高中数学第一章三角函数15正弦函数的性质与图像152正弦函数的性质备课素材北师大版4.
正弦函数的图象和性质教案
第一章：正弦函数的定义与基本概念1.1 引入正弦函数讲解正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是角的对边与斜边的比值。
强调正弦函数的单位：弧度制。
1.2 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数周期为2π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
1.3 举例说明正弦函数的应用利用正弦函数计算角度对应的弧度值。
应用正弦函数解决实际问题，如测量角度等。
第二章：正弦函数的图象2.1 绘制正弦函数的基本图象利用计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图象。
观察并描述正弦函数的波形特点，如波动、振幅、周期等。
2.2 分析正弦函数图象的性质周期性：正弦函数图象每隔2π重复一次。
奇偶性：正弦函数图象关于原点对称。
振幅：正弦函数图象的最大值为1，最小值为-1。
2.3 绘制正弦函数的相位图利用计算器或绘图软件，绘制不同相位角的正弦函数图象。
分析相位对正弦函数图象的影响。
3.1 分析正弦函数的单调性证明正弦函数在区间[0, π]上单调递增。
证明正弦函数在区间[π, 2π]上单调递减。
3.2 研究正弦函数的极值求解正弦函数的极大值和极小值。
分析极值出现的条件。
3.3 探讨正弦函数的奇偶性证明正弦函数是奇函数。
探讨正弦函数的偶函数性质。
第四章：正弦函数的应用4.1 正弦函数在物理中的应用介绍正弦函数在振动、波动等物理现象中的应用。
举例说明正弦函数在电磁学中的应用。
4.2 正弦函数在工程中的应用探讨正弦函数在信号处理、通信工程等领域的应用。
举例说明正弦函数在声学、光学等工程领域的应用。
4.3 正弦函数在其他领域的应用介绍正弦函数在音乐、艺术等领域的应用。
探讨正弦函数在其他科学领域的应用。
第五章：正弦函数的综合应用5.1 求解正弦函数的方程求解方程sin(x) = a，其中a为给定的数值。
介绍解正弦方程的方法和技巧。
5.2 利用正弦函数解决实际问题举例说明利用正弦函数解决测量、导航等实际问题。
介绍正弦函数在数据分析、图像处理等领域的应用。
高中数学 第一章 三角函数 1.5.1-2 从单位圆看正弦函数的性质 正弦函数的图像课件 北师大版
[变式训练]
3．(1)函数 y＝2sin x 与函数 y＝x 的图像的交点有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
(2)研究方程 10sin x＝x(x∈R)根的个数．
解析： (1)在同一直角坐标系中作出函数 y＝2sin x
பைடு நூலகம்
与 y＝x 的图像，由图像可以看出有 3 个交点．
(2)如图所示，当 x≥4π 时，1x0≥41π0＞1≥sin x；当 x＝52π 时，sin x＝sin 52π＝1， 1x0＝52π0，1＞52π0，从而 x＞0 时，有 3 个交点，由对称性知 x＜0 时，有 3 个交点， 加上 x＝0 时的交点为原点，共有 7 个交点．即方程有 7 个根．
[名师指津]
用“五点法”作正弦曲线应注意的问题
(1)弄清五个关键点的意义．
平衡点 最高点 平衡点 最低点
平衡点
0，0 ―→ π2，1 ―→ π，0 ―→ 32π，－1 ―→ 2π，0
其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置．
最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置．
(2)明确正弦曲线的结构特征．
【规律方法】 作形如函数 y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的图像的步骤
[变式训练]
1．试用“五点法”画出 y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的简图．
解析： 按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x 0 1 0 －1 0
描点连线：
1＋2sin x 1 3 1 －1 1
题型二 利用正弦函数的图像求函数的定义域 求函数 f(x)＝lg(sin x)＋ 16－x2的定义域． 【思路探究】 画出函数 y＝sin x 的图像，由 sin x＞0 的 x 的范围与 16－x2≥0 的 x 的范围取 交集，即为定义域．
演示文稿高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质课件北师大版必修4201802234153
周期性 是周期函数，周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性 对称轴
在区间_[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是增加的； 在区间_[_π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是减少的
从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
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解答
反思与感悟
(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区
间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin( ±βπ2)后，再依据单调性来进行
∴f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈[π6，56π]的值域为[1，72].
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解答
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当堂训练
1.函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是
A.－π2，π2
B.[－π，0]
C.－23π，23π
√D.π2，23π
解析 由π2≤x＋π6≤32π， 解得π3≤x≤43π.故选 D.
思考1
对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？
答案 奇偶性.
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答案
思考2
正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
答案 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有： 当且仅当 x＝π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝－π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1.
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.1正弦函数的图像教案数学教案
1.5.1 正弦函数的图像整体设计教学分析研究函数的性质常常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.三维目标1.通过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.重点难点教学重点:正弦函数的图像.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么?是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.有了上述实验,你对正弦函数的图像是否有了一个直观的印象?画函数的图像,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢?问题②:如何得到y=sinx,x∈R 时的图像?活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R 时的图像了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细,画出的图像越精确.”),再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z 且k≠0上的图像与函数y=sinx 在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y =sinx,x∈［0,2π］的图像.②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法.你认为哪些点是关键性的点?活动:对此问题,教师可引导学生从图像的整体入手观察正弦函数的图像,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.讨论结果:略.应用示例例1 用五点法画出下列函数在区间［0,2π］上的简图:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活动:本例的目的是让学生会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图像的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.解:(1)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3).图3(2)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.例2 画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图像并思考|sinx|的意义,发现只要将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图像.让学生尝试寻找在［0,π］上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三π,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立个:(0,0),(2操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.解:按三个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.变式训练x的根的个数为1.方程sinx=10( )A.7B.8C.9D.10解析:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=10x 的图像与y=sinx 的图像的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图像.如图6,从图中可看出,两个图像有7个交点.图6答案:A2.用五点法作函数y=2sin2x 的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是( ) A.0,2π,π,23π,2π B.0,4π,2π,43π,πC .0,π,2π,3π,4π D.0,6π,3π,2π,32π答案:B知能训练课本本节练习1.课堂小结以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图像上点坐标的?2.为什么将单位圆圆周12等分?有什么好处?3.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的?这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法之外,“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业课本习题1—5 A组1、2.设计感想1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图像的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地突破难点.2.本节课所画的图像较多,能迅速准确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要准确地找到,然后迅速画出图像.3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题.备课资料一、备用习题1.用“五点法”画出下列函数的图像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;1+sinx,x∈［0,2π］.(2)y=22.如图7中的曲线对应的函数解析式是( )图7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|参考答案:1.解:按五个关键点列表如下:在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.(1)如图8.(2)如图9.图8 图92.C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数 t,t∈［0,24)来近似地描d=5+2.5sin6述这个港口这一天的水深d与时间t的关系,并画出简图(如图10).图10由此图或利用科学计算器,可以得到t取其他整数时d的近似值,从而把上表细化.(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据 5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.。
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.2正弦函数的性质教案北师大版必修420170
正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像 观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最 大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念; 能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展 运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发 学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性 质的思想方法. 教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解. 课时安排 1 课时
结合正弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［- +2kπ, +2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到 1;在
2
2
每一个闭区间［ +2kπ, 3 +2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.
2
2
对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点 O 对称.在 R 上,y=sinx为奇函数.教师要
1
图1
活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继
续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质课后导练北师大版必修基础达标1.sin600°的值是（）A. B.- C. D.解析：利用诱导公式2kπ+α，将sin600°化为sin(600°-2×360°).sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=.答案：D2.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（）A. B. C.± D.0解析:化简已知和结论，易找出条件和结论的关系.由sin（π-α）=，知sinα=，而sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）=sin（π+α）=-sinα.∴sin(-5π+α)=.答案：B3.角α终边有一点P（t,t）(t≠0),则sinα的值是（）A. B. C.± D.1解析：因P（t,t）,∴P在第一或第三象限的角平分线上，∴sinα=±.答案：C4.函数y=的定义域是（）A.［kπ-,kπ+］，(k∈Z)B.［2kπ+,2kπ+π］，(k∈Z)C.［kπ+,(k+1)π］，(k∈Z)D.［2kπ,2kπ+π］，(k∈Z)解析：由sinx≥0知2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z).答案：D5.y=属于（）A.{1，-1}B.{1}C.{-1}D.{1，0，-1}解析：当sinx＞0时，y=1;当sinx＜0时，y=-1,故y∈{-1,1}.答案：A6.已知角θ的终边落在y=2x上，则sinα=_________.解析：取y=2x上的点（1，2），则r=,∴sinα=,同理取点（-1,-2），得sinα=.答案：±7.若x∈［-π，π］，且sinx=，则x等于…（）A.或B.-或C.或D.或-解析:考虑到是特殊值，因此角x必为特殊角，可先确定出符合条件的最小正角.由于sinx=，所以x的终边落在第三或第四象限.在［-π，π］内，只有-和.答案：D8.设sinx=t-3，则t的取值范围是（）A.RB.（2，4）C.（-2，2）D.［2，4］解析：当x∈R时,-1≤sinx≤1,∴-1≤t-3≤1,∴2≤t≤4.答案：D9.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=xsin(π+x)；(2)f(x)=.解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称.f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)∴f(x)是偶函数.(2)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+,(k∈Z),函数定义域是不关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.10.求下列函数的周期.(1)y=sinx；(2)y=2sin().解析：(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数，且周期为2π.∴sin(x+2π)=sinx,即sin［(x+4π)］=sinx,∴sin12x的周期4π.(2)∵2sin(+2π)=2sin(),即2sin［(x+6π)-］=2sin(),∴2sin()的周期是6π.综合运用11.若sinx＞，则x满足（）A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°B.60°＜x＜120°C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°解析:可借助于单位圆中的正弦线或三角函数图象来解决.画出单位圆或正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°.答案：A12.下列函数中，周期为π、图象关于直线x=对称的函数是（）A.y=2sin(+)B.y=2sin(-)C.y=sin(2x+)D.y=sin(2x-)解析:sin(ωx+φ)的周期是，对称轴方程是ωx+φ=kπ+(k∈Z),由周期为π,排除A、B.将x=代入2x+得,将x=代入2x-得，故选D.答案：D13.用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）A.0，，π，，2πB.0，，，，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，，，，解析：先写出y=sinx五点的横坐标.0，π,,2π.当2x=0时，x=0;当2x=时，x=;当2x=π时，x=;当2x=时，x=;当2x=2π时，x=π,故选B.答案：B14.y=|sinx|+sinx的值域是________.解析：当sinx≥0时，y=2sinx,这时0≤y≤2;当sinx＜0时，y=0,∴函数的值域是［0，2］.答案：［0,2］15.以一年为一个周期调查某商品出厂价及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在9元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知3月份价格最高为10元，7月份价格最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大，并说明理由.解析：由条件得：出厂价格函数是y1=2sin(x-)+6；销售价格函数为y2=sin(x-)+9.则利润函数为y=m(y2-y1).=m［sin(x-)+9-2sin(x-)-6］=m［3-sin(x-)］.所以当x=7时,y=4m.所以7月份赢利最大.拓展探究16.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如右图，若烟筒的直径为12 cm，最短母线为6 cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料？解析：如下图（2）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD 是此圆的直径.又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=.又设AB=y，在Rt△BOE 中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如下图（4）.因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如下图（5）.。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案第一章：引言1.1 三角函数的概念复习三角函数的定义和基本概念，如正弦、余弦、正切等。
引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。
1.2 三角函数的图像复习三角函数的图像特点，如正弦函数的波浪形状、余弦函数的波动形状等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
第二章：正弦函数的图像与性质2.1 正弦函数的图像复习正弦函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
2.2 正弦函数的性质复习正弦函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第三章：余弦函数的图像与性质3.1 余弦函数的图像复习余弦函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
3.2 余弦函数的性质复习余弦函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第四章：正切函数的图像与性质4.1 正切函数的图像复习正切函数的图像特点，如周期性、振幅等。
引导学生理解图像的平移、伸缩等变换。
4.2 正切函数的性质复习正切函数的性质，如单调性、奇偶性等。
引导学生理解函数的极值和拐点。
第五章：三角函数的图像与性质的综合应用5.1 三角函数的图像与性质的综合应用引导学生理解三角函数图像与性质之间的关系，如周期性、奇偶性等。
举例讲解如何利用三角函数的图像与性质解决实际问题。
第六章：三角函数图像的变换6.1 图像的平移讲解如何通过平移变换得到不同三角函数的图像。
引导学生理解平移的方向和距离对图像的影响。
6.2 图像的伸缩讲解如何通过伸缩变换得到不同三角函数的图像。
引导学生理解伸缩的比例和对称性对图像的影响。
第七章：三角函数的周期性和对称性7.1 周期性复习三角函数的周期性，包括基本周期和周期函数的性质。
引导学生理解周期性在图像上的表现。
7.2 对称性复习三角函数的对称性，包括奇偶性和对称轴。
引导学生理解对称性在图像上的表现。
第八章：三角函数的极值和拐点8.1 极值讲解如何确定三角函数的极大值和极小值。
高中数学三角函数图像的性质及变换规律
高中数学三角函数图像的性质及变换规律三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质及变换规律是我们学习和应用三角函数的基础。
在本文中，我将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质，并讨论它们的平移、伸缩和翻转变换规律。
一、正弦函数的图像性质及变换规律正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π，振幅为1。
正弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 0)，称为正弦函数的零点。
正弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程sin(x) = 0.5在区间[0, 2π]内的解。
首先，我们可以通过观察正弦函数的图像，知道sin(x) = 0.5有两个解，一个在第一象限，一个在第二象限。
我们可以通过求解sin(x) = 0.5的解析解来验证这一点。
sin(x) = 0.5的解析解为x = π/6 + 2πn和x = 5π/6 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足sin(x) = 0.5的解为x = π/6和x = 5π/6。
这个例子说明了正弦函数的图像性质，以及如何通过观察图像来快速得到方程的解。
二、余弦函数的图像性质及变换规律余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，它的周期也是2π，振幅为1。
余弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 1)，称为余弦函数的最大值点。
余弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程cos(x) = -0.5在区间[0, 2π]内的解。
根据余弦函数的图像性质，我们可以知道cos(x) = -0.5有两个解，一个在第二象限，一个在第三象限。
我们可以通过求解cos(x) = -0.5的解析解来验证这一点。
cos(x) = -0.5的解析解为x = 2π/3 + 2πn和x = 4π/3 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足cos(x) = -0.5的解为x = 2π/3和x = 4π/3。
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。
它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。
本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。
正弦函数的周期由2π决定。
2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。
余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。
余弦函数的周期同样由2π决定。
2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。
因此，正切函数没有固定的周期。
2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。
这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。
感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。
综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。
它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。
通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。
希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。
三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt
波形
正弦函数的图像呈现出典 型的波形，即一个连续的 、重复的曲线。
图像的周期性与振幅
周期性
正弦函数的周期性意味着我们可以使用一个常数（通常称为相位偏移量）来移动 函数的图像，而不改变其形状或特性。这个常数被称为相位偏移量，通常用希腊 字母表示。
振幅
正弦函数的振幅是指函数值可以变化的范围。振幅的大小可以用数学公式表示， 也可以在图像上直观地看到。
要点二
控制系统
正弦函数经常用于分析和设计控制系统，如反馈控制系 统和自动控制系统。在控制工程中，正弦函数被用于描 述和建模系统的动态行为。
在数学与其他领域中的应用
微积分
正弦函数是微积分中重要的函数之一。它在求解微分方 程、最优控制和最优化问题等数学问题中具有广泛的应 用。
统计学
正弦函数在统计学中也有应用，如在描述正态分布的尾 部概率密度函数时。此外，正弦函数还被用于信号处理 和图像处理等领域。
图像的极值与零点
极值
正弦函数在某些点上达到最大或最小值。这些点称为极值点 。在图像上，极值点通常表现为曲线向上或向下突然转折的 点。
零点
正弦函数在某些点上为零。这些点称为零点。在图像上，零 点通常表现为水平线段，即函数值为零的点。
03
正弦函数的性质
函数的单调性
递增区间
正弦函数在$\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi\rbrack(k \in \mathbf{Z})$上单调 递增。
正弦函数与反正弦函数的关系
反正弦函数（asin）是正弦函数的反函数。 它的定义域和值域与正弦函数相反。
反正弦函数和正弦函数在图像上呈现对称性 ，且具有相同的频率但相位不同。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
它们在数学和物理学等领域中具有重要的应用和性质。
本文将讨论三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，由于其周期性的特点，在图像上呈现出波浪形状。
在单位圆上，正弦函数的图像可以用来表示角度和弧度的关系。
正弦函数的图像可以通过以下步骤绘制出来：1. 将横轴分成一定的单位，例如每个单位代表30°或π/6。
2. 在每个单位上确定正弦函数的值，即纵坐标的位置。
3. 将所有的点依次连接起来，得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的一个周期是360°或2π。
在一个周期中，正弦函数的值从最小值到最大值再返回最小值。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。
即f(x) = -f(-x)。
3. 幅值：正弦函数的幅值为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：正弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过零点。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，其图像也呈现出波浪形状，但与正弦函数有一定的相位差。
余弦函数在数学中的应用广泛，例如表示交流电信号的变化。
余弦函数的图像可以通过类似于正弦函数的步骤绘制出来。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的一个周期也是360°或2π。
在一个周期中，余弦函数的值从最大值到最小值再返回最大值。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
即f(x) = f(-x)。
3. 幅值：余弦函数的幅值也为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：余弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过最大值。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中最特殊的一个，其图像呈现出一系列的尖峰和波谷。
正切函数在解决直角三角形问题时经常使用，也在物理学中广泛应用。
新教材高中数学 正弦函数余弦函数的图象与性质再认识 余弦函数的图象与性质再认识课件北师大版必修第二册
理,数新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识 知识点1 余弦函数的图象
(1)要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，可以通过描出 _(_0_,1_)_，__π2_，__0__，__(_π_，__－__1_)，___32_π_，__0_，__(_2_π_，__1_)__五个关键点，再用光滑曲 线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 定义域为R，f(－x)＝2＋sinco－s－xx＝2－＋scionsxx＝－f(x)，则f(x)
是奇函数．
4．当x＝____(_2_k_＋__1_)π_(_k_∈__Z_)_____时，y＝2－
1 2
cos
x取得最大值
【对点练习】❷ (1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论
正确的是 A．sin α<sin β
B．cos α<sin β
(B)
C．cos α<cos β
D．cos α>cos β
5 ____2___.当x＝_____2_kπ__(k_∈__Z_)_____时，y＝2－12cos
3 x取得最小值____2___.
[解析] ∵－1≤cos x≤1， ∴－12≤－12cos x≤12，32≤2－12cos x≤52. ∴当cos x＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，函数取最小值32； 当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取最大值52.
(2)cos158π＝cos2π－π8＝cosπ8，
cos149π＝cos2π－49π＝cos49π.
高中数学第一章三角函数15正弦函数的性质与图像152正弦函数的性质备课素材北师大版4!
正弦函数的性质备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容, 但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998 年 4 月 21 日 , 国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容, 其中的调整意见第(7) 条为 : “对三角函数中的和差化积、积化和差的8 个公式 , 不要求记忆” .1998 年全国高考数学卷中 , 已尽可能减少了这8 个公式的出现次数 , 在仅有的一次应用中, 还将公式印在试卷上 , 以供查阅 . 而当时调整意见尚未生效 ( 应在 1999 年生效 ), 这不能不说对和积互化的8 个公式的要求是大大降低了. 但是 , 如果认为这次调整的仅仅是8 个公式 , 仅仅是降低了对 8 公式的要求 , 那就太表面、太肤浅了 .我们知道 , 三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一, 相当部分的三角题都是围绕它们而设计的 , 它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力. 现在要求降低了 , 有关的题目已不再适合作为例( 习 ) 题选用了 . 这样一来 , 三角部分还要我们教些什么呢? 又该怎样教 ?立刻成了部分教师心头的一大困惑. 有鉴于此 , 我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系 , 理清新的教学思路, 以便真正落实这次调整的意见, 实现“三个有利于 ( 有利于减轻学生过重的课业负担, 有利于深化普通高中的课程改革, 有利于稳定普通高中的教育教学秩序 ) ”的既定目标 .1. 是“三角”还是“函数”应当说 , 三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的. 三角本是几何学的衍生物, 起始于古希腊的希帕克, 经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科 , 历史上的很长一段时期, 只有《三角学》盛行于世, 却无“三角函数”之名 . “三角函数”概念的出现, 自然是在有了函数概念之后, 从时间上看距今不过 300 余年 . 但是 , 此概念一经引入 , 立刻极大地改变了三角学的面貌, 特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作 , 致使三角函数可以完全独立于三角形之外, 而成为分析学的一个分支, 其中的角也不限于正角 , 而是任意实数了 . 有的学者甚至认为可将它更名为角函数, 这是有见地的 , 所以 , 作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在 . 现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局 , 将三角并入了代数内容 . 这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看, 在相当长的历史时期内 , “式与方程”一直是它的核心内容, 那时的教材都是围绕着它们展开的. 所以 , 书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍 , 所在皆是 . 这是由当时的数学认知水平决定的. 而现在 , 函数已取代了式与方程成为代数的核心内容, 比起运算技巧和变形套路来 , 人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时, 首要强调的是“形式演算能力” ,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”. 现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用, 对这三种代数式的变形却轻描淡写 . 所以 , 三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的, 这也是国际上普遍认可的观点 .2. 是“图像”还是“变换”现行高中三角函数部分 , 单列了一章专讲三角函数 , 这是与数学发展的潮流相一致的 . 大多数师生头脑中反映出来的 , 还是“众多的公式 , 纷繁的变换” , 而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的, 这一点 , 与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差. 调整以后 ,降低了对这部分的要求 , 大面积地减少了题量 . 把“函数”作为关键词 , 将目光放在“图像和性质”上 , 应当是正确的选择 , 负担轻了 , 障碍小了 , 这更方便于我们将注意力转移到对函数1图像和性质的关注上, 这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3. 国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》, 只有一个《课程标准》 , 在《课程标准》中, 他们对三角函数提出了下面的要求 : “会用三角学的知识解三角形 ; 会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象 ; 掌握三角函数图像 ; 会解三角函数方程 ; 会证基本的和简单的三角恒等式 ; 懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系” . 他们还特别指出, 不要在推导三角恒等 式上花费过多的时间 , 只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了 , 比较复杂的恒等式就应该完全避免了 .德国在 10 到 12 年级 ( 相当于中国的高一到高三) 每年都有三角内容 ,10 年级要求如下:(1) 一个角的弧度 ;(2) 三角函数 sinx 、 cosx 、 tanx 和它们的图像周期性 ;(3) 三角形中角 和边的计算 ;(4) 重要关系 ( 特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系). 另外,在11 年级和 12 年级的“无穷小分析”中 , 继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限 .从以上罗列 , 我们可以看出下面的共同点 :第一 , 突出强调三角函数的图像和性质;第二 , 淡化三角式的变形 , 仅涉及同角变换 , 而且要求较低 ,8 公式根本不予介绍 ;第三 , 明确变换的目的是为了三角形中的实际计算 ;第四 , 注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的 , 美国和德国的中学教育以实用为主 , 并不太在乎教材体系是否严谨 , 知识系统是否完整 ; 我国的教材虽作调整 , 怎样实施且不去细说 , 有一个意图是可猜到的 , 那就是要让学生知道教材是严谨与完整的. 现在看来严谨的东西 , 在更高的观点下是否还严谨 ?在圈内看是完整的 , 跳出圈子看 , 是否还完整 ?在一个小地方钻得太深 , 在另外更大的地方就可能无暇顾及 . 人家能在中学学到向量、 行列式、 微分、 积分 , 我们却热衷于在 个别地方穷追不舍 , 这早已引起行家的注意 , 从这个意义上说 , 此次调整应当只是第一步. 在中学阶段即试图严谨与完整 , 其实是受前苏联教育家赞可夫的三高( 高速度、高难度、高理论 )影响太深的缘故 . 二、备用习题1. 函数 y=sin(3 -2x) 的单调减区间是 ( )A. ［ 2k π - ,2k π + 5］ (k ∈ Z)B.［ 4k π -5,4k π +11］(k ∈12 12 33Z)C.［ k π -5,k π + 11］ (k ∈Z)D.［ k π -,k π+ 5］ (k ∈ Z)121212122. 满足 sin(x-4) ≥ 1的 x 的集合是 ( )2A.{x|2k π +5 ≤x ≤2k π +13,k ∈ Z}1212 B.{x|2k π -≤x ≤2k π + 7,k ∈ Z}1212C.{x|2k π + ≤x ≤2k π + 5,k ∈ Z}6 62D.{x|2k π≤x ≤2k π+,k ∈ Z} ∪{x|2k π +5≤x ≤(2k+1) π ,k ∈Z}663. 求函数 y=lgsinx 的定义域和值域 .4. 已知函数 y=f(x)的定义域是［ 0, 1］ , 求函数 f( sin 2 x1 ) 的定义域 .42参考答案 :1.D2.A3. 解 : 由题意得 sinx ＞0, ∴2k π＜ x ＜ (2k+1) π ,k ∈ Z. 又∵ 0＜sinx ≤1, ∴lgsinx ≤0. 故函数的定义域为 (2k π ,(2k+1) π ),k ∈ Z ，值域为 (- ∞,0］.4. 解 : 由题意得 0≤ sin 2x1 ≤1,∴- 3≤sinx ≤ - 2 或 2≤sinx ≤ 32 4 222 2∴x ∈［ k π+,k π + ］∪［ k π+2,k π +3］ ,k ∈Z.4 33 43。
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(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
10
变式训练 3 方程 sin x= 的根的个数为(
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B. 8
C.9
Z 自主预习
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EZUOXUEXI
)
D.10
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin x与函数y=
解:画出函数y=sin x和y=lg x的图像(如图所示).由图像可知两图像有3个交
点,因此,原方程有3个实数根.
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答案(dá àn):2
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5.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图像(tú xiànɡ).
解:列表:
x
0
sin x
1+2sin x
示.
当
x≥4π 时,
10
≥
4π
>1≥sin
10
x;当
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1.5.2 正弦函数的性质
备课资料
一、近几年三角函数知识的变动情况
三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.
我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.
1.是“三角”还是“函数”
应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.
从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的 观点.
2.是“图像”还是“变换”
现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数
图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.
3.国外的观点及启示
下面来看一下美国和德国的观点:
美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.
德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.
从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:
第一,突出强调三角函数的图像和性质;
第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算;
第四,注意三角函数和其他知识的联系.
这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故.
二、备用习题
1.函数y=sin(
3π-2x)的单调减区间是( ) A.［2k π-
12π,2k π+125π］(k ∈Z ) B.［4k π-35π,4k π+311π］(k ∈Z )
C.［k π-125π,k π+1211π］(k ∈Z )
D.［k π-12π,k π+12
5π］(k ∈Z ) 2.满足sin(x-
4π)≥21的x 的集合是( ) A.{x|2k π+
125π≤x≤2k π+1213π,k ∈Z } B.{x|2k π-
12π≤x≤2k π+127π,k ∈Z } C.{x|2k π+6π
≤x≤2k π+6
5π,k ∈Z }
D.{x|2k π≤x≤2k π+6π
,k ∈Z }∪{x|2k π+65π
≤x≤(2k+1)π,k ∈Z }
3.求函数y=lgsinx 的定义域和值域.
4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,41
］,求函数f(21
sin 2-x )的定义域.
参考答案:
1.D
2.A
3.解:由题意得sinx ＞0,∴2k π＜x ＜(2k+1)π,k ∈Z .又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为(2k π,(2k+1)π),k ∈Z ，值域为(-∞,0］.
4.解:由题意得0≤21
sin 2-x ≤41
,∴-23≤sinx≤-22或22≤sinx≤23
∴x ∈［k π+4π,k π+3π］∪［k π+32π,k π+43π
］,k ∈Z .。