因式分解新
第二章 2.1.3 因式分解 (1)新
3ab(a + b) − a − b
7c(x − y) − x + y
3
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走，留 1 把门守； 全家都搬走， 把门守； 提负要变号，变形看奇偶。 提负要变号，变形看奇偶。
例2
请把下列各式因式分解
(1)16a 2 − 1
2
(2) 3a + 6a = 3a (a + 2) (3) x 2 − 4 + 3x = ( x + 2)( x − 2) + 3 x (4) x 2 − 4 + 3x = ( x + 4)( x − 1) (5) x − 4 = ( x + 2)( x − 2)
2
(6) x − 4 = ( x + 2)( x − 2) 1 1 2 2 (7 ) x + 2 + 2 = ( x + ) x x
合作学习
把下列各式因式分解
(1)a 4 − 81
(2)4 x y − 9 xy
3 2 3
(3)3ax + 6axy + 3ay
2
注意: 注意:
（1）因式分解要彻底，直到不能分解为止。 因式分解要彻底，直到不能分解为止。 彻底 （2）通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 通常先考虑提取公因式法，然后再考虑公式法。 提取公因式法
2ab
(3a − 2a2b2 −1 )
提取公因式法： 提取公因式法： 找准公因式，一次要提尽； 找准公因式，一次要提尽； 全家都搬走， 把门守。 全家都搬走，留 1 把门守。
例1
将下列各式分解因式： 将下列各式分解因式：
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧因式分解是代数学中的重要概念和技巧，它在解题和简化表达式中起到关键作用。
在本文中，我们将探讨因式分解的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、提取公因式法提取公因式法是因式分解中最基本和常用的方法之一、它的基本思想是找出多项式中各项的公共因子，并将其提取出来。
具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因子。
2.用公因子除每一项，将其化简为最简形式。
例如，对于多项式2x²+4x，我们可以发现2是每一项的公因子，因此可以提取出来，即2(x²+2x)。
二、分组分解法分组分解法是常用于四项以上的多项式因式分解中的一种方法。
它的基本思想是将多项式中的项进行重新分组，将一些项之间的关系呈现出来，以便于进行因式分解。
具体步骤如下：1.对多项式进行重新分组，将相邻的项组合在一起。
通常是将相邻的两项组合在一起，但也可以根据需要进行更多项的分组。
2.在每一组中找出公共因子，并做相关的因式分解。
3.观察各组之间是否存在公共因子，并将其提取出来。
例如，考虑多项式2x² + 3xy + 4x + 6y，我们可以将其进行分组，得到(2x² + 4x) + (3xy + 6y)。
然后在每一组中分别提取公因子，得到2x(x + 2) + 3y(x + 2)。
最后观察到(x + 2)是两组的公共因子，因此我们可以进一步提取出来，得到(x + 2)(2x + 3y)。
三、平方法平方法是一种特殊的因式分解方法，适用于具有特殊形式的二次多项式。
它的基本思想是将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式，然后进行因式分解。
具体步骤如下：1.将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式。
2.使用平方差或平方和公式进行因式分解。
例如，考虑二次多项式x²-9，我们可以将其写成(x+3)(x-3)的形式。
这是因为x²-9可以被分解为(x+3)(x+3)-6(x+3)+9，然后再根据平方差公式得到(x+3)(x-3)。
4.1因式分解 新浙教版2014
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y)
(2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
看等式右边几个整式相乘的 积与左边的多项式是否相等.
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n)
1 （ 5） x 1 x ( x ) x
2
（6）18a bc 3a b6ac
3 2
举出几个因式分解的 例子吗？
你能说出因式分解与整式乘法之间的联系与区别吗?
多项式的因式分解与整式乘法是两种相 反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
整式乘法
整式乘法 因式分解 因式分解
(5) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
义务教育课程标准实验教科书
浙教版《数学》七年级下册（2014版）
整数乘法 2×3×7=42 42=2×3×7 因数分解
把一个整数转化成几个整数的积.
a2+a a(a+1)=_________
a2+a=( a
) ( a+1 )
a2 - b2 (a+b)(a-b)=__________ a2 - b2= ( a+b ) ( a-b )
分解因式的几种常用方法
分解因式的几种常用方法因式分解的主要方法有： 1. 十字相乘法 2. 提取公因式法 3. 公式法 4. 分组分解法 5. 求根法 6. 待定系数法高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号； （2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，； 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）法一：,法二：,（2）.或.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x 2﹣5xy+6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式． 【答案】（1）（2）；（3）（4）.【解析】 解：； ；； ．故答案为：(1)(2)；(3)(4).【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0. 【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1. 【解析】(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
分解因式的概念与方法
提高思维能力：分解因式的应用可以锻炼学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高数学素养
在日常生活中的应用
计算利息和复利
购物时计算折扣和优惠
解决实际问题，如分配任务、 安排时间等
学习数学知识，提高逻辑思 维能力
THANK YOU
• 定义：一种用于分解二次三项式的方法
• 步骤： a. 写出二次三项式 b. 找出两个因式，使得它们的积等于二次三项式的一次项，并且 它们的和等于二次三项式的常数项 c. 将这两个因式相乘，得到分解后的结果
• a. 写出二次三项式 • b. 找出两个因式，使得它们的积等于二次三项式的一次项，并且它们的和等于二次三项式的常数项 • c. 将这两个因式相乘，得到分解后的结果
化简多项式
确定多项式的最高次项
将最高次项的系数和次数代入公 式进行化简
添加标题
添加标题
找出最高次项的系数和次数
添加标题
添加标题
重复以上步骤，直到多项式无法 再化简为止
04
分解因式的注意事项
保证等式成立
分解因式时，必须保证等式两边同时乘以或除以相同的数，以保证等式成立。
分解因式时，必须保证等式两边同时加上或减去相同的数，以保证等式成立。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
目的：简化多项式，便于计算和 推理
例子：x^2-y^2=(x+y)(x-y)， x^3+2x^2y+xy^2=(x+y)(x^2+xy+ y^2)
分解因式的重要性
提高计算效率：通过分解因式，可以简化复杂的表达式，提高计算效率。
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
初中数学因式分解150题
第4页
61. 分解因式:（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24 62. 分解因式:x4﹣13x2+36 63. 分解因式:（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15 64. 分解因式:3ax2﹣18ax+15a． 65. 分解因式:x2﹣x4+12 66. 分解因式:﹣2x2+10x﹣12． 67. 分解因式:x2y2+xy﹣12． 68. 分解因式:x2﹣8x﹣48． 69. 分解因式: a2﹣6a﹣27 70. 分解因式:x4﹣7x2+6 71. 分解因式:12x2+8x+1 72. 分解因式: a4﹣7a2﹣18． 73. 分解因式: ﹣x2﹣6x+27． 74. 分解因式:a2+5a+6． 75. 分解因式:25﹣26a+a2 76. 分解因式:a2﹣9ab+14b2 77. 分解因式:x2﹣3xy+2y2 78. 分解因式:y2﹣13yb+36b2 79. 分解因式:2y2+5y+my+3m﹣3． 80. 分解因式:（m2+1）2+3（m2+1）﹣40
第3页
40. 分解因式:
41. 分解因式： x2﹣2x﹣15 42. 分解因式：x2﹣3x﹣28
43. 分解因式: x2 7x 6 44. 分解因式:-2x2-6x+36 45. 分解因式:3x2-2x-8
46. 分解因式:15x2 28y2 47xy
47. 分解因式:m2n﹣5mn+6n 48. 分解因式:x2﹣5x+6 49. 分解因式:x2+7x﹣18 50. 分解因式:2x2+x﹣3． 51. 分解因式: x2+3x+2 52. 分解因式:4（x﹣2）2﹣1 53. 分解因式:x2﹣2x﹣3 54. 分解因式:x2﹣4x+3 55. 分解因式:a2+4a+3 56. 分解因式: 2x（x﹣3）﹣8 57. 分解因式:3x2﹣2x﹣8 58. 分解因式:x3+5x2+6x 59. 分解因式:a4﹣3a2﹣4 60. 分解因式:﹣a4+13a2﹣36．
因式分解新题型含答案点评
因式分解新题型一．填空题（共4小题）1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”；（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为．2．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3=．3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=．4．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．二．解答题（共36小题）5．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．6．分解因式：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；（2）16（a+b）2﹣25（a﹣b）2．7．阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．a2+2ab+b2+ac+bc原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）（1）试用“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值；②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．8．（1）填空：a2+6a+=（a+）2；（2）阅读，并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1解：设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①（m+n）2﹣14（m+n）+49②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+49．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；（2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．11．（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值．（2）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x ﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC的形状，并说明理由．12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．14．如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．15．发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．16．先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如x2+2xa+a2，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa﹣3a2=（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣8a+15；（2）若a2+b2﹣14a﹣8b+65+|m﹣c|=0①当a，b，m满足条件：2a×4b=8m时，求m的值；②若△ABC的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求△ABC的周长．17．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的（kg）倍，求a的值（3）利用（2）中所求的a的值，分解因式x2﹣ax﹣108=．18．已知：a、b、c是△ABC的三边，且满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2．（1）试判断该三角形的形状．（2）若a=6，b=8，试求△ABC的面积．19．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21．∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：若二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k的值．20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？21．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．22．阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．（2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？（3）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．23．先化简，再求值（1）[（xy+2）（xy﹣2）﹣2（x2y2﹣2）]÷xy，其中x=10，y=﹣．（2）已知a﹣b=2，b﹣c=3，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．24．已知△ABC的三边abc满足等式a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2，试判断△ABC的形状．25．阅读并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣8a+12；（2）若a+b=7，ab=11，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣6x+11与﹣x2+6x﹣10的大小，说明理由．26．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题；（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：．（2）请模仿上面的方法尝试对多项式（m2﹣2m）（m2﹣2m+2）+1进行因式分解．27．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a=（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a=2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．28．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可将多项式2a2+5ab+2b2因式分解，并写出分解结果．29．解下列各题：（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．30．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K 的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264=3060，3060÷17=180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．31．定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a=12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12=33，和与11的商为33÷11=3，所以f（12）=3．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为．②计算：f（23）=，f（10m+n）=．（2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且f（b）=11，请求出“迥异数”b．（3）如果一个“迥异数”m的十位数字是x，个位数字是x﹣4，另一个“迥异数”n的十位数字是x﹣5，个位数字是2，且满足f（m）﹣f（n）＜8，请直接写出满足条件的x的值．32．对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m 中3和6之间，将n个位上的0放置于m中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．33．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．34．一个各位数字都不为0的三位正整数N，现从它的百位、十位、个位上的数字中任意选择两个数字组成两位数若所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这个三位数为本原数”例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31；选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21；选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“本原数”（1）判断123是不是“本原数”？请说明理由；（2）一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数学的和，则称这样的三位数为“和中数”．若一个各位数字都不为0的“和中数”是“本原数”，求z与x的函数关系．35．我们来定义下面两种数（1）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数：例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数，又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，∵32+42=25∴3254是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；（2）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=2×最左边数×最右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，∵2×3×5=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母b表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：①若一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为；若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为；②若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则a，b应满足什么数量关系？请说明理由．③若（即这是个最左边数为a，中间数为625，最右边数为b的整数，以下类同）是一个平方和数，是一个双倍积数，a+b的值为，a﹣b 的值为，a2﹣b2的值为．36．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．37．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：2635，x=2+6，y=3+5，因为x=y，所以2635是“和平数”．（1）请判断：3562（填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14，求满足条件的所有“和平数”．38．对任意一个二位以上的自然数n，如果能被13整除，且各个数位上的数字只能从1，3，5，6，9五个数字中选取组成，那么称这个自然数为“转运数”．例如自然数13或39能被13整除，则13或39称为“转运数”；26能被13整除，但其十位上的数字2不是从1，3，5，6，9五个数字中选取的，所以26不能称为“转运数”．（1）请你直接写出不同于题中所给的2个二位“转运数”；（2）在（1）的条件下，记“转运数”为s．已知四位“转运数”t=（1≤c，d≤3且c，d互异），满足为整数，求t的值，并说明理由．39．若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．40．（1）若代数式（m﹣2y+1）（n+3y）+ny2的值与y无关，且等腰三角形的两边长为m、n，求该等腰三角形的周长．（2）若x2﹣2x﹣5=0，求2x3﹣8x2﹣2x+2018的值．因式分解新题型参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”13；（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为36．【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将M配成完美数，可求k的值【解答】解：（1）∵13=22+32∴13是完美数故答案为：13；（2）∵M=x2+4xy+5y2﹣12y+k=（x+2y）2+（y﹣6）2+k﹣36∴k=36时，M是完美数，故答案为：36．【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．2．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3=﹣2．【分析】由k2+k﹣1=0知k2=﹣k+1，将其代入到k3=k2•k得原式=﹣k2+k，再次代入可得原式=2k﹣1，继而将k的值代入可得答案．【解答】解：∵k2+k﹣1=0，∴k2=﹣k+1，则k3=k2•k=（﹣k+1）k=﹣k2+k=﹣（﹣k+1）+k=k﹣1+k=2k﹣1，∵k=，∴k3=2k﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握整体代入思想与因式分解的应用．3．已知a2+a﹣1=0，则a3+2a2+2018=2019．【分析】将已知条件变形为a2=1﹣a、a2+a=1，然后将代数式a3+2a2+2018进一步变形进行求解．【解答】解：∵a2+a﹣1=0，∴a2=1﹣a、a2+a=1，∴a3+2a2+3，=a•a2+2（1﹣a）+2018，=a（1﹣a）+2﹣2a+2020，=a﹣a2﹣2a+2020，=﹣a2﹣a+2020，=﹣（a2+a）+2020，=﹣1+2020，=2019．故答案为：2019．【点评】本题是一道涉及因式分解的计算题，考查了拆项法分解因式的运用，提公因式法的运用．4．将多项式x2﹣2在实数范围内分解因式的结果为．【分析】根据平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2=，故答案为：，【点评】本题考查了实数范围内怎样分解因式，解答本题的关键是熟练掌握平方差公式是关键．二．解答题（共36小题）5．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．【分析】（1）c=ab+a+b=++1=2+1；（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m ﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4=﹣（m﹣2）2≤0．【解答】解：（1）c=ab+a+b=++1=2+1；（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，=﹣（m﹣2）2≤0，即：c≤0．【点评】本题考查了完全平方法分解因式，这是一道基本题．6．分解因式：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2；（2）16（a+b）2﹣25（a﹣b）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣3，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式=﹣3（x2﹣2xy+y2）=﹣3（x﹣y）2；（2）原式=[4（a﹣b）+5（a+b）][4（a﹣b）﹣5（a+b）]=﹣（9a+b）（a+9b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．7．阅读下列文字与例题，并解答：将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．a2+2ab+b2+ac+bc原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）（1）试用“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，同时成立．①当k=1时，求a+c的值；②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．【分析】（1）根据因式分解﹣分组分解法分解即可；（2）根据因式分解﹣分组分解法和提公因式法分解即可．【解答】解：（1）x2﹣y2+xz﹣yz=（x+y）（x﹣y）+z（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+z）；（2）①当k=1 时，得a2+ac=12，c2+ac=24，（a2+ac）+（c2+ac）=a（a+c）+c（a+c）=（a+c）（a+c）=（a+c）2=12+24=36，∴a+c=±6；②∵当k≠0时，∵a2+ac=12k，b2+bc=12k，c2+ac=24k，d2+ad=24k，∴（a2+ac）﹣（b2+bc）=0，即a2﹣b2+ac﹣bc=0，∴（a﹣b）（a+b+c）=0，∵a≠b，∴a+b+c=0，∴b=﹣a﹣c，∴由得c2+ac=24k，d2+ad=24k得，（c2+ac）﹣（d2+ad）=0，c2﹣d2+ac﹣ad=0，即（c﹣d）（c+d+a）=0，∵c≠d，∴c+d+a=0，∴d=﹣a﹣c，∴b=d=﹣a﹣c，又由a2+ac=12k，c2+ac=24k，得（a2+ac）﹣2=c2+ac，即2a（a+c）=c（c+a），∴2a（a+c）﹣c（c+a）=0，即（a+c）（2a﹣c）=0，∴a+c=0或2a﹣c=0，∴c=﹣a，或c=2a，又k≠0，则c=2a，∴c=2，b=d=﹣3a．【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．8．（1）填空：a2+6a+9=（a+3）2；（2）阅读，并解决问题：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1解：设a+b=x，则原式=x2+2x+1=（x+1）2=（a+b+1）2这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：①（m+n）2﹣14（m+n）+49②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4【分析】（1）根据完全平方公式可得结论；（2）①根据换元法设m+n=x，根据完全平方公式可得结论；②先将原式x2﹣4x看作整体，去括号，化简，设x2﹣4x=a，换元后根据完全平方公式可得结论．【解答】解：（1）a2+6a+9=（a+3）2，故答案为：9，3；（2）①（m+n）2﹣14（m+n）+49，设m+n=x，则原式=x2﹣14x+49=（x﹣7）2=（m+n﹣7）2；②（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4，=（x2﹣4x）2+6（x2﹣4x）+2（x2﹣4x）+12+4，=（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16，设x2﹣4x=a，则原式=a2+8a+16=（a+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．【点评】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键．9．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；（2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．【分析】（1）根据整式的混合运算的法则化简后，代入求值即可；（2）原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】（1）解：原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c ﹣a）2]当a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，∴原式=×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]=3．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）52和200这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数（取正整数）的平方差是神秘数吗？为什么．【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）∵52=142﹣122=196﹣144∴52是神秘数∵200不能表示成两个连续偶数的平方差，∴200不是神秘数（2）是理由如下：∵（2n）2﹣（2n﹣2）2=2×（4n﹣2）=4（2n﹣1）∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数（3）设这两个连续奇数为：2n﹣1，2n+1 （x为正整数）∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．11．（1）已知2x﹣y=8，求代数式[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y的值．（2）阅读下列材料：常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16=（x﹣y）2﹣16=（x ﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0请判断△ABC 的形状，并说明理由．【分析】（1）根据整式的运算法则进行化简求值；（2）运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．【解答】解：（1）[x2+y2﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y原式=（4xy﹣2y2）÷4y=x﹣y=（2x﹣y）=4（2）等边三角形∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC是等边三角形【点评】本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．12．如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．如46379，由379﹣7×46=57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．【分析】（1）根据题意可以判断52478和9115是否能被19整除，从而判断是否为灵异数；（2）根据题意．写出相应的式子，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵478﹣7×52=114，114÷19=6，∴52478能被19整除，是“灵异数”；∵115﹣7×9=52，52÷19=2…14，∴9115不能被19整除，不是“灵异数”；（2）设这个五位数的千位为a，则个位为2a，十位为b，则百位为8﹣b，∵[100（8﹣b）+10b+2a]﹣7×（10×1+a）=730﹣90b﹣5a，这个数恰好是灵异数，即能被19整除，a为正整数、b为非负整数，∴730﹣90b﹣5a能被19整除，解得，，，∴这个数为：11172或12084．【点评】本题考查整式的加减、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2（1）则需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．【分析】（1）直接由题意可得；（2）由图形可得；（3）由图形面积的两种表达形式可把多项式2a2+3ab+b2分解因式．【解答】解：（1）∵面积等于2a2+3ab+b2∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；故答案为：2，3，1（2）如图：图形的面积=（2a+b）（a+b）（3）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）【点评】本题考查了因式分解的应用，从几何的图形来解释分解因式的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．14．如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5=32﹣22，16=52﹣32，则5，16都是奇妙数．（1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．【分析】（1）根据题意可判断；（2）利用平方差公式可证；。
第4章 因式分解-最新北师大版八年级下册
___因_式__分_解_______.
4.下列各式从左到右的变形是因式分解的为（ C ）
A. x（a-b）=ax-bx B. x2-1+y2=（x-1）（x+1）+y2 C. x2-1=（x+1）（x-1） D. ax+bx+c=x（a+b）+c 5.下列各式从左到右的变形①15x2y=3x·5xy；②（x+y） （x-y）=x2-y2；③x2-6x+9=（x-3）2；④
2. 因式分解的思路： （1）有公因式时，应先提公因式； （2）没有公因式时，考虑是否符合公式的特征，能否用 公式法分解，可以则用公式法分解； （3）有些式子提完公因式后还能用公式，有些式子用了 公式后还能再用公式； （4）分解因式要彻底，要分解到不能再分解为止：
【例1】分别写出下列多项式的公因式：
（1）ax+ay：_________________； （2）3x3y4+12x2y：________________； （3）25a3b2+15a2b-5a3b3：_______________；
解析 先确定一个多项式有几项，再观察其中的每一项 都含有的相同因式是什么.
2. 因式分解：9+6a+a2=____（_3_+_a）__2 ________.
3. 因式分解（a－b）（a－4b）＋ab的结果是
_（__a-_2_b）__2 _____.
新知3 因式分解的方法与思路总结
1. 因式分解的方法：
（1）提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；
（2）公式法:
多项式的因式分解
多项式的因式分解多项式的因式分解是数学中的一个基本运算，又称为代数因式分解。
它是一种求解多项式的方法，可以分解一个多项式，将它分解为两个多项式之积。
多项式因式分解既可以作为解题的策略，也可以作为特征分析的工具，为多种问题提供了解决方案。
多项式因式分解的基本概念是，任何一个多项式都可以写成两个多项式的乘积：ax^2 + bx + c = (ax + p)(ax + q)多项式的因式分解，不仅仅是一个看似陌生的概念，而是我们有关多项式的理解的内容，因此，我们必须对它有一定的理解。
首先，我们要明白多项式的因式分解的定义：也就是将一个多项式拆分成两个多项式乘积的过程。
拆分出来的每一项都具有独立的作用，因此，每一项有可能是一个负数，也有可能是一个正数。
每一项的系数可以是任何实数，比如2、-2等，或者是未知数。
其次，要明白因式分解的步骤，及其本质作用。
在做多项式分解时，我们要明确被分解的多项式，即ax^2+bx+c，其中a、b、c为多项式的系数。
接下来，根据多项式的特殊性，将这个多项式拆分成两个多项式，其系数要根据前面多项式系数来确定，以及每一项本身的特性，以便于解决因式分解中出现的问题。
拆分完后，我们可以得到：ax^2 + bx + c = (ax + p)(bx + q)这里的p、q就是新的多项式的系数，它们都是未知数。
同时，考虑到多项式系数可以是任何实数，我们还需要计算出新的多项式的根，也就是p和q的值。
最后，我们要明白在做多项式因式分解的时候，最后的结论是多项式分解后的形式，如何保证其正确性。
这里，我们需要用到特征方程，即特征方程可以将多项式分解成两个多项式，从而实现多项式因式分解的功能。
特征方程是求解多项式因式分解的关键。
总之，多项式因式分解是数学当中一种重要的概念和运算，它能够帮助我们准确求解出被分解的多项式。
掌握此方法可以帮助我们更好地理解多项式的特殊性，从而更容易解决一些复杂的问题，为数学的学习和研究提供一种有效的方法。
八年级数学上册14.3因式分解课件(新版)新人教版
,即ab=
1时,
6
原式=24ab=4.
第九页，共19页。
因式分解与特殊三角形判定(pàndìng) 的综合 例5 已知△ABC的三边长a,b,c满足(mǎnzú)a2+b2+c2-6a-
6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.
〔解析〕将等号的左边(zuǒ bian)变形为几个非负数的和的形 式,然后转化为关于a,b,c的方程,确定a,b,c的值即可.
第二页，共19页。
1.因式分解(yīn shì fēn jiě).
(1)16(x-1)2 - (x+2)2
(2)a2-14a+49
=[4(x-1)]2-(x+2)2
=[4(x-1)+(x+2)][4(x-1)-(x+2)] =(4x-4+x+2)(4x-4-x-2) =(5x-2)(3x-6) =3(5x-2)(x-2).
解:(1)原式=(88+112)×(88-112)=200×(-24)=-4800.
(2)原式=122+2×12×8+82=(12+8)2=202=400.
【解题归纳】 运用因式分解进行(jìnxíng)简便计算,关键是先 将所给式子进行(jìnxíng)因式分解,常见的方法:①先提公因式, 再运用公式法;②直接运用公式法.
八年级数学(shùxué)·上 标 [人]
新课
第十四章 整式的乘法(chéngfǎ)与因式 分解
14.3 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共19页。
选择合适(héshì)的方法进行因式分
例1 把下列(xiàliè解)各式因式分解.
因式分解ppt课件
02
03
04
因式分解的基本概念：定义、 性质、方法等
因式分解的技巧：提公因式、 平方差公式、十字相乘法等
因式分解的应用：代数式化简 、解方程等
Hale Waihona Puke 学习方法：理论学习、练习、 小组讨论等
因式分解的应用与重要性
01
02
03
04
代数式化简
利用因式分解简化复杂的代数 式，提高计算效率
解方程
通过因式分解将方程转化为多 个简单方程，便于求解
因式分解的作用
有助于理解方程的解 法
可以用于解决一些数 学问题，如求根、解 方程等
可以将一个复杂的多 项式简化成易于理解 的形式
课程目标和学习方法
掌握因式分解的基本方法 学习如何将一个多项式分解成几个整式的乘积
通过练习，达到能够快速、准确地完成因式分解的目标
02
因式分解的基本概念
整式和因式的定义
分解6a4b3+18a3b2+12a2b
首先，我们可以发现6a4b3和18a3b2可以组合成一项，得到(6a4b3+18a3b2)，接着观察多项式，我 们可以发现12a2b可以单独列出来，所以原多项式可以分解为(6a4b3+18a3b2)+12a2b。
应用题中的例子
在一个水池设计中，需要将一个圆形的水池分割成若干个小 的区域，这时候就需要使用到因式分解的方法，将圆形水池 的面积分解成若干个小的面积之和，这样就可以更加方便地 进行设计和规划。
掌握因式分解的方法
因式分解的方法有很多种，初学者可能难以掌握。解决办 法是加强对方法的学习，可以通过大量的练习来掌握。
解决因式分解的问题
因式分解的问题可能比较复杂，初学者可能难以解决。解 决办法是加强对问题的分析，学会拆解问题，找出合适的 解决方法。
《因式分解》说课稿7篇
《因式分解》说课稿7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如讲话致辞、报告体会、合同协议、策划方案、职业规划、规章制度、应急预案、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays for everyone, such as speeches, report experiences, contract agreements, planning plans, career planning, rules and regulations, emergency plans, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!《因式分解》说课稿7篇下面是本店铺收集的《因式分解》说课稿7篇，供大家参考。
新人教九上数学因式分解法
练一练 解下列方程：
(1) x2 −5x + 6 = 0；
x 2
x·
×
3
3x 2x 5x
解：分解因式，得
(x − 2)(x − 3) = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3.
(2) x2 + 4x − 5 = 0；
x 5
x·
×
1
x 5x 4x
解：分解因式，得
(x + 5)(x − 1) = 0，
解得 x1 = −5，x2 = 1．
(3) (x + 3)(x − 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x − 8 = 0，
x4
x 2
2x 4x 2x
分解因式，得 (x + 4)(x − 2) = 0， 解得 x1 = −4，x2 = 2.
(4) 2x2 − 7x + 3 = 0.
2x 1
(2x＋1)(2x - 1) = 0. ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
解得
x1
1 2
，x2
1 2
.
练一练 解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
(2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2．
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， 解：方程整理得
导入新课
情境引入 我们经常看到大学毕业的学生，穿着学士服， 将学士帽高高抛起的样子，那么抛起的学士帽什么时 候落下，什么时候抬头接才不会被砸到呢？一起看看 吧！
点击视频 开始播放
讲授新课
一 因式分解法解一元二次方程 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的 高度 (单位：m)为 10x - 4.9x2. 根据上述规律，物体 经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 分析：设物体经过 x s 落回地面，这时 它离地面的高度为 0 m，即
因式分解法基本步骤
因式分解法基本步骤
《因式分解法基本步骤因式分解法基本步骤》
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊因式分解法的基本步骤，这可是数学里超级实用的一招哦！
第一步呢，就是瞅准式子，看看它是个啥样儿。
就像我们看一个新朋友，先得打量打量，心里有个底。
比如说，是个二次三项式啊，还是个多项式啥的。
要是没公因式，那就试试公式法。
像平方差公式、完全平方公式，这可都是咱们的秘密武器。
比如说，看到a² b² 这种形式，马上就想到 (a + b)(a b) ，是不是感觉超厉害？
再然后呢，分组分解法也能派上用场。
把式子分成几组，分别处理，再合起来。
这就好比把一堆乱麻分成几小把，慢慢理清。
有时候，咱们还得用十字相乘法。
这个有点像玩拼图，找到合适的数字凑一凑，就能分解成功啦。
还有啊，分解完了可别着急，一定要检查检查。
看看分解得对不对，能不能再继续分解。
这就像做完作业要检查一样，可不能马虎哟！
呢，因式分解就像是一场有趣的探险。
每一步都可能有惊喜，只要咱们细心、耐心，就一定能把式子分解得妥妥当当。
加油吧，小伙伴们，相信你们在因式分解的世界里一定能玩儿得转！
怎么样，是不是觉得因式分解也没那么难啦？多练几次，咱们就能成为因式分解的高手啦！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（4） a
2
2a 2 ( a 2)
2
(1)1022－982=
2 (2)86 +86×14= 2 (3)51 －2×51+1=
(4)502－1=
1.请叙述因式分解的定义 2.说说因式分解与整式的乘法的关系 3.检验下列因式分解是否正确： (1) x2y-xy2=xy(x-y)； (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2). 4.计算下列各题，并说明你的算法： (1)892+89×11 (2)1022-982
2
不是 不是 不是 不是
（ 6）
18a bc 3a b6ac
3 2
（ 7） x 4 (
x 2)( x 2)
下列代数式变形中,哪些是因式分解？哪些不是?
(1) 2m(m n) 2m 2mn 不是
2
(2)
1 2 1 ab ab ab(b 2) 2 2
2 2
是 是 不是
(1) x y xy xy( x y)
2 2
(3) x 3 x 2 ( x 1)( x 2)
2
练习
例：检验下列因式分解是否正确：
x （1）
2
y xy xy ( x y )
2
2
（2）2 x （3）a
2
1 (2 x 1)(2 x 1)
3a 4 ( a 1)( a 4)
是 a a ( a 1) 2 （2）( a 3)( a 3) a 9 不是 2 2 不是 （ 4 x3） 4 x 1 (2 x 1)
（ 1） a
2
2 （4 x ） 3x 1 x ( x 3) 1
1 （ 5） x 1 x ( x ) x
(3) 4x 4 x 1 (2 x 1)
2
(4) x 3 x 1 x( x 3) 1
例2：计算
(1)
87 87 13
2
(2)
101 99
2
2
例3：若 x 101, y 99 则 x 2 xy y __
2 2
观察下列式子有何特点？
因式分解
我知道
某大学的操场由两块长方形的地组成，两块地 的长分别为a、c宽为b,则其面积为？有几种方 法？ 方法一：s=ab+bc
b
方法二：s=(a+c)b 则：ab+bc=(a+c)b
a
c
帮我解一下？
c
这个鱼缸的面积是多少呢？
a
b
方法一：s=ab+bc 方法二：s=(a+c)b
则：(a+c)b=ab+ c a=c ( b + d + a)
(a + b) ( c + d)
ac+ad+bc+bd= aa
- bb=(a + b) ( a- b)
我会说
因式分解和整式乘法的区别？
因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式 其为互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
这是什么呢？
(a+c)b=ab+bc 整式的乘法
那反过来呢？ (a+c)b=ab+bc
我来说……
因式分解
把一个多项式化为几个整式乘积
的形式，就是因式分解
分解：即和差化积，直到不能化为止
因式:如果多项式f(x)能够被整式g(x)整除，
即可以找出一个多项式q(x),使得f(x)= g(x) q(x),那么g(x)和q(x)为f(x)的因式。