2018年高考数学新课标2理科真题

1.(2018年新课标Ⅱ理)1＋2i1－2i ＝( )A .－45－35iB .－45＋35iC .－35－45iD .－35＋45iD 【解析】1＋2i 1－2i ＝(1＋2i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝－35＋45i .2.(2018年新课标Ⅱ理)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4A 【解析】当x ＝－1时,y 2≤2,得y ＝－1,0,1；当x ＝0时,y 2≤3,得y ＝－1,0,1；当x ＝1时,y 2≤2,得y ＝－1,0,1.所以集合A 中元素有9个.3.(2018年新课标Ⅱ理)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BC DB 【解析】f (－x )＝e －x －e x (－x )2＝－e x －e －xx 2＝－f (x ),则f (x )为奇函数,图象关于原点对称,排除A ；当x ＝1时,f (1)＝e －1e＞0,排除D ；当x →＋∞时,f (x )→＋∞,排除C .故选B .4.(2018年新课标Ⅱ理)已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( )A .4B .3C .2D .0B 【解析】由题意,a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2＋1＝3.5.(2018年新课标Ⅱ理)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y ＝±2xB .y ＝±3xC .y ＝±22xD .y ＝±32x A 【解析】依题意,e ＝c a ＝3,则ba ＝b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝2,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x .故选A .6.(2018年新课标Ⅱ理)在△ABC 中,cos c 2＝55,BC ＝1,AC ＝5,则AB ＝( )A .4 2B .30C .29D .2 5 A 【解析】cos C ＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35,由余弦定理,得AB ＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C＝1＋25＋2×1×5×35＝42.7.(2018年新课标Ⅱ理)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A .i ＝i ＋1?B .i ＝i ＋2?C .i ＝i ＋3?D .i ＝i ＋4?B 【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S ＝N －T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫199－1100,则在空白处应填入“i ＝i ＋2?”.8.(2018年新课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .112B .114C .115D .118C 【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C 210＝45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p ＝345＝115.9.(2018年新课标Ⅱ理)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝BC ＝1,AA 1＝3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A .15B .56C .55D .22C 【解析】以D 为原点,DA 为x 轴DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB＝BC＝1,AA 1＝3,∴A (1,0,0),D 1(0,0,3),D (0,0,0),B 1(1,1,3),AD 1→＝(－1,0,3),DB 1→＝(1,1,3).设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ,则cos θ＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝225＝55.故选C .10.(2018年新课标Ⅱ理)若f (x )＝cos x －sin x 在[0,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A .π4 B .π2C .3π4D .πC 【解析】f (x )＝cos x －sin x ＝－(sin x －cos x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4.由－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z ),得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z ).取k ＝0,得f (x )的一个减区间为⎣⎡⎦⎤－π4，3π4.由f (x )在[0,a ]是减函数,得a ≤[0,a ]是减函数,所以a 的最大值是3π4.11.(2018年新课标Ⅱ理)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ),若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A .－50B .0C .2D .50C 【解析】∵f (x )是奇函数,且f (1－x )＝f (1＋x ),∴f (1－x )＝f (1＋x )＝－f (x －1),f (0)＝0,则f (x ＋2)＝－f (x ),则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ),即f (x )是周期为4的周期函数.∵f (1)＝2,∴f (2)＝f (0)＝0,f (3)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2,f (4)＝f (0)＝0,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0,∴则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.12.(2018年新课标Ⅱ理)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P ＝120°,则C 的离心率为( )A .23B .12C .13D .14D 【解析】由题意知A(－a ,0),F 1(－c ,0),F 2(c ,0),直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a ).由∠F 1F 2P ＝120°,|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ,则P (2c ,3c ),代入AP 的方程,整理得a ＝4c ,∴C 的离心率e ＝c a ＝14.13.(2018年新课标Ⅱ理)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________.y ＝2x －2 【解析】∵y ＝2ln x ,∴y ′＝2x .当x ＝1时,y ′＝2,∴曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为y －0＝2(x －1),即y ＝2x －2.14.(2018年新课标Ⅱ理)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.9 【解析】作出可行域如图.z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过A (5,4)时,z 取得最大值,最大值为z ＝5＋4＝9.15.(2018年新课标Ⅱ理)已知sin α＋cos β＝1,cos α＋sin β＝0,则sin(α＋β)＝________.－12 【解析】由sin α＋cos β＝1,两边平方,得sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1,① 由cos α＋sin β＝0,两边平方,得cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0,② ①＋②,得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1,即2＋2sin(α＋β)＝1,解得sin(α＋β)＝－12.16.(2018年新课标Ⅱ理)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°,若△SAB 的面积为515,则该圆锥的侧面积为________. 40 2 【解析】由题意可得sin ∠AMB ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.S △SAB ＝12|SA |2sin ∠AMB ＝515,即12|SA |2·158＝515,解得SA ＝45.SA 与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为22×45＝210,则该圆锥的侧面积＝12×410×45π＝402π.17.(2018年新课标Ⅱ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1＝－7,S 3＝－15. （1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ,并求S n 的最小值.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d . S 3＝3a 1＋3d ＝3×(－7)＋3d ＝－15,解得d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－7＋2(n －1)＝2n －9. （2）S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－7＋2n －9)2＝n 2－8n .∵S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16, ∴当n ＝4时,S n 有最小值为－16.18.(2018年新课标Ⅱ理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^＝99＋17.5t .（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【解析】（1）对于模型①,当t ＝19时,y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.对于模型②,当t ＝9时,y ^＝99＋17.5×9＝256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.（2）模型②得到的预测值更可靠.∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的, 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些, ∴利用模型②的预测值更可靠些.19.(2018年新课标Ⅱ理)设抛物线C :y 2＝4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |＝8. （1）求l 的方程；（2）求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.【解析】（1）抛物线C 的焦点为F (1,0). 当直线的斜率不存在时,|AB |＝4,不合题意. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ,得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0,∴x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2,x 1x 2＝1.由|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(k 2＋2)k 2＋2＝8,解得k ＝1.∴直线l 的方程y ＝x －1.（2）由（1）得AB 的中点坐标为D (3,2),则直线AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3),即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.20.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ＝BC ＝22,P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4,O 为AC 的中点.（1）求证:PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上,且二面角M -P A -C 为30°,求PC 与平面P AM 所成角的正弦值.【解析】（1）证明:∵AB ＝BC ＝22,AC ＝4,∴AB 2＋BC 2＝AC 2,即△ABC 是直角三角形. 又O 为AC 的中点,∴OA ＝OB ＝OC . ∵P A ＝PB ＝PC ,∴△POA ≌△POB ≌△POC . ∴∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝90°.∴PO ⊥AC ,PO ⊥OB ,OB ∩AC ＝0,∴PO ⊥平面ABC .（2）以O 坐标原点,OB ,OC ,OP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 易知A (0,－2,0),P (0,0,23),C (0,2,0),B (2,0,0),BC →＝(－2,2,0). 设BM →＝λBC →＝(－2λ,2λ,0),0＜λ＜1,则AM →＝BM →－BA →＝(－2λ,2λ,0)－(－2,－2,0)＝(2－2λ,2λ＋2,0), 则平面P AC 的一个法向量为m ＝(1,0,0).设平面MP A 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则PA →＝(0,－2,23), 则n ·PA →＝－2y －23z ＝0,n ·AM →＝(2－2λ)x ＋(2λ＋2)y ＝0. 令z ＝1,则y ＝－3,x ＝(λ＋1)31－λ,即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫(λ＋1)31－λ，－3，1.∵二面角M -P A -C 为30°,∴cos 30°＝m ·n |m ||n |＝32,即(λ＋1)3λ－1⎝ ⎛⎭⎪⎫(λ＋1)31－λ2＋1＋3×1＝32,解得λ＝13或λ＝3(舍去). ∴n ＝(23,－3,1),PC →＝(0,2,－23).PC 与平面P AM 所成角的正弦值sin θ＝|cos 〈PC →,n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－2316·16＝4316＝34.21.(2018年新课标Ⅱ理)已知函数f (x )＝e x －ax 2. （1）若a ＝1,求证:当x ≥0时,f (x )≥1； （2）若f (x )在(0,＋∞)只有一个零点,求a .【解析】（1）证明:当a ＝1时,f (x )＝e x －x 2,则f ′(x )＝e x －2x . 令g (x )＝e x －2x ,则g ′(x )＝e x －2. 令g ′(x )＝0,解得x ＝ln 2.当x ∈(0,ln 2)时,g ′(x )＜0；当x ∈(ln 2,＋∞)时,g ′(x )＞0. ∴g (x )≥g(ln 2)＝e ln 2－2·ln 2＝2－2ln 2＞0. ∴f (x )在[0,＋∞)单调递增,则f (x )≥f (0)＝1.（2）f (x )在(0,＋∞)只有一个零点,等价于方程e x －ax 2＝0在(0,＋∞)只有一个根, 即a ＝e x x 2在(0,＋∞)只有一个根,转化为y ＝a 与G (x )＝e xx 2的图象在(0,＋∞)只有一个交点.易得G ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(0,2)时,G ′(x )＜0；当x ∈(2,＋∞)时,G ′(x )＞0. ∴G (x )在(0,2)单调递减,在(2,＋∞)单调递增. 当x →0时,G (x )→＋∞；当x →＋∞时,G (x )→＋∞. ∴f (x )在(0,＋∞)只有一个零点时,a ＝G (2)＝e 24.22.(2018年新课标Ⅱ理)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数), 转换为直角坐标方程为x 24＋y 216＝1. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数), 转换为直角坐标方程为x sin α－y cos α＋2cos α－sin α＝0.（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程,整理得(4cos 2α＋sin 2α)t 2＋(8cos α＋4sin α)t －8＝0,则t 1＋t 2＝－8cos α＋4sin α4cos 2α＋sin 2α. 由于(1,2)为中点坐标,∴t 1＋t 22＝0, 则8cos α＋4sin α＝0,解得tan α＝－2.∴直线l 的斜率为－2.23.(2018年新课标Ⅱ理)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.（1）当a ＝1时,求不等式f (x )≥0的解集；（2）若f (x )≤1,求a 的取值范围.【解析】（1）当a ＝1时,f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ＜2，－2x ＋6，x ≥2.当x ≤－1时,f (x )＝2x ＋4≥0,解得－2≤x ≤1；当－1＜x ＜2时,f (x )＝2≥0恒成立,即－1＜x ＜2；当x ≥2时,f (x )＝－2x ＋6≥0,解得2≤x ≤3.综上,不等式f (x )≥0的解集为[－2,3].（2）∵f (x )≤1,∴5－|x ＋a |－|x －2|≤1.∴|x ＋a |＋|x －2|≥4.∴|x ＋a |＋|x －2|＝|x ＋a |＋|2－x |≥|x ＋a ＋2－x |＝|a ＋2|.∴|a ＋2|≥4,解得a ≤－6或a ≥2.∴a 的取值范围(－∞,－6]∪[2,＋∞).。