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线性规划
.
1
线性规划内容
一、线性规划模型 二、线性规划模型的标准形式 三、用matlab解线性规划
.
2
线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：
1. 每一个问题都用一组未知数（x1 ，x2 ，… ，
x代这n 表些）一 未表个 知示具 数某体 取一方 值方案 是案。非；由负这于的些实。未际知问数题的的一要组求定，值通就常模型
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a...22x2+…+a2nxn=b2 axm11，x1+x2a，m2x…2 +，…x+namn≥xn=0bm
1
2
x6 x7 1 xi 0或 1
这是一个0-1规划问题
.
12
几个问题都是典型的最值问题。其中， “ Min 或 Max” 是 英 文 单 词 “ Minimize 或 Maximize” 的 缩 写 ， 含 义 为 “ 最 小 化 或 最 大 化”；“s.t.”是“subject to”的缩写，表 示“受约束于…”。
式中( )可以是关系符号：> ,<, =, ≥ ,≤中的任意一个
（线性等式或线性不等式）。.
4
线性规划模型的求解：
图解法 单纯形法 matlab软件求解。
以下介绍几种常见的线性规划问题。
.
5
引例1
问题一 ：任务分配问题：某车间有甲、乙两台车床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
最优解，这样的整数规划应用专门. 的方法求解.
10
引例3
问题三：投资决策问题某公司拟在某市东、西、南三 区建立门市部，拟议中有7个位置（点）Ai(i= 1,2,…,7) 可供选择。规定东区在A1、A2、A3 三个点中至多选两 个。西区A4、A5两个点中至少选一个。南区A6、A7两 个点中至少选一个。并知道如果选用Ai点，则投资为 bi元，估计每年可获利为ci元，但投资总额不得超过B 元。问应该选择哪几个点可使年利润为最大？
一 、 线
2. 存在一定的限制条件（即约束条件），这些限 性
制条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等 规
式来表示。
划
3. 有一个目标要求，称为目标函数。目标函数可 表示为一组未知数的线性函数。根据问题的需要， 需求目标函数实现最大化或最小化。
.
3
一般的线性规划问题的数学模型：
•目标函数( 线性函数）：
约束条件： s .t .
5 x1 3 x2 45
x1 x2
9 1
5
x1 0 , x 2 0
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是一个整数 线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好
是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划 解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的
Min(max)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
模一
•约束条件(s.t.)：
型、
a11x1+a12x2+…+a1nxn(≥)b1
线 性
a21x1+a22x2+...…+a2nxn (≥) b2
规 划
am1x1+am2x2 +…+amnxn (≥) bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6, 可建立以下线性规划模型：
目标函数： m z 1 x i 1 n 9 3 x 2 1 x 3 1 0 x 4 1 x 5 2 8 x 6
x1 x4 400
x2
x5
600
约束条件：
s.t.
0x3.4x1x6
500 1.1x2
车 床单 位 工 件 所 需 加 工 台 时 数 单 位 工 件 的 加 工 费 用 可 用 台 类 型 工 件 1 工 件 2 工 件 3 工 件 1 工 件 2 工 件 3 时 数
甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800
乙 0.5 1.2 1.3 11 12 83的数量分别为x1、x2、x3，
线性规划是运筹学的一个重要分支，应用 很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变 量，这些非负变量在一定线性约束的条件下， 使一个线性目标函数取得极大（极小）值的问 题。由于式中的目标函数与约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。
.
13
线性规划的标准形式
•目标函数：
Minz = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,
则应付检验员的工资为：
8 4 x 1 8 3 x 2 3 x 1 2 2 x 24
因检验员错检而造成的损失为：
( 8 2 2 % 5 x 1 8 1 5 % 5 x 2 ) 2 8 x 1 1 x 22
.
8
故目标函数为：
解 设 xi 0,1,A A i点 i点 未 被 被 选 选 用 用i1,2,L7
则投资决策问题归结为一个线性规划模型：
.
11
故目标函数为：
7
m axyc 1x 1 c2x2 c3x3 L c7x7 cixi
约束条件为：
i 1
7
bixi B
i1
s.t.
x1
x2 x4
x3 x5
m z ( 3 x i 1 2 2 n x 2 ) 4 ( 8 x 1 1 x 2 ) 2 4 x 1 3 0 x 26
约束条件为：
8 25 x1 815 x2 1800
8 8
25 15
x1 x2
1800 1800
x1 0, x2 0
.
9
线性规划模型
目标函数： mzi n 4x0 13x6 2
x3
800
0.5
x4
1.2 x5
1.3x6
900
xi 0,i 1, 2,L , 6
.
7
引例2
问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时. 检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该 工厂应聘一级、二级检验员各几名？
.
1
线性规划内容
一、线性规划模型 二、线性规划模型的标准形式 三、用matlab解线性规划
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2
线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：
1. 每一个问题都用一组未知数（x1 ，x2 ，… ，
x代这n 表些）一 未表个 知示具 数某体 取一方 值方案 是案。非；由负这于的些实。未际知问数题的的一要组求定，值通就常模型
•约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a...22x2+…+a2nxn=b2 axm11，x1+x2a，m2x…2 +，…x+namn≥xn=0bm
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2
x6 x7 1 xi 0或 1
这是一个0-1规划问题
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12
几个问题都是典型的最值问题。其中， “ Min 或 Max” 是 英 文 单 词 “ Minimize 或 Maximize” 的 缩 写 ， 含 义 为 “ 最 小 化 或 最 大 化”；“s.t.”是“subject to”的缩写，表 示“受约束于…”。
式中( )可以是关系符号：> ,<, =, ≥ ,≤中的任意一个
（线性等式或线性不等式）。.
4
线性规划模型的求解：
图解法 单纯形法 matlab软件求解。
以下介绍几种常见的线性规划问题。
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5
引例1
问题一 ：任务分配问题：某车间有甲、乙两台车床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
最优解，这样的整数规划应用专门. 的方法求解.
10
引例3
问题三：投资决策问题某公司拟在某市东、西、南三 区建立门市部，拟议中有7个位置（点）Ai(i= 1,2,…,7) 可供选择。规定东区在A1、A2、A3 三个点中至多选两 个。西区A4、A5两个点中至少选一个。南区A6、A7两 个点中至少选一个。并知道如果选用Ai点，则投资为 bi元，估计每年可获利为ci元，但投资总额不得超过B 元。问应该选择哪几个点可使年利润为最大？
一 、 线
2. 存在一定的限制条件（即约束条件），这些限 性
制条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等 规
式来表示。
划
3. 有一个目标要求，称为目标函数。目标函数可 表示为一组未知数的线性函数。根据问题的需要， 需求目标函数实现最大化或最小化。
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3
一般的线性规划问题的数学模型：
•目标函数( 线性函数）：
约束条件： s .t .
5 x1 3 x2 45
x1 x2
9 1
5
x1 0 , x 2 0
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是一个整数 线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好
是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划 解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的
Min(max)z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
模一
•约束条件(s.t.)：
型、
a11x1+a12x2+…+a1nxn(≥)b1
线 性
a21x1+a22x2+...…+a2nxn (≥) b2
规 划
am1x1+am2x2 +…+amnxn (≥) bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥0
在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6, 可建立以下线性规划模型：
目标函数： m z 1 x i 1 n 9 3 x 2 1 x 3 1 0 x 4 1 x 5 2 8 x 6
x1 x4 400
x2
x5
600
约束条件：
s.t.
0x3.4x1x6
500 1.1x2
车 床单 位 工 件 所 需 加 工 台 时 数 单 位 工 件 的 加 工 费 用 可 用 台 类 型 工 件 1 工 件 2 工 件 3 工 件 1 工 件 2 工 件 3 时 数
甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800
乙 0.5 1.2 1.3 11 12 83的数量分别为x1、x2、x3，
线性规划是运筹学的一个重要分支，应用 很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变 量，这些非负变量在一定线性约束的条件下， 使一个线性目标函数取得极大（极小）值的问 题。由于式中的目标函数与约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。
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13
线性规划的标准形式
•目标函数：
Minz = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,
则应付检验员的工资为：
8 4 x 1 8 3 x 2 3 x 1 2 2 x 24
因检验员错检而造成的损失为：
( 8 2 2 % 5 x 1 8 1 5 % 5 x 2 ) 2 8 x 1 1 x 22
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故目标函数为：
解 设 xi 0,1,A A i点 i点 未 被 被 选 选 用 用i1,2,L7
则投资决策问题归结为一个线性规划模型：
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11
故目标函数为：
7
m axyc 1x 1 c2x2 c3x3 L c7x7 cixi
约束条件为：
i 1
7
bixi B
i1
s.t.
x1
x2 x4
x3 x5
m z ( 3 x i 1 2 2 n x 2 ) 4 ( 8 x 1 1 x 2 ) 2 4 x 1 3 0 x 26
约束条件为：
8 25 x1 815 x2 1800
8 8
25 15
x1 x2
1800 1800
x1 0, x2 0
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线性规划模型
目标函数： mzi n 4x0 13x6 2
x3
800
0.5
x4
1.2 x5
1.3x6
900
xi 0,i 1, 2,L , 6
.
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引例2
问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时. 检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该 工厂应聘一级、二级检验员各几名？