规划理论及模型
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5.非线性规划模型 前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约 束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作 中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即 目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数 的规划问题，即非线性规划问题.
事实上，客观世界中的问题许多是非线
性的，给予线性大多是近似的，是在作了科
学的假设和简化后得到的. 为了利用线性的知 识，许多非线性问题常进行线性化处理. 但在 实际问题中，有一些是不能进行线性化处理 的，否则将严重影响模型对实际问题近似的
非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： ⑴ 无约束非线性规划模型：
min f ( x) x Rn
⑵ 等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. h j ( x) 0, j 1,2,
r
⑶ 不等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1,2, m
可依赖型.
由于非线性规划问题在计算上常是困难的，
理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的
结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大
时，则考虑用非线性规划.
非线性规划问题的标准形式为：
⑤ 令 xk 1 xk k d k ，然后置 k k 1，返回②.
在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作
用，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好
坏的重要因素. 非线性规划只含一个变量，即一
维非线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，
一维搜索方法主要有进退法和黄金分割法. 二维 的非线性规划也可以像解线性规划那样用图形求 解. 对于二维非线性规划，使用搜索方法是要用 到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降
模型求解： 拉格朗日函数的wenku.baidu.com式为：
L( x1, x2 , ) f ( x1, x2 ) g( x1, x2 ) T
即:
27 20 L( x1 , x2 , ) 0.25 x1 0.10 x2 2 x1 4 x2 24 x1 x2
对 L( x1 , x2 , ) 求各个变量的偏导数，并令它们等 于零，得:
L 27 2 0.25 2 0 x1 x1 L 20 2 0.10 4 0 x2 x2 L 2 x1 4 x2 24 0
解这个线性方程组得：
x1 5.0968, x2 3.4516, 0.3947, f ( x1, x2 ) 12.71
从而可得最小值是 12.71 .
表示当约束条件右边的值增大一个单位后， 相
应目标函数值的增加值。 比如说： 如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10
。
x1 , x2 , x3
针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基 本思路可归纳如下： 1) 无约束的非线性规划问题.
若目标函数 f ( x) 的形式简单，可以通过 求解方程 f ( x) 0 （ f ( x) 表示函数的梯度） 求出最优解 x ，但求解f ( x) 往往是很困难的. 所以往往根据目标函数的特征采用搜索的 方法（下降迭代法）寻找，该方法的基本 步骤如下：
min f ( x) g i ( x ) 0, i 1, 2, m s.t. h j ( x ) 0, j 1, 2, r
其中， x为 n维欧式空间 R n 中的向量， f ( x)为 目标函数，gi ( x)、 h j ( x)为约束条件. 且h j ( x)、
gi ( x)、 f ( x)中至少有一个是非线性函数.
表5
石油的 种类 1
ai
数据表
bi hi ti
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
27 20 min f ( x1 , x2 ) 0.25 x1 0.10 x2 x1 x2 s.t. 2 x1 4 x2 24
法.
2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消 元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为 无约束问题求解. 3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很 复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为 等式约束，再将约束问题化为无约束问题， 用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线 性规划问题. 下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
① 适当选取初始点 x0 ，令 k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向. ④ 从 xk 出发， 沿方向 d k ， 按某种方法确定步长 k ， 使得：
f ( xk k dk ) f ( xk )
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
a1b1 h1 x1 a2b2 h2 x2 min f ( x1 , x2 ) x 2 x 2 1 2 s.t. g ( x1 , x2 ) t1 x1 t2 x2 T
且提供数据如表5所示：
例7．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间.
但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问
题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义
如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的
速度.
表4 各种符号表示意义表
xi
ai
bi hi
ti
第i种油的存储量
第i种油的价格
第i种油的供给率 第i种油的每单位的存储费用 第i种油的每单位的存储空间
事实上，客观世界中的问题许多是非线
性的，给予线性大多是近似的，是在作了科
学的假设和简化后得到的. 为了利用线性的知 识，许多非线性问题常进行线性化处理. 但在 实际问题中，有一些是不能进行线性化处理 的，否则将严重影响模型对实际问题近似的
非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： ⑴ 无约束非线性规划模型：
min f ( x) x Rn
⑵ 等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. h j ( x) 0, j 1,2,
r
⑶ 不等式约束非线性规划模型：
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1,2, m
可依赖型.
由于非线性规划问题在计算上常是困难的，
理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的
结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非 线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行 认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化， 首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大
时，则考虑用非线性规划.
非线性规划问题的标准形式为：
⑤ 令 xk 1 xk k d k ，然后置 k k 1，返回②.
在下降迭代算法中，搜索方向起着关键的作
用，而当搜索方向确定后，步长又是决定算法好
坏的重要因素. 非线性规划只含一个变量，即一
维非线性规划可以用一维搜索方法求得最优解，
一维搜索方法主要有进退法和黄金分割法. 二维 的非线性规划也可以像解线性规划那样用图形求 解. 对于二维非线性规划，使用搜索方法是要用 到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降
模型求解： 拉格朗日函数的wenku.baidu.com式为：
L( x1, x2 , ) f ( x1, x2 ) g( x1, x2 ) T
即:
27 20 L( x1 , x2 , ) 0.25 x1 0.10 x2 2 x1 4 x2 24 x1 x2
对 L( x1 , x2 , ) 求各个变量的偏导数，并令它们等 于零，得:
L 27 2 0.25 2 0 x1 x1 L 20 2 0.10 4 0 x2 x2 L 2 x1 4 x2 24 0
解这个线性方程组得：
x1 5.0968, x2 3.4516, 0.3947, f ( x1, x2 ) 12.71
从而可得最小值是 12.71 .
表示当约束条件右边的值增大一个单位后， 相
应目标函数值的增加值。 比如说： 如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10
。
x1 , x2 , x3
针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基 本思路可归纳如下： 1) 无约束的非线性规划问题.
若目标函数 f ( x) 的形式简单，可以通过 求解方程 f ( x) 0 （ f ( x) 表示函数的梯度） 求出最优解 x ，但求解f ( x) 往往是很困难的. 所以往往根据目标函数的特征采用搜索的 方法（下降迭代法）寻找，该方法的基本 步骤如下：
min f ( x) g i ( x ) 0, i 1, 2, m s.t. h j ( x ) 0, j 1, 2, r
其中， x为 n维欧式空间 R n 中的向量， f ( x)为 目标函数，gi ( x)、 h j ( x)为约束条件. 且h j ( x)、
gi ( x)、 f ( x)中至少有一个是非线性函数.
表5
石油的 种类 1
ai
数据表
bi hi ti
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
27 20 min f ( x1 , x2 ) 0.25 x1 0.10 x2 x1 x2 s.t. 2 x1 4 x2 24
法.
2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消 元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为 无约束问题求解. 3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很 复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为 等式约束，再将约束问题化为无约束问题， 用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线 性规划问题. 下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
① 适当选取初始点 x0 ，令 k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向. ④ 从 xk 出发， 沿方向 d k ， 按某种方法确定步长 k ， 使得：
f ( xk k dk ) f ( xk )
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
a1b1 h1 x1 a2b2 h2 x2 min f ( x1 , x2 ) x 2 x 2 1 2 s.t. g ( x1 , x2 ) t1 x1 t2 x2 T
且提供数据如表5所示：
例7．（石油最优储存方法）有一石油运输公司， 为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间.
但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问
题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义
如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的
速度.
表4 各种符号表示意义表
xi
ai
bi hi
ti
第i种油的存储量
第i种油的价格
第i种油的供给率 第i种油的每单位的存储费用 第i种油的每单位的存储空间