线性规划理论与模型应用
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单纯形法的第二个缺陷是, 1972年, V.Klee和 G.Minmty构造了一个例子, 发现单纯形法的迭代次 数是指数次运算. 一般认为求解一个问题的算法, 运算次数如果是问题规模的多项式函数称为多项式 算法, 则这一问题可有效地用计算机进行求解, 而 单纯形法不是多项式算法. V.Klee和G.Minmty的例 子使单纯形法受到了严重的挑战, 也提出了一个新 的问题---有无求解线性规划问题的多项式算法。
……………
am1x1+am2x2 + … +amnxn bm x1 , x2, … xn 0
对线性规划贡献最大的应属美国数学家丹齐格 (G.B.Dantzig), 他在1947年提出了求解线性规划问 题的单纯形法(Simplex Method), 同时给出了许多 很有价值的相关理论, 为线性规划奠定了理论基础. 1953年, G.B.Dantzig又提出了改进单纯形法, 较之 于基本单纯形法, 改进单纯形法更适用于大规模线 性规划问题的计算机实现. 1954年Lemke提出了对 偶单纯形法(Dual Simplex Method)。
1.2 线性规划模型
建立线性规划模型的三个步骤
所解决实际问题中影响最终目标的因素中 确定决策变量； 确定目标函数； 根据决策变量所受的限制条件确定决策变 量所应满足的约束条件。
如果目标函数是线性函数，约束条件均为线性不 等式或等式，则称该为线性规划模型；如果目标 函数和约束条件至少有一个非线性函数则称为非 线性规划模型。
线性规划理论与模型应用
第一章 线性规划
主要内容
1.1 引言 1.2 线性规划模型 1.3 线性规划解的定义集图解法 1.4 线性规划的单纯形法 1.5 退化情况的处理 1.6 两阶段法 1.7 改进的单纯形法
1.1引言
线性规划(Linear Programming)问题, 简称LP问题, 是运筹学(Operations Research)中最基本, 也是最重 要的内容, 被广泛地应用于军事决策、企业管理、 工程设计、交通运输等领域. 特别是经济领域应用 更为广泛, 有资料称, 在对500家有相当效益的公司 所作的评述中, 有85%的公司都曾应用了线性规划。
解： 本问题是目标最大化问题；
线 性 规 划 模 型
1）决策变量，设x1, x2为产品I、II的生产 数量； 2）目标函数，2x1+3x2；
3）约束条件，
设备限制： x1+2x2 ≤ 8 原材料A限制： 4x1 ≤ 16 原材料B限制： 4x2 ≤ 12 基本要求：x1 0 ， x2 0
该模型记为如下形式 max z=2x1+3x2 x1+2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12
线 性 规 划 发 展 过 程
1980年前后，出现求解线性规划的有效集 法(Active Set Method),在理论上有效集法 与单纯形法是本质上等价的, 各有优缺点, 可起到相互补充的作用. 但有效集法的思 想在非线性规划的一些算法中是非常重要 的。 中小规模甚至大型的线性规划问题，多使 用单纯形法，但对超大型线性规划问题应 使用卡马卡算法。 本课程主要介绍单纯形法。
线 性 规 划 模 型
s.t.
x1 ， x2 0
其中max表示本问题是最大值问题（用min 表示最小值问题）， s.t.(subject to的缩 写)表示约束条件。
线 性 规 划 模 型
例2 食谱问题，设有n种食物, 各含m种营养素, 第j种食物中第i种营养素的含量为aij，n食物价 格分别为c1, c2, …, cn, 请确定食谱中n种食物的数 量x1, x2, …, xn, 要求食谱中m种营养素的含量分 别不低于b1, b2,…,bm情况下使费用最低。 解： 本问题是目标最小化问题；
1）决策变量食物的数量x1, x2, …, xn ；
2）目标函数c1x1+c2x2 + … +cnxn ； 3）约束条件，第i种营养素的含量不低于bi ，即 ai1x1+ai2x2 + … +ainxn bi i=1, 2, …, m。
该模型记为
线 性 规 划 模 型
min s.t.
z=c1x1+c2x2 + … +cnxn a11x1+a12x2 + … +a1nxn b1 a21x1+a22x2 + … +a2nxn b2
1984年, 在美国AT&T公司Bell实验室工作的印度数学 家卡马卡(N.Karmarkar)又提出了一个求解线性规划 问题多项式算法---Karmarkar算法, Karmarkar算法 本质上属于内点法, 该算法不仅在理论上可证明收敛 速度优于单纯形法, 而且对于一些实际大规模线性规 划问题的计算效果也确实优于单纯形法(据Bell实验室 等机构报告).
Fra Baidu bibliotek
线 性 规 划 发 展 过 程
G.B.Dantzig的单纯形法有两个缺陷, 其一、如果线 性规划问题是退化的, 算法有可能出现迭代点之间 的循环而导致算法计算失败; 为避免出现循环, 相 继出现了字典序方法, 摄动方法, 特别在1976年, R.G.Bland提出了避免出现循环的最小指标原则, 使 循环问题得以解决, 也使线性规划的理论更加完善。
线 性 规 划 模 型
例1 生产安排模型，某工厂生产I、II两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。 I II 资源总量
设备
原材料A 原材料B
1
4 0
2
0 4
8/台时
16/千克 12/千克
该工厂生产一单位产品I可获利2元，生产产品II可 获利3元，问如何安排生产获利最大？
线 性 规 划 发 展 过 程
1979年, 前苏联青年数学家哈奇安(Khanchiyan)提出 了求解线性规划问题一个新算法---椭球算法, 并在理 论上证明了该算法是一个多项式算法. 这一结果在全 世界引起了极大轰动,被认为是线性规划理论上的历史 突破. 然而在实际计算中, 该算法并没有象理论上对 单纯形法所表现出的优越性, 椭球算法的数值实验是 失败的. 但哈奇扬的贡献在于他给出了求解线性规划 多项式算法的存在性问题
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am1x1+am2x2 + … +amnxn bm x1 , x2, … xn 0
对线性规划贡献最大的应属美国数学家丹齐格 (G.B.Dantzig), 他在1947年提出了求解线性规划问 题的单纯形法(Simplex Method), 同时给出了许多 很有价值的相关理论, 为线性规划奠定了理论基础. 1953年, G.B.Dantzig又提出了改进单纯形法, 较之 于基本单纯形法, 改进单纯形法更适用于大规模线 性规划问题的计算机实现. 1954年Lemke提出了对 偶单纯形法(Dual Simplex Method)。
1.2 线性规划模型
建立线性规划模型的三个步骤
所解决实际问题中影响最终目标的因素中 确定决策变量； 确定目标函数； 根据决策变量所受的限制条件确定决策变 量所应满足的约束条件。
如果目标函数是线性函数，约束条件均为线性不 等式或等式，则称该为线性规划模型；如果目标 函数和约束条件至少有一个非线性函数则称为非 线性规划模型。
线性规划理论与模型应用
第一章 线性规划
主要内容
1.1 引言 1.2 线性规划模型 1.3 线性规划解的定义集图解法 1.4 线性规划的单纯形法 1.5 退化情况的处理 1.6 两阶段法 1.7 改进的单纯形法
1.1引言
线性规划(Linear Programming)问题, 简称LP问题, 是运筹学(Operations Research)中最基本, 也是最重 要的内容, 被广泛地应用于军事决策、企业管理、 工程设计、交通运输等领域. 特别是经济领域应用 更为广泛, 有资料称, 在对500家有相当效益的公司 所作的评述中, 有85%的公司都曾应用了线性规划。
解： 本问题是目标最大化问题；
线 性 规 划 模 型
1）决策变量，设x1, x2为产品I、II的生产 数量； 2）目标函数，2x1+3x2；
3）约束条件，
设备限制： x1+2x2 ≤ 8 原材料A限制： 4x1 ≤ 16 原材料B限制： 4x2 ≤ 12 基本要求：x1 0 ， x2 0
该模型记为如下形式 max z=2x1+3x2 x1+2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12
线 性 规 划 发 展 过 程
1980年前后，出现求解线性规划的有效集 法(Active Set Method),在理论上有效集法 与单纯形法是本质上等价的, 各有优缺点, 可起到相互补充的作用. 但有效集法的思 想在非线性规划的一些算法中是非常重要 的。 中小规模甚至大型的线性规划问题，多使 用单纯形法，但对超大型线性规划问题应 使用卡马卡算法。 本课程主要介绍单纯形法。
线 性 规 划 模 型
s.t.
x1 ， x2 0
其中max表示本问题是最大值问题（用min 表示最小值问题）， s.t.(subject to的缩 写)表示约束条件。
线 性 规 划 模 型
例2 食谱问题，设有n种食物, 各含m种营养素, 第j种食物中第i种营养素的含量为aij，n食物价 格分别为c1, c2, …, cn, 请确定食谱中n种食物的数 量x1, x2, …, xn, 要求食谱中m种营养素的含量分 别不低于b1, b2,…,bm情况下使费用最低。 解： 本问题是目标最小化问题；
1）决策变量食物的数量x1, x2, …, xn ；
2）目标函数c1x1+c2x2 + … +cnxn ； 3）约束条件，第i种营养素的含量不低于bi ，即 ai1x1+ai2x2 + … +ainxn bi i=1, 2, …, m。
该模型记为
线 性 规 划 模 型
min s.t.
z=c1x1+c2x2 + … +cnxn a11x1+a12x2 + … +a1nxn b1 a21x1+a22x2 + … +a2nxn b2
1984年, 在美国AT&T公司Bell实验室工作的印度数学 家卡马卡(N.Karmarkar)又提出了一个求解线性规划 问题多项式算法---Karmarkar算法, Karmarkar算法 本质上属于内点法, 该算法不仅在理论上可证明收敛 速度优于单纯形法, 而且对于一些实际大规模线性规 划问题的计算效果也确实优于单纯形法(据Bell实验室 等机构报告).
Fra Baidu bibliotek
线 性 规 划 发 展 过 程
G.B.Dantzig的单纯形法有两个缺陷, 其一、如果线 性规划问题是退化的, 算法有可能出现迭代点之间 的循环而导致算法计算失败; 为避免出现循环, 相 继出现了字典序方法, 摄动方法, 特别在1976年, R.G.Bland提出了避免出现循环的最小指标原则, 使 循环问题得以解决, 也使线性规划的理论更加完善。
线 性 规 划 模 型
例1 生产安排模型，某工厂生产I、II两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台 时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。 I II 资源总量
设备
原材料A 原材料B
1
4 0
2
0 4
8/台时
16/千克 12/千克
该工厂生产一单位产品I可获利2元，生产产品II可 获利3元，问如何安排生产获利最大？
线 性 规 划 发 展 过 程
1979年, 前苏联青年数学家哈奇安(Khanchiyan)提出 了求解线性规划问题一个新算法---椭球算法, 并在理 论上证明了该算法是一个多项式算法. 这一结果在全 世界引起了极大轰动,被认为是线性规划理论上的历史 突破. 然而在实际计算中, 该算法并没有象理论上对 单纯形法所表现出的优越性, 椭球算法的数值实验是 失败的. 但哈奇扬的贡献在于他给出了求解线性规划 多项式算法的存在性问题