2018高中数学人教B版必修5第2章《数列》(2.1 第1课时)同步练习

第二章 2.1 第1课时
一、选择题 1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n })上的函数； ②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ③数列的项数是无限的； ④数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )
A ．①②
B ．①②③
C ．②③
D ．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0……的通项可以是a n ＝sin n π
2，也可以是a n ＝cos (n ＋3)π2
等等．
2．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n
2[1＋(－1)n ]
B ．a n ＝n ＋12[1＋(－1)n ＋
1]
C ．a n ＝n 2[1＋(－1)n ＋
1]
D ．a n ＝n ＋1
2[1＋(－1)n ]
[答案] B
[解析] 经验证可知选项B 符合要求．
3．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( ) A ．18 B ．21 C ．25 D ．30
[答案] D
[解析] 依次令n (n ＋1)＝18、21、25和30检验．有正整数解的便是，知选D ． [点评] 由n (n ＋1)＝a 可知a 应能分解为相邻两整数之积．显然A 、B 、C 不满足，∴选D ．
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1
n ＋1，那么这个数列是( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．常数列
D ．摆动数列
[答案] A
[解析] a n ＝n －1n ＋1＝1－2
n ＋1，随着n 的增大而增大．
5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1) D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)
[答案] B
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B ． 6．数列1,3,7,15，…的通项公式a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n －
1
[答案] C
[解析] ∵a 1＝1，排除A ，B ；又a 2＝3，排除D ，故选C ． 二、填空题
7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，则1
120是这个数列的第________项．
[答案] 10 [解析] 令a n ＝
1120，即1n (n ＋2)＝1
120
， 解得n ＝10或n ＝－12(舍去)．
8．数列－1，85，－157，24
9，…的一个通项公式为________．
[答案] a n ＝(－1)n n ·(n ＋2)
2n ＋1
[解析] 奇数项为负，偶数项为正，调整其各项为－1×33，2×45，－3×57，4×6
9，∴a n ＝(－
1)n
n ·(n ＋2)
2n ＋1
.
三、解答题
9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解析] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16(n ＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)， ∴从第7项起各项都是正数．
10．已知函数f (x )＝1
x (x ＋1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断{a n }是递增数列还是递减
数列？
[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)，则a n ＋1＝1
(n ＋1)(n ＋2).
对任意n ∈N ＋，(n ＋1)(n ＋2)>n (n ＋1)， ∴1(n ＋1)(n ＋2)<1
n (n ＋1)
， 于是a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)－1
n (n ＋1)<0.
∴{a n }是递减数列．
一、选择题
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }的第2项 C ．只是数列{a n }的第6项 D ．是数列{a n }的第2项或第6项 [答案] D
[解析] 令n 2－8n ＋15＝3，解此方程可得n ＝2或n ＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项．
2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n
a n ＋1
＝2，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列
[答案] B
[解析] 由a n
a n ＋1
＝2可知该数列的前一项是后一项的2倍，而a 1＝1>0，所以数列{a n }的项
依次减小为其前一项的一半，故为递减数列．
3．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图象是( )
[答案] A
[解析] 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A ．
4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n
n 2＋156(n ∈N ＋)，则数列的最大项是( )
A ．第12项
B ．第13项
C ．第12项或第13项
D ．不存在
[答案] C
[解析] a n ＝1n ＋
156n ，n ＋156
n ≥2156，
但由于n ∈N ＋取不到等号，而a 12＝a 13， ∴第12项和第13项都是最大项． 二、填空题
5．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．
[答案] n 2－n ＋1
[解析] 序号n 决定了每图的分支数，而每分支有(n －1)个点，中心再加一点，故有n ·(n
－1)＋1＝n 2－n ＋1个点．
6．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．
[答案] λ>－3
[解析] 由{a n }为递增数列，得
a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0恒成立， 即λ>－2n －1在n ≥1时恒成立， 令f (n )＝－2n －1，f (n )max ＝－3. 只需λ>f (n )max ＝－3即可． 三、解答题
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解析] (1)令n 2－5n ＋4<0，得 1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3. 故数列中有两项是负数． 即a 2、a 3为负数．
(2)a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－9
4
.
∵n ∈N *，∴当n ＝2或3时，a n 最小，最小值为－2. 8．已知数列1,2，73，52，13
5，….
(1)写出这个数列的一个通项公式a n ； (2)判断数列{a n }的增减性．
[解析] (1)数列1,2，73，52，135，….可变为11，42，73，104，13
5，….观察该数列可知，每一
项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍 少2，
∴a n ＝3n －2
n
.
(2)∵a n ＝3n －2n ＝3－2n ，∴a n ＋1＝3－2
n ＋1
，
∴a n＋1－a n＝3－
2
n＋1
－3＋
2
n＝
2
n－
2
n＋1
＝
2
n(n＋1)
>0，
∴a n＋1>a n.故数列{a n}为递增数列．。