格点与割补讲义及作业
高思导引-四年级第十九讲-格点与割补教师版
第19讲ﻩﻩ格点与割补内容概述明确格点多边形的概念，学会通过分割和添补的方法计算其面积；学会利用割补法计算不规则图形的面积;掌握格点多边形的面积计算公式.典型问题兴趣篇1.图１9-ｌ中相邻两格点问的距离均为1厘米．三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：4平方厘米２平方厘米8平方厘米【分析】方法:正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝0，L＝１0,则用粗线围成图形的面积为:(0+1０÷2－1)×１=４（平方厘米)有Ｎ＝0，Ｌ=10,则用粗线围成图形的面积为:（1＋4÷2-１)×1=2(平方厘米）有N=5,L=8,则用粗线围成图形的面积为:(5+8÷２－1)×１=8(平方厘米)2．图１９－2中相邻两格点问的距离均为l厘米．三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 答案：5平方厘米5平方厘米0.５平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式:(N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，Ｌ为图形周界上格点数.有Ｎ=4,L=4,则用粗线围成图形的面积为：（4+４÷２-1)×1=５(平方厘米) 有Ｎ=4,L=4，则用粗线围成图形的面积为:(4+4÷２－1)×1=５(平方厘米）有N=０,L=3，则用粗线围成图形的面积为:（0+3÷2－１）×１=0.５(平方厘米)3．图１9-3中每个小正方形的面积均为２平方厘米.阴影多边形的面积是多少平方厘米?答案:19平方厘米【分析】方法:交点组成了正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-１)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=7，L=１7,则用粗线围成图形的面积为：(7+7÷2-1)×2＝19(平方厘米)4．图1９-４是一个三角形点阵,其中能连出的最小的等边三角形的面积为ｌ平方厘米.三个多边形的面积分别为多少平方厘米?答案:6平方厘米６平方厘米14平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L－２)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=0,L=８,所以用粗线围成的图形的面积为:(０×2+８-2)×１=6(平方厘米).有Ｎ＝２，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(2×2+4-2)×1＝6(平方厘米）.有N=４，L=7,所以用粗线围成的图形的面积为：（4×2+7－2）×1＝１4(平方厘米).５．如图19-５所示,如果每个小等边三角形的面积都是１平方厘米．四边形ABCD和三角形EFＧ的面积分别是多少平方厘米?答案：20平方厘米10平方厘米【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式:（2N＋Ｌ-２)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N＝9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（９×2+4-2)×1=２0(平方厘米)．有N＝4,L=4，所以用粗线围成的图形的面积为:（4×2+4-2）×1=1０(平方厘米）．６．图１９－6中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积.（单位：厘米)答案：32平方厘米【分析】3×２+2×4+（5-2)×(3＋1+２）=32７．如图19-７所示，在正方形A ＢＣD 内部有一个长方形.EFGH ．已知正方形A ＢＣＤ的边长是６厘米,图中线段ＡE 、AH 都等于2厘米.求长方形EFGH 的面积．答案：16平方厘米【分析】先算正方形面积６×６=36 再算左上角和右下角三角形面积２×2÷２×2＝4 后算左下角和右上角三角形面积４×4÷2×2＝16 ３6－４-1６=168．如图19-8所示,四边形ABCD 是长方形，长ＡD 等于７厘米,宽AB 等于5厘米，四边形C ＤＥF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？答案：２5平方厘米【分析】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7=35,HC=BC-B Ｈ＝7－3＝4，所以CDH S ＝12×CD×HC=12×5×４=10． S 阴影＝CDEF S 平行四边形-CDHS =35-１0=2５（平方厘米）.9.如图19-9所示，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连.请问:图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?答案：50平方厘米【分析】如下图,我们将大正方形中的所有图形分成A、Ｂ两种三角形.其中含有Ａ形三角形8个,B形三角形１６个,其中阴影部分含有A形三角形４个，B形三角形８个．方形面积的12,即为12×１所以,阴影部分面积恰好为大正0×10=50(平方厘米)．10.在图19-10中,五个小正方形的边长都是２厘米,求三角形ABC的面积．答案:14平方厘米【分析】方法：转化为正方形格点,正方形格点阵中多边形面积公式:（N+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数.有N=３,L＝３,则用粗线围成图形的面积为：（3+3÷2-１）×4=1４（平方厘米)拓展篇1. 图1９-1１中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为ｌ平方厘米.这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?答案：7．5平方厘米 6.5平方厘米９平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：(Ｎ+L2-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,Ｌ为图形周界上格点数．有N＝４,L=9,则用粗线围成图形的面积为:（4＋9÷２-１）×１=7.5(平方厘米）有N=３,L=9，则用粗线围成图形的面积为：(3＋９÷2-1)×１＝６．5(平方厘米)有N=4,L=12，则用粗线围成图形的面积为：(４＋１2÷２-1)×1=9(平方厘米)2．(１)图19-12中每个小正方形的面积是2平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米?(２）图1９-１３中每个小正三角形的面积是4平方厘米.阴影部分面积是多少平方厘米? 答案:１7平方厘米56平方厘米【分析】方法：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2－1）×单位正方形面积，其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.有N=3,L=13,则用粗线围成图形的面积为:（３+１３÷2-１)×２=17(平方厘米)【分析】方法：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+Ｌ-2)x单位正三角形面积,其中Ｎ为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4，Ｌ＝8，所以用粗线围成的图形的面积为:(4×2＋8-2)×４＝56(平方厘米）．3.图19－14中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？答案:１4平方厘米【分析】方法：可用公式先算出整个图形的面积,在减去中间空白部分的面积。
第1讲.格点与割补.提高班
例 5
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图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1 ，计算三角形 ABC 的面积．
【分析】 方法一（分割法） ：
四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
【分析】方法一：同正方形格点相似，将目标三角形分成容易求出面积的两个小三角形，如图. 易知左边小三角形面积为 2，右边小三角形面积为 4，则所求三角形面积为 6.
方法二：三角形毕克定理：图形内部有 1 个点，边上有 6 个点，由 S ( N （1+6÷2-1）×2=6.
L 1) 2 得面积为 2
S1
S1
S2
(a)
S3
S2(Leabharlann )方法三（正方形毕克定理） ：图形内部（N）有 8 个格点，图形边上（L）有 6 个格点，根据正方形
L 1 得面积为 8+6÷2-1=10. 2 注：请老师强调扩展法和割补法，避免孩子过分依赖毕克定理，为高年级的几何学习打好基础.
毕克定理： S N
图 2： 用毕克定理： 图形内部没有格点， 图形边上 （L） 有 6 个格点， 根据正方形毕克定理： SN
笔记整理
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四年级 第 1 讲 格点与割补 （提高班）
毕克定理：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形边界上的格点数， L 正方形格点： S N 1 2 三角形格点： S ( N
L 1) 2 2
1. 图中相邻两个格点的距离都是 1，请你求出葫芦和锤子的面积各是多少．
【分析】 （1）面积为 2 应当包含 2 个面积为 1 的“4 个相邻点组成的小正方形” ； （2）直角三角形的面积=两条直角边长的乘积÷2； （3）梯形面积=（上底+下底）×高÷2. 【答案】
第6讲格点与割补
【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题. 通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题. 【典型问题】1 •如图6-1，每一个小方格的面积都是I平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米图6-1【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L-1）X单位正方形面2积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=4, L=7,贝U用粗线围成图形的面积为：（4+7-1 ） X 1=（平方厘米）2方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3- 2=，②=2- 2=1，③=2- 2=1，④=2 - 2=1，⑤=2- 2=1，⑥=2- 2=1,还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为+1+1+1+1+1+3=,而整个格点阵所围成的图形的面积为16, 所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米.2.如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD勺面积是多少平方厘米【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=9, L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（9 X 2+4- 2）XI =20（平方厘米）.方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2, ②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2, 8, 6,所以②、③、④部分的面积分别为1, 4, 3•所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20（平方厘米）.北京市第十二矿'迎春杯”数学竟轟快骞弟一题第3题3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房 子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几第 4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.1 积为-x2所以第2块板的面积等于整幅图面积的1 2，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积8的 - +] = ?.16 8 164 .把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六 角形.再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向 外作更小的正三角形，这样就得到图 6-5所示的图形.如果这个图形面积是 1,那么原来1有S a =S 4 ,S 2=S 5 = S 7=2S 3，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为-，所以S 4=S 长方形品，21 S7= 8设整个七巧板组成的正方形的边长为 1,显然整幅图形的面积为1,且有第2块的面图—3的正三角形面积是多少【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小 正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三 角形.120 块小正三角形的面积为1,所以每块为丄，那么原来的正三角形由120方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成 A B C 三种，设A 形正三角形面积在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1, 3，12,所以图6-5中图形的第五届“华罗廉金杯"艺年数曾邀请赛♦决賽口试第4題5.如图6-6，正六边形ABCDE 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P81块小正三角形组成，其面积显然为27 401 1 40面积为1+3X 丄+12X -=40•所以有981 2727T 对应27，而原来的正三角形即为三角形 40A ,所以原来的正三角形的面积为27 40为“1”是EF 中点•问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米【分析与解】 如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分 MNP 包含有9个小正三角形.正六边形ABCDE 的面积为6,所以每个小正三角形的面积为1的面积为9X 丄=（平方厘米）.4般觀级数：車* ■-厂I第四届“小学柚学报橄數学竟决赛填空题第3題6 .把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若 干个面积相等的小三角形•已知图 6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中 的阴影部分的面积是多少平方分米【分析与解】 在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有 12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294-12=,所以原正三角形的面积为X 25=（平方分米）•16-24=-,所以三角形MNP4A' S6-6而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为十49 X 16=200（平方分米）.T992年仝国小学數学真林匹克・初* C雄第7題7. 图6-9是5X 5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么所围图形的面积是多少平方厘米【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形•为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小.如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3 X =（平方厘米）.鑛錮级数；車車8. 在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米, CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米圈20【分析与解】 方法一：如图（a ），将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形. △ ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形， S^ABC =9X 9十2=（平方厘米），所以阴影部分的面积为宁9X 6=27（平方厘米）.方法二：如图（b ），连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3厘米），所以 DG=DF-FG=9-3=6厘米），于是=- X s 正方形逍=-X 62 =9.44而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG 二厘米）,GF=3（厘米），所以S 长方形品=6X 3=18.阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27（平方厘米）.方法三：如图（C ），为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母. 易知三角形BIE 、CGF AIH 、DGH 匀为等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差, 即为需求阴影部分的面积.因为 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6如图（d ），可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形.所以，S^ACD S^DGH =4X DG>< DG=9，而 S^AIH S]ABC-S^CGF - ^AIH =81 - 9 -9=27（平方厘米）.即阴影部分的面积为27平方厘米.有 S^ABC =S 』DEF=—2X EF X DF=81， i 19 Si^cGF = X CF X FG=—. 2 2=9，所以S 阴影 BFGHI图（町9. 如图6-11，在长方形ABCD 中，0是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米, DE=4AE CF=3DF 那么阴影部分的面积是多少平方厘米由题意知 AE=4 ED=16 DF=3 FC=9有 S^AOD = — S 矩形 ABCD 4=-X 20 X 12=60,41 1=丄 X DF X( 3 4 AD)=2 41 X 3X 1 X 20=15.2 211丄 X 4X 1 X12=12,221 1=丄 X EDX DFr 1 X 16X 3=24. 2 2有S 阴影 =(S^AOD +S^ODF )- S J A EO - S EFD =60+15-12-24=39(平方厘米).即阴影部分的面积为39平方厘米.越酸徴鞍译章・导呼全珂小垄敬学奥林匹克*主膵芒卷心题3 1=丄 X AE X(丄 AB)= 4 2【分析与解】 我们只用先求出四边形 ADFO 勺面积，再将其减去两个三角形 AEO EFD的面积和，即为所求阴影部分的面积.而四边形ADFO 勺面积等于两个三角形 AOD ODF 的面积和.10. 如图6-12，大正方形的边长为10厘米•连接大正方形的各边中点得小正方形, 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影 部分的面积总和等于多少平方厘米【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A 、B 两种三角形.其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有 A 形三角形4个，B 形三角形8个.11 .如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形 AEBD 勺对角线相交于0,三角 形AOE 的面积比三角形BOD 勺面积小16平方厘米，则梯形AEBD 勺面积是多少平方厘米【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内 4个三角形的面积分别记为①、②、③、④.在梯形AEBD 中,有厶EBD △ ABD 同底等高，所以有S EBD =S ABD ，即③+②二①+②.显 然有①=③.由题意知S /D - S^AOE =16，即②-④=16，于是有（①+②）-（③+④）=16 .已知①所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的1 1-，即为-X 10X 10=50（平方厘米）. 2 26 - 12BC\国 6- 13+②二 S^BD 冷 X 8X 8=32,所以③ +④=（① +®） -16=16 .所以有S 梯形AEBD =（①+②）+（③+④）=32+16=48（平方厘米）.评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、 “下”、“左”、“右”，有:左二右；左X 右=±X 下；上：下=AD 2 : B C 2 .㈱矽级数；車* ‘二I1994年全国小学数学奥沐匹克•决宴民族毎第3建12.如图6-14 , ABCD 是长方形，长 AD 等于厘米，宽 AB 等于5厘米，CDEF 是平行四 边形.如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米 IL8 £ /DC【分析与解】 S 平行四边形CDEF =DC X BC=X =36, HC=BC-BH==所以S'ICDH =X CD^ HC^ X 5X =.2 21期年金段小学數学真林匹克z 决纂第6理13 .如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是 多少S 阴影=$平行四边形CDEF -S^cDH ==（平方厘米）.级数：車車車H【分析与解】 将AD BC 延长交于E ,有/ EDC=45，/ ECD=90，所以△ CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC而/ ECD =45，/ EAB=90，所以△ ABE 也是等腰直角三角形，有 EA=AB1 9 =—X EC X DC=-2 21994年仝国小辛數学凑棘匹丸•利賽B 卷鈿10题14•图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬” •梯形的上底长 1.5米,A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米.那 么图中阴影部分的面积是多少平方米【分析与解】 方法一：为了方便叙述. 母•延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求 AFH 与梯形AHEM 面积和，将前者与后者做差所得到的值 影部分的面积.有S四边形ABCD==1 X ABX EA=4949ABE2级数：审車車出三角形 即为所求阴1s 梯形 J |CK =2 X +1) X=，S 正方形 IFEC =1 X 1=1.L 11 1 11S^FH =^x AH X FH=1 X( AB+BH X( 1 FE)= 1 X +1)-(1 X 1)=,111 X (AH+DE X HE= 1X (AB+BH+CECD)X( 丄 FE)= 1X2 22213有S阴影=S梯形JICK+S正方形IFEC-SlAFH- S梯形AHED=+刃=万（平方米），17即阴影部分的面积为 乂平方米.24方法二：如下图，连接AI 、AC 将阴影部分分成四个部分.△ AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△ AKC 可以看作以AK 为底，AB 的 长为高的三角形；△ AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ ACD 可以看作CD 为底.CB 的长为高的三角形.阴影部分面积为S^AJI+ SAKC+SL AIF +s£ACD1= X 十 2+X 十 2+l X 十 2+ — X 十 2 3 1=+++ 12=口(平方米)24觀題级皺♦♦♦♦鷲一心更盒赫”少年敕学還请赛•决赛一试第S梯形AHED11 13+ 1+1--) X(丄 X 1)=3 2 2415.从一块正方形木板锯下宽为1米的一个木条以后，剩下的面积是 色平方米•问锯2 18下的木条面积是多少平方米【分析与解】 我们画出示意图（a ），则剩下的木块为图（b ），将4块剩下的木块如下 拼成一个正方形得到图（c ）.1 11，所以图（c ）中心的小正方形边长为5 6，2-65 1 1 529 23 23 23 于是大正方形AEHK 勺面积为65 X 4+丄X 1 =529=23 X 23，所以AK 长为竺.1822 36666即,长+宽=空，已知：长-宽=丄，得长=空，于是锯去部分的木条的面积为13X6 2 6 65=13=11（平方米）.6 12 2我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为 图T。
五年级上学期几何问题第06讲 格点与割补
《华罗庚学校思维训练导引》五年级第三节五年级上学期 第06讲 几何问题第06讲 格点与割补【内容概述】正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线性的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当的分割与拼补进行计算的面积问题。
【例题分析】1、 如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？分析：颜色相同的点，面积形同，将其进行互相转换，拼成一个正方形。
详解：正方形２个，转换而成的正方形４个，蓝点的正方形面积是21正方形面积 ∴用粗线围成的图形的面积是２＋４＋０.５＝６.５平方厘米评注：本题主要考察相同面积图形的转换。
2、 如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 面积是多少平方厘米？分析：同上。
答案：２０平方厘米3、 如图（1）是常见的一副七巧板的图，图（２）使用这副七巧板的７块板拼成的小房子图，那么，第２块板的面积等于整副图的面积的几分之几？第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的几分之几？（１） （２） （３）分析： 颜色相同的点，面积形同详解：图中每个红色点的面积等于整副图的面积的161 ∴第２块板的面积等于整副图中两个红色点的图形面积和，即整个图形的81。
同理，第４块板与第７块板的面积的和等于整副图的面积的163。
4、 把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面做小正三角形，得到一个六角形。
再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到如图所是的图形。
如果这个图形的面积是１，那么原来的正三角形面积是多少？分析：要计算的是红色三角形的面积，通过连线计算出红色三角形中所含的紫色三角形的个数占原图形中紫色三角形个数的几分之几。
详解：红色三角形中所含的紫色三角形（１＋１７）×９÷２＝８１原图形中紫色三角形个数８１＋２×３＋１１×３＝１２０原来的正三角形面积是4027112081=⨯5、 如图，正六边形ＡＢＣＤＥＦ的面积是６平方厘米，Ｍ是ＡＢ中点，Ｎ是ＣＤ中点，Ｐ是ＥＦ中点。
第6讲 格点与割补
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为1 2×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为2740．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A 、B 、C 三种，设A 形正三角形面积为“1”，则B 、C 两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A 种、B 种、C 种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为27 40.5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=2.25(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×0.5=23.5(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S=9×9÷2=40.5(平方厘ABC米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是SHIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9. 而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有SABC =DEF S=12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．如图(d)，可以将4个三角形DGH 拼成一个边长为DG 的正方形．所以，ACDS DGH S=14×DG×DG=9，而AIH S =DGH S =9，所以BFGHI S 阴影= S ABC -CGF S -AIH S=812-92-9=27(平方厘米)．即阴影部分的面积为27平方厘米．9．如图6-11，在长方形ABCD 中，O 是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米，DE=4AE ，CF=3DF ，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 我们只用先求出四边形ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AEO 、EFD 的面积和，即为所求阴影部分的面积．而四边形ADFO 的面积等于两个三角形AOD 、ODF 的面积和．由题意知AE=4，ED=16，DF=3，FC=9．有AOD S =14ABCD S 矩形=14×20×12=60，ODF S=12×DF×(14AD)= 12×3×12×20=15．AEO S=12×AE×(12AB)= 12×4×12×12=12，EFD S=12×ED×DF=12×16×3=24．有S 阴影=(AOD S+ODFS)-AEO S-EFD S=60+15-12-24=39(平方厘米)．即阴影部分的面积为39平方厘米．10．如图6-12，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【分析与解】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A 、B 两种三角形．其中含有A 形三角形8个，B 形三角形16个，其中阴影部分含有A 形三角形4个，B 形三角形8个．所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的12，即为12×10×10=50(平方厘米)．11．如图6-13，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于0，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，将梯形AEBD 内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④．在梯形AEBD 中，有△EBD、△ABD 同底等高，所以有EBDS=ABDS，即③+②=①+②．显然有①=③．由题意知B O DS -AOES=16，即②-④=16，于是有(①+②)-(③+④)=16．已知①+②=ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)-16=16．所以有AEBD S 梯形=(①+②)+(③+④)=32+16=48(平方厘米)．评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、“下”、“左”、“右”，有： 左=右；左×右=上×下；上：下=A 2D ：B 2C ．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形．如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 CDEF S 平行四边形=DC×BC=5×7.2=36，HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S=12×CD×HC=12×5×4.2=10.5．S 阴影=CDEF S 平行四边形-CDHS=36-10.5=25.5(平方厘米).13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?【分析与解】 将AD 、BC 延长交于E ，有∠EDC=45°，∠ECD=90°，所以△CDE 为等腰直角三角形，有EC=DC ．而∠ECD =45°，∠EAB=90°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有EA=AB ．有ABE S =12×AB×EA =492，EDC S =12×EC×DC=92．有ABCD S 四边形=ABE S-EDC S=492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米．那么图中阴影部分的面积是多少平方米?【分析与解】 方法一：为了方便叙述．将下图中一些点标上字母．延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHED的面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所求阴影部分的面积．JICK S 梯形=12×(1.5+1)×0.5=0.625， IFEC S 正方形=1×1=1． AFH S=12×AH ×FH=12×（AB+BH ）×(12FE)= 12×(0.5+1)-（12×1）=0.375，AHED S 梯形=12×(AH+DE)×HE=12×(AB+BH+CE -CD)×(12FE)=12×(0.5+1+1-13)×(12×1)=1324．有S 阴影=JICK S 梯形+IFEC S 正方形-AFH S -AHED S 梯形=0.625+l-0.375-1324=1724(平方米)．即阴影部分的面积为1724平方米．方法二：如下图，连接AI 、AC ，将阴影部分分成四个部分．△AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ACD 可以看作CD 为底．CB 的长为高的三角形．阴影部分面积为AJIS+AKCS+AIFS+ACDS=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+13×0.5÷2 =0.1875+O.1875+0.25+112=1724（平方米)Powered by Powered by 15．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米?【分析与解】 我们画出示意图(a)，则剩下的木块为图(b)，将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图(c)．我们称AB 为长，AD 为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为12，于是大正方形AEHK 的面积为6518×4+12×12=52936=236×236，所以AK 长为236．即，长+宽=236，已知：长-宽=12，得长=136，于是锯去部分的木条的面积为136×12=1312=112(平方米)．。
格点与割补(二)
格点与割补（二）
我是小精灵
小多多 来 了
我叫小马虎
如上图，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少 ?(单位： cm)
1．如下左图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形 AOE的面积比三角形BOD的面积小16平方厘米，则梯形AEBD的面积是多少平方厘米?
注意：在任意梯形ABCD中，为
“上”、“下”、“左”、“右”，其中：左＝右。
课后作业 P98页第2、3题
如上右图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④。 在梯形AEBD中，有△EBD、△ABD同底等高，所以①＝③。 由题意知②-④＝16，于是有（①＋②）-（③＋④）＝16。 已知①＋②＝SABD＝ 1 ×8×8＝32，所以③＋④＝（①＋②）-16＝32-16＝16。
2
所以有S梯形AEBD＝（①＋②）＋（③＋④）=32＋16=48（平方厘米）。
四年级第三讲格点与割补
课前热身什么是格点多边形？一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”。
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上。
火眼金睛下面哪个图形是格点多边形？计算下图面积并完成表格。
(每个小正方形面积是1)计算下面各图形面积。
(每个小正方形面积是1)格点与割补(★★★)(★★★)(★★★★)计算下面各图形面积。
(每个小正三角形面积是1)计算下面各图形面积。
(每个小正三角形面积是1)正六边形ABCDEF的面积是180平方厘米。
M是AB中点，N是CD中点，P是EF 中点。
问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？如图，正六边形的面积为24平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?如图阴影部分的小正六角星形面积是20平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？(★★★★)(★★★★)(★★★★)(★★★★★)课后练习题题1：观察下图，其内点、边界点、面积分别是( )A：10 B：20 C：30 D：40题2：计算下面图形的面积是( )。
(每个小正方形面积是1)A：15 B：16 C：17 D：18题3：下面图形面积是( )。
(每个小正三角形面积是1)A：30 B：35 C：36 D：40题4：下面图形面积是( )。
(每个小正三角形面积是1)A：20 B：24 C：25 D：30题5：正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。
问：三角形MNP的面积是( )平方厘米。
A：1.25 B：1.75 C：2.25 D：2.75题6：图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，则阴影四边形CEPQ的面积是( )。
A：30 B：31 C：32 D：33题7：如图所示是一个正六边形的图案，已知正六边形的面积为54平方厘米，则阴影部分的面积是_____________平方厘米。
A：16 B：18 C：25 D：27。
学而思小学数学思维培养格点与割补 第2讲 练习1
学而思小学数学思维培养格点与割补第2讲练习1 格点：
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
割补：
割补法是数学中重要的思想方法之一，主要分为“割形”与“补形”，是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的. 割补法重在割与补，巧妙地对几何体或几何图形实施割与补，变整体为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观.
割补法在解几何问题中还是非常巧妙的，补法就是把图形补成一个规则图形，使题目便于解答；割补法就是同样把图形割成几个规则
图形，使题目便于解答，此题中的四边形补成一个等腰三角形，等腰三角形的性质就可以使用来解题了。
(完整版)格点与割补
学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
四年级下册数学讲义奥数导引第3讲格点与割补全国通用
一、 掌握格点多边形面积的计算方法，以及这些方法的推广和拓展．二、 分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形，来进行计算． 三、 添补法，则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．四、 遇在图形中进行适当的分割拼补，把不规则的形状拼成规则形状，也是常见的方法． 五、 公式法:在最小的正方形面积为1的图形中：21=÷+−正方形格点多边形面积边界格点数内部格点数． 在最小正三角形面积为1的图形中：22=+×−三角形格点多边形面积边界格点数内部格点数．六、 对于很多非格点图形的面积计算，分割和添补的方法依然适用．知识精讲第三讲格点与割补【例1】 图17-27中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？【例2】 如图17-28，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米，在每个点都钉上钉子，形成4行4列的正方形钉阵．现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形？（面积相同但形状不同的三角形算一种）图17‐28图17‐27例题解析【例3】 已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图17-29中不同方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积各是多少平方厘米？【例4】 图17-30为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？【例5】如图17-31所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）图17‐3111图17‐3011图17‐29【例6】如图17-32所示，这个多边形六条边的长度分别是1，2，3，4，5，7．问：这个图形的面积最大可能是多少？【例7】如图17-33，有一个80100×的长方形网格，它的四个顶点分别为A，B，C，D．已知图中每一个小方格的面积都是1，请选出一个合适的格点P，使得三角形P AC的面积尽可能小（不能等于0），那么这个最小的面积是多少？【例8】正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图17-34．那么空白部分面积等于多少平方厘米？图17‐34A BCD图17‐33图17‐32。
(完整版)格点与割补讲义及作业
1. 如图，计算各个规则的格点多边形的面积．························································································································································【练习与提高】例1. 用两种方法计算这个格点三角形的面积．III(b)(a)例2. 分别计算图中两个格点多边形的面积．例3. 下列多边形的面积是________(面积单位).例4. 美丽的“乡村小屋”的面积是多少？例5. 刚刚飞上太空的火箭面积是多少。
几何第14讲_格点图形割补法(学生版)A4
随练1.2图中相邻两格点间的距离均为1厘米，下图图形的面积是多少？
随练1.3右图是一棵黄金树，其面积是26平方米，那么图中最小正方形面积是_______平方米．
随练1.4下图由16个面积为1平方厘米的小正方形组成
（1）写出A、B、C三点的坐标（2）求三角形ABC的面积
随练1.5图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积是多少平方厘米？
作业1如右图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是多少？
作业2图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？
作业3图中相邻格点围成的最小正方形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？
格点面积计算方法
1．数格子法：格点图形为规则图形，像长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等可以按照面积公式直接计算，也可以通过格点公式计算．
2．分割法：直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积．
3．扩展法：将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！
4．格点公式法：直接数出内点和边点数量，然后通过格点公式计算即可．
5．格点公式的逆用：通过格点数构造格点图形面积的大小．
重难点：分割与填补法求格点面积．注意最小三角形或正方形的面积是否为1．
题模一：分割法
例1.1.1图中相邻格点围成的最小三角形的面积均为1平方厘米，下列图形的面积分别为多少？
例1.1.2图中相邻两格点间的距离均为1厘米，下图图形的面积是多少？
格点与割补讲义
B 【例6】(★★★) 下面的六边形中： ⑴ 阴影部分的面积与空白六边形的面积哪个大？ ⑵ 空白部分的面积是阴影部分面积的___倍. A B C
F E D
知识大总结
1. 格点多边形：顶点在格点上、边长都是直线的多边 形. 2. 比克定理 边上点数 1 ⑴ 正方形， 多边形＝内部点数＋ 2 ⑵ 三角形，多边形＝正方形公式×2 ⑶ 面积转化为正方形、三角形. 3. 割补法，切割成基本的规则图形.
2
【今日讲题】 例2，例4，例5，例6 【讲题心得】
___________________________________________ __________________________________________.
【家长评价】
____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________.
(★★★) 【例2】 如图，相邻两个格点的距离是1厘米，那么这个格点多边形的面积是多 少？
图⑴
图⑵
【巩固】(★★★) 如图，相邻两个格点的距离是2厘米，那么这个格点多边形的面积是 多少？
知识要点屋 4. 正方形毕克定理： ⑴ 图形必须是正方形格点. ⑵ 公式， 边上点数 多边形＝内部点数＋ 1 2 【例3】(★★★☆) 如图是一个漂亮礼盒的平面图，已知相邻两个格点距离为1，请求出图 形的面积.
1
【例4】(★★★) 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各做一个正方形，如果正方形 A的面积是36cm2，那么正方形B的面积是____cm2.
(完整版)第二讲格点与割补
格点与面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有22S N L=⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．例1：计算下列各图的面积。
总结：面积=(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）例2：判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶例3：如图，计算各个格点多边形的面积．例4：求下列各个格点多边形的面积．例5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？例6：右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．⑵⑴⑷⑶H GFED C BA例7：右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？例8：求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．例9：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.例10：右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.⑴⑵⑶⑷例11：.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.例12：图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形CEPQ 的面积。
(完整版)07格点与割补
巨人学校 五年级数学班 第七讲 格点与割补 授课重点与课后练习 『参考书目』：导引五年级第6讲；课本四年级上第11讲，五年级上第14讲，五年级下第1讲； 『方法总结』：
一、正方形点阵多边形面积计算公式：多边形面积=内点数+边界点数÷2-1。
二、三角形点阵多边形面积计算公式：多边形面积=(内点数+边界点数÷2-1)×2
三、利用添加恰当的辅助线来对几何图形进行分割和拼补。
『课堂练习』：
1. 在下面格点多边形的面积（单位正方形与三角形的面积都是1）：
2. 下图中有两个相同的大三角形，左图三角形每边被平均分成
5份，右图三角形每边被平均分成6份，如果左图中阴影面
积为336，那么右图中阴影面积为______；
3. 已知图中每个正六边形的面积是1，图中虚线围成多边形
ABCDEFG 的面积是________；
4. 下图中最小的△和□面积分别为1，图中阴影部分面积分别为______、_____；
5. 平面上有12个点，形成3行4列的长方形阵，那么一共能套出_______
个正方形，共可以形成_______种不同的面积，分别是________；如
果是20个点，一共能套出_______个正方形，共可以形成_______种
不同的面积，分别是________；
6. 如图，两个正方形，一个边长为3厘米，一边长为2厘米，请把它们一共
剪成5块，再拼成一个大正方形（画出示意图）
7. 图中阴影占正六边形的_____分之_____；
B
A
C
D G E
F。
六年级超素班补充讲义第三讲-----图形综合一
六年级超素班补充讲义第三讲-----图形综合一一．格点与割补【例1】如下图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例2】如下图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD面积是多少平方厘米？【例3】如图所示，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米?【例4】求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
二．等量代换【例5】如图所示，正方形ABCD 的边长为4厘米，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE 的长度。
【例6】如图，两个直角三角形如下图摆放，两条直角边的长度已经标注，求两块阴影部分的面积的差是多少？【例7】大小两个等边三角形叠放在一起，其中六个三角形的面积如左图所示，当把两个三角形的一个角重合时，如右图所示，则阴影部分的面积a 的值为多少？甲 乙 A BC D EF【例8】8个边长分别为1、2、3厘米的小等边三角形覆盖了边长为5厘米的大等边三角形的一部分。
那么，大三角形中阴影部分的面积与所有小三角形中阴影部分的面积和相差多少平方厘米？三.对称【例9】大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中点和一个顶点相连，得到右面的图形。
那么图中阴影部分的面积等于多少平方厘米？【例10】兄弟两人在玉器店抢得一圆形玉器，为了安全起见，他们在离开玉器店时将玉器按下图方式进行切割，哥哥拿到1、4两块，弟弟拿到2、3两块，经鉴定该玉器市场价值是每一平方厘米价值10000美元，经测量知AE、EC、BE、ED的长度分别为7、3、2、9厘米，如果兄弟二人要平均分配（不能再将玉器进行分割），则哥哥应该给弟弟多少美元？四．平移【例11】有一块边长为18cm的白色正方形手帕，手帕中间横竖各有两道宽2cm的红条。
这块手帕白色部分的面积是多少？【例12】如图是一块长方形草地。
第19讲 格点与割补.
第19讲 格点与割补兴趣篇1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。
三个多边形的面积分别是多少平方厘米？【分析】利用三角形面积公式，易知三个图形的面积分别为：4平方厘米，2平方厘米，8平方厘米2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。
三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【分析】根据格点面积公式： 12L N +- 第一个阴影图形的面积为：44152+-=(平方厘米)； 第二个阴影图形的面积为：44152+-=（平方厘米）；第三个阴影图形的面积为：3010.52+-=（平方厘米）；；3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。
阴影多边形的面积是多少平方厘米？【分析】阴影部分的面积为：7712192⎛⎫+-⨯=⎪⎝⎭（平方厘米）。
4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。
三个多边形的面积分别为多少平方厘米？【分析】根据题意，有①图形的面积为6个小的等边三角为6平方厘米；根据图②知，421262S⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭（平方厘米）；根据图③知，8412142S⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭（平方厘米）；5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。
四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米？【分析】根据毕克定理可知924220ABCD S =⨯+-=四边形（平方厘米）；424210EFG S =⨯+-=三角形（平方厘米）6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。
（单位：厘米）【分析】将图形补充完整，则可知这个多边形面积为：674221421032⨯-⨯-⨯=-=4322157、如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH 。
已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。
求长方形EFGH 的面积。
【分析】由于2AE AH ==,所以三角形AEH 为等腰直角三角形，所以三角形EBF 也为等腰直角三角形。
则662222244216S =⨯-⨯⨯÷-⨯⨯÷=长方形（平方厘米）。
几何格点与割补
第十一、十二讲格点与割补本讲知识点1．分割法1）正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形，来进行计算.2）在对格点图形的分割计算时，不一定要分到最小的基本单位。
一般来说分为中等大小的，可以计算的规则形状比较方便。
2．割补法1）是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.2）此外，在图形中进行适当的分割拼补，把不规则的形状拼成规则形状，也是常见的方法.3．格点面积公式1）在最小的正方形面积为1的图形中：正方形格点多边形面积=边界格点数÷2＋内部格点数-1.2）在最小正三角形面积为1的图形中：三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-1.3）在使用公式法计算格点多边形面积时，要注意公式的适用条件.4）在多个格点图形相关的问题中，要注重利用它们之间的共同点来帮助计算.5）对于很多非格点图形的面积计算，分割和添补的方法依然适用.6）特别的，在图形中恰当的添加格线进行分制，能更好的体现围形的结构，以及整体和部分的数量关系，而在添补中，看见某些特殊角度，如45°、60°、120°等时，可以联想到一些特殊的图形，如，等腰直角三角形，正三角形等等.精选例题例题1．如图，分别在如下三种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）相邻格点距离为1；（2）相邻格点距离为2；（3）最小正方形面积为2.例题2．如图，下图的正方形格点，单位正方形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题3．如图，下图的正方形格点中，单位正方形面积为3，求出图形面积.练习1．如图，分别在如下两种情况中，求出图中格点图形的面积：（1）最小正三角形面积为1；（2）最小正三角形形面积为2.例题4．如图，下图的三角形格点，单位正三角形面积为1，分别求出两个图形的面积.例题5．如图，下图的正三角形格点中，单位正三角形面积为5，求出图形面积.例题6．下图点阵间隔为1，请利用方形格点公式，填出下表：练习2．下图三角形点阵所能连出的最小三角形面积为1，请利用三角形格点公式，填出下表：例题7．如图，单位正方形面积为1，利用格点公式计算下面阴影图形的面积，并再用一种其他方法计算检查.例题8．（1）在图1的正方形格点中，左图面积是45，那么右图的面积是多少？（2）图2的左右两个大三角形相同，左图的单位正三角形面积为100，右图的单位正三角形面积是多少？例题9．把同一个三角形的三条边分别四等分、六等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，已知图1中副影部分的面积是63平方厘米，那么图2中的阴影部分的面积是多少平方厘米？例题10．如图，对下列图形进行适当的格线划分，使得能恰当的体现出阴影部分与总面积的关系，并进行相应计算：（1）大正方形面积为90，连结各边中点得到阴影正方形，求阴影面积.（2）大正三角形面积为90．每边取三等分点，连结得到阴影正六边形，求阴影面积.（3）大正六边形面积为90，连结其中3个顶点得到阴影正三角形，求阴影面积.（4）大等腰直角三角形面积为90，如图放入一个阴影正方形，求阴影面积.例题11．在面积为72平方厘米的正六边形中，按图中不同方式切割（切割点均为等分），形成的阴影部分面积分别是多少？例题12．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N、M分别为AF、AB、ED边上的中点，求四边形GNME的面积.例题13．如图，在长方形ABCD中，O是长方形的中心，BC长20厘米，AB长12厘米，=，3DE AE4=，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？CF DEBE=，三角形AEF的面积是37，那么长例题14．如图，在长方形ABCD中，3DF＝，11方形ABCD的面积是多少？例题15．甲乙两个六边形的内角都是120°，其边长如图所示，那么甲，乙面积分别是边长为1的正三角形面积的多少倍？例题16．求阴影部分面积：例题17．两个等腰直角三角形直角边分别长10厘米和6厘米，那么三角形DGE面积是多少平方厘米？思考创新思考1．下图为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点面一个面积为13的三角形.思考2．如图，平面上有16个点，每个点都钉上钉子，形成间隔为1厘米的4行4列的正方形钉阵，现在有许多皮筋，可以套出几种面积的三角形？请各举一例.思考3．正方形格点如图，原有格点的单位正方形面积为68，利用原有格点在图中划分新的格线，分别划出两种新的情况，那么这两种新格线的单位小正方形的面积分别是多少？思考4．如图，把长方形纸片ABCD的一角折起，使点D恰好与AB的中点F重合，若三角形EDC的面积是10．那么长方形ABCD的面积是多少？思考5．如下图，在一平行四边形纸片上割去了①，②两个直角三角形，已知三角形①两条直角边分别为2厘米和5厘米，三角形②两条直角边分别为5厘米和8厘米，求图中阴影部分的面积.第十一讲格点割补（一）思维冲浪1．如图所示，每一个小方格的面积都是1，那么用祖线围成的图形的面积是________.2．已知图中相邻两格点的距离均为2厘米，那么图中连出多边形的面积是______平方厘米.3．如图所示，图中最小的“□”面积是2，那么阴影部分面积分别为________.4．如图，如果每个小三角形的面积都是1cm2，那么连接A，B，C三点的三角形的面积是________cm2.5．如图，如果每一个小三角形的面积是2平方厘米，那么四边形ABCD的面积是________平方厘米.6．如图所示，图中最小的“Δ”面积是2，那么阴影部分面积分别为_______.7．如图所示，每个小方格格的边长为1．那么阴影部分的面积是多少？8．图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1，求五边形的面积.9．如图，大正六边形的面积为108，求阴影部分的面积为多少？10．图中水平，竖直方向相邻两个格点的距离都是1，请你求出图中“8”、“0”，“9”的面积各是多少.第十二讲格点割补（二）思维冲浪1．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，连接这账分点，便得到了若干个面积相等的小三角形，左图中阴影部分的面积是294平方分米，那么右图中阴影部分的面积是________平方分米.2．下图是一个面积为24的正六边形，阴影部分的面积是__________.3．如图所示，ABCD是长方形，长AD等于7.2厘米，宽AB等于5厘米，CDEF是平行四边形，如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是________平方厘米.4．在下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米.5．如图，大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米，G、N分别为AF、AB边上的中点，那么四边形GNCE的面积是__________平方厘米.6．如图所示，三个长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是7、4、6、则阴影部分的面积是__________.7．如图所示，为一个等边三角格点阵，可连出的最小的三角形面积是1，请在图中以给出点为顶点画一个面积为7的三角形.8．如图所示，为一个边长为2的正方形，其中阴影部分的面积为多少？9．图中大正方形边长为8，小正方形边长为4，求阴影部分面积.10．如图，一个正方形，与4个等腰直角三角形，恰好拼成了一个长方形，如果正方形的面积是16，那么，长方形的面积是________.。
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1. 如图，计算各个规则的格点多边形的面积．························································································································································【练习与提高】例1. 用两种方法计算这个格点三角形的面积．III(b)(a)例2. 分别计算图中两个格点多边形的面积．例3. 下列多边形的面积是________(面积单位).例4. 美丽的“乡村小屋”的面积是多少？例5. 刚刚飞上太空的火箭面积是多少。
· · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·例6. 右图是一个812 面积单位的图形．箭形ABC D EFG H 的面积．H GF EDC BAC AB EF G H K D例7. 下图的图形的面积是课后作业（相邻点之间的长度是1）1.下图的图形的面积是________.2. 下列的图形中,三角形的面积是_________.3. 下列多边形的面积是_________.4.求下列左图的面积,大家可以尝试用不同的方法，比比看哪种方法最简便、最巧妙。
····················································································5.大家自己动手设计一个格点多边形图案，并求出它的面积，看看谁设计的图形最漂亮、最新颖。
····································································································································································································································【提高】求下列各个格点多边形的面积．⑴⑵⑷⑶【例 1】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．AB C DE FQPQCB A1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 2】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD FE CBA(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算 ABC 的面积．CBA【例 3】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 4】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 5】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 6】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？RQAB CNM P M NF EDCBA。