线性规划与函数最值
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
利用线性规划求最值
利用线性规划求最值陕西宁强县天津高级中学 李红伟简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。
解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。
现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。
一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=）例1．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。
解析：不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,2,01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。
图中阴影部分即为可行域。
图示—1由⎩⎨⎧=+-=-+,01,03x y x 得⎩⎨⎧==,2,1y x )2,1(A ∴ 由⎩⎨⎧=-+=,03,2y x x 得⎩⎨⎧==,1,2y x )1,2(B ∴ 由⎩⎨⎧=+-=,01,2y x x 得⎩⎨⎧==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2， 即z表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+⨯=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+⨯=Z .所以，Z 的最大值为7，Z 最小值为4.这类问题的解决，关键在于能够正确理解目标函数的几何意义——目标函数的“截距”。
二、线性约束条件下非线性目标函数的最值1．距离型：22)()(b y a x z -+-= 即z 几何意义为可行域内的动点）（y x ,与定点),(b a 的距离的平方。
利用线性规划的思想求无理函数的最值
①
②
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由式 ①②知
●●●｝●＾ ，≥ｏ● ● １ ●Ｃ●● ● ●●，＼ 一 ●为 ● ● ● ３ 且ｚ ● 工 一生： ， ，●，、一● 则 ：； ， ＿ ｍ●●●●２
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化 得 一 一 简卒 罕 １ ．
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例 例 １ 求函数 － ｚ 一、五＝ ＋、 ｚ的值域． 厂 ） ／ 一２ ／ —２ 的值域． （ 一￣３ ／ ， ＋￣３ ／ ／
下 移 ， — 一 的值越 大 ， ｚ 越往上 移 ， 一 一 的 ２ 值越 小． 由于双 曲线 一 一１的渐近线 斜率
此 时 原 题 化 为 目 标 函 数 为 ｚ＝ ＋ ， 行 域 为 ＝ ： 可
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ｆ ≥ ０， ｌ
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此时， 题 转化 为 目 问
函数贯 穿于 高 中数 学 的始 终 ， 是高 考 数 学考 查 的
坍 ２・
标 函数 是 ： —ｍ１ ｚ 一ｍ２ 可 ，
行 域 是
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一
热点 内容． 因其概 念性 较强 ， 题方 法 灵 活等 特 点 ， 解 所
解 令 ｍｌ ／ ｚ 一￣３ 一２， 则 １ ， ≥Ｏ 且
ｚ 丁￣ｒ 一ｍ Ｚ２ － ； ①
此 问 题 转 化 为 目标 函 的 数为 一 一 ， 行 域 线 可
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规
令 优 一、 ／ ，
， 则 ≥０ 且 ，
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题论文
例说运用线性规划思想解二元函数最值问题线性规划是高中数学中的新增内容,也是初等与高等数学的衔接内容,是高考的重点热点.线性规划思想在高中数学各个章节中都有应用,尤其在求有关二元函数的最值问题时，以下举几例说明，供参考：一、在解析几何中的应用1.到点的距离问题例1 已知x,y满足y≤x,x+2y≤4,y≥-2,则s=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.解析 s=(x+1）2+（y-1)2表示可行域内的点到点(-1,1)的距离的平方,由图可知当点取(0,0)时s的最小值为2.2.到直线的距离问题例2 已知x,y满足不等式组x+y-4≥0,x-y+2≥0,2x-y-5≤0,则ω=|x+2y-4|的最大值为.解析作出可行域,设p(x,y)是区域内任一点,则|x+2y-4|[]5表示点p到直线x+2y-4=0的距离,解x-y+2=0,2x-y-5=0,得q(7,9),由图可知,当取点q(7,9)时，ω的最大值为21.3.两点连线的斜率问题例3 已知x,y满足不等式组y≥0,x-y≥0,2x-y-2≥0，则ω=y-1[]x+1的取值范围是.解析作出可行域,设p(x,y)为可行域内任一点,而ω=y-1[]x+1表示点p和点q(－1,1)连线的斜率,且ωmin=k qm=-1[]2,又由图知ω<1,所以ω-1[]2,1.点评 (1)解线性规划问题要先正确画出满足条件的可行域.(2)要善于联想目标函数所表示的几何意义,如距离、斜率等.二、在函数、方程与不等式中的应用例4 已知函数f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈［0,1］,若f(x)≤2恒成立,则a+b的最大值为.解析由题意得f(0)≤2,f(1)≤2,解得b-2a≤2,2a+b≤5,令z=a+b,作图令横轴为a轴,纵轴为b轴,由线性规划知识可得在点3[]4,7[]2处z取得最大值17[]4.三、在概率问题中的应用例5 甲乙二人互相约定6：00~6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开,求甲乙二人能会面的概率.（假定他们在6：00~6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.）解析设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x，y.则由题意知0≤x≤30,0≤y≤30,由“二人会面”可得|x-y|<10，在直角坐标系中画出0≤x≤300≤y≤30的对应平面区域为正方形，且面积为302=900；画出|x-y|<10的对应平面区域为区域a，且面积为302-2×1[]2×(30-10)2=500.所以由几何概型可得所求概率为p=500[]900=5[]9.答两人能见面的概率为5[]9.从以上几例看出，在求有关二元函数的最值问题时，注意利用线性规划思想,联想目标函数的几何意义,合理恰当转化将使问题解决简洁明了.。
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
求线性规划问题中目标函数最值专题
．
• 3. 线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.
利用线性规划求最值（名师，考点二）
x＋2y≥2， 例 1 设变量 x，y 满足约束条件2x＋y≤4，
• 2项必须防范
• 1. 画出平面区域，避免失误的重要方法就是 首先使二元不等式标准化．
• 2. 注意不等式中不等号有无等号，含等号时， 直线画为实线；不含等号时，画为虚线．
• 3点必知关键 • 1. 线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面
区域是解题的基础． • 2. 目标函数的意义，有的可以用直线在y轴上的截距
离最小.又即ຫໍສະໝຸດ OM 13, ON 9 ,
2
∴z的9最大x值2 为y12 3,最13小,值9为 x2 y2 13.
2
2
9
.
2
(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B
的连线的斜率值最小,
又
k OA
2, kOB
1 , 1 22
y 2. x
∴z的最大值为2,最小值为 1 .
(1)形如 z＝ax＋by 的截距型； (2)形如 z＝yx－ －ab的斜率型； (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型．
x≥0
[变式探究] 设变量 x，y 满足约束条件y≥0
，
4x＋3y≤12
则 z＝yx＋ ＋11的取值范围是(
)
A．[0,4]
B．[14，5]
C．[54，6]
• 答案：B
x y 3 0
线性规划最值问题
线性规划最值问题
线性规划是一种优化问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使得目标函数最大或最小的变量值。
在线性规划最值问题中，
我们将面临以下几个步骤：
1. 定义目标函数：线性规划最值问题首先需要定义一个目标函数，该函数描述了需要最大化或最小化的目标。
目标函数是由一组
线性变量组成的数学表达式。
2. 设置约束条件：线性规划最值问题还需要设置一组线性约束
条件，这些约束条件用于限制变量的取值范围。
约束条件可以是大
于等于、小于等于或等于某个值的等式或不等式。
3. 制定模型：将目标函数和约束条件组合在一起，形成线性规
划模型。
这个模型可以通过数学表达式来描述。
4. 解决问题：通过线性规划算法，我们可以求解线性规划问题
的最优解。
最优解是使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
5. 分析结果：最后，我们对线性规划问题的解进行分析和解释。
我们可以判断最优解的可行性，以及根据最优解提供决策建议。
线性规划最值问题可以应用于多种实际场景中，如生产计划优化、资源分配、投资组合优化等。
通过解决线性规划最值问题，我
们可以在复杂的决策环境下，找到最优的决策方案，提高效率和效益。
参考文献：
[1] 王静.线性规划方法. 中国人民大学出版社, 2009.。
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。
确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。
下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。
1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。
找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。
2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。
找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。
注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。
3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。
欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。
4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。
通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。
5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。
通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。
6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。
7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
线性规划与最优解知识点总结
线性规划与最优解知识点总结线性规划是运筹学中一种重要的数学优化方法，用于求解一个目标函数在一组约束条件下的最优解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产调度、资源分配、投资决策等。
在本篇文章中，我们将对线性规划与最优解的关键知识点进行总结。
一、线性规划基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最小值或最大值。
目标函数通常是一组线性方程。
2. 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一组约束条件，这些条件通常是一组线性不等式或等式。
约束条件反映了问题的限制条件。
3. 决策变量：决策变量是线性规划中的未知数，通过对它们的取值进行优化，可以实现目标函数的最优解。
二、线性规划的解法1. 图解法：对于二维及三维的线性规划问题，可以通过绘制约束条件的图形来找到最优解。
最优解通常位于约束条件的交点处。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划算法，通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
该方法适用于多维的线性规划问题。
三、线性规划的最优解性质1. 最优解的存在性：在满足一定条件下，线性规划问题一定存在最优解。
但是，最优解可能不存在的情况也是存在的，这通常与约束条件的矛盾性有关。
2. 最优解的唯一性：线性规划问题的最优解可能是唯一的，也可能存在多个最优解。
是否存在多个最优解取决于目标函数和约束条件的性质。
四、常见的线性规划问题1. 最大化问题：通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最大值。
这种问题常见于投资决策、利润最大化等领域。
2. 最小化问题：通过选择合适的决策变量，使得目标函数达到最小值。
这种问题常见于成本最小化、资源分配等领域。
3. 平衡问题：在满足一组约束条件的前提下，通过优化决策变量的取值，使得各个变量之间达到平衡。
这种问题常见于供应链管理、产能平衡等领域。
五、线性规划的应用举例1. 生产调度问题：如何合理安排生产任务，使得生产效率最大化。
2. 资源分配问题：如何合理分配资源，使得资源利用率最高。
线性规划求最值问题
(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
计算最优值的算法
计算最优值的算法1. 线性规划线性规划是一种优化问题的数学建模方法，其目标是在一系列线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的数值。
线性规划的基本形式可以表示为：\[Max \quad c^Tx\]\[subject \quad to \quad Ax ≤ b\]其中，c是一个n维列向量，x是一个n维变量向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m 维列向量。
上述形式称为标准形式。
线性规划问题的最优值就是目标函数c^Tx的最大或最小值。
线性规划通常用于工程规划、资源分配等领域。
在解决线性规划问题时，可以使用单纯形法、对偶单纯形法、内点法等算法。
这些算法都是基于线性规划的特殊性质来设计的，具有高效的计算性能和很好的稳定性。
2. 动态规划动态规划是一种通过拆分问题为更小的子问题来解决优化问题的方法。
动态规划通常用于解决多阶段决策问题、最短路径问题、最优切割问题等。
动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个较小的相似的子问题，然后通过求解子问题来得到原问题的解。
动态规划算法包括自底向上法和自顶向下法。
自底向上法是一种迭代求解的方法，其思想是从最小的子问题开始，逐步推导出较大的子问题的解。
自顶向下法则是一种递归求解的方法，其思想是将原问题分解为若干个子问题，然后递归地求解这些子问题。
动态规划算法在实际应用中有很多成功的案例，例如0/1背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。
这些问题都可以通过动态规划算法来求解，并得到最优值。
3. 贪心算法贪心算法是一种通过每一步选择局部最优解，最终得到全局最优解的方法。
贪心算法是一种简单而有效的算法，它通常适用于一些特殊的优化问题，例如最小生成树问题、Dijkstra最短路径算法等。
在贪心算法中，每一步都选择当前最优的解，然后继续下一步。
贪心算法的关键在于确定何时选择局部最优解和何时放弃之前的选择。
如果能够确定好这些条件，就可以保证最终得到全局最优解。
贪心算法在实际应用中有很多成功的案例，例如霍夫曼编码、最小生成树、最短路径等。
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浅谈运用线性规划思想求最值
阜阳市城郊中学 李雷
【摘要】：运用线性规划思想去解高中数学中一些求最值，是对数形结合思想的提升,应用线性或非线性函数的几何意义,经过作图处置最值效果。
是从一个新的角度对求最值的了解,对学生最优化思想的构成是十分有益的。
【关键词】：线性规划 目的函数 最值
线性规划是高中数学教学的新内容之一,是处置一些在线性约束条件下的线性目的函数的最值(最大值或最小值)的效果。
它是运筹学的一个重要内容,关于构成最优化思想有着重要的作用,并且在实践消费活动中也有着普遍的运用,可以完成对资源的最佳应用。
线性规划的基本思想即在一定的约束条件下,经过数形结合求函数的最值。
处置效果时主要是借助平面图形,运用这一思想可以比拟有效地处置一些二元函数的最值效果。
本文将从规划思想来分析一些高中数学中一些特殊的函数最值。
1.线性约束条件下线性函数的最值
线性约束条件下线性函数的最值,它的线性约束条件是一个二元一次不等式组,目的函数是一个二元一次函数,可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域,区域内的各
点的点坐标(x,y)即线性规划可行解,在可行解中的使得目的函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即线性规划的最优解。
1.1线性约束条件下与斜率有关的最值问题
例：设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
，
，，
≤≥≤，则y z x =的最大值是__________．
解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图1）， 00
y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率， 要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值． 由图1可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与
230y -=的交点，即A 点． ∴3
12
P ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数00
y y z x
x -=
=
-的几何意义，当然本题也可设
y t x
=，则y tx =，即为
求y tx =的斜率的最大值．由图1可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32
t =，即得到的最
大值是32
．
1.2线性约束条件下与截距有关的最值问题
例：已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围
解析：由线性约束条件画出可行域如图2，考虑z x y =-， 把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族 平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束
条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2
直线经过点（
0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1）， （2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的 取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点 取得的特殊值意识．
当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程(或一元一次方程)时,则可行域就转变成一条线段(或一条直线,或一条射线)。
这类问题的处置,关键在于可以正确了解线性约束条件所表示的几何意义,并画出其图形,应用线性规划求最优解方法求出最优解及目的函数的最大值或最小值。
2、线性约束条件下非线性函数的最值
这类题目也是高中数学中少见的,它也可以用线性规划的思想来处理。
它的约束条件是一个二元一次不等式组,目的函数是一个二元函数,可行域是直线所围成的图形(或一条线段),区域内的各点的点坐标(x,y)即可行解,在可行解中的使得目的函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即最优解。
2.1线性约束条件下与距离有关的最值问题
例：已知2040250x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩
，，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标
A （1，3）、
B （3，1）、
C （7，9）．而22
(5)z x y =+-
表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段A C 上，故z 的 最小值是2
92
M N
=
．
注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．
这类问题的处置,关键在于可以正确了解非线性目的函数所表示的几何意义,并应用图形及非线性目的函数所表示的几何意义求出最优解及目的函数的最大值或最小值。
3. 非线性约束条件下线性函数的最值
例：已知,x y 满足，2
2
4x y +=，求32x y +的最大值和最小值 解析：约束条件：2
24x y +=，是关于,x y 的一个二元二次方程； 目标函数：32z x y =+，是关于,x y 的一个二元一次函数； 可行域：是圆2
24x y +=上的圆周U （如图4）
可行解：所有满足(),x y U ∈（即圆周上的点的坐标）实数,x y 都是可行解；
图 4
最优解：(),x y U ∈，即可行域内一点(),x y ，使得一组平行线320x y z +-=（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标(),x y 就是线性规划的最优解。
4.非线性约束条件下非线性函数的最值
在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例：已知,x y
满足y =2
y x +的最大值和最小值
解析：约束条件：y =,x y 的一个二元方程； 目标函数：2
y z x =
+是一个关于,x y 的一个二元函数，可以看作是
一点(),x y 与点()2,0-的斜率；
可行域：以原点为圆心，1为半径的在x 轴上方的半圆及与x 轴的交点U （如图5）；
可行解：所有满足(),x y U ∈（即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数,x y 都是可行解；
最优解：(),x y U ∈，即可行域内一点(),x y ，使得它与点()2,0-的斜率取得最大值和最小值，此时所对应的点的坐标(),x y 就是最优解。
这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。
5.可转化为线性规划的方程问题
例：已知a b +∈R ，，若方程220x ax b ++=与方程22
x bx a ++a b +
解：由题意，得2
2
80440a b b a ⎧-⎪⎨-⎪⎩，，≥≥即228.a b b a ⎧⎪⎨⎪
⎩，
≥≥
画出其可行域为如图6所示阴影部分．
令t a b =+，故要求a b +的最小值，即求过可行域内的点，
使得b t a =-在b 轴上截距最小的点的坐标．由图知，A 由2
28.
a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
解得42a b ==，．a b ∴+的最小值为6．
利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数学形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题。
是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。
图 5。