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三角函数专项训练

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三角函数大题专项(含问题详解)

三角函数大题专项(含问题详解)

三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y ＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

三角函数专项训练(中考23题)

三角函数专项训练(中考23题)

三角函数专项训练（中考23题）1.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，E 为垂足，cosB= 54，EC=2， （1）求菱形ABCD 的边长．（2）若P 是AB 边上的一个动点，则线段EP 的长度的最小值是多少？2.如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，则tan ∠ACE 的值为（ ） A ．21 B ．34 C ．43 D ．23.如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡AD 的坡角∠A=45°，背水坡BC 的坡度为31，坝顶DC 宽25米，坝高45米，求：（1）背水坡的坡角；（2）坝底AB 的长．4.小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°，且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上．则第一根与第三根木杆的水平距离是______米．（如图）（精确到0.01米）5.如图，是学校背后山坡上一棵原航空标志的古柏树AB 的示意图，在一个晴天里，数学教师带领学生进行测量树高的活动．通过分组活动，得到以下数据： 一是AC 是光线的方向，并且测得水平地面2m 的竹竿影长为0.5m ．二是测得树在斜坡上影子BC 的长为10m ；三是测得影子BC 与水平线的夹角∠BCD 为30°；请你帮助计算出树的高度AB（根号 3 =1.732，精确到0.1m）．6.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：3 ≈1.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）7.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．8.如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：根号3 ．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）9.在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图（1）．现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°．夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°．把图（1）画成图（2），其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳蓬．（1）遮阳蓬BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内，请在图（3）中画图表示；（2）已知AB=150cm，在（1）的条件下，求出BC，CD的长度．（精确到1cm）10.两艘渔船同时从O点出发，甲船以40海里/小时的速度沿北偏东45°的方向航行，乙船沿正东方向航行，2小时后甲船到达小岛P处，发现乙船恰好位于甲船正南方向的H处，以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．（1）P点的坐标是______，乙船的速度是______海里/小时（结果保留根号）；（2）若乙船发现正东方向有另一小岛M，且M位于P点南偏东60°的方向上，若乙船速度不变，它再航行多长时间可以到达小岛M？（根号3 取1.7，结果保留两个有效数字）．11.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：根号3 =1.732，根号2 =1.414）；（2）已知本路段限速为50千米/小时，若测得某辆汽车从A到B用时2秒，这辆车是否超速？说明理由．12.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNPQ是否需要挪走，通过计算说明理由．13.小明要测量河的宽度．如图所示是河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明算出河宽．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）14.如图．是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°，为了方便行人安全过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°．若新坡脚前需留2.5米的人行道，问离原坡脚10米的建筑物是否需要拆除？请说明理由．15.如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角（参考数据：sin31°为45°，测得乙楼底部D处的俯角为31°，求乙楼CD的高度．≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1m）．16.如图，在某中学教学楼A西南方向510米的C处，有一辆货车以60km/h的速度沿北偏东60°方向的道路CF行驶、（1）若货车以60km/h的速度行驶时其噪声污染半径为100米，试问教学楼是否受到货车噪声的影响？（2）假设货车以60km/h的以上速度行驶时，其行驶速度每增加10km/h时其噪声污染半径约增大15米，要使教学楼不受货车的噪声影响，在此路段应该限速多少？（精确到10km/h)17.如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离．（3≈1.732，结果精确到0.1m）18.如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据（BC=2.2m，CD=5.4m，∠DCF=40°），计算车位所占街道的宽度EF．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m．）19.小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图中的P点处），在他家前有一道路指示牌MN正好挡住公路上的AB段（即点P、M、A和点P、N、B分别在一直线上），已知MN∥AB，∠MNP=30°，∠NMP=45°，小楠看见一辆卡车通过A处，7秒后他在B处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说明理由．20.如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）21.如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）22.如图，某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点D是洞的入口，游人从入口进洞游览后，要经山洞到达山顶的出口凉亭A处观赏旅游区风景，最后做缆车沿索道AB返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC=10°，在A处测得的仰角∠ABC=40°，在D处测得的仰角∠ADF=45°，过点D做地面BE的垂线，垂足为点C．（1）求∠ADB的度数；（2）求索道AB的长（结果仅保留根号）．23.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高BC为10米，坡面AC的坡角为53°．（1）求AB的长度．（精确到0.01米）（2）为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡角为30°，且新的坡角外侧需留3米宽的人行道，问离原坡角12米的建筑物EF是否需要拆除？24.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建筑地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°=0.3420，cos20°=0.9397，tan20°=0.3640）25.如图，A、B是两座现代化城市，C是一个古城遗址，C城在A城的北偏东30°，在B城的北偏西45°，且C城与A城相距120千米，B城在A城的正东方向，以C为圆心，以60千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在A、B两城市修建一条笔直的高速公路．（1）请你计算公路的长度（保留根号）；（2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由．26.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/小时的速度向正东方向航行．为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？（2）确定巡逻艇的追赶方向．（精确到0.1°）参考数据：sin66.8°≈0.9191；cos66.8°≈0.393sin67.4°≈0.9231；cos67.4°≈0.3846sin68.4°≈0.9298；cos68.4°≈0.3681sin70.6°≈0.9432；cos70.6°≈0.3322．27.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取A、B两点，对岸岸边有一块石头C．在△ABC中，测得∠A=60°，∠B=45°，AB=60米．（1）求河宽（用精确值表示，保留根号）；（2）如果对岸岸边有一棵大树D，且CD∥AB，并测得∠DAB=37°，求C、D两点之间的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cot37°≈1.33）28.如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．（精确到0.1m）29.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学测量学校旗杆AB的高度（如图），发现旗杆AB的影子刚好落在水平面BC和斜坡的CD上，其中BC=48米，CD=4米，斜坡CD的坡角为27°．同一时刻，测得高为1米标杆的影长是2.5米．求出旗杆AB的高度？（结果精确到0.01米）。

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12 12．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．1613．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4514．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④15．已知F 是椭圆2221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ）A ．当01e <<时，2πα<B ．当0e <<2πα>C ．当12e <<时，23πα>D 1e <<时，34πα> 16．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-17．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．151- D ．51- 18．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1619．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠.（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.25．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.26．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.27．已知函数())23cos sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．33 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．1067． 3 21,32⎡⎢⎣⎦8．259 10．6二、单选题 11．A 12．B 13．C 14．A 15．A 16．C 17．A 18．C 19．D 20．B 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.25．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. 26．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍）故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围. 29．（1）见解析； （2）178-. 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=，()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

三角函数大题专项(含答案)

三角函数大题专项(含答案)

三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x ＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

三角函数题型汇总（附答案）

三角函数题型汇总（附答案）

三角函数训练题（1）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin29.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______.14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分10分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分12分)已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B .答案：B2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B 3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N .答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=- 21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B 7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α.即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101.故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52.解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆.解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3. 故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2. 即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练题（2）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( ) A.0 B.21 C.23 D.-21 2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 4.tan20°+4sin20°的值是( )A.1B.2C.3D.336+ 5.tan θ和tan(4π-θ)是方程x 2+px +q =0的两根，则p 、q 之间的关系是( )A.p +q +1=0B.p -q -1=0C.p +q -1=0D.p -q +1=06.设sin x +sin y =22,则cos x +cos y 的取值范围是( ) A.［0,214］ B.(- 214,0] C.［-214,214］ D.［-21,27］7.M =sin α²tan 2α+cos α,N =tan 8(tan 8ππ+2),则M 与N 的关系是( )A.M >NB.M =NC.M <ND.大小与α有关8.已知sin α+sin β=3 (cos β-cos α),α,β∈(0,2π),那么sin3α+sin3β的值是( )A.1B.23C.21D.09.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两个根，且α、β∈(-2,2ππ),则α+β的值是( )A.3π B.-32πC. 3π或-32πD.- 3π或32π10.(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.已知tan x =34(π<x <2π).则cos(2x -3π)cos(3π-x )-sin(2x -3π)sin(3π-x )=______.12.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值等于______.13.log 4cos5π+log 4cos 52π的值等于______.14.已知tan(α+β)=52,tan(β-41)4=π,则sin(α+4π)²sin(4π-α)的值为___.三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求值：212cos 412csc )312tan 3(2-︒︒-︒.16.(本小题满分10分) 已知cot β=βαsin sin ,5=sin(α+β),求cot(α+β)的值.17.(本小题满分12分)已知tan2θ=-22,x <2θ<2π,求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值.18.(本小题满分12分)是否存在锐角α和β，使得(1)α+β=32π;(2)tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求cos 2CA -的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21.答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B ⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C3．解析：原式=︒︒-︒=︒-︒20sin 2110sin 310cos 10cos 310sin 1420sin 70cos 420sin )1060cos(420sin )10sin 2310cos 21(4=︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒=.答案：C4．分析：运用三角变形的通法：化弦法、异角化同角.解析：原式=︒︒︒+︒=︒+︒︒20cos 20cos 20sin 420sin 20sin 420cos 20sin.320cos )20sin 20cos 3(20sin 20cos )2060sin(220sin 20cos 40sin 220sin =︒︒-︒+︒=︒︒-︒+︒=︒︒+︒=答案：C5．解析：由根与系数关系得tan θ+tan(4π-θ)=-p ,tan θ²tan(4π-θ)=q .又4π=θ+(4π-θ) ∴tan4π=tan ［θ+( tan-θ)］=qp--1 故p -q +1=0. 答案：D6．解析：设cos x +cos y =t ,又sin x +sin y =22. 两式平方相加得2+2cos(x -y )=t 2+21 即cos(x -y )=4322-t ,由于|cos(x -y )|≤1.故-1≤4322-t ≤1⇒t 2≤21427-⇒≤t ≤214.答案：C7．解析：12s i n212s in 2)2si n 21(2co s 2s i n 22cos2s i n 222=-+=-+⋅=αααααααM .14cos14sin 24cos 124cos 14sin 24cos18cos 4sin8sin )28cos 8sin(8cos8sin22=++-=++-=+=+=πππππππππππππN∴M =N . 答案：B8．分析：先从已知式中求出α与β的关系，然后代入求值. 解析：由已知得：sin α+3cos α=3cos β-sin β.即cos(α-6π)=cos(β+6π) 又α-6π∈(-6π,3π),β+6π∈(6π,32π)故α-6π=β+6π⇒α=β+3π,∴sin3α+sin3β=sin(3β+π)+sin3β=0. 答案：D 9．解析：由韦达定理得：tan α+tan β=-33,tan αtan β=4 ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α、β∈(-2,2ππ),且tan α+tan β<0,tan αtan β>0. ∴tan α<0,tan β<0.故α、β∈(-2π,0)从而α+β∈(-π,0),∴α+β=-32π.答案：B 10．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求.解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2 即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C11．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x .∵tan x =34>0且π<x <2π,∴π<x <23π.故cos x <0,从而得cos x =-52.答案：-5312．分析：观察所给角易得θ+75°=(θ+15°)+60°,θ+45°=(θ+15°)+30°.考查两角和的正弦余弦公式及换元法的运用.解析：令θ+15°=α,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°)-3cos α=21sin α+23cos α+23cos α-21sin α-3cos α=0.答案：013．解析：∵5sin252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ答案：-114．解析：∵tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)=223,∴原式=sin(α+4π)cos(α+4π)=)4(sin )4(cos )4cos()4sin(22παπαπαπα+++++49366)4(tan 1)4tan(2=+++=παπα. 答案：4936615．分析：本题中函数种类较多，在变换过程中，常用“切割化弦”的基本方法，考查公式的灵活运用.解：原式=)112cos 2(24sin 12cos 312sin 3)112cos 2(212sin 1)312cos 12sin 3(22-︒⋅︒︒-︒=-︒︒⋅-︒︒ ︒⋅︒︒-︒=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(323448sin 21)6012sin(32-=︒︒-︒=16．分析：条件式中出现α、β及α+β角，要得到所求三角式的α+β角，显然就需对角α进行变换.即α=(α+β)-β.解：∵βαsin sin =sin(α+β). ∴sin ［(α+β)-β］=sin β²sin(α+β).即sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin βsin(α+β). ∴sin(α+β)cos β=sin β［sin(α+β)+cos(α+β)］ ∴)sin()cos()sin(sin cos βαβαβαββ++++=即cot β=1+cot(α+β) ∴cot(α+β)=cot β-1=5-1.评注：三角变换的基本原则是化异为同，可以从角及函数名称、式子结构等方面分析思考，逐步实行由异向同的转化.17．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式.解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθπθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--.由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22.故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.18．分析：这是一道探索性问题的题目，要求根据(1)、(2)联解，若能求出锐角α和β，则说明存在，否则，不存在.由于条件(2)涉及到2α与β的正切，所以需将条件(1)变成2α+β=3π,然后取正切，再与(2)联立求解.解：由(1)得：2α+β=3π,∴3tan 2tan 1tan 2tan)2tan(=-+=+βαβαβα将(2)代入上式得tan 2α+tan β=3-3. 因此，tan2α与tan β是一元二次方程x 2-(3-3)x +2-3=0的两根，解之得x 1=1,x 2=2-3.若tan2α=1,由于0<2α<4π.所以这样的α不存在； 故只能是tan 2α=2-3,tan β=1.由于α、β均为锐角，所以α=6π,β=4π故存在锐角α=6π,β=4π使(1)、(2)同时成立.19．解法一：依题意得B =3π,设A =3π+α,C =3π-α,则2CA -=α.同时有：3cos2)3cos(1)3cos(1παπαπ-=-++即22sin 3cos 2sin 3cos 2-=++-αααα023cos 2cos 242sin 3cos cos 2222=-+⇒-=-⇒ααααα ∴cos α=22或cos α=-423 (舍去)即cos222=-C A . 解法二：依题意得C C A C C A C A B -=--=-=+=32,232,32,3ππππ,不妨设cos(C -3π)=x .由已知得CC C C CC CA cos )32cos(cos )32cos(cos 1)32cos(1cos 1cos 1-+-=+-=+πππ∵cos(π32-C )+cos C=cos 32πcos C +sin 32πsin C +cos C=21cos C +23sin C =cos(3π-C ). cos(32π-C )cos C =cos 32πcos 2C+sin 32πsin C cos C)3(cos 43]1)3(cos 2[2141)232cos(21412sin 43)2cos 1(4122C C C C C -+-=--+-=-+-=++-=πππ∴22432-=+-x x 即0232242=-+x x∴x =22或x =-423 (舍去).故222cos=-C A . 解法三：依题意得B =3π,由已知得22cos 1cos 1-=+C A即cos A +cos C =-22cos A cos C利用积化和差及和差化积公式，并注意到A +C =32π,可得2cos22cos 2-=-+CA C A ［cos(A +C )+cos(A -C )］ 即22cos 22222cos2+--=-CA C A . 即0232cos 22cos 242=--+-CA C A ∴222cos=-C A 或4232cos -=-C A (舍去). 故222cos=-C A . 评注：解法三运用了和差化积及积化和差公式，这组公式虽不要求记忆，但在给出公式的情况下会运用.(3)1.在半经为2米的圆中，120°的圆心角所对的弧长为_____（34π）米。

三角函数10道大题(带答案解析)

三角函数10道大题(带答案解析)

三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.3、已知函数()tan(2),4f x x =+π（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，若()2cos 2,2f =αα求α的大小4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求 ω的最大值.8、函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .10、在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ．(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】（Ⅰ）因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤.于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值－1.2、【解析】 （1）2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==（2）32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时，()m a xf x ，当2()444x x πππ+=-=-时，m i n ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质；2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】（I ）【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ， 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ，()f x 的最小正周期为.2π （II ）【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα，所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα，得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解（1）：si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ==；（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】211()co242f x x π=++11sin222x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ== （II ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.6、【解析】（1）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.（2）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.7、解：（1）()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣（2）因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得16ω≤，故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ）由已知可得：2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23，则BC=4 所以，函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分（Ⅱ）因为，由538)(0=x f （Ⅰ）有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以，53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ．整理得：tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C＝．又由正弦定理知：sin sin a cA C =，故c = (1)对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b=or b舍去)．∴∆ABC的面积为：S．。

三角函数的应用专项训练

三角函数的应用专项训练

三角函数的应用专项训练姓名：__________班级：__________评价：__________一、单选题（共8小题）1. 已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos等于( )A. －B. －C.D.2. 已知α∈，sinα＝，则tanα等于( )A. －B. 2C.D. －23. 若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A. B. － C. D. －4. 函数f(x)＝(0<x<π)的大致图象是( )A. B. C. D.5. 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A. f(x)＝|cos 2x|B. f(x)＝|sin 2x|C. f(x)＝cos|x|D. f(x)＝sin|x|7. 已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R.若曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f(x)的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 3π8. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、多选题（共5小题）9. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. ω＝B. ω＝C. φ＝D. A＝510. 已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称C. 函数y＝f(x)在上单调递减D. 该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin11. 将曲线y＝sin2x－sin(π－x)sin上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)的图象关于直线x＝对称B. g(x)在[0，π]上的值域为C. g(x)的图象关于点对称D. g(x)的图象可由y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到12. 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则下列结论中正确的是( )A. f(x)的一个周期为－2πB. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称C. x＝是f(x)的一个零点D. f(x)在上单调递减13. 对于函数f(x)＝给出下列四个命题，其中为真命题的是( )A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C. 该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称D. 当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤三、填空题（共4小题）14. y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ＝________.15. 设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.16. 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向________平移________个单位长度．17. 在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE的长为________．四、解答题（共4小题）18. 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．20. 如图为电流强度I与时间t的关系式I＝A sin(ωt＋φ)的图象．(1)试根据图象写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A sin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝200米，BC＝400米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L(θ)＝ME＋MN.(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数L(θ)的定义域；(2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．1. 【答案】A【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－.2. 【答案】A【解析】因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－1-sin2α＝－＝－，所以tanα＝＝－.3. 【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为α∈(0，π)，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝.4. 【答案】B【解析】因为f(x)＝，＝＝＝＝|cos x|，所以，其在(0，π)上的大致图象为B选项中的图象.5. 【答案】B【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin 的图象．6. 【答案】A【解析】选项A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故选项A正确；选项B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故选项B不正确；选项C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故选项C不正确；选项D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故选项D不正确．7. 【答案】D【解析】将函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R化简，可得f(x)＝sin.曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，令f(x)＝1，则ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2kπ，k∈Z.设距离最小的相邻交点的横坐标分别为x1，x2，∴－＝ω(x2－x1)，∴x2－x1＝＝，解得ω＝，∴y＝f(x)的最小正周期T＝＝3π.8. 【答案】B【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.9. 【答案】ACD【解析】由函数的图象可得A＝5，周期T＝＝11－(－1)＝12，∴ω＝.再由“五点法”作图可得×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝.故选ACD.10. 【答案】ABC【解析】由函数的图象可得A＝2，由·＝－，得ω＝2.再由最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，得φ＝，得函数f(x)＝2sin，故选项D正确；当x＝－时，f(x)＝0，不是最值，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，不等于零，故选项B错误；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选项C错误.11. 【答案】ABD【解析】y＝sin2x－sin(π－x)sin＝＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴g(x)＝sin＋，对于选项A，当x＝时，x－＝，∴g(x)关于直线x＝对称，故选项A正确；对于选项B，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin∈，∴g(x)∈，故选项B正确；对于选项C，当x＝时，x－＝0，g＝，∴g(x)关于点对称，故选项C错误；对于选项D，y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＋＝cos ＋＝sin＋＝g(x)的图象，故选项D正确．12. 【答案】ABC【解析】∵函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，∴f(x)＝sin＝sin，∴f(x)的一个周期为－2π，故选项A正确；∵y＝f(x)＝sin，∴y＝f(x)的图象的对称轴方程满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴当k＝－2时，y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项B正确；由f(x)＝sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴x＝是f(x)的一个零点，故选项C正确；当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，故选项D错误．13. 【答案】CD【解析】由题意知函数f(x)＝画出f(x)在x∈[0，2π]上的图象，如图所示，由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，故A选项错误；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故B选项错误；由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，故C选项正确；在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故D选项正确.14. 【答案】－或【解析】函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－.当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.15. 【答案】3＋【解析】由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.16. 【答案】左【解析】方法一：y＝sin＝cos＝cos＝cos.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．方法二：y＝cos 2x＝sin＝－sin＝－sin2，y＝sin＝－sin2.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．17. 【答案】【解析】根据题意，设BE＝m，由sin∠EPB＝，得PE＝3m，cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝cos(π－2∠PEB)＝－cos 2∠PEB＝1－2cos2∠PEB＝，由翻折特点可得B′E＝BE＝m.又AE＝2－m，在Rt△B′AE中，cos∠B′EA＝＝，解得m＝，所以PE＝3m＝.18. 【答案】解(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝232cosx+12sinx＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，∴函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.19. 【答案】解(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin x cos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cosθ＋＝，所以cosθ＝，因为θ∈，所以sinθ＝－√1−cos2θ1-cos2θ＝－，所以sin 2θ＝2sinθcosθ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝－.20. 【答案】解(1)由题图知，A＝300，T＝－＝，∴ω＝＝100π.∵－＝－，∴φ＝＝，∴I＝300sin(t≥0)．(2)问题等价于T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.21. 【答案】解(1)在矩形ABCD中，∵B，E关于MN对称，∠BNM＝θ，∴∠AME ＝2θ，∠MEN＝，且BM＝ME.在Rt△AEM中，AM＝ME cos 2θ＝BM cos 2θ.又∵AM＋BM＝200(米)，∴BM cos 2θ＋BM＝200，∴BM＝ME＝＝，∴Rt△EMN中，MN＝＝.∴L(θ)＝ME＋MN＝＋在Rt△BMN中，BN＝MN cosθ＝，∵0<BM<200,0<BN<400，∴函数L(θ)的定义域为.(2)L(θ)＝ME＋MN＝＋＝＝.令t＝sinθ，∵θ∈，∴t∈，令φ(t)＝－t2＋t＝－2＋，当t＝时，φ(t)取最大值，最大值为，此时θ＝，L(θ)取最小值．∴L(θ)的最小值为400 米，此时θ＝.第11页共11页。

三角函数的图像与性质专项训练(解析版)

三角函数的图像与性质专项训练(解析版)

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

高中数学三角函数训练卷

高中数学三角函数训练卷

高中数学三角函数训练卷一、选择题1、已知角α的终边经过点(3, －4)，则sinα的值为（）A 3/5B －3/5C 4/5D －4/5解析：因为角α的终边经过点(3, －4)，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5，sinα ＝ y/r ＝－4/5，故选 D。

2、若sinθ ＝ 1/3，且θ是第二象限角，则cosθ的值为（）A －2√2/3B 2√2/3C √10/3D √10/3解析：因为θ是第二象限角，所以cosθ ＜ 0。

又因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 （1/3)²) ＝－2√2/3，故选 A。

3、下列函数中，周期为π的奇函数是（）A y ＝ sin2xB y ＝ cos2xC y ＝ sin(x ＋π/2)D y ＝ cos(x ＋π/2)解析：A 选项，y ＝ sin2x，周期 T ＝2π/2 ＝π，且 sin(－2x) ＝sin2x，为奇函数，A 正确；B 选项，y ＝ cos2x 是偶函数，B 错误；C 选项，y ＝ sin(x ＋π/2) ＝ cosx 是偶函数，C 错误；D 选项，y ＝ cos(x ＋π/2) ＝ sinx 是奇函数，但周期 T ＝2π，D 错误。

故选 A。

4、已知tanα ＝ 2，则sin2α的值为（）A 4/5B 3/5C 2/5D 1/5解析：sin2α ＝2sinαcosα ＝2sinαcosα/（sin²α ＋cos²α) ＝2tanα/（tan²α ＋ 1) ＝ 2×2/（2²＋ 1) ＝ 4/5，故选 A。

5、函数 y ＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象（）A 向左平移π/6 个单位长度得到B 向右平移π/6 个单位长度得到C 向左平移π/12 个单位长度得到D 向右平移π/12 个单位长度得到解析：对于函数 y ＝ sin(2x ＋π/6) ＝ sin2(x ＋π/12)，所以函数 y＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移π/12 个单位长度得到，故选 C。

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．3．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 的面积为3，则三角形ABC 的周长最小值为___________4．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，23AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π； ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.9．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（ ）A 2B 7C 7D ．3412．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )13．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．27π B ．25π C ．2π D ．23π15．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()0f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦17．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π3π088f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A B ．1 C ．1- D ．18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π=2b 2c bc ++的取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]D ．(7，9]19．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()()23cos 2g x x =+．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A ．55-B ．55C ．255-D ．255三、解答题21．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围．22．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.25．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．27．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.28．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 29．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.30．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【参考答案】一、填空题12．983．641 5．20π6．①③7．80π 8．9[,4]4-9．25 10．-7二、单选题 11．C 12．D 13．A 14．A 15．A 16．A 17．D 18．D 19．B 20．D 三、解答题21．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为4π⎛ ⎝⎭，5,4π⎛ ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,4π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=；52553244T T =⋅<，∴两图象不可能四个交点； 由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.22．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1 ＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1）， 令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形,∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题. 25．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.26．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tan α.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQ OP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ.由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f′(θ)令f′(θ)＝0，得sinθθ0满足sinθ则cosθ=，即()fθ===列表如下：2由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tanα单调递增则当tanαα也取得最大值．故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 27．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP+【解析】（1）设ABC PCBθ∠=∠=，则在直角ΔABC中，sinACθ=，cosBCθ=，计算得到2sin sin1AC CPθθ+=-++，计算最值得到答案.（2）计算sin cosCHθθ=⋅，得到πsin23CH CPθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.【详解】（1）设ABC PCBθ∠=∠=，则在直角ΔABC中，sinACθ=，cosBCθ=.在直角ΔPBC中，2cos cos cos cosPC BCθθθθ=⋅=⋅=，sin sin cos sin cosPB BCθθθθθ=⋅=⋅=.22sin cos sin1sinAC CPθθθθ+=+=+-2sin sin1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=，AC CP +的最大值为54. （2）在直角ΔABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 所以当π12θ=，CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力. 28．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 29．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---， ①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m=，∴2g()(2)6t t=--，[0,1]t∈max()g(0)2f x==-，min()g(1)5f x==-12max()(25)()3f x f x=---=-∴1234a-≥，∴138a≥，综上所述：13[,)8a∈+∞.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 30．(1)2a=,2b=-或2a=-,4b=函数()g x在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】【分析】（1）先求得sin242xπ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a>和0a<的情况,进而求解即可；（2）由（1）()2sin224f x xπ⎛⎫=-++⎪⎝⎭则()2sin224g x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭进而判断单调性即可【详解】解:(1)当0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin24xπ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦,①当0a>时,由题意可得12a a ba a b⎧⎛⨯++=⎪⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a ba b⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a=,2b=-；②当0a<时,由题意可得21a a ba a b⎧⎛⨯++=⎪⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a ba b⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a=-,4b=(2)由（1）当0a<时,2a=-,4b=所以()2sin224f x xπ⎛⎫=-++⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力。

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)

高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+若4AD AF =，则λ-μ的值为___________3．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3ABC 的周长最小值为___________4．在ABC 中，7AB =3BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △3②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．5．log sin()3y x ππ=+的单调增区间为________.6．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.7．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.10．△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++++的值为_____________.二、单选题11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ） A 33B 2C ．113D ．1112．已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111n n n a a a +=--， 则（ ） A ．存在1t >， 使得20111a a = B ．存在0t <， 使得20211a a =C ．若2211a a =， 则21a a =D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =13．已知点P 是曲线e 3xy =+α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣16．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5417．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣18．已知F 是椭圆2221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ）A ．当01e <<时，2πα<B ．当02e <<2πα>C ．当12e <<时，23πα>D 1e <<时，34πα>19．设函数()xf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ） A ．(,6)(6,)-∞-+∞ B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞20．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34三、解答题21．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.22．在直角ABC ∆中，2BAC π∠=，延长CB 至点D ，使得2CB BD =，连接AD .（1）若AC AD =，求CAD ∠的值； （2）求角D 的最大值.23．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 24．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若3PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .25．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知10sin 2C =（1）若4a =，210c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆的面积为9154，且22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.26．已知两个不共线的向量a ，b 满足(1,3)a =，(cos ,sin )b =θθ，R θ∈． （1）若//a b ，求角θ的值；（2）若2a b -与7a b -垂直，求||a b ＋的值；（3）当0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦时，存在两个不同的θ使得|3|||a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.27．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若ABC ∆是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．28．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．3π 2．473．6 4．①③5．(2,2)(Z)36k k k ππππ-++∈6．3+37．138．9．1a 或4a10．4 二、单选题 11．A 12．D 13．A 14．A 15．A 16．B 17．C 18．A 19．C 20．A 三、解答题21．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题. 22．（1）23CAD π∠=；（2）6π.【解析】 【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=，再结合在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，然后求解即可；（2）由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+，然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解：（1）设BAD ∠=α，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，sin AB BC C =，所以sin sin sin BD BC CDα=， 因为AC AD =，所以C D =， 又因为2CB BD =，所以1sin 2α=，所以6πα=，所以23CAD π∠=；（2）设BAD ∠=α， 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin BD ABDα=， 而在直角ABC ∆中，()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+， 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==， 因为2CB BD =，所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-， 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-，即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++，1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.23．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减.∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.24．（12 【解析】 【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α， 在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.25．（1）2）c =【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．26．（1）,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜（2（3）⎣⎭【解析】 【分析】（1）由题得tan θ=2）先求出1a b ⋅=，再利用向量的模的公式求出||7a b +=；（3）等价于2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦有两解，结合三角函数分析得解. 【详解】（1）由题得sin 0,tan θθθ=∴=所以角θ的集合为,3k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭｜ . （2）由条件知2a =， 1b =，又2a b -与7a b -垂直， 所以()()2781570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以222||||2||4217a b a a b b +=+⋅+=++=，故||7a b +=.（3）由3a b ma +=，得223a b ma +=，即2222233a a b b m a +⋅+=，即2434b m +⋅+=，)27cos 4m θθ+=，所以2476m πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦得2,663πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，2647m ≤-<2134m ≤<又因为0m >m ≤<即m 的范围⎣⎭. 【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2【解析】 【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+，根据三角形内角和可整理为sin sin C A =，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得1sin 2B =；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的c a =，可知B 为钝角，求得cos B ；利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系，从而得到所求结果. 【详解】 （Ⅰ）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-则：()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知：c a =ABC ∆∴为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形，且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+2222b b ac a ∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.28．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可. 【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴=()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m =()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.29．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265-【解析】 【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 此时sint ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立 令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 30．(Ⅰ)3π（Ⅱ）5 【解析】 【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析： 解：（12sin sin A C A =， ∵,A C是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-= ∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。

三角函数练习题及答案

三角函数练习题及答案

三角函数练习题及答案三角函数是数学中的重要内容，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握好三角函数的概念和运用方法，对于解决实际问题具有重要意义。

本文将为大家提供一些三角函数练习题及其答案，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、正弦函数的练习题1. 计算角度为30°的正弦值。

解答：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

在一个单位圆上，角度为30°对应的三角形是一个等边三角形，因此对边与斜边的比值为1/2。

所以，角度为30°的正弦值为1/2。

2. 求解方程sin(x) = 1/2，其中x的取值范围为[0, 2π]。

解答：根据正弦函数的性质，可以知道sin(x) = 1/2的解有两个，分别是30°和150°。

由于x的取值范围为[0, 2π]，所以需要将150°转换为弧度制，即150° *π/180 = 5π/6。

因此，方程sin(x) = 1/2的解为x = 30°和x = 5π/6。

二、余弦函数的练习题1. 计算角度为45°的余弦值。

解答：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。

在一个单位圆上，角度为45°对应的三角形是一个等腰直角三角形，邻边与斜边的比值为√2/2。

所以，角度为45°的余弦值为√2/2。

2. 求解方程cos(x) = √3/2，其中x的取值范围为[0, 2π]。

解答：根据余弦函数的性质，可以知道cos(x) = √3/2的解有两个，分别是30°和330°。

由于x的取值范围为[0, 2π]，所以需要将330°转换为弧度制，即330°* π/180 = 11π/6。

因此，方程cos(x) = √3/2的解为x = 30°和x = 11π/6。

三、正切函数的练习题1. 计算角度为60°的正切值。

2023高中数学三角函数专项训练题

2023高中数学三角函数专项训练题

(每日一练)2023高中数学三角函数专项训练题单选题1、−690°的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：根据象限角与终边相同角的概念判断即可；解：−690°=−2×360°+30°，所以−690°的终边与30°角的终边相同，因为30°的终边在第一象限，所以−690°的终边在第一象限；故选：A2、函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图像上一点P(s,t)(−2<t<2)向右平移2π个单位，得到的点Q也在f(x)图像上，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，且满足f(π4−x)=f(x)，f(−π2)>f(0)，若y=f(x)，x∈[0,π2]与y=a有两个交点，则a的取值范围为（）A．(−2,−√2]B．[−2,−√2]C．[√2,2)D．[√2,2]答案：A解析：首先根据已知条件分析出|PQ|=2π=2T，可得ω=2，再由f(π4−x)=f(x)可得y=f(x)对称轴为x=π8，利用f(−π2)>f(0)可以求出符合题意的一个φ的值，进而得出f(x)的解析式，再由数形结合的方法求a的取值范围即可.如图假设P(0,0)，线段PQ与函数f(x)的图像有5个交点，则|PQ|=2π，所以由分析可得|PQ|=2π=2T，所以T=π，可得ω=2πT =2ππ=2，因为f(π4−x)=f(x)所以f[π4−(π8+x)]=f(π8+x)，即f(π8−x)=f(π8+x)，所以x=π8是f(x)的对称轴，所以2×π8+φ=π2+kπ(k∈Z)，即φ=π4+kπ(k∈Z)，f(−π2)=2sin(−π+φ)=−2sinφ>f(0)=2sinφ，所以sinφ<0，可令k=−1得φ=−3π4，所以f(x)=2sin(2x−3π4)，当x∈[0,π2]时，令2x−3π4=t∈[−3π4,π4]，则f(x)=2sint，t∈[−3π4,π4]作f(t)图象如图所示：当t =−3π4即x =0时y =−√3，当t =−π2即x =π8时，y =−2， 由图知若y =f (x )，x ∈[0,π2]与y =a 有两个交点，则a 的取值范围为(−2,−√2]，故选：A小提示：关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点P (0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出f (x )的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.3、若3sinθ=cosθ−1，则tan θ2的值为（ ）A ．−3B ．13C ．−3或0D ．−13答案：C解析：观察角度之间的联系，利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值.由3sinθ=cosθ−1，得6sin θ2cos θ2=1−2sin 2θ2−1，得2sin θ2(3cos θ2+sin θ2)=0，得sin θ2=0或3cos θ2+sin θ2=0，得tan θ2=0或tan θ2=−3.故选：C小提示：本题利用倍角公式和同角三角函数的基本关系式化简求值，属于容易题.4、把函数y =sin3x 的图象向左平移π6，可以得到的函数为（ ）A ．y =sin(3x +π6)B ．y =sin(3x −π6)C ．y =cos3xD ．y =cos(3x +π6)答案：C解析：根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解. 把函数y =sin3x 的图象向左平移π6可得y =sin [3(x +π6)]=sin (3x +π2)由诱导公式化简可得y =sin (3x +π2)= cos 3x故选:C小提示：本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.5、若sin (α+β)sin (α−β)=−1114，则cos 2α−cos 2β=（ ）．A ．314B ．−314C ．1114D ．−1114 答案：C解析：直接对已知的式子利用三角恒等变换公式化简可得答案解：因为sin (α+β)sin (α−β)=−1114， 所以(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)=−1114，sin 2αcos 2β−cos 2αsin 2β=−1114，所以(1−cos 2α)cos 2β−cos 2α(1−cos 2β)=−1114，所以cos 2β−cos 2αcos 2β−cos 2α+cos 2αcos 2β=−1114，所以cos 2β−cos 2α=−1114，所以cos2α−cos2β=11，14故选：C。

三角函数大题专项(含答案解析)

三角函数大题专项(含答案解析)

三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B ＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x ＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B ＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

专题1.2 特殊角的三角函数值(专项训练)(解析版)

专题1.2 特殊角的三角函数值(专项训练)(解析版)

专题1.2 特殊角的三角函数值（专项训练）1.（2022•宁远县模拟）cos60°的倒数是（ ）A．B．C．2D．【解答】解：cos60°＝，则cos60°的倒数是2．故选：C2.（2021秋•双阳区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故选：C．3．（2022•东丽区一模）2tan30°的值等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：2tan30°＝2×＝．故选：D．4．（2022•和平区三模）已知∠A为锐角，且sin A＝，那么∠A等于（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：∵sin A＝，∴∠A＝60°．故选：D．5．（2021秋•正定县期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．6．（2021秋•邵东市期末）在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∵tan A＝，∴＝，设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝＝＝5k，∴cos A＝＝＝，故选：B．7．（2021秋•呼兰区校级月考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，tan∠B＝，则sin∠B的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝，∴，设AC＝4x，AB＝3x，根据勾股定理得BC＝＝＝5x，∴sin B＝．故选：C．8．（2021秋•瑶海区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan A＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cos A＝＝＝，∴tan A＝＝＝．故选：D9．（2020秋•东昌府区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵sin B＝＝，∴设AC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得：BC＝＝＝5x，∴tan A＝＝＝，故选：D．10．（2021秋•乳山市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos B的值为 ．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝＝，∴设BC＝a，则AC＝3a，∴AB＝＝＝a，∴cos B＝＝＝，故答案为：．11．（2020秋•肥东县期末）已知α为锐角，则sinα﹣cos（90°﹣α）＝ ．【解答】解：∵α为锐角，∴sinα＝cos（90°﹣α），∴sinα﹣cos（90°﹣α）＝0．故答案为0．12．（2020秋•岳阳期末）在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则cos A＝ ．【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝cos A，所以cos A＝，故答案为：．13．（2021•张家川县模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sin B＝ ．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝＝x．∴sin B＝＝．14．（2022•拱墅区校级开学）求下列各式的值：（1）tan30°•sin30°﹣3cos60°；（2）cos245°+2sin30﹣tan60°．【解答】解：（1）原式＝×﹣3×＝﹣；（2）原式＝（）2+2×﹣＝+1﹣＝﹣．15．（2022•北京一模）计算：3tan30°﹣tan245°+2sin60°．【解答】解：3tan30°﹣tan245°+2sin60°＝3×﹣1+2×＝＝2．16.（2022•淮安区模拟）计算：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；（2）3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【解答】解：（1）原式＝2×+4×﹣＝+2﹣＝2；（2）原式＝3×+1﹣2×＝＝1．。

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三角函数专项训练
命题人：刁化清
一：选择题
1.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
2.设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则 （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<
3.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =
（A ）
21 （B ）2 （C ）2
1
- （D ）2- 4.已知α为第二象限角，3
sin 5
α=，则sin 2α=
（A ）2524-（B ）2512-（C ）2512（D ）25
24
5.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（）
A 、钝角三角形
B 、直角三角形
C 、锐角三角形
D 、不能确定
6.若
sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，则tan2α=
A. -34
B. 34
C. -43
D.43
7.在△ABC 中，若60A ∠= 。

，45B ∠=。

，BC =，则AC =
A. B. C. D.
8.设M 和m 分别表示函数y =
3
1
cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（） A.
32 B.－32 C.－3
4
D.－2 9.函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为（）
A.2
B.0
C.－
4
1
D.6
10.当－
2
π
≤x ≤
2
π
时，函数f （x ）=sin x ＋
3cos x 的（）
A.最大值是1，最小值是－1
B.最大值是1，最小值是－
2
1 C.最大值是2，最小值是－2
D.最大值是2，最小值是－1
二．填空题
11..函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
12.()cos 6f x x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π
，其中0ω>，则ω=． 13.在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=
3
π
，则∠C 的大小为_________。

14.在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=BC ，则AC=_______.
15.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1
cos 4
a b C =
=1，=2，，则sin B =
16.在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若a=2 ，B=6
π
，b=
17如果cos θ＝－
1312，θ∈（π，23π），那么cos （θ＋4
π
）的值等于. 18.若f （x ）=2sin ωx （0＜ω＜1)在区间［0，
3
π
］上的最大值是
2，则ω＝.
19.已知sin α=cos2α（α∈（2
π
，π）），则tan α=_____.
三．解答题
20在ABC △中，5cos 13B =-
，4
cos 5
C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积33
2
ABC S =△，求BC 的长．
21.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
22.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点
π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，，且3()5f α=，12()13
f β=，求()f αβ-的值．
23.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=．
（Ⅰ）若ABC △a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
24.设△ABC 的内角C B A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有
C A C A A B sin cos cos sin cos sin 2+=。

（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，
D 为BC 的中点，求AD 的长。

25.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.
(Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .
26.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。

角A ，B ，C 成等差数列。

(Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。

27.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A ；（2）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c
28在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。

已知,cosA=. （I ）求sinC 和b 的值；（II ）求cos （2A+π
3
）的值。

29.ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A 。

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