4.1目标规划的数学模型

s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x c x c x b k2 2 kn n k k1 1 x1 , x2 , , xn 0
对目标函数和约束条件作适当处理．
目标规划的基本概念： 目标值和偏差变量 目标约束和绝对约束 达成函数（即目标规划中的目标函数） 优先因子（优先等级）与优先权系数 满意解（具有层次意义的解）

1、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量， 将原目标函数和原约束条件转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实际值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后， 目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是指实际值 和目标值之间的差异,记为 d （d≥0 )。 正偏差变量：表示实际值超过目标值的部分， 记为 d＋。 负偏差变量：表示实际值未达到目标值的部分， 记为 d－。
盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，
人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，
在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方
法——目标规划．
二 目标规划概述 目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 （一）目标规划与线性规划的比较 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题； 而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解； 目标规划是找到一个满意解。
在一次决策中，实际值不可能既超过目标值又 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,
并规定d＋≥0, d－≥0 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可 能出现以下三种情况（即由d+和d- 所构成的3种不 同组合表示的含义）： 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
引例2:
某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种 产品，已知资料如表所示。 试制定生产计划，使获得的利润最大？ 同时，根据市场预测: 甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好， 可以扩大生产，在此基础上使产量达到最大。 试建立此问题的数学模型。
单位 产品 资源 消耗
甲 9 4 3 70
乙 4 5 10 120
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划 方法很难找到最优解。
对于多目标问题，线性规划很难为其找到
最优方案．极有可能出现：第一个方案使第一目 标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二 方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使 所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛
矩阵表示为：
MaxY CX , AX B 约束条件 : X 0 (GP1)
其他情况：如目标函数为 min y , 约束条件
为“≥”，都可作适当的变换，调整为上面的形
式.
对于多目标问题中大多的情况是：
由于多目标之间存在相互矛盾，
最优解往往不可能存在， 这就要求我们退而求其次， 根据目标之间的相对重要程度， 分等级和权重， 求出相对最优解——有效解（满意解）， 为此引入以下概念，
表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．
因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级．
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，
则可分别赋予它们不同的权系数ωj
(ωj 可取一确定的非负实数)，
根据目标的重要程度而给它们赋值，
重要的目标，赋值较大，
反之ωj 值就小．
4、达成函数（即目标规划中的目标函数） 通过引入目标值和偏差变量，使原规划问题中的目 标函数变成了目标约束， 那么现在问题的目标是什么呢？ 目标规划的目标函数(准则函数) 是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优 先因子及权系数而构造的。 当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小 偏离目标值。
目标规划（Goal Programming，简记为GP) 是在线性规划 的基础 上，为适应经济管理中 多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分 支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有 效工具. 目标规划的有关概念和模型最早在1961年由美国学 者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Coopor）在 他们合著的《管理模型和性规划的工业应用》一书 中提出，以后这种模型又先后经尤吉· 艾吉里 （ Yuji.Ijiri）等人的不断完善改进，1976年伊格尼 齐奥（J.P.Ignizio）发表了《目标规划及其扩展》一 书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方法 目前研究较多的有线性目标规划、非线性目标规划、 线性整数目标规划和0～1目标规划等. 本章主要研究线性目标规划
因此目标规划的目标函数只能是一个使总偏差量为 最小的目标函数，
记为 minZ = f（d＋、d－）。
一般说来，对于达成函数有以下三种情况， 但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值， 即正、负偏差变量要尽可能小， 则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵.要求不超过目标值， 即允许达不到目标值， 也就是 正偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d＋）。 ⑶.要求超过目标值， 即超过量不限，但不低于目标 值， 也就是负偏差变量尽可能小， 则minZ = f（d－）。 这样根据各个目标的不同要求，可确定出总的目标 函数
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束； 而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权 是软约束。
4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但 需花去大量的人力、物力、财力才能得到； 实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要 （或更能满足需要）。
因此，目前，目标规划已经在经济计划、生产管理、 经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛 的应用。
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设 若只考虑花钱最少，则 x1 ,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量 显然属于线性规划问题， 若只考虑采购数量最 （单位：kg）
由（1），（3）至（6） 多，则也属于线性规 构成它的数学模型 划问题，由（2）， （3）至（6）构成它 y2为所购原料总量．则： 的数学模型
5、满意解（具有层次意义的解） 对于这种解来说， 前面的目标可以保证实现或部分实现ห้องสมุดไป่ตู้ 而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
目标规划正是在线性规划的基础上为适应这种复 杂的多目标最优决策的需要，而发展起来的． 它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值 然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与 计算，以求得最接近各目标预定数值的方案． 如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也 能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决 策者参考．
2、目标约束和绝对约束
（1）目标约束是目标规划中所特有的， 可把约束条件的右端项看作要追求的目标值； 也可以对目标函数规定一个目标值。 在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 因此可在这些约束或目标函数中加入正、负偏差变量； 引入目标值和正、负偏差变量后， 把原目标函数和原约束条件转化成约束方程， 都并入到约束条件中， 我们称这类具有机动余地的约束为目标约束 。 也称为软约束。
x1 d d 200 x2 d d 250
2 3
2 3
d , d 0 ( j 1.2.3)
j
3 x +10 x ≤3000 2 j x 1， x ≥0 1 2
maxZ1=70 ②将原约束条件转化为目标约束。 = xx1 + 120x2 maxZ
2 1
maxZ3= x2 若规定3600的钢材必须用完， 9 x1 +4 x2 ≤3600 原式9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 , d 则变为 9 x1 4 x2 d 4 d 4 3600 d 4 ≤3000 0 4 x1 ， x2 ≥0
y1 为花掉的资金，
Min y 1 2x1 x 2 目标函数为： Max y 2 x1 x 2
2 x1 x2 20 约束条件有： x x 100 1 2 x1 50 x1 , x2 0
1 2
3 4 5 6
(二)、目标规划的基本概念 多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn C1 X Max y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn C 2 X Max y c x c x c x C X m m1 1 m2 2 mn n m
一、问题的提出
引例1： 某生物药厂需在市场上采购某种原料， 现市场上有甲、乙两个等级，
单价分别为 2 千元/kg和 1 千元/kg，
要求采购的总费用不得超过 20 万元，
购得原料的总重量不少于 100 kg，
而甲级原料又不得少于 50 kg， 问如何确定最好的采购方案? （即用最少的钱、采购最多数量的原料）．
3、优先因子（优先等级）与优先权系数 一个规划问题常常有若干目标。 但决策者在要求达到这些目标时， 是有主次或轻重缓急的不同。 优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序 并表示出来。
要求第一位达到的目标赋予优先因子P1， 次位的目标赋予优先因子P2，…， 并规定Pk>>Pk+1， 表示Pk比Pk+1有更大的优先权。 即首先保证P1级目标的实现， 这时可不考虑次级目标； 而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的； 依此类推。 即不管Pk+1乘以一个多大的正数M， 总成立Pk>MPk+1,