该矩阵元素能取到的不同数值的个i (D)63 i,j aij ai aj21，而i j2,3,,19，故不同数值个数为18个，中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为2,a34,a5d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分别(iaj)ak(dr d的dt小值、最大值，其中s最{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},则m,M满足（）.(A) m0,M0 (B) m0,M0 (C) m0,M0 (D)m0,M0【解答】作图知，只有AF DE AB DC0，其余均有ai dr0，故选D．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.C1（2）令2，将函数y f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函6数y g(x)的图像，区间[a,b]（a,b R且a b）满足：y g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b a的最小值．【解答】(1)因为0，根据题意有342422 3(2) f(x)2sin(2x)，g(x)2sin(2(x))12sin(2x) 163x2y21，曲线22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线C1:2C2:|y||x|1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．—C型点”时，要使用一条过该焦点的22212(k1)。

高考试题数学理上海卷解析版

第III氐到两个定点入D殆距制目等，是AD的中垂绻即阻.•・、；=二•一皐沦二;第N区；到定^、A与到定直线•、■轴砖距离柏等，是抛牧线，达\畑・> 一Iv -luixSZ）｝第V&.到两个亠D走虫的鉅离相等，应協是AD的中爭绻俚该线不经过弟V色故第V区没有满忌聚件的点；第vi氐到定直銭:•轮的距禹等于到定点0距鮎放满足隶件的点只有丄轴的非正半轴，即｛（和）.V<O,T=O｝第ni心到同一个点o的距扁相等的点,爰妣蘇象f艮的点，即：｛（x.v）X CS:T<!0｝策'in区：到定直筑.\轴，与列定点0的距韶痔，姒应O故满足条件的为.:轴的非iE半轴.RP：｛（rr） r=Oj <n｝第IX E;到定点a D的鉅斋相等的為为0D昭中垂竭该戋不经过IX区，枚不存在。

殊上所述：清足条件的点为：二H.;、y SrS?｝^ ｛（x,：.）；. - 2x ・ W.H Z】）｝_ f（儿；：v • S x 52:｝S 0； vSO），J：l・vj| A<0；Mil年上海高舟歎学试卷（理科）-、填空题（爭小邂4分.満分％分〉1、__________________________ 禺数“门■丄的更轟数为r（M-•r-2 ・【解析】厂⑴■丄・2.V2、箸全集L 集^-4»{r|x^l}J{.\ A<0}> 1*1 C,.4= ___________________【解析】<¥ 0<x<l}3、设別是常數.并虫刁0・门是双购找丄一二“的一个氯L 则加.w P【解析】根播交点公式* - r => «J■ 25 -P ■ 16.那・16」、不帑式口曲的解为 _____________X【解折】-L1<3=O i—^-<0 {.v .x<0 A m >1）x x 25、在极坐标系中，it繼p（】coM-shi8i■:与朮銭门4&・1的夬厨大小为_____________ （站果Jfl反三刑西歎值表示）【解析】因为.V =pcosc^.r = psint7,故直銭的一鮫方程为：lx-）«2,A =1.夹角为arctan A 6、恵和距2千米的±3两点处测董81标点C,若上（?：』■?亍丄（?3.4・6小・则.4.C两点W 问的距禹为 ___________ 千米.【解析】由正弦定现；=, AC •小sinoO- $in4?"7S箔01馳的侧而积为X.廉酝积为二，则该圆毎的休积为■10、柠列邓耕agg-LiQ ：所有可储的值中，说大杓是 __________________ 【解析】F :卜仝£一立，所以a = jf = £剣取丸值为6lk 在正三用彫・£C 杯 Q 是3C 上的点，若・i3・3.3D ・l, « A?<3- ___________________ 【覲析】绥田如下，过点D 柞DE_・4B ・则|AB - AD = --13 • -4x? = 34随机掖収的9仗同学杯至少有：:位同学在一月份出生的槪半为 __________________________________________________________________ （跌认番个月的夭歎相同.绐粟输确到0.001）13^设訓门是;t 义在R 上•以1为周期的及瓠芳国数r （x —W 虫区间[3•町上的值威为[-2.5]>刚在区间（-10:10]±的值域为 ________________ 【解析】-lSJlJs定义在虫上，以1为周禺的国敎■••• 0X411 = 0X1.文I7S =3( "3 - S5 I =5(3-13D I «JL X (3-1)«12Ml*» ■【解析】p= 0OS5P：.P.…,Pj Jll lirn QP, = ___________【解析】d £的极限点就是以原点为圆心，以】対半径与j=l的交点亀15 33 P1 8 161V1•11V V V 1 1 ■•・•1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 •1 1 •1 1 1 ! i! ?013 2 9324本送就是二分法解方程的延伸，关蛙条件（0Q -21（ OR, -2i<0的意思是QR.上到原点距离为2的点（设为P）始终在QR<之间，且Q&的长度不斷缩小，fi•到Q,面£^QR 的中為也妊终在0&之间，故当职极限时匕£两点就重合了，此时ljm OP =怛（妙_0Q： Hi M若0为任意一点，为重心，则；0S1只有重心満足条件八所有不竽于董心的点有丽=557-1^,故只有诂点是重心时才能为零向晏面董心只有一个，故満足条件的点只有一个.1$、设匕〕是各项为正的无穷数列，.4杲边长为U, S的絶形的面积仁—丄…）,则⑷ 为等比数列的充晏条件是< ）A. ｛叮是等比歎列氐20.…2「.・…或仃；.攻..・・・・％.…長等比教列£；・绡：•…£«・…和込…•冬「…均是等比数列2忑卫•…，■斗…和冬•乞，…山―…均是等比敎外且公比相同【解析】D日二”幺」故竺吕二込丄满足访条件只有A、D,而显然D的范囲aa・ a sr.a z• • • • < ■庚全面，放选D三、解答题（本题满分？4分）19、（本题满分1】分）巳知真數2.滿足（Z.-2X1-/1=1-/ （f为虚数卑仗）,复数2•的虚部为2,且2・・Z •是夹数,• ・• • •求？・•2L （本遠满分14分.第1小题6分，第丄小魏S分）已H3CD • H3CD是底酝边氏舟1的正四祓栓.0曲.< 坊5D的交点.・ lit ••••・⑴设.3坊嚴西・打（・：2所戍的夹丙的丸小为二而用,-32-亠的大小为0.求证：can" 〔aim :⑵若处到平a&.3的距需为i, 蘇四极桂攻的高.【解析】（1）拟採题意可知’显藝&就是厶3亠3. 0就是4CU•i •>已矣°歎刊（aj和{弭的通顶公式分剧为a - 3廿-6. ：■ 2?r- 7（片三V i ,杵集合所以:aiiz?->j-tana{.vi.x-a t.wf .V） J{x x■玄豊"〉•'］申的无需从小到大侬次椰儿枸成数列w、・・.「・• $ 顼.第四顶一定是顶■第五項是｛汀中的项.第兴項不拄这样的话.⑴是以4 为截取周禺的.枚匕；的X、（本題満分(1)35 ±通項为：n = 4k9 k e .V e fl+i c =6*r** > 则c,・=6次二 + ■二二f ■；a 4 2^n = 4/t-l> k€ A"时.。

高考数学理科卷带详解

2 个女生，（步骤
1）∴ P（ξ=0）=
C
2 5
C
2 7
10 21
.P（
ξ=1）=
C15 C12 C72
10
.
21
P（ ξ=2） =
C22 C27
1
10
（步骤 2）∴ Eξ=0
1 10
2
1 = 4 ．故答案为：
4
.（步骤 3）
21
21
21
21 7
7
8．已知三个球的半径 R1， R2 ， R3 满足 R1+2R2=3R3，则它们的表面积 S1 ， S2， S3，满足的等量关系是【测量目标】球的表面积 .
一定符合该标志的是
（）
A ．甲地：总体均值为 6，中位数为 8 C．丙地：中位数为 5，众数为 6 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征
B ．乙地：总体均值为 5，总体方差为 12 D ．丁地：总体均值为 3，总体方差大于 0
.
【考查方式】运用均值、中位数、众数、方差的数值特征对整体数字特征进行估计．
∴∠ MAB= arctan2 故答案为： arctan 2 .
3
3
MAB 时，曲线 C 都不是一个函数的图像
第 14 题图二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
15． “ 2 , a, 2”是“实系数一元二次方程 x2+ax+1=0 有虚根 ”的
A ．必要不充分条件
B．充分不必要条件
【难易程度】容易
【测量目标】椭圆的简单几何性质 .
【考查方式】给出椭圆上的一点与椭圆两交点之间的位置关系，
及它们所形成的三角形面积求解椭圆方程中

2023年上海市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年上海市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知P={1,2}，Q={2,3}，若M={x|x∈P,x∉Q}，则M=( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2,3}2.根据所示的散点图，下列说法正确的是( )A. 身高越大，体重越大B. 身高越大，体重越小C. 身高和体重成正相关D. 身高和体重成负相关3.已知a∈R，记y=sinx在[a,2a]的最小值为s a，在[2a,3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是( )A. s a>0，t a>0B. s a<0，t a<0C. s a>0，t a<0D. s a<0，t a>04.已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q使得|MP|⋅|MQ|=1，则称曲线Γ是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则( )A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立第II卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.不等式|x −2|<1的解集为______ ．6.已知向量a ⃗=(−2,3)，b ⃗⃗=(1,2)，则a ⃗⋅b⃗⃗= ______ ． 7.已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n 项和为S n ，则S 6= ______ ．8.已知tanα=3，则tan2α= ______ ．9.已知函数f(x)={1,x ≤0,2x ,x >0，则函数f(x)的值域为______ ． 10.已知复数z =1−i(i 为虚数单位)，则|1+iz|= ______ ．11.已知圆x 2+y 2−4x −m =0的面积为π，则m = ______ ．12.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a =4，b =5，c =6，则sinA = ______ ．13.现有某地一年四个季度的GDP(亿元)，第一季度GDP 为232(亿元)，第四季度GDP 为241(亿元)，四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为______ ．14.已知(1+2023x)100+(2023−x)100=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 99x 99+a 100x 100，若存在k ∈{0,1,2,⋯,100}使得a k <0，则k 的最大值为______ ．15.某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ.行人每沿着斜坡向上走1m 消耗的体力为(1.025−cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ= ______ ．16.空间中有三个点A 、B 、C ，且AB =BC =CA =1，在空间中任取2个不同的点，使得它们与A 、B 、C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______ 种.三、解答题：本题共5小题，共78分。

上海市高考理科数学试题及答案.doc

201X 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

列的前两项为 2， 0；或 2， 1；或 3， 0；或 3，为 2， 0，
1；若 n 3 ，由 S3
2，3 ，可得数列的前三项
0；或 2， 0， 1；或 2， 1， 0；或 2， 1， 3， 1， 1；
若 n 4 ，由 S4 2，3 ，可得数列的前四项为或 2， 0，
1；或 3， 0， 0；或 3， 0， 1；或 3， 1， 0；或 2， 0， 0， 0；或 2， 0， 0， 1；或 2， 0， 1， 0；
3 ，则该正四棱柱的高等于
．
【答案】 2 2
tan DBD1 DD1
【解析】由题意得
BD
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，
2 DD1 2 DD1 2 2
3 32 3
．
正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，
关键是找到直线与平面
所成的角．
（ 7）【 2019 年上海，理 7， 4 分】方程 3sin x 1 cos2x 在区间 0,2 上的解为
2)r x
8 4r
( 2)r C8r x3 3 ，求常数项则令
8 3
4 r
3
0 ，所以 r 2 ，所以 T3 112 ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，
二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数
的性质，属于中档题．
（ 9）【 2019 年上海，理 9， 4 分】已知 ABC的三边长分别为 3， 5， 7，则该三角形的外接圆半径等于
（ A ）充分非必要条件【答案】 A
（ B）必要非充分条件
（ C）充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
【解析】 a 1 a2 1,a2 1 a 1或 a 1，所以是充分非必要条件，故选 A ．

(精校版) 上海理数高考试题文档版(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为___________.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是___________.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为___________.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是___________. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+=（B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-=（D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<Nn S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

上海高考理科数学试题含答案(Word版)

三．解答题（本大题共 5 题 , 满分 74 分）19、（此题满分12 分）底面边长为 2 的正三棱锥P ABC ,其表面睁开图是三角形p1 p2 p3,如图,求△ p1 p2 p3的各边长及此三棱锥的体积V .20.（此题满分14 分）此题有 2 个小题 , 第一小题满分 6 分 , 第二小题满分 1 分。

设常数 a 0 ,函数f ( x)2x a 2x a（1）若a =4, 求函数y f ( x) 的反函数 y f 1 ( x) ；（2）依据a的不一样取值 ,议论函数 y f (x) 的奇偶性,并说明原因.21.（此题满分14 分）此题共有 2 个小题 , 第 1 小题满分 6 分 , 第 2 小题满分8 分 .如图 ,某企业要在A、B 两地连线上的定点 C 处建筑广告牌 CD ,此中 D 为顶端, AC长35米, CB长80 米 , 设A、B在同一水平面上 ,从 A和 B 看 D 的仰角分别为和 .（ 1）设计中CD是铅垂方向 , 若要求2, 问CD的长至多为多少（结果精准到0.01 米）？（ 2）施工达成后 .CD 与铅垂方向有误差,此刻实测得38.12，18.45，求CD 的长（结果精准到0.01 米）？22（此题满分16 分）此题共 3 个小题 , 第 1 小题满分 3 分, 第 2 小题满分 5 分, 第 3 小题满分8分.在平面直角坐标系xoy 中,关于直线l ：ax by c0 和点P i( x1, y1), P2( x2, y2),记（ ax1by1c)( ax2by2c). 若<0, 则称点P1, P2被直线l分开。

若曲线 C与直线l 没有公共点 , 且曲线 C 上存在点P1，P2被直线l分开 , 则称直线l为曲线 C 的一条分开线.⑴求证：点 A（1,2）， B（1，0）被直线 x y 10 分开；⑵若直线y kx 是曲线x 24y21的分开线,务实数k 的取值范围；⑶动点M 到点Q（0,2）的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证：经过原点的直线中, 有且仅有一条直线是 E 的切割线.23.23.（此题满分18 分）此题共 3 个小题 , 第 1 小题满分 3 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分9分.已知数列 { a } 知足 1 an an 13an, n N *, a1.n31（1）若 a2 2,a3x,a49 ,求x的取值范围；（2）若 { a n} 是公比为 q 等比数列,S n a1 a2L a n,1S n S n 1 3S n ,n N*, 3求 q 的取值范围；（3）若a1,a2 ,L , a k成等差数列, 且a1a2L a k1000 ,求正整数k的最大值, 以及 k取最大值时相应数列a1, a2 ,L ,a k的公差.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，解析版）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ . 2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x满足的关系式是____________________________ .4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。

5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 5．【答案】arctan 5【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B ＝arctan 5。

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题 1.不等式204xx ->+的解集是。

2.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。

3. 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为。

4.行列式cossin 36sincos36ππππ的值是。

5. 圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l:3440x y ++=的距离d = 。

6. 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入。

8.对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ⋃B ）= （结果用最简分数表示）10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= 。

11. 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= 。

12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为。

13。

如图所示，直线x=2与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,O E e O E e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若12,()OP ae be a b R =+∈、，则a 、b 满足的一个等式是14.以集合U={}a b c d ，，，的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）a 、b 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B B A ⊆⊆或，那么共有种不同的选法。

二．选择题 15．“()24x k k Zππ=+∈”是“tan 1x =”成立的【答】（）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16.直线l 的参数方程是x=1+2t()y=2-tt R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量是d可以是【答】（）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)17.若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间【答】（）(A)(23,1) (B)(12,23) (C)(13,12) (D)(0,13) 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能【答】（）（A ）不能作出这样的三角形（B ）作出一个锐角三角形（C ）作出一个直角三角形（D ）作出一个钝角三角形三、解答题19.（本题满分12分）已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由。

（2）n S =1575()906n n -+- n=15取得最小值21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。

若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2；（3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24ππ｛≠，∈，∈｝.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为（-a ，b ）.（1）若直角坐标平面上的点M 、A(0,-b)，B(a ，0)满足1PM =(PA +PB)2→→→,求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q （a cos θ，b sin θ）（0＜θ＜π），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP +PP =PQ →→→,写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）答案一、填空题 1.（-4,2）解析：考查分式不等式的解法204xx ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2 2. 6-2i解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++- 3.28y x =。

解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y 2=8x 4. 0解析：考查行列式运算法则cossin 36sincos36ππππ=02cos 6πsin 3πsin 6πcos3πcos ==-π5. 3解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯6. 8.2解析：考查期望定义式E ξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2 7. S ←S+a 8.（0，-2）解析：f(x)=log (3)a x +的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 9．726（解析：考查互斥事件概率公式 P （A ⋃B ）=2675213521=+ 10．45解析：11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45 11. 1 解析：B )1,1(++n n n n 所以BO ⊥AC ， n S =121221+=+⨯⨯n n n n 所以lim n n S →∞=1212．3解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为32836223162131=⨯⨯⨯⨯13。

4ab=1解析：)1,2(),1,2(21-E E12OP ae be =+=),22(b a b a -+，点P 在双曲线上1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得4ab =114. 36解析：列举法共有36种 15． A 解析：14tan)42tan(==+πππk ，所以充分；但反之不成立，如145tan=π，所以不必要 16. C解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确 17. C解析：结合图形312131312121,3121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，∴0x 属于区间(13,12) 18. D解析：设三边分别为a,b,c ，利用面积相等可知5:11:13::,51111131=∴==c b a c b a由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=A ，所以角A 为钝角 19.（本题满分12分） 20. (本题满分13分)解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；解不等式S n <S n +1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n ≥15时，数列{S n }单调递增；同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n =15时，S n 取得最小值．21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)，S =-3π(r -0.4)2+0.48π，所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3||||A B A B A B A B θ⋅==⋅，所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。