2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案

2004年考研数学试题答案与解析(数学一)

2004年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为110=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知x x xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x .【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】令t e x =，则t x ln =，于是有 tt t f ln )(='，即 .ln )(xx x f ='积分得 C x dx xx x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln 21x .【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 .【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,s i n 2,c o s 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd y d x x d y L]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[22⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 222πθθππ=+⎰d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dxdy xdxy d x的通解为 221xc xc y +=.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换t e x =化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】令t e x =，则dtdy x dtdy edxdt dtdy dxdy t1==⋅=-，][11122222222dtdy dty d xdxdt dty d x dtdy xdxy d -=⋅+-=，代入原方程，整理得02322=++y dtdy dty d ，解此方程，得通解为 .221221xc xc ec ec y tt+=+=--【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令t e x =，则欧拉方程)(222x f cy dxdy bxdx y d ax=++，可化为 ).(][22te f cy dtdy bdtdy dty d a =++-（5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91 .【分析】可先用公式E A A A =*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有A B AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有 363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= e1 .【分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解】由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11eex=-∞+-λλ【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xxx⎰⎰⎰===32sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0c o s 2t a n lim cos tanlim lim22002=⋅==+++→→→⎰⎰xx x dtt dtt x xxx x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tansin lim lim23032⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→2lim 41xx x ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .[ C ]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知 0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.（9）设∑∞=1n n a 为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n n a 收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n n a 发散.(C) 若级数∑∞=1n n a 收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取nn a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n n a 收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B).（10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得 ⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t xtdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001110. [ D ]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010， C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001，于是， .1000111010110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B T T =，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是 }{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C).【评注】本题αuα 21α-（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ令∑==ni iX nY 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σnn Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ]【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i ni iX X Cov nX X Cov nX nX Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDXn =【评注】本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如 222222111)1()111()(σσnn nn X nX nX nn D Y X D n -++=++++=+=222233σσn n nn n +=+，222222111)1()111()(σσnn nn X nX nX nn D Y X D n -+-=----=-=.222222σσnn nn n -=-（15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设tt t ln )(=ϕ，则2ln 1)(tt t -='ϕ，当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln eee =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【证法2】设x ex x 224ln )(-=ϕ，则24ln 2)(e x xx -='ϕ，2ln 12)(xx x -=''ϕ,所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时， 044)()(222=-='>'eee x ϕϕ，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b eb 22224ln4ln ->-，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】本题也可设辅助函数为2222),(4lnln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或2222),(4lnln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可.（16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得 kv dtdv m -=.又d xd v v d t d x d x d v d td v =⋅=，由以上两式得 dv k m dx -=，积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v km C =，从而)).(()(0t v v k m t x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km kmv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】根据牛顿第二定律，得 kv dtdv m -=,所以.dt m k v dv -=两端积分得通解tmk Cev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0tm k ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0000km kmv ekmv dt t v x t mk ==-==∞+-∞+⎰或由tmk ev dtdx -=0，知)1()(000--==--⎰tmk ttmk emkv dt ev t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】根据牛顿第二定律，得 dtdx kdtx d m-=22,022=+dtdx m k dtx d ，其特征方程为 02=+λλmk ，解之得mk -==21,0λλ，故 .21tm k e C C x -+=由 00200,0v emkC dtdx vxt tmk t t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0tmk ekmv t x --=当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分12分）计算曲面积分 ,)1(322233d x d y z d z d x y d y d z x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy z dzdx y dydz xI ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知d x d y d zz y x d x d y z d z d x y d y d z x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r)(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r 而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdydxdy z dzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证】记1)(-+=nx x x f nn 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n 与0>n x 知nnx x nnn 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0nx n <<.而正项级数∑∞=11n nα收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz zx z yy x ，0222206=∂∂-∂∂--+-yz zyz yz y x .令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz得 ⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xz zxz x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z zxzy zyx z yxz02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yz zyz yz yyz yz ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=xz A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=yx z B ，35)3,3,9(22=∂∂=yz C ，故03612>=-BAC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由 61)3,3,9(22-=∂∂=---xz A ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---yx z B ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yz C ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.0021*******1111B a naa aa a n nnna a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T-=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.1000120002)1(1000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→n n n a na B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n an n a an nnna aA.当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00000111122221111n nnnA ，故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T-=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a aa a n nn n a a A0002111122221111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→10012000010000121111nna ，故方程组的同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n nnn a a A22221111=aE+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nnn22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nnn22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n an n a A（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321aA 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.【分析】先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】（I ）由于121)()()(==A B P A P AB P ，,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P（或32121611211}0,0{=---===Y X P ），故(X,Y)的概率分布为YX 0 10 32 121 161121(II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1 P 43 41 P65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x xx f βββ （I ）由于 1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx xx dx x xf EX ，令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β（II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L in nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=ni i x nd L d 1ln)(ln βββ，令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==ni ix n1lnβ，故β的最大似然估计量为 .lnˆ1∑==ni iX nβ【评注】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。

数学一2004年考研真题及答案解析

1 2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为1100=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知x x xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)= 2)(ln 21x . 【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】令t e x=，则t x ln =，于是有 t t t f ln )(='，即 .ln )(xx x f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x . 【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为 π23 . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是 θθθθθπd ydx xdy L ]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .。

【考研数学}2004年考研数一真题标准答案及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .（2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=__________ .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为. __________ . （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B __________ .（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= __________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ ] （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) .(D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ ]（9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ ]（10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ]（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ ]（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ ]（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ ] （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. （17）（本题满分12分）计算曲面积分 ,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. （20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. (22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知xxxee f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='，即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln 21x . 【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可. 【详解】令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dt dydty d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=，代入原方程，整理得02322=++y dt dydt y d ，解此方程，得通解为 .221221x c x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dxy d ax =++，可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91 . 【分析】可先用公式E A A A =*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有A B AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=e1 . 【分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可. 【详解】由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11eex=-∞+-λλ 【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0cos 2tan lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰x xx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx xx dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序. （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ C ]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(E) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B).（10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]【分析】先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001，于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系. （12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (E) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (F) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B TT=，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论. 【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C). 【评注】本题αu 相当于分位数，直观地有α 21α-（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ]【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =222233σσn n n n n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =.222222σσn n n n n -=- （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. 【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ，当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 【证法2】设x ex x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(ex x x -='ϕ，2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时， 044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a e a b e b 22224ln 4ln ->-，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又 dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，由以上两式得 dv kmdx -=，积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv e kmv dt t v x tmk==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dtdx -=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t mke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dt dxm k dtx d ，其特征方程为 02=+λλm k ，解之得m k-==21,0λλ，故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dt dxv x t tm kt t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分12分）计算曲面积分 ,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定. 【证】记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yz xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an nnna aA. 当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ，故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A00002111122221111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ，故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】（I ）由于121)()()(==A B P A P AB P ，,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P （或32121611211}0,0{=---===Y X P ），故(X,Y)的概率分布为 YX 0 10 32121 1 61121 (II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ 【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ （I ）由于1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx x x dx x xf EX ，令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为 .1ˆ-=X X β （II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==n i ixn 1ln β，故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==n i iXnβ 【评注】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。

2004考研数一真题及答案解析

令 Y
1 n
n i 1
Xi
,
则
(A)
Cov(
X1,
Y
)
2 n
(B) Cov( X1,Y ) 2
(C)
D( X 1
Y)
n
n
2
2
(D)
D( X 1
Y)
n 1 n
2
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
(15)(本题满分 12 分)
设
e
a
b
e2
,证明
（2）已知 f (e x ) xex ，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x)2 . 2
【分析】先求出 f (x) 的表达式，再积分即可。
【详解】令 e x t ，则 x ln t ，于是有
f (t) ln t ，即 f (x) ln x .
t
x
积分得 f (x) ln xdx 1 (ln x)2 C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为 f(x)= 1 (ln x)2 .
【详解】
x2
lim x0
lim x0
tan tdt
0
x cos t 2dt
lim
x0
tan x 2x cos x 2
0 ，可排除(C),(D)选项，
0
又
lim lim
x0
x0
x sin t 3dt
0 x2
tan tdt
lim
x0
3
sin x 2
1
2x
2x tan x
0
= 1 lim 4 x0
0 0 1

2004考研数学一真题及答案解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2004考研数学真题+答案

.
(B) (D)
Cov( X 1 , Y ) 2 .
D( X 1 Y ) n 1 2 . n
2004 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2004 年数学试题答案和评分参考
三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ( 15 )（本题满分 12 分）
1
由高斯公式知
1
2x dydz 2 y dzdx 3( z
3 3
2
1)dxdy 6( x 2 y 2 z)dxdydz

…… 3 分 …… 9 分
1 1 ( z r 2 )rdz = 12 [ r (1 r 2 ) 2 r 3 (1 r 2 )]dr 2 . 0 2 3 3 2 而 2 x dydz 2 y dzdx 3( z 1)dxdy 3dxdy 3 ，
2 设 e a b e ，证明 ln 2 b ln 2 a

ln t 1 ln t ，则 (t ) ，当 t e 时， (t ) 0 ，即 (t ) 单调减少， …… 9 分 t t2 ln ln e 2 2 4 2 从而 ( ) (e ) ，即 …… 12 分 2 2 ，故 ln 2 b ln 2 a 2 (b a) . e e e
解
2 2 取 1 为 xoy 平面上被圆 x y 1 所围部分的下侧，记为由与 1 围成的空
间闭区域，则 I
1
2x dydz 2 y dzdx 3( z
3 3
2
1)dxdy
2 x 3 dydz 2 y 3 dzdx 3( z 2 1)dxdy.

2004考研数一真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).k问从着陆点=10⨯0.66算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩LLL L L L L LL试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2004考研数学一真题及答案解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为.(2)已知 f (e x) xe x,且f(1) 0,则f(x)=.(3)设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy 2ydx的值为.(4)欧拉方程x2嗅4xdy 2y 0(x 0)的通解为^dx2dx -------------2 1 0(5)设矩阵A 1 2 0,矩阵B满足ABA* 2BA* E ,其中A*为A的伴随矩阵，E 0 0 1是单位矩阵，则|B =.(6)设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{ X JDX} =.二、选择题(本题共8小题，每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)x o x2- ■ x(7)把x 0时的无力小重cost出，tandtdt, sin t dt ,使排在后面的0 0 0是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),,(C),,(8)设函数f (x)连续，且f⑼0,则存在(A)他)在(0,)内单调增加(C)对任意的x (0,)有f(x) f(0) (B),,(D),,0,使得(B)“刈在(，0)内单调减少(D)对任意的x ( ,0)有f(x) f(0)(9)设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是 n 1 (A)若 limna n =0, 则级数 a n 收敛ndn 1(B)若存在非零常数，使得lim na n,则级数 a n 发散ndn 1(C)若级数 a n 收敛，则n imn 2a n 0n 1n(D)若级数 a n 发散，则存在非零常数，使得lim na n n 1 n(10)设 f(x)为连续函数，F(t) 1t dy ： f (x)dx ,则 F (2)等于(B) f(2)(C) f ⑵(D) 0(11)设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C 的可逆矩阵Q 为0 1 0(B) 1 0 10 0 1 0 1 1(D) 1 0 00 0 1(12)设A,B 为满足AB O 的任意两个非零矩阵，则必有(13)设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的(01),数u 满足P{X u} ,若 P{X x} ，则 x 等于(A) 2 f (2) 0 1 0(A) 1 0 01 0 1 0 1 0(C) 1 0 00 1 1(A) A 的列向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关(D) A 的行向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关 ,B 的列向量组线性相关 ,B 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(A) u(B) u1 _22(C) u 二 (D) U 1n(14)设随机变重X i ，X 2，,X n (n 1)独立同分布，且其万差为20.令Y - X i , n i 1(A) Cov(X 1,Y)一n三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设 e a b e 2,证明 ln 2b ln 2a --2- (b a). e(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？(注:kg 表示千克，km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分 I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面 z 1 x 2 y 2(z 0)(18)(本题满分11分)设有方程x n nx 1 0,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ,并证明当 1时，级数X n 收敛.n 1(B) Cov(X 1,Y) (C) D(X 1 Y)42n(D) D(X 1 Y)— n(19)(本题满分12分)设z z(x,y)是由x2 6xy 10y2 2yz z2 18 0确定的函数，求z z(x,y)的极值点和极值.(20)(本题满分9分)(1 a)x1 x2 L x n 0,设有齐次线性方程组2x1 (2 a)x2 L 2x n 0, (n 2),L L L L L Ln% n” L (n a)x n 0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(21)(本题满分9分)1 2 3设矩阵A 1 4 3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似1 a 5对角化.(22)(本题满分9分)设A,B 为随机事件，且P(A) 1,P(B|A) 1,P(A|B) L 令 4 32X 1, A发生，Y 1, B发生，0,A不发生；0,B不发生.求：(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布.(2) X 和Y 的相关系数(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为其中未知参数 1,X 1,X 2, ,X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：(1) 的矩估计量.(2) 的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为y x 1.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2004考研数一真题答案及详细解析

一、填空题(1)【答案】 y =x −1【详解】方法 1：因为直线 x +y =1的斜率k 1 − =1，所以与其垂直的直线的斜率k 2 满足121k k =-，所以21k -=-，即21k =，曲线l n y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程的斜率为1，即11)(ln =='='xx y ，得1x =，把1x =代入l n y x =，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y 方法2：本题也可先设切点为)l n ,(00x x ，曲线l n y x =过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，所以切点为()00(,ln )1,0x x =，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即1-=x y .(2)【答案】2)(ln 21x 【详解】先求出)(x f '的表达式，再积分即可.方法1：令t e x=，则t x l n =，1xet -=，于是有t t t f ln )(='，即.ln )(xx x f ='两边积分得2ln 1()ln ln (ln )2xf x dx xd x x C x ===+⎰⎰.利用初始条件(1)0f =,代入上式：21(1)(ln1)02f C C =+==，即0C =，故所求函数为()f x =2)(ln 21x .方法2：由l n xx e =，所以xx x ee f -=')(l n ln xx xx e e ee-=⋅=，所以.ln )(x x x f ='下同.(3)【答案】23【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，用参数式可表示为.20:,s in 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x 于是2Lx dy ydx -=⎰202cos 2sin 22sin 2cos d d πθθθθ⎡⎤-⎣⎦⎰20[2cos 2cos 22sin 2sin ]d πθθθθθ=⋅+⋅⎰()22222220[2cos 4sin ][2cos sin 2sin ]d d ππθθθθθθθ=+=++⎰⎰222220[22sin ]22sin d d d πππθθθθθ=+=+⎰⎰⎰()220021cos 2d ππθθθ=+-⎰222000131cos 22sin 2222d πππππθθθθ=+-=-⎰()3133sin sin 002222ππππ=--=-=(4)【答案】221x c x c y +=【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.令te x =，有1ln ,dt t x dx x ==，则1dy dy dt dy dx dt dx x dt=⋅=，221d y d dy dx dx x dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭()211dy d dy d uv vdu udv x dt x dx dt ⎛⎫=+ -+ ⎪⎝⎭211dy d dy dt x dt x dt dt dx ⎛⎫=-+⋅⎪⎝⎭2222222111dy d y d y dy x dt x dt x dt dt ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭代入原方程：222211420d y dy dyx x y x dt dt x dt⎛⎫⋅-+⋅+= ⎪⎝⎭，整理得02322=++y dt dy dt y d ，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320r r ++=，所以特征根为：121,2r r =- =- ，12r r ≠ ，所以02322=++y dt dydty d 的通解为1221212r t r t t ty c e c e c e c e --=+=+又因为te x =，所以2211,tt ee x x --= =，代入上式得212122.t t c cy c e c e x x--=+=+(5)【答案】91【详解】方法1：已知等式两边同时右乘A ，得**2ABA A BA A A =+，由伴随矩阵的运算规律：**A A AA A E ==，有2A B A B A A =+，而210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=，于是有A B A B +=63，移项、合并有A B E A =-)63(，再两边取行列式，由方阵乘积的行列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，有(36)363A E B A E B A -=-==，而36A E -21010031206010001001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦630600030360060300003006003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3303(1)(3)(3)3330+=--=-⨯⨯27=，故所求行列式为B 33627A A E ==-19=方法2：由题设条件**2ABA BA E =+，得**2ABA BA -=*(2)A E BA E-=由方阵乘积行的列式的性质：矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的积，故两边取行列式，有**(2)21A E BA A EB A E -=-==其中210120001A =3321(1)12+=-2211=⨯-⨯3=；由伴随矩阵行列式的公式：若A 是n 阶矩阵，则1n A A-*=.所以，312A A A -*===9；又0102100001A E -=1210(1)01+=-=1.故1192B A E A*==-.(6)【答案】e1【详解】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.指数分布的概率密度为,0()00x e x f x x λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若若，其方差21λ=DX .于是，由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有}{D X X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=11xe eλλ+∞--=二、选择题(7)【答案】(B)【详解】方法1：202200tan tan 2lim limlim 0cos cos x xx x x tdt x xxt dtβα+++→→→⋅= =⎰⎰洛必达，则β是α的高阶无穷小，根据题设，排在后面的是前一个的高阶无穷小，所以可排除(C),(D)选项，又23230001sin sin 2lim lim lim 2tan tan xx x x x x t dtx x xtdtγβ+++→→→⋅= ⎰⎰洛必达201lim4x x x +→=∞等价无穷小替换，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B).方法2：用kx (当0x →时)去比较.221000cos cos limlimlim ,xkkk x x x t dt x xxkxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，有220lim cos cos lim lim 1lim x x x x t txxxα++++→→→→===，所以(当+→0x 时)α与x 同阶.211300000tan tan 222lim limlim lim lim xk k k k k x x x x x tdtx x x x x x kx kx kx β+++++---→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =,有3320002tan 2tan 2lim lim lim 333x x x x x x x x β+++-→→→===，所以(当+→0x 时)β与3x 同阶.31313222211100000sin sin lim lim lim lim lim ,222xk kk k k x x x x x t dtx x x x xx x kx kx kx γ+++++-----→→→→→⋅⋅===⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =,有221001lim lim 224x x xx x γ++-→→==⋅，所以(当+→0x 时)γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选(B).(8)【答案】(C)【详解】函数()f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B).由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x 根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f .即当)0,(δ-∈x 时，0x <，有()(0)f x f <；而当),0(δ∈x 时，0x >有()(0)f x f >.(9)【答案】(B)【详解】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可通过反例排除找到正确选项.方法1：排除法.取()()11ln 1n a n n =++，则n n na ∞→lim =0，又()()1111ln 11pn p n n p ∞= >⎧⎨++ ≤⎩∑收敛，当发散，当，所以()()1111ln 1n n n a n n ∞∞===++∑∑发散，排除A ，D ；又取n n a n 1=，因为p 级数1111p n p n p ∞= >⎧⎨ ≤⎩∑收敛，当发散，当，则级数111n n n a n n ∞∞===∑∑收敛，但221lim lim lim n n n n n a n n n n→∞→∞→∞=⋅==∞，排除(C),故应选(B).方法2：证明(B)正确.l im 0n n na λ→∞=≠,即l im 1nn a nλ→∞=.因为11n n∞=∑发散，由比较判别法的极限形式知，1nn a∞=∑也发散，故应选(B)..(10)【答案】(B)【详解】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x :⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.方法1：交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有t ，其他地方不出现t由⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(知：1y x ty t <<⎧⎨<<⎩，交换积分次序11x t y x <<⎧⎨<<⎩，得⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdxx x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有)2()2(f F ='，故应选(B).方法2：设()()x f x 'Φ=，于是1()()t t yF t dy f x dx =⎰⎰11()()t t t tyydy x dx dy d x '=Φ=Φ⎰⎰⎰⎰1[()()]t t y dy =Φ-Φ⎰1()(1)()tt t y dy=Φ--Φ⎰所以()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=-所以(2)(2)F f '=，选(B).(11)【答案】(D)【详解】由题设，将A 的第1列与第2列交换，即12010100001AE A B ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将B 的第2列加到第3列，即100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D).(12)【答案】(A)【详解】方法1：由矩阵秩的重要公式：若A 为n m ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，如果0A B =，则()()r A r B n+≤设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，由0A B =知，()()r A r B n +≤，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数因A 为非零矩阵，故()1r A ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r B n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知B 的行向量组线性相关.因B 为非零矩阵，故()1r B ≥，因()()r A r B n +≤，从而()1r A n n ≤-<，由向量组线性相关的充分必要条件向量组的秩小于向量的个数，知A 的列向量组线性相关.故应选(A).方法2：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，将B 按列分块，由0A B =得，[]12,,,0,0,1,2,,.s i AB A A i s ββββ==== 因B 是非零矩阵，故存在0i β≠，使得0i A β=.即齐次线性方程组0A x =有非零解.由齐次线性方程组0A x =有非零解的充要条件()r A n <,知()r A n <.所以A 的列向量组线性相关.又()0T T T AB B A ==，将TA 按列分块，得12[,,,]0,0,1,2,,.T T T T T TT T m i B A B B i m αααα==== 因A 是非零矩阵，故存在0T i α≠，使得0TT i Bα=，即齐次线性方程组0Bx =有非零解.由齐次线性方程组0Bx =有非零解的充要条件，知TB 的列向量组线性相关，由TB 是由B 行列互换得到的，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设(),i j m n A a ⨯=()i j n s B b ⨯=,将A 按列分块，记()12n A A A A =由0A B =⇒()11121212221212s s n n n ns b b b b bb A A A b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅⎪⎝⎭()111111,,0n n s ns n b A b A b A b A =++++= (1)由于0B ≠,所以至少有一个0i j b ≠(1,1i n j s ≤≤≤≤),又由(1)知,11220j j i j i nj n b A b A b A b A +++++= ,所以12,,,m A A A 线性相关.即A 的列向量组线性相关.(向量组线性相关的定义：如果对m 个向量12,,,nm R ααα∈ ，有m 个不全为零的数12,,,m k k k R ∈，使11220m m k k k ααα++=成立，则称12,,,m ααα 线性相关.)又将B 按行分块，记12n B BB B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,同样，0A B =⇒11121121222212n n m m mn n a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 111122121122221122n n n n m m mn n a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪=⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 0=由于0A ≠,则至少存在一个0i j a ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤),使11220i i i j j in n a B a B a B a B ++++= ,由向量组线性相关的定义知，12,,,m B B B 线性相关,即B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法4：用排除法.取满足题设条件的,A B .取001000,10010001A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有00100100,10001AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A 的行向量组，列向量组均线性相关，但B 的列向量组线性无关，故(B)，(D)不成立.又取110100,00000100A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=≠=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，有1101000000100AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性相关，故(C)不成立.由排除法知应选(A).(13)【答案】C【详解】利用正态分布概率密度函数图形的对称性，对任何0x >有{}{}{}12P X x P X x P X x >=<-=>.或直接利用图形求解.方法1：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有21}{α-=≥x X P ，可见根据分位点的定义有21α-=u x ，故应选(C).方法2：Oxy()f x {}P X u αα>=图1图2如图1所示题设条件.图2显示中间阴影部分面积α，{}P X x α<=.两端各余面积12α-，所以12{}P X u αα-<=，答案应选(C).(14)【答案】A.【详解】由于随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，所以必有：2, (,)0, i j i jCov X X i jσ⎧==⎨≠⎩又222111()n n ni i i i i i i i D a X a D X a σ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑Oxy{}P X x α<=12α-()f x下面求1(,)Cov X Y 和1()D X Y +.而11,ni i Y X n ==∑故本题的关键是将Y 中的1X 分离出来，再用独立性来计算.对于选项(A)：1111112111(,)(,)(,)(,)n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑11DX n=21n σ=所以(A)对，(B)不对.为了熟悉这类问题的快速、正确计算.可以看本题(C),(D)选项.因为X 与Y 独立时，有()()()D X Y D X D Y ±=+.所以，这两个选项的方差也可直接计算得到：22211222111(1)1()()n n n n D X Y D X X X n n n n nσσ++-+=+++=+ =222233σσn n n n n +=+，222222111)1()111()(σσnn n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =.222222σσn n n n n -=-所以本题选(A)三、解答题(15)【详解】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.方法1：因为函数()2l n f x x =在()2[,],a b e e ⊂上连续，且在(),a b 内可导，所以满足拉格朗日中值定理的条件，对函数()2ln f x x =在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()()()22222ln ln ln ln ,b a b a b a e a b e ξξξξ'-=-=- <<<<下证：22ln 4eξξ>.设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(ttt -='ϕ，当t e >时，1ln 1ln 0t e -<-=，即,0)(<'t ϕ所以)(t ϕ单调减少，又因为2e ξ<，所以)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln e e e =>ξξ，得22ln 4eξξ>故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法2：利用单调性，设x ex x 224ln )(-=ϕ，证()x ϕ在区间()2,e e 内严格单调增即可.24ln 2)(e x x x -='ϕ，(222222ln 444()20e e e e e eϕ'=-=-=，)2ln 12)(x x x -=''ϕ,当x e >时，1ln 1ln 0x e -<-=，,0)(<''x ϕ故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，2()()0x e ϕϕ''>=，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即a e a b e b 22224ln 4ln ->-，故)(4ln ln 222a b ea b ->-.方法3：设2224()ln ln ()x x a x a eϕ=---,则2ln 4()2x x x e ϕ'=-，21ln ()2x x x ϕ-''=,⇒x e >时,1ln 1ln 0x e -<-=，得()0x ϕ''<，⇒()x ϕ'在2(,)e e 上单调减少,从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=，⇒()x ϕ在2(,)e e 上单调增加.从而当2e a x b e <<≤<时,()()0x a ϕϕ>=.⇒()0b ϕ>，即2224ln ln ()b a b a e ->-.(16)【详解】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.方法1：由题设，飞机质量9000m kg =，着陆时的水平速度h k m v /7000=.从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ，速度为()v t ，则0)0(,)0(0==x v v .根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=.又dx dv v dt dx dx dv dt dv =⋅=.由以上两式得dv k m dx -=，积分得.)(C v kmt x +-=由于0)0(,)0(0==x v v ，所以0(0)0.mx v C k=-+=故得0v k m C =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时，).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.方法2：根据牛顿第二定律，得kv dtdvm-=,分离变量：dv k dt v m =-，两端积分得：1ln kv t C m=-+，通解：t mk C ev -=，代入初始条件00v vt ==，解得0v C =，故.)(0t mk ev t v -=飞机在跑道上滑行得距离相当于滑行到0v →，对应地t →+∞.于是由d x vdt =，有00() 1.05().k k t t mmmv mv x v t dt v edt e km kk+∞--+∞+∞===-==⎰⎰或由()0kt mdx v t v e dt-==，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→方法3：由kv dt dv m -=，dx v dt =，化为x 对t 的求导，得dt dxk dtx d m -=22,变形为022=+dtdxm k dt x d ，0(0)(0),(0)0v x v x '===其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故.21t m ke C C x -+=由2000000,kt m t t t t kC dxx v e v dt m-=======-=，得,021km v C C =-=于是).1()(0t m k e kmv t x --=当+∞→t 时，).(05.1)(0km k mv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km .(17)【详解】这是常规题，加、减曲面片高斯公式法，转换投影法，逐个投影法都可用.方法1：加、减曲面片高斯公式.取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdyzdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233133212223(1)x dydz y dzdx z dxdy I I ∑-++-=-⎰⎰由高斯公式：设空间闭区域Ω是由分段光滑的闭曲面∑所围成，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有P Q R Pdydz Qdzdx Rdxd y dv x y z ∑Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 这里3322,2,3(1)P x Q y R z = == -，2226,6,6P QR x y z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以2216()I x y z dvΩ=++⎰⎰⎰利用柱面坐标：c os sin ,01,02,x r y r r dv rdrd dz z z θθθπθ=⎧⎪= ≤≤ ≤≤ =⎨⎪=⎩，有：2216()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰=r dzr z dr d r )(620101022⎰⎰⎰-+πθ()()221221123200011212122r r z r r z dr rr r drππ--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰()13246011124346r r r π⎛⎫- ⎪=-⋅+- ⎪⎝⎭11226ππ=⋅=记D 为1∑在x oy 平面上的投影域(){}22,1D x y xy =+≤，则0z =，0d z =，又1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，从而：()13322223(1)301DI x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑=++-=--⎰⎰⎰⎰33Ddxdy π==⎰⎰(其中Ddxdy ⎰⎰为半径为1圆的面积，所以11Ddxdy ππ=⋅=⎰⎰)故1223.I I I πππ=-=-=-方法2：用转换投影法：若(),z z x y =，z 对,x y 具有一阶连续偏导数，则,z zdzdx dxdy dydz dxdy x y∂∂=-=-∂∂.曲面22221:1,(1),2,2z zz x y x y x y x y∂∂=--+≤=-=-∂∂∑，由转换投影公式332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy∑=++-⎰⎰332[2()2()3(1)]z zx y z dxdy x y∑∂∂=-+-+-∂∂⎰⎰44222[443(1)3]Dx y x y dxdy=++---⎰⎰利用极坐标变换：c os ,01,02,sin x r r dxdy rdrd y r θθπθθ=⎧ ≤≤ ≤≤ =⎨=⎩，所以214444220[4cos 4sin 3(1)3]I d r r r rdrπθθθ=++--⎰⎰215454530[4cos 4sin 3(2)]d r r r r drπθθθ=++-⎰⎰24404413(cos sin )6622d πθθθ=++-⎰()2222222004cos sin 2cos sin 6d d ππθθθθθθ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰2220412cos sin 26d πθθθπ⎡⎤=--⎣⎦⎰22220041cos sin 2263d d ππθθθθπ=--⎰⎰()20411cos 4236d ππθθπ=---⎰22004112cos 4sin 433624d πππππθθπθ=---=--⎰0ππ=--=-或244044(cos sin )66d πθθθ+⎰直接利用公式44220031cos sin 422d d πππθθθθ==⋅⋅⎰⎰及224444220cos 4cos 4sin sin d d d d ππππθθθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰则244044431(cos sin )24666422d ππθθθπ+=⋅⋅⋅⋅⋅=⎰所以，原式2πππ=-=-(18)【分析】利用零点定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.零点定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ=；单调性：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，如果在(),a b 内()0f x '>，那么函数()f x 在[],a b 上单调增加；比较审敛法：设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且n n u v ≤，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛.【证明】记()1nn f x x nx =+-，则()n f x 是连续函数，由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，对照连续函数的零点定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x 当0x >时，0)(1>+='-n nxx f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加,故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x 由01=-+nx x n与0>n x 知nn x x nn n 110<-=<，故当1>α时，函数y x α=单调增，所以αα)1(0n x n <<.而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.(19)【分析】根据极值点存在的充分条件：设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0x y f x y f x y = =，令000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C = = =，则(,)z f x y =在()00,x y 处是否取得极值的条件如下：(1)20A C B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值；(2)20A C B -<时没有极值；(3)20A C B -=时，可能有极值，也可能没有极值，需另外讨论.所以对照极值点存在的充分性定理，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点，接下来求函数二阶偏导，确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.求二元隐函数的极值与求二元显函数的极值的有关定理是一样，差异仅在于求驻点及极值的充分条件时，用到隐函数求偏导数.【详解】因为0182106222=+--+-z y z y xy x ，所以两边对x 求导：02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ，①两边对y 求导：0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x .②根据极值点存在的充分条件，令00zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得303100x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩，故⎩⎨⎧==.,3y z y x 将上式代入0182106222=+--+-z y z y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 对照极值点存在的充分条件，为判别两点是否为极值点，再①分别对,x y 求偏导数，②分别对,x y 求偏导数①式对x 求导：02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，②式对x 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--y x zz x z y z y x z y x z ①式对y 求导：,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z ②式对y 求导：02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，将⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz代入，于是61)3,3,9(22=∂∂=x z A ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=yx z B ，35)3,3,9(22=∂∂=yz C ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是(,)z x y 的极小值点，极小值为(9,3)3z =.类似地，将⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z x z 代入，于是22(9,3,3)16z A x ---∂==-∂，2(9,3,3)12zB x y---∂==∂∂，22(9,3,3)53z C y ---∂==-∂，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9,-3)是(,)z x y 的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-.(20)【详解】方法1：对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦1()(2,)i i i n ⨯-+= 行行111120000a a a B na a +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦对||B 是否为零进行讨论：当0a =时，()1r A n =<，由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是m n ⨯矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是()r A n <.故此方程组有非零解，把0a =代入原方程组，得其同解方程组为,021=+++n x x x ()*此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，得基础解系,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)12,3i i n ⨯-+= 行()(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ ，可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，由齐次方程组有非零解的判别定理,知方程组也有非零解，把2)1(+-=n n a 代入原方程组，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.方法2：计算方程组的系数行列式：11112222aa A n n n n a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦00011110002222000a a a n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵加法a E =+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111aE Q ∆ +，下面求矩阵Q 的特征值：11112222E Q n n n n λλλλ---------=---- 11112001(-)(2,3,,)00i i i n n λλλλλ-----⨯+=- 行行(1)1112()1000(2,3,,)000n n i i i n λλλ+----⨯+=列列1(1)2n n n λλ-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭则Q 的特征值2)1(,0,,0+n n ，由性质：若A x x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==，因此对任意多项式()f x ，()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.故，A 的特征值为(1),,,2n n a a a ++,由特征值的乘积等于矩阵行列式的值，得A 行列式.)2)1((1-++=n a n n a A 由齐次方程组有非零解的判别定理：设A 是n 阶矩阵，齐次方程组0Ax =有非零解的充要条件是0=A .可知，当0=A ，即0a =或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11112222A n n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1)(2,)i i i n ⨯-+= 行（行1111000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，.故方程组的同解方程组为,021=+++n x x x 此时，()1r A =，故方程组有1n r n -=-个自由未知量.选23,,,n x x x 为自由未知量，将他们的1n -组值(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1) 分别代入()*式，由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，11112100001a B n +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (1)1(2,3)i i n ⨯-+= 行(1)00022100001n n a n +⎡⎤+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即00002100001n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x 此时，()1r A n =-，故方程组有(1)1n r n n -=--=个自由未知量.选2x 为自由未量，取21x =，由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.(21)【详解】A 的特征多项式为12314315E A aλλλλ---=----2(2)021114315aλλλλ---⨯-+----行（）行1101(2)14315a λλλ------提出行公因数1101(1)2(2)03315a λλλ-⨯-+-----行行11012(2)033015a λλλ-+-----行行33(2)15a λλλ-=----(2)[(3)(5)3(1)]a λλλ=---++2(2)(8183).a λλλ=--++已知A 有一个二重特征值，有两种情况，(1)2=λ就是二重特征值，(2)若2=λ不是二重根，则28183a λλ-++是一个完全平方(1)若2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得2a =-.由E A λ-2(2)(8183(2))λλλ=--++⨯-2(2)(812)λλλ=--+2(2)(6)0λλ=--=求得A 的特征值为2,2,6,由1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1231(-1)2,000113000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行倍加到行行的倍加到行，知()21E A -=秩，故2=λ对应的线性无关的特征向量的个数为312n r -=-=，等于2=λ的重数.由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,从而A 可相似对角化.(2)若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得.32-=a 当32-=a 时，由E A λ-=22(2)(8183())3λλλ=--++⨯-2(2)(816)λλλ=--+2(2)(4)0λλ=--=知A 的特征值为2，4，4，由32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1133⨯+ 行行323103000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知()42E A -=秩，故4=λ对应的线性无关的特征向量有321n r -=-=,不等于4=λ的重数，则由矩阵与对角矩阵相似的充要条件：对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数,知A 不可相似对角化.(22)【分析】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.先确定(,)X Y 的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(,)X Y 的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I)由于1()()(|)12P AB P A P B A ==，所以,61)()()(==B A P AB P B P利用条件概率公式和事件间简单的运算关系，有121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ，,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-====21()()()3P A P B P AB =--+=(或32121611211}0,0{=---===Y X P )，故(,)X Y 的概率分布为Y X1032121161121(II),X Y 的概率分布分别为213{0}{0,1}{0,0},3124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{1,1}{1,0},6124P X P X Y P X Y ====+===+=111{1}{0,1}{1,1},12126P Y P X Y P X Y ====+===+=215{0}{0,0}{1,0}.366P Y P X Y P X Y ====+===+=所以,X Y 的概率分布为X 01Y 01P4341P6561由01-分布的数学期望和方差公式，则61,41==EY EX ，1334416DX =⨯=，1566DY =⨯536=,{}{}{}()00111,1E XY P XY P XY P X Y =⋅=+⋅====112=,故241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY (23)【分析】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.似然函数的定义：121()(,,,;)(;)nn ii L f x x x f x θθθ===∏ 【详解】X 的概率密度为11,,(;) 1.0,x f x xx βββ+⎧>⎪=⎨≤⎪⎩(I)矩估计.由数学期望的定义：1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx xx dx x x f EX ，用样本均值估计期望有E X X =，令X =-1ββ，解得1-=X Xβ，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β其中11nii X X n ==∑(II)最大似然估计.设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L in nni i ββββ当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，()L β与l n ()L β在相同的β点取得最大值；所以等式两边取自然对数，得1ln ()ln (1)ln ni i L n x βββ==-+∑，两边对β求导，得∑=-=n i i x nd L d 1ln )(ln βββ，令0)(l n =ββd L d ，可得∑==ni ixn1ln β，解得β的最大似然估计值为： 1ln nii nxβ==∑。

2004年考研数学试题详解及评分参考

(C) b ,a ,g . (D) b ,g ,a .
【答】应选 (B).
【解】由a ¢ = cos x2 , b ¢ = 2x tan x : 2x2, g ¢ = 1 sin( 2x
x )3
:
1 2
x
（
x
®
0+
），可见
lim b = lim b ¢ = 0 ， lim g = lim g ¢ = 0 ，即 b 比g 高阶，g 比 b 高阶. 故选 (B).
证明 ln 2 b - ln 2
a
>
4 e2
(b - a) .
证法１：设j(x)
=
ln2
x-
4 e2
x ，则j¢(x)
=
2
ln x x
-
4 e2
，j¢¢(x)
=
2
1
- ln x2
x
，
……5
分
所以当 x > e 时，j ¢¢(x) < 0, 故j ¢(x) 单调减少，
从而当 e < x < e2 时，j ¢(x) > j ¢(e2 ) =
xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx - xdy - 2 ydx = 3dxdy - 0 - 0 = 3p / 2 .
L+ L1 + L2
L1
L2
D
【解法二】
易见
L
的参数方程为
ïì x
í ïî
y
= =
2 cos t 2 sin t
，
(其中 t 从 0
到p 2
)，代入被积函数，有
p
p
ò ò ò xdy - 2 ydx = 2 (2 cos2 t + 4sin2 t)dt = 2 2 (1+ sin2 t)dt = 3p / 2 .

2004年考研数学一试题与答案解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x xf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ= (C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛. (19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分)设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2004年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.【详解】由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='，即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-， ][11122222222dt dydty d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=，代入原方程，整理得02322=++y dt dy dty d ，解此方程，得通解为 .221221x c x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dxy d ax =++，可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91. 【分析】可先用公式E A A A =*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有A B AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=e1 . 【分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.【详解】由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11eex=-∞+-λλ 【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0cos 2tan lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰x xx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx xx dtt dtt x x xx x tan 221sin lim tan sin lim lim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41xxx ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序.（8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ C ]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】由导数的定义，知0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ）若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n n n a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限形式，01limlim ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001，于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B TT=，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C). 【评注】本题αuα 21α-（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ] 【分析】本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-=.222222σσn n nn n -=- （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. 【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ，当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 【证法2】设x ex x 224ln )(-=ϕ，则24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a e a b e b 22224ln 4ln ->-，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm-=. 又 dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=，由以上两式得 dv kmdx -=，积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCev -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv ekmv dt t v x tm k==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dtdx -=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t mke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dt dxm k dtx d ，其特征方程为02=+λλm k ，解之得mk-==21,0λλ，故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dt dxv x t tm kt t t =-====-===，得 ,021kmv C C =-= 于是 ).1()(0t m ke k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km kmv t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意.（17）（本题满分12分）计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证】记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知n n x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.10000120002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→ n n n a n a B 可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an nnna aA. 当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ，故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A00002111122221111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ，故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为Tn ),,2,1( =η，于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A（21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.【分析】先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】（I ）由于121)()()(==A B P A P AB P ， ,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P)(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P （或32121611211}0,0{=---===Y X P ），故(X,Y)的概率分布为 YX 0 10 32 121 1 61 121 (II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121, 故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而 .1515),(=⋅=DY DX Y X Cov XY ρ 【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量；（II ） β的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ （I ）由于1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx x x dx x xf EX ，令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为.1ˆ-=X X β （II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=n i i x n d L d 1ln )(ln βββ，令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==n i ixn 1ln β，故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==n i iXnβ 【评注】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。

2004年考研数学一真题及解析

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9
（6）设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，则 P{X >
DX }=
1
.
e
【分析】已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计
算即可。
【详解】由题设，知 DX = 1 ，于是 λ2
∫ P{X >
DX }= P{X
n=1
∞
∑ (A)
若
lim
n→∞
na
n
=0，则级数
an 收敛.
n=1
∞
∑ （B）
若存在非零常数
λ
，使得
lim
n→∞
na
n
= λ ，则级数
an 发散.
n=1
∞
∑ (C) 若级数
an
收敛，则
lim
n→∞
n
2
a
n
=
0.
n=1
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个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有
⎡0 1 0⎤
⎡1 0 0⎤
A⎢⎢1
0
0⎥⎥ = B ， B ⎢⎢0
1
1
⎥ ⎥
=
C
，
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢ 0 0⎤ ⎡0 1 1⎤ A⎢⎢1 0 0⎥⎥⎢⎢0 1 1⎥⎥ = A⎢⎢1 0 0⎥⎥ = C.
⎢⎣0 0 1⎥⎦⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
可见，应选(D). 【评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初

2004考研数学一真题及答案解析(统编)

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）（1）曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为．【答案】1y x =- 【考点】导数的几何意义【难易度】★ 【详解】解析：由11)(ln =='='xx y ，得1x =, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .（2）已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()f x = ．【答案】21ln 2x 【考点】不定积分的换元法【难易度】★★ 【详解】解析：令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='，即 .ln )(xxx f =' 积分得2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰. 利用初始条件(1)0f =, 得0C =，故所求函数为()f x = 21ln 2x .（3）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分x y y x Ld 2d -⎰的值为．【答案】π23 【考点】第二类曲线积分的计算；格林公式【难易度】★★★ 【详解】解析：正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d （4）欧拉方程)0(02d d 4d d 222>=++x y xyx x y x 的通解为．【答案】221x C x C y+=，其中12,C C 为任意常数【考点】欧拉方程【难易度】★★ 【详解】解析：令te x =，则dtdy x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-，][11122222222dtdy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=，代入原方程，整理得02322=++y dt dydty d ，解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- （5）设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E ＝＋，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ．【答案】19【考点】抽象型行列式的计算；伴随矩阵【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2，而3=A ，于是有A B AB +=63，即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B 方法2：由题设条件**2ABA BA E =+ 得 *(2)A E B A E-=两边取行列式，得*21A E B A E -==其中 2101203001A ==， 312A A A -*===9 0102100001A E -==1故1192B A E A*==- （6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{}P X DX >= ．【答案】e1【考点】指数分布【难易度】★★ 【详解】解析：由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11ee x=-∞+-λλ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（7）把0x +→时的无穷小量t t t t t t xxx d sin ,d tan ,d cos 3022⎰⎰⎰===γβα排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）（A ）,,αβγ （B ）,,αγβ （C ）,,βαγ （D ）,,βγα 【答案】（B ）【考点】无穷小量的比较【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：0cos 2tan lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰xxx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项，又 xx x x dtt dtt x xxx x tan 221sin lim tan sin limlim 2300302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41x x x ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 方法2：221000cos cos lim limlim ,x kkk x x x t dt t x x kxα+++-→→→=⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取1k =，0lim 1x xα+→=，所以（当+→0x 时）α与x 同阶.2120000tan tan 22tan lim limlim lim ,x kkk k x x x x tdt x x xx x kx kx β++++--→→→→⋅==⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取3k =,有302lim 3x x β+→=，所以（当+→0x 时）β与3x 同阶. 31322120000sin sin lim lim lim lim ,22xk k k k x x x x t dtx x xx x kx kx γ++++---→→→→==⎰洛欲使上式极限存在但不为0，应取2k =,有201lim 4x x γ+→=，所以（当+→0x 时）γ与2x 同阶.因此，后面一个是前面一个的高阶小的次序是,,αγβ，选（B ）.（8）设函数()f x 连续，且(0)0f '>，则存在0δ>，使得（）（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加．（B ）()f x 在(,0)δ-内单调减少．（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >．（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >．【答案】（C ）【考点】函数极限的局部保号性；导数的概念【难易度】★★ 【详解】解析：由导数的定义，知,0)0()(lim)0(0>-='→xf x f f x根据极限的保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，()(0)f x f <; 而当),0(δ∈x 时，有()(0)f x f >. 故应选(C).（9）设n n a∑∞=1为正项级数，下列结论中正确的是（）（A ）若0lim =∞→n n na ，则级数n n a∑∞=1收敛．（B ）若存在非零常数λ ，使得λna nn =∞→lim ，则级数n n a ∑∞=1发散．（C ）若级数n n a∑∞=1收敛，则0lim 2=∞→n n a n ．（D ）若级数n n a∑∞=1发散，则存在非零常数λ ，使得λna n n =∞→lim ．【答案】（B ）【考点】比较审敛法的极限形式【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：排斥法：取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).方法2：证明(B)正确. lim n n na λ→∞=,即lim 1n n a nλ→∞=.因为11n n∞=∑发散，由比较判别法的极限形式知，1nn a∞=∑发散.（10）设()f x 为连续函数，1()d ()d t tyF t yf x x =⎰⎰,则(2)F '=（）（A ）2(2)f （B ）(2)f （C ）(2)f - （D ）0 【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B). 方法2：设()()x f x Φ=111()()[()()]()(1)()t t t tyF t dy f x dx t y dy t t y dy ==Φ-Φ=Φ--Φ⎰⎰⎰⎰()()(1)()()()(1),F t t t t t f t t ''=Φ-+Φ-Φ=- (2)(2)F f '=，选(B).（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（）（A ）010100101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．（B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010．（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010．（D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110．【答案】（D ）【考点】矩阵的初等变换【难易度】★★ 【详解】解析：由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010， 100010100011011100011100.001001001001B A A AQ ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故011100001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，应选(D). （12）设A ，B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵，则必有（）（A ） A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关．（B ） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关．（C ） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关．（D ） A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关．【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由0AB =知，n B r A r <+)()(，其中n 是矩阵A 的列数，也是B 的行数又,A B 为非零矩阵，必有()0,()0r A r B >>. 可见(),()r A n r B n <<, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法2：由0AB =知，B 的每一列均为0Ax =的解，而B 为非零矩阵，即0Ax =存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由0AB =知，O A B TT =，于是有T B 的列向量组线性相关，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A).方法3：设 (),i j l m A a ⨯=()i j m n B b ⨯=, 记 ()12m A A A A =0AB =⇒()11121212221212n n m m m mn b b b b b b A A A bb b ⎛⎫⎪⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭()1111110mmn m n m b A b A b A b A =++++=（1）由于0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由（1）知, 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++= , 于是 12,,,m A A A 线性相关.又记 12m B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则0AB =⇒11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++⎛⎫⎪+++ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭ 由于0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++= , 从而 12,,,m B B B 线性相关,故应选（A ）.（13）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数u α满足{}P X u αα>=．若{}P X x α<= ，则x 等于（）（A ）2u α．（B ）21α-u．（C ）21αu -．（D ）u 1-α ．【答案】（C ）【考点】标准正态分布；分位数的概念【难易度】★★★ 【详解】解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选（C ）. （14）设随机变量12,,,(1)n X X X n > 独立同分布，且其方差为20σ>．令i ni X n Y ∑==11，则（）（A ）n Y X 21),(Cov σ=．（B ）21),(Cov σ=Y X ．（C ）212)(σn n Y X D +=+．（D ）211)(σnn Y X D +=-．【答案】（A ）【考点】随机变量的方差的性质；协方差的性质【难易度】★★ 【详解】解析：先计算1(,)Cov X Y ，因为11ni i Y X n ==∑，故1111112111(,)(,)(,)(,)n ni i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n ====+∑∑=.1121σnDX n = 三、解答题（本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（15）（本题满分12分）设2e a b e <<<，证明 )(e 4ln ln 222a b a b ->-．【考点】拉格朗日中值定理；函数单调性的判别【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：对函数x 2ln 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t tt -='ϕ，当t e >时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法2：设x e x x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xx x -=''ϕ, 所以当x e >时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时， 044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ，即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b e b 22224ln 4ln ->-，故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 方法3：设2224()ln ln ()x x a x a e ϕ=---, 则 2ln 4()2x x x e ϕ'=-21l n ()2xx xϕ-''=,∴x e >时, ()0x ϕ''<()x ϕ'⇒ , 从而当2e x e <<时,22244()()0x e e eϕϕ''>=-=, 2e x e ⇒<<时, ()x ϕ单调增加.2e a b e ⇒<<<时, ()()0x a ϕϕ>=。

2004数一数三考研数学真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为.(2)已知x x xe e f -=')(,且(1)0f =,则()f x =.(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 .(5)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ,矩阵B 满足E BA ABA +=**2,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则=B ＿＿＿＿.(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A ) γβα,,.(B ) βγα,,.(C ) γαβ,,.(D ) αγβ,,.(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A ) ()f x 在(0,)δ内单调增加.(B ) ()f x 在)0,(δ-内单调减少.(C ) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >. (D ) 对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >.(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A ) 若lim n n na →∞=0,则级数∑∞=1n na收敛.(B ) 若存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞=,则级数∑∞=1n na发散.(C ) 若级数∑∞=1n na收敛,则2lim 0n n na →∞=.(D ) 若级数∑∞=1n na发散,则存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞=.(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A ) 2(2)f .(B ) (2)f .(C ) (2)f -.(D ) 0.(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为(A ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010.(B ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010.(C ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010.(D ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110.(12)设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有 (A ) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B ) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C ) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D ) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.(13)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的(01)αα<<,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于(A ) 2αu .(B ) 21αu-.(C ) 21αu -.(D ) αu -1.(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ令∑==ni i X n Y 11,则(A ) 21(,).Cov X Y nσ=(B ) 21),(σ=Y X Cov . (C ) 212)(σnn Y X D +=+.(D ) 211)(σnn Y X D +=-.三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分12分)设2e b a e <<<,证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注kg 表示千克,km/h 表示千米/小时.)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++= 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程01=-+nx x n,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.(19)(本题满分12分)设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令 1,0A X A ⎧=⎨⎩发生，，不发生；⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求:(I )二维随机变量(,)X Y 的概率分布;(II )X 与Y 的相关系数XY ρ.(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为11,1,(;)1,0,x F x x x ββ⎧>-⎪=⎨≤⎪⎩ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(I )β的矩估计量; (II )β的最大似然估计量.2004年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】即求曲线ln y x =上斜率为1的切线方程.解1'(ln )'1y x x=== 得1x =,因此所求切线方程为 1.y x =-(2)【分析】令ln '()xtt e f t t=⇒=⇒2111ln 1()(1)'()ln ln ln .2tt t s f t f f s ds ds sd s t s =+===⎰⎰⎰因此21()ln .2f x x =(3)【分析】已知L 的参数方程,,x t y t ==t 从0到2π.直接代入公式得原积分20)()]t t t t dt π=-⎰2220322sin 2.42dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰(4)【分析】求解欧拉方程的方法是:作自变量变换(ln )tx et x ==,将它化成常系数的情形:22(41)20d y dy y dt dt +-+=,即22320.d y dyy dt dt++= 相应的特征方程2320λλ++=,特征根121,2λλ=-=-,通解为212.t t y C e C e --=+因此,所求原方程的通解为122C C y x x =+,其中12,C C 为任意常数.(5)【分析】由于AA A A A E **==,易见3A =,用A 右乘矩阵方程的两端,有3363(2)32.AB B A A E B A A E B A =+⇒-=⇒-=又012101001A E -==-,故1.9B =(6)【分析】因X 服从参数为λ的指数分布,所以有21,{}(0)x DX P X x e x λλ-=>=>,111{{}P X P x ee λλ-⋅->=>==.二、选择题(7)【分析】分别求出,,αβγ关于x 的阶数较为方便.由洛必达法则α⇒是xβ⇒是x 的3阶无穷小.由洛必达法则γ⇒是x 的2阶无穷小.因此,应选(B ).(8)【分析】由导数定义知0()(0)(0)lim0.x f x f f x→-'=>再由极限的不等式性质⇒∃0>δ,当0x ≠,(,)x δδ∈-时,()(0)0.f x f x->⇒当),0(δ∈x ((,0))x δ∈-时,()(0)0(0).f x f -><因此应选(C ).(9)【分析】这实质上是正项级数∑∞=1n na的敛散性与无穷小n a 的阶的关系问题.结论(B )中,lim n n na λ→+∞=,即lim 0nn a nλ→+∞=≠,亦即n a 与1n 同阶,故∑∞=1n n a 发散.应选(B ).(10)【分析】转化为可用变限积分求导公式的情形.1()()t ty F t f x dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰1111111()()()(1)(),t t ty t ty f x dx dy f x dx dyf x dx dy t f x dx ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11'()()()(1)()(1)(),'(2)(2).ttF t f x dx f x dx t f t t f t F f =++-=-=⎰⎰应选(B ).(11)【分析】按题意,用初等矩阵描述,有010100,001A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100011,001B C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即010*********.001001A C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦从而010100011100011100.001001001Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以应选(D ).(12)【分析】若设(1,0),(0,1),TA B ==显然AB O =.但矩阵A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关;矩阵B 的行向量组线性相关,列向量组线性无关.由此就可断言选项(A )正确.(13)【分析】由于(0,1)X N :,故对任何正数0λ>,有1{}{}{}2P X P X P X λλλ>=<-=>. 若αx X P =<}|{|,则因01α<<,必有0x >且1111{}{}{}(1{}).2222P X x P X x P X x P X x α->=>=≥=-<= 由此可见12x u α-=.故应选(C ).(14)【分析】因12,,,n X X X L独立同分布且他们共同的方差为20σ>,因此有2222111,,(,)().0,,n n ni j i i i i i i i i i j Cov X X D a X a DX a i j σσ===⎧====⎨≠⎩∑∑∑对于(A ), 21111111111(,)(,)(,)(,),n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n nσ======∑∑应选(A ). 有省略三、解答题(15)【分析与证明】即证222ln ln 4,()b a b a e->-这是适用于用拉格朗日中值定理的形式.令2()ln f x x =,在[,]a b 上用拉格朗日中值定理得22()()ln ln ln '()2,f b f a b a f b a b a ξξξ--===--其中2(,)(,).a b e eξ∈⊂注意ln (),x x x ϕ=则21ln '()0().xx x e x ϕ-=<> ()x ϕ⇒在(,)e +∞单调下降2222ln ln 2()().e e e e ξϕξϕξ⇒=>==因此,222ln ln 4.()b a b a e->-(16)【分析】从飞机接触跑到开始时(0)t =,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()'().v t x t =按题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0(0)'(0)700/,v x v km h t ===时刻所受的阻力为()kv t -,于是按牛顿第二定律得.dvmkv dt=-初始条件0(0).v v = 【解】求出()x x v =,再求0v x =.由于,dv dv dx vdx dt dx dtdv==于是微分方程可改写成,vmkv dx dv=-即.dx m dv k =- 相应的初值00.v v x==易求得此初值问题的解为0().mx v v k=-- 令0v =得飞机滑行的最长距离为01.05().mv x km k==(17)【分析与求解】直接把第二类曲面积分化为二重积分.S 的方程为221z xy =--(0)z ≥,它在xy 平面上的投影区域为22: 1.D xy +≤又''2,2,x y z x z y =-=-代公式得3'3'222[2()2()3((1)1)]x y DI x z y z x y dxdy =+-+-+---⎰⎰44442222422222[443(222)]86()3(),DDDDx y x y x y x y dxdyx dxdy x y dxdy x y dxdy =+++--+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,44.DDx dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰作极坐标变换得122121543508cos 63I r dr d d r dr d r dr πππθθθθ=⋅-⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2404431cos 343.33422d ππθθπππππ⋅=-+=⋅⋅⋅-+=-⋅⎰(18)【分析与证明】先证正根n x 的存在唯一性并估计n x .令()1(0)n n f x x nx x =+->,则1'()0(0).n n f x nx n x -=+>>()n f x ⇒在[0,)+∞单调上升.又11(0)10,()()0,n n n f f n n=-<=>则由连续函数的零点存在定理知,存在1(0,),()0.n n n x f x n∈=由于()n f x 在[0,)+∞单调上升,故()0n f x =在[0,)+∞存在唯一正根n x .由于有了n x 估计式110,0().n nx x n nαα<<⇒<<因1>α,11()n n α∞=∑收敛,由比较原理知∑∞=1n n x α收敛.(19)【分析与求解】先求),(y x z z =的驻点,这是隐函数求导问题.将方程两边分别对,x y 求导得26220,6202220.z z z zx y yz x y z y z x x y y∂∂∂∂---=-+---=∂∂∂∂ 由0,0,zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3,.x y z y =⎧⎨=⎩反之亦然(只要0z y ==).代入原方程得 22222918102180, 3.yy y y y y -+--+=⇒=±因此得驻点 (9,3),(9,3)--,相应的函数值为3, 3.-为判断驻点是否是极大(小)值点,需求驻点处的二阶偏导数.将下面两个方程30,3100,z z z zx y yz x y z y z x x y y∂∂∂∂---=-+---=∂∂∂∂ 分别对求,x y 导得2222222222221()0,30,10()0.z z zy z x x x z z z z z y z x x y y x x y z z z z z y z y y y y y∂∂∂---=∂∂∂∂∂∂∂∂----⋅-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂在驻点(9,3)处222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)22115,,,623z z zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂ ⇒210,0.36AC B A -=>> 按极值的充分判别法知,点(9,3)是),(y x z z =的极小值点,极小值为(9,3) 3.z =类似地可以算出,在驻点(9,3)--处222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)22115,,,623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂⇒210,0.36AC B A -=>< ⇒点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点,极大值为(9,3) 3.z --=-(20)【分析】确定参数,使包含n 个未知量和n 个方程的齐次线性方程组有非零解,通常用两个方法:一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形;再就是由其系数行列式为零解出参数值.本题的关键是参数a 有两个值,对每个值都要讨论.【解】设齐次方程组的系数矩阵为A ,则11[(1)].2n A a n n a -=++那么,0Ax =有非零解00A a ⇔=⇔=或1(1).2a n n =-+当0a =时,对系数矩阵A 作初等变换,有1111111122220000,0000A nn n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L L L M M M M M M M M LL故方程组的同解方程组为 120,n x x x +++=L 由此得基础解系为121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1).T T T n ηηη-=-=-=-L L L L于是方程组的通解为1111n n x k k ηη--=++L ,其中11,,n k k -L 为任意常数.当1(1)2a n n =-+时,对系数矩阵作初等行变换,有 11111111222220000aa a a a A n n n n a na a ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L LL L M M M M M M M M L L1111000021002100.001001a n n+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦LL L L M M M M M M M M LL故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩L L 由此得基础解系为(1,2,,),Tn η=L于是方程组的通解为,x k η=其中k 为任意常数.(21)【解】A 的特征多项式为2123220143143151511010(2)143(2)13315115(2)(8183),a aaa a λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=--------=--=---------=--++(I )若2λ=是特征方程的二重根,则有22161830,a -++=解得 2.a =-当2a =-时,A 的特征值为2,2,6,矩阵1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个,从而A 可相似对角化.(II )若2λ=不是特征方程的二重根,则28183a λλ-++为完全平方,从而18316a +=,解得2.3a =-当23a =-时,A 的特征值为2,4,4,矩阵32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A 不可相似对角化.(22)【解】此题解答与原书略有不同,参考2004数三22题(I )易见(,)X Y 的全部可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),并且各相应概率分别为1{1,1}()()(),121{1,0}()()(),6(){0,1}()()()()()P X Y P AB P A P B A P X Y P AB P A P AB P AB P X Y P AB P B P AB P AB P A B =========-=====-=-111,61212=-=312{0,0}()()(),4123P X Y P AB P A P AB ====-=-= 或 2{0,0}()1()()(),3P X Y P AB P AB P AB P AB ====---=或2{0,0}()1()()().3P X Y P AB P A P B P AB ====--+=即(,)X Y 的概率分布为(II )从(I )所求出(,)X Y 的概率分布容易得出随机变量X 与Y 分别服从参数为14与16的01-分布. 1315,,,,4166361(){1,1}(),121(,)().24EX DX EY DY E XY P X Y P AB Cov X Y E XY EXEY ==========-=因此X 与Y 的相关系数为XY ρ==(23)【解】X 的概率密度为1,1(;)01x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，，.(I )11(;),1EX x f x dx xdx xββββμβ+∞+∞+-∞===-⎰⎰@解出被估计参数β与X 的期望μ之间的关系为1μβμ=-.因此β的矩估计量为µ1X X β=-,其中11n i i X X n ==∑.(II )对于总体X 的样本值12,,,n x x x L,似然函数为112,1()(,,,)0ni n x L x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪⎩L ，，其他.1,2,,.i n =L当1ix >(1,2,,)i n =L 时,()0L β>,取对数得1ln ()ln (1)ln ,ni i L n x βββ==-+∑对β求导数,得1ln ()ln ,ni i d L n x d βββ==-∑令ln ()0d L d ββ=,解得1ln nii nxβ==∑,因此参数β的最大似然估计量为1ln nii nxβ∧==∑.。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y .【评注】本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ，即 1-=x y . （2）已知xxxe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='，即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd y d x x d y L]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2004考研数学一真题及答案解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩LLL L L L L LL试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121Λ>β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2004—数一真题、标准答案及解析

3AB = 6B + A ，即 (3A − 6E)B = A ，
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再两边取行列式，有 3A − 6E B = A = 3 ，而 3A − 6E = 27 ，故所求行列式为 B = 1 .
4
3
2
X
=
⎧1, ⎩⎨0,
A发生, A不发生;
Y
=
⎧1, B发生, ⎩⎨0, B不发生.
求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；
（II）X 和 Y 的相关系数 ρ XY .
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∑ Y
=
1 n
n i =1
Xi
，则
(A)
Cov(
X1,Y )
=
σ2 n
.
(B) Cov( X1,Y ) = σ 2 .
(C)
D( X 1
+Y)
=
n
+ n
2σ
2.
（15）（本题满分 12 分）
(D)
D( X 1
−Y)
=
n +1σ n
2
.
[]
设e <
a
<b<
e2 ,
证明 ln 2 b − ln 2
a
>
4 e2
⎧x = 2 cosθ ,
⎨ ⎩y =
2 sinθ ,
θ :0→π . 2
π
∫ ∫ 于是 xdy − 2 ydx = 2 [ 2 cosθ ⋅ 2 cosθ + 2 2 sinθ ⋅ 2 sinθ ]dθ
L