一元二次方程根韦达定理(学案)
上海数学初高衔接--初三一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理) 学案
初升高衔接-专题：一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）教学目标1. 通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2. 通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
知识梳理引导：你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？探索：03522=+-x x 这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？问题2：对于一元二次方程的一般式)0(02≠=++a c bx ax 是否也具备这个特征？结论1：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么a b x x -=+21，ac x x =21 结论2：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21。
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．典例精讲17 min.例1. 关于x 的方程022=+-m x x 的一根为2，求另一根和m 的值。
（★★）例2. 已知βα,是方程01322=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值。
（★★★）（1）βα11+（2）)1)(1(++βα （3）22βα+（4）βα-（5）33βα+例3. 已知21,x x 是关于x 的方程022=-+p px x 的两个实数根且02121=--x x x x 。
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）求p 的值。
例4. 已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
课堂检测1. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求c b ,的值。
2. 已知21,x x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1,121++x x 是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求常数q p ,的值。
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
数学八下一元二次方程韦达定理课程
数学八下一元二次方程韦达定理课程韦达定理是解一元二次方程的重要工具。
一元二次方程通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
韦达定理给出了一元二次方程解的特性，它的表述为：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，设其两个根为x₁和x₂，则有以下等式成立：x₁ + x₂ = -b / a （①）x₁x₂ = c / a （②）韦达定理是通过将方程两个根的和与积与方程系数之间的关系来推导得出的。
根据韦达定理，我们可以直接通过方程的系数求出方程的根，而不需要进行因式分解或使用求根公式。
下面我们通过一个具体的例子来理解韦达定理的应用。
假设我们有一个一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以看出方程的系数分别为a = 1，b = -5，c = 6。
根据韦达定理，我们可以计算出方程的两个根的和和积。
根据公式（①）：x₁ + x₂ = -b / a = -(-5) / 1 = 5。
根据公式（②）：x₁x₂ = c / a = 6 / 1 = 6。
得到方程的两个根的和为5，积为6。
现在我们可以利用以上结果解一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
我们需要找到两个数，使得它们的和为5，积为6。
通过观察我们可以发现，这两个数分别为2和3。
因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。
所以，方程的两个根分别为2和3。
因此，方程x² - 5x + 6 = 0的解为x₁ = 2和x₂ = 3。
这个例子展示了如何利用韦达定理求解一元二次方程。
通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
韦达定理不仅可以解一元二次方程，还可以应用于其他方程问题。
例如，我们可以利用韦达定理来解决一些和根相关的问题，比如找出满足一定条件的根的值。
总结一下，韦达定理是解一元二次方程的一种有效方法，通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
韦达定理教案
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）教学设计——191403228周小凤1. 韦达公式的定义及推导。
设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：，。
利用求根公式代入推导换算。
2. 韦达定理应用。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数（3）经典例题b,利用两根和，积去求相关代数式的值（4）经典例题c,根与系数的关系与根的判别式综合运用（5）课后巩固师：同学们，在我们已经学习了一元二次方程的基础上，今天我将和大家一起探究一元二次方程根与系数的关系。
首先，老师问一下大家，你们还记的一元二次方程的求根公式么？学：师：好，非常棒！一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0）的求根公式,不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数的联系还有其他表现方式么?学：（同学们大多答不上来）或答不清楚师：同学们，看老师的板书。
同学们最后我们得出了一个这样的关系：，这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
以上引出一个概念“韦达定理”，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达提出的，设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：。
应用该定理时，我们一定要注意两个前提条件：一是a≠0，二是满足根的判别式b² - 4ac ≥0.如果当a=0，它是一个一元一次方程与我们探究的一元二次方程与根的关系无关，那么如果当b² - 4ac ‹0，无根，就没有关系上的探究了。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积师：接下来我们就要运用到这个定理。
请同学们完成例四，有同学敢上黑板来展示么示（较为简单代入，直接对答案，给予同学表扬）（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数师：大家学的都很不错，下面我们将更深入的去应用韦达定理。
一元二次方程之韦达定理教学文案
例1：不解方程，判别方程 两根的符号。
分析：对于 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或 的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或 的正负情况。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中 ＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若 ＞0，仍需考虑 的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
6、已知方程 和 有一个相同的根，求 的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数 在什么范围取值时，方程 有正的实数根？
2、已知关于 的一元二次方程
（1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值。
3、若 ，关于 的方程 有两个相等的正的实数根，求 的值。
当 时， ，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为： ；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的 的值必须满足这两个不等式才有意义。
当堂练习
1、如果关于 的方程 的两根之差为2，那么 。
2、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒数，则 。
4、是否存在实数 ，使关于 的方程 的两个实根 ，满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的 的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于 的一元二次方程 （ ）的两实数根为 ，若 ，求 的值。
6、实数 、 分别满足方程 和 ，求代数式 的值。.
二、求值题：
1、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。
根与系数的关系
课题：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）(教案)教学目标：1.掌握判别式与韦达定理 ；2能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用只是的能力教学重点：判别式、韦达定理教学难点：韦达定理的应用教学方法：讲练结合教学手段：实物投影教学过程：（一）复习引入：初中学过一元二次方程根的判别式。
一元二次方程ax 2+bx+c =o 何时有两个不同的实根？有两个相同的实根？没有实根？当方程有实根时，我们如何求出实根？提问学生求根公式，强调方程的根用系数表示，我们有必要进一步研究根与系数的关系。
引出新课（二）新课讲授：由求根公式我们知道方程的两根x 1=a b 2∆+-;x 2=a b 2∆--,教师引导学生探究x 1+x 2=-a b x 1x 2=ac (a ≠0)强调这就是我们今天要研究的韦达定理，让学生背过。
例1、不解方程，判定解的个数。
（1）5(x 2+1)-3x=0 (2)2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0目的：练习巩固判别式。
学生完成，教师展示实物投影。
例2、已知方程5x 2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k 的值解法:直接用韦达定理。
求出另一根-0.6 k= -7例3、若方程x 2+x-1=0的两根为x 1,x 2,用韦达定理计算(1)x 21+x 22;(2)11x +21x ; (3)|x 1-x 2|;(4)x 13+x 23;(5)(x 1-1)(x 2-1)解：由韦达定理得：x 1+x 2= -1，x 1x 2= -1（1） x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2 x 1x 2=3（2） 11x +21x =2121x x x x +=1 （3） |x 1-x 2|2=(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4 x 1x 2=5 ∴|x 1-x 2|=5（4） x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12+x 22- x 1x 2)= (x 1+x 2)[]122213)(x x x x -+ =-4(5) (x 1-1)(x 2-1)= x 1x 2-(x 1+x 2)+1=1目的：使学生熟练掌握韦达定理的应用。
3 一元二次方程与韦达定理(学生版)
新高一暑假数学讲义 “一元二次方程与韦达定理” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 本讲内容：韦达定理、韦达定理的综合运用掌握目标：掌握韦达定理的基本内容，会运用韦达定理求解一元二次方程根相关的问题，对判断根的符号以及大小能够熟练掌握。
考试分析：韦达定理是一元二次方程最重要的一个定理，也是高中数学里二次不等式与解析几何里经常使用到的一个内容，虽然考试不会直接考察，但是作为重要的基础知识还是务必要掌握的。
知识梳理知识梳理1. 根与系数的关系----韦达定理1. 一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）的韦达定理：ab x x -=+21 ， ac x x =21 注意 0<∆时韦达定理仍然成立，但此时方程无实根.2. 韦达定理原理：对于任意方程02=++c bx ax （0≠a ）都可以转化为()()021=--x x x x a 的形式，展开后可得 ()021212=++-x ax x x x a ax 让对应系数相等即得到韦达定理。
类似地，可以得到一元三次方程023=+++d cx bx ax 的韦达定理：a b x x x -=++321 ，a c x x x x x x =++133221 ，ad x x x -=321知识梳理2. 韦达定理综合运用1. 判断根的大致情况（假设0≥∆）方程有2个正根，等价于⎩⎨⎧>>+002121x x x x方程有一正根有一负根，等价于 021<x x 此时21x x +正负用于判断1x 和2x 的大小 2. 的范围求一元二次方程的系数或系数的范围 常用的韦达定理变式： ()()aac b a c a b x x x x x x x x 4442222122122121-=⋅-=-+=-=-a ∆= 3. 一元二次方程a b x x -=+21 ac x x =21 ()021212=++-∴x x x x x x例题精讲【试题来源】【题目】若12+=m m ，012=--n n ，n m ≠，求33n m +【试题来源】【题目】实数y x ,,z 满足 6=+y x ，92-=xy z ，求证：y x =【试题来源】【题目】方程 01)23(422=-++-n x n x 的根是另一个根的3倍，整数=n ____【试题来源】【题目】已知关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x ，若方程的两根为21,x x ，且满足211121-=+x x ，求m【试题来源】【题目】设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，求()()222111+++x x 的值【试题来源】【题目】设一元二次方程0622=-++a ax x 的根分别满足下列条件，求相应的实数a 的范围（1）二根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1.【试题来源】【题目】已知关于x 的方程08)3(2=++--m x m x 的两个实根的平方和等于13，求m 的值及方程的两根。
一元二次方程根与系数的关系教案(韦达定理)-2
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4)12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．课后作业1、复习指南：28-29页2、导学精练：15-16页。
孝南区肖港初中九年级数学上册《22.2.4 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》教案 新人教版
《22.2.4 一元二次方程根与系数的关系》教学目标：1.掌握判别式与韦达定理；2.能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用知识的能力教学重点：判别式、韦达定理教学难点：韦达定理的应用教学方法：讲练结合教学手段：多媒体教学过程：(一)知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？(二)探究新知1.填写下表：猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？2.证明已知：如果一元二次方程的两个根分别是、.求证：证明过程(略)3.归纳如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.（三）练兵场根与系数的关系的直接应用1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？根与系数的关系的间接应用1.设、是方程的根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和.3：已知方程的两根、，不解方程，求下列各式的值.（1）（2）（3）（四）总结1.一元二次方程根与系数的关系是什么?2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当时，才能应用根与系数的关系.（五）作业1. 已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.2.方程的两根互为倒数，求k的值.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
利用韦达定理求一元二次方程的根
利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式） 按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48， 则a 2＝1， 因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40， 则a 2＝41， 因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ， （满足条件x 1＋x 2＝－92） 且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52） 于是有 8116－a 2＝―52， 则a 2＝12116， 因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。
2.5一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)教案
4.协作能力：通过小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力，激发学生的学习兴趣和主动性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0（a≠0），以及根与系数之间的关系。
举例：
（1）在讲解韦达定理的推导过程时，教师可通过图形、数值等多种方式引导学生观察、分析，从而发现根与系数之间的关系，并解释其背后的原因。
（2）在解决实际问题时，教师可引导学生将问题转化为数学模型，然后运用韦达定理求解。同时，通过举例说明如何根据系数的符号判断根的符号、大小及个数，帮助学生突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了韦达定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程根与系数关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格和数量关系）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
2.教学难点
（1）理解韦达定理的推导过程：学生需要通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，发现并证明根与系数之间的关系。
一元二次方程根与系数的关系学案
一元二次方程根与系数的关系1、知识准备( 1 ) 一元二次方程的一般式：（2）一元二次方程的解法：（3）一元二次方程的求根公式：2、探究1：完成下列表格问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
探究2：完成下列表格问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；② ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =12x x + 12.x x= == == == =注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________活动1：典型例题例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x 2－6x －15=0 （2）3x 2+7x －9=0 （3）5x －1=4x 2练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）21203x x -=例2：已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。
练习2：若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为例3:已知α,β是方程x 2－3x －5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα11)1(+ 22)2(βα+ )3)(3)(2(++βα βα-)4(练习3：错误辨析已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有实数根，请判断下列结论的正确 （1）当21=k 时方程两根互为相反数（ ） （2）当0=k 时方程的根是1-=x （ ） （3）当1±=k 时方程两根互为倒数（ ） （4）当41≤k 时方程有实数根（ ） 例4:已知关于x 的方程3x 2－5x －2=0,且关于y 的方程的两根是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________练习4：已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的相反数为根的一元二次方程．活动2：随堂训练1．如果方程x 2+px+q=01+1，那么p=_____，q=_____．2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．3．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______．4．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βαβ+=_______．5．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为___________.6.已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．7.已知一元二次方程的两根为_______ ．8．若方程x 2+6x+3a=0-3，则a 的值为_______，方程的另一根为________．9．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112xx x x +； （4）（x 1－x 2）2．10. 已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
韦达定理复习学案(打印版)
韦达定理复习学案知识要点：（三）一元二次方程根的判别式，根与系数的关系 根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 1、对于任意一个一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式是： △ =b 2－4ac2、一元二次方程的根与根的判别式的三种关系：①当△=b 2－4ac ＞0时，方程有 个 实数根。
②当△=b 2－4ac=0时，方程有 个相等的实数根。
③当△=b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根。
注：△=b 2－4ac ≥0时，方程有 根。
3、反之，①若方程有两个不相等的实数根，则一定有△=b 2－4ac ＞0②若方程有两个相等的实数根，则一定有△=b 2－4ac=0。
③若方程没有实数根，则一定有△=b 2－4ac ＜0。
注：若方程有实数根，则一定有△=b 2－4ac ≥0。
根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，()212122121222121122x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+ 例题例1已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.例2 k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．例3设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： =-=+a b x x 21 ==ac x x 21 （1）)3)(3(21--x x ； （2）2221)1()1(+++x x （3）112112+++x x x x（4）||21x x - （5）)31)(31(1221x x x x ++（6）2221x x + （7）1211x x +例4、已知：α、β是关于x 的方程x 2+(m －2)x+1=0的两根，求(1+m α+α2)(1+m β+β2)的值。
一元二次方程根与系数的关系学案
一元二次方程学案一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x 2－2x ＝0 （2）x 2＋3x －4＝0 （3）x 2－5x ＋6＝0.探 索一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=aac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---12x x += + = = 12.x x =aac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（叫伟达定理）为 结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2， x 1＋x 2= 即：两根之和等于 x 1•x 2= 即：两根之积等于如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋ x ＋ac ＝0(a ≠0)，我们就可把它写成x 2+px+q=0．的形式其中p=ab ，q=ac结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0四、分层练习(A 组)1、 下列方程两根的和与两根的积各是多少？（1）y 2-3y+1=0 （2） 3x 2-2x=2 （3）2x 2+3x=0（4）3x 2+5x-2=0 （5）2y 2-5=6y （6）4p(p-1)-3=02、 已知方程3x 2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值3、 设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1） （x 1+1）（x 2+1） （2）2112x x x x +4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-75、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
(第三次课学案)一元二次方程根与系数的关系
例2已知关于x的一元二次方程 的两个跟为 ，且 =4.求m的值
知识点3构造新方程
理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。
例3已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是-2，则这个方程是（）
A． B.
C. D.
练习
1、关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，且满足 ，则k的值为：（）
乐恩教育_____月份第___次授课学案
学员姓名：__________教师姓名：________________学管姓名：_______________
课题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
授课时间
知识点：
一、一元二次方程跟的判别式
对于一元二次方程 的根的判别式是 ：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根；
（A） （B） （C） （D）
5、方程 与方程 的所有根的乘积是
6、设 是关于 的方程 的两个根，且满足 ，求m的值。
（A） （B） （C） （D）不存在
2、若关于x的一元二次方程的两个根分别为1和2，则这个方程是（）
A . B.
C. D.
3、已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则m的值是（）
（A）3或-1（B）3（C）1（D）-3或
4、关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，且 ，则m的取值范围是（）
3、当m满足何条件时，方程 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？
4、关于 的方程 无实根，试解关于 的方程 。
二、一元二次方程跟与系数的关系
注意：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
， ， ，
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A．±8B.8C.－8D.±4
25.已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A．－3或1B．－3C．1D．3
26.已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形
（2）x1+x2=____源自_，x1x2=________（3）x1+x2=______，x1x2=________
8．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝________，x1•x2＝_____，
则 ________则 ________则（x1－x2）2＝___________则x1－x2＝___________
2.一元二次方程的根与系数的关系：
推导韦达定理：
3如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_________，x1x2=____________
4如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=______，x1x2=________
*5以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是______________________．
20.已知方程 ，其中 为实数，且 ，
不解方程，求证：这个方程有两个不相等的实数根；
21.若关于 的一元二次方程 .求证：不论 为任何实数，方程有两个不相等的实数根；
22.试证：关于 的方程 必有实根。
23.已知关于 的方程 ，问：是否存在实数 ，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。
（C）没有实数根（D）不能确定
11若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实根，则 的取值范围是（ ）
A、 B、 ≤ C、 且 ≠2 D、 ≥ 且 ≠2
12．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是__________
13．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝_______
9已知一元二次方程x2－2x－1=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，x12+x22=；
（x1－x2）2＝___________则x1－x2＝___________
10.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根
17、已知关于x的方程2x －（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
（要求：先解方程就m，再利用韦达定理求另一个根）
18、 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x1+1)(x2+1)(2)x12+ x22
19.若方程 的两个根为 ，求 的值.
14、 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=________，这时方程的另一个根是________；
15.已知方程 的两个根互为相反数，求实数 的值.
16.已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，问是否存在
实数 ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。
6（1）：写出一个根为2和3的一元二次方程可以是______________________．
（2）作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 和1+ 可以是______________________．
二、常见题型
7不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1） （2） （3）
（1）x1+x2=______，x1x2=________
一元二次方程根的判别式及韦达定理应用
一、知识点归纳：班级：姓名：
1、一元二次方程根的判别式：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac，△＞0时，方程有_________________，当△＝0时，方程有_______________________________， 当△＜0时，方程_________________________．