江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习数学(文)试卷(十二)

江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文）最后冲刺综合练习试卷（十二）一、填空题：1．若五个数1，2，3，4，a 的平均数是3，则这五个数的标准差是 ． 2．已知集合}06|{2≤--=x x x M ，}152|{>+=x x N ，则集合M ∩N = ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为9951,18,S a a a S n 则若=++等于 ． 4．已知向量a =(1，2)，b =(x ，1)，c =a + 2b ，=2a -b ，且c ∥d ，则实数x 的 值 ．5．已知复数122i,2i z a z =+=-(i 为虚数单位)，若 | z 1 |＜| z 2 |，则实数a 的取值范围是 ． 6．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= ． 7．已知点P ()1,2在圆C : 0222=+-++b y ax y x 上, 点P 关于直线01=-+y x 的对称点也在圆C 上,则实数a = ，b = ． 8．设,,αβγ表示平面，,a b 表示直线，给出下列四个命题：①若,,αβγ两两相交，则有三条交线；②若,αβαγ⊥⊥，则β∥γ； ③若,,a b αγβαβγ⊥==，则a b ⊥；④若α∥β，且β与γ无公共点，则α与γ也无公共点．其中正确的命题是 ．9．在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点B （-5,0）和C （5,0），且AB AC >，顶点A 在双曲线221169x y -=上，则sin sin sin C B A-= ．10．已知二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞，则11a c c a+++的最小 值为 ．11．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示．则平面区域0,0,(2)1a b f a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+<⎩所围成的面积是 ． 12. 设点00(,)M x y 在直线30x y +-=上，若圆22:4C x y +=上存在点N ，使得60OMN ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是_____ _______．13．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的x 的取值范围是 ．14．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0,g x f x g x f x g x ''≠>，()()()()()()()1150,1,112xf f f x ag x a a g g -=⋅>≠+=-且，在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭()1,2,,10n =中，任意取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是 ．二、解答题：15．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ．（1）若D 是BC 的中点，求证： AD ⊥CC 1； （2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱AA 1于M ，若AM =MA 1，求证： 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．ABC A 1B 1C 1D M16．数列{}n a 中，()()()111,211n n n na a a n N n na *+==∈++，其前n 项的和为n S ． （1）设1n nb na =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求n S 的表达式．17．已知圆22:4C x y +=与x 轴交于12,A A 两点，椭圆1C 以线段12A A为长轴，离心率e =．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于12,A A 的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆的右准线交于点Q ，试判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．18.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大． 现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB ＝BC ，过水湿周BC AB l +=1．图②的过水断面为等腰梯形ABCD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝60°，过水湿周CD BC AB l ++=2． 若△ABC 与梯形ABCD 的面积都为S ，图① 图② （1）分别求1l 和2l 的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．19．已知向量()(),1,1,sin a x b x ==-，函数()f x a b =⋅.（1）若],0[π∈x ，试求函数)(x f 的值域；（2）若()y f u x =⎡⎤⎣⎦，则()()y f u u x '''=⋅，如()s i n 2f x x =，则()2c o s 2f x x'=．已知θ为常数，且(0θπ∈2()()2()(),33f f x xg x f θθ++=-设[0x π∈，请讨论)(x g 的单调性，并判断)(x g 的符号．20．已知函数xa xa x f -+=)(（常数0>a ），且.2)3()1(-=+f f （1）求a 的值，并研究函数)(x f 的单调性；（2）比较)(t f 与,2332(222<<-+t t t 且)0≠t 的大小；（3）若函数2)2()()2()(-+--=x m x f x x g 有零点，求实数m 的取值范围．参考答案一、填空题：1．2； 2．}32|{≤<-x x ； 3．54； 4．21； 5．()1,1- ；6．12； 7．a 0=,b 3=-； 8．④； 9．45； 10．4； 11．4； 12．[9-+； 13．[)2,1-； 14．35. 二、解答题：15．证明： (1) ∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1．……………6分 (2) 延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ， ∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1，∵A 1B 1=A 1C 1， ∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1， ∴C 1N ⊥C 1B 1，∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．……………14分 16．解：(1)∵()()111n n n na a n na +=++，∴()111nn n na n a na ++=+，()11111n n n a na +=++，又∵1n n b na =，∴111(1)n n b n a ++=+，∴11n n b b +-=，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列．……………7分 (2)∵()2111n b n n =+-⋅=+， ∴()111111n n a nb n n n n ===-++， ∴11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………14分 17．解：（1）由题意，可设所求椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，易得12(2,0),(2,0)A A -，则有：24,2a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩解之，得2,a c ==，从而有2222b a c =-=．∴所求椭圆1C 的方程为22142x y +=． ……………5分 （2）直线PQ 与圆C 相切．证明如下：易得椭圆1C的右焦点为F，右准线为x = 设点00(,)P x y ，则有22004x y +=，又00PFOQ x k k y ==-， ∴直线PQ的方程为00x y x y =-，…………………………10分令x =00x y y =-，即00)x O y -，∴022PQ y k ====00x y =-，又00OP yk x =， 于是有1OP PQ k k ⋅=-，故OP PQ ⊥，∴直线PQ 与圆C 相切．……………14分18. 在图①中，设∠θ=ABC ，AB ＝BC ＝a ．则θsi n 212a S =，由于S 、a 、θsin 皆为正值，可解得S Sa 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即θ＝90°时取等号．所以S a l 2221≥=，1l 的最小值为S 22．在图②中，设AB ＝CD ＝m ，BC ＝n ，由∠BAD ＝60°可求得AD ＝m ＋n ，m n m n S 23)(21⋅++=，解得232m m S n -=．m n m l 222=+= S S mmS m m S 432322332232=≥+=-+，2l 的最小值为S 432．当且仅当2332m m S =，即334S m =时取等号． （2）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值．所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案19．解：（1）,sin )(x x b a x f -=⋅= ],0[,c o s 1)('π∈-=∴x x x f ，,0)('≥∴x f .],0[)(上单调递增在πx f ∴于是)()()0(πf x f f ≤≤， ].,0[)(π的值域为x f ∴……………5分 （2）x x x x x x g sin 31sin 3232sin 323sin )sin (2)(--=+++--+-=θθθθθ,32sin x ++θ32cos31cos 31)('xx x g ++-=∴θ .],0[cos ),,0(32),,0(],,0[内单调递减在而ππθπθπx y xx =∈+∴∈∈ .,32,0)('θθ=+==∴x xx x g 即得由……………10分 因此，当)(,0)(',0x g x g x <<≤时θ单调递减； 当)(,0)(',x g x g x >≤<时πθ单调递增.由)(x g 的单调性，知)(θg =)(x g 在],0[π上的最小值,θθθ≠===∴x g x g x 当时当0)()(,时，)()(θg x g >=0，综上知，当),0[θ∈x 时，)(x g 单调递减；当],(πθ∈x 时，)(x g 单调递增. 当,时θ=x )(x g =0，当,时θ≠x )(x g >0.……………16分20．解：（1）由.23311)3()1(-=-++-+=+a a a a f f 化简得.2,0,0)2(=∴>=-a a a a 由xxx f -+=22)(，定义域为),2()2,(+∞-∞ . 0)2(4)(2'>-=x x f 总成立，)(x f ∴在)2,(-∞与),2(+∞上分别单调递增．…4分（2）令2222)(+=+=xx x x h ，则)(x h 在)0,(-∞与),0(+∞上分别单调递减. 当032<<-t 时，21()()32f t f >-=,∵2()()13h t h <-=-, ∴()11222h t -<=, ∴22()2t tf t +>当230<<t 时，3()()72f t f <=,∵1022()33310()(),2228,()223t h t t h t h f t +>=>>=∴< 综上，当032<<-t 时，tt t f 222)(+>；当230<<t 时，tt t f 222)(+<．………10分（3）2,2)2(2)(≠-+-+=x x m x x g 。