数学建模目标规划方法
数学建模培训多目标规划
目标有两个:一是利润最大,二是污染最小.该问题 的多目标规划模型如下:
maxF(X ) ( f1(X ), f2(X ))T f1(X ) x1 3x2, f2(X ) 1.5x1 x2 0.5x1 0.25x2 8 (机器能力) 0.2x1 0.2x2 4 (装配能力) x1 5x2 72 (原材料)
当目标函数处于冲突状态时，就不会 存在使所有目标函数同时达到最大或最小 值的最优解，于是我们只能寻求非劣解 （又称非支配解或帕累托解）。
非劣解：可以用图3说明。
图3 多目标规划的劣解与非劣解
二、多 目 标 规 划 问 题 的 建 模 方 法
为了求得多目标规划问题的非劣解， 常常需要将多目标规划问题转化为单目标 规划问题去处理。实现这种转化，有如下 几种建模方法。
解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们 得到的目标函数值组成理想解.
maxf1(X) x1 3x2 0.5x1 0.25x2 8 (机器能力) 0.2x1 0.2x2 4 (装配能力) x1 5x2 72 (原材料)
X 1* (7,13) f1* 46
maxf2(X) 1.5x1 x2 0.5x1 0.25x2 8 (机器能力) 0.2x1 0.2x2 4 (装配能力) x1 5x2 72 (原材料)
240 200
3
x
1
10
x2
300
x1, x2 0
用单纯形法求得其最优解为 x1 12.5,x2 26.25,
f1(x) 402,5 f2(x) 2075,0f3(x) 90
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
数学建模-多目标规划
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x 2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如： ① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。 ②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产 成本增加。 ③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。 ④应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。 这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决 策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。
min Z pl ( lk d k lk d k )
l 1 k 1
L
K
i ( x1 , x2 , , xn ) g i ( i 1,2, , m )
f i d i d i f i ( i 1,2, , K )
式中：
min Z i ( fi fi ) 2
k
i ( x1 , x2 , , xn ) gi ( i 1, 2, , m ) 或写成矩阵形式： min Z ( F F )T A( F F )
( X ) G
i 1
式中， i 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 i (i=1,2,…,k )组成的m×m对角矩阵。
目标规划模型 目标规划软件求解
目标规划模型
给定若干目标以及实现这些目标的优先顺 1.基本思想 ： 序，在有限的资源条件下，使总的偏离目 标值的偏差最小。
2.目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、 乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元 和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料 分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位 台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10单位台时。试问：如何确定其生产方案 使得企业获利最大？
数学建模工作规划
一、背景与目的随着我国经济社会的快速发展，数学建模作为一种重要的研究方法，在各行各业中得到广泛应用。
为了提高数学建模能力，培养创新型人才，特制定本工作规划。
二、工作目标1. 提高数学建模理论水平，掌握常用数学建模方法。
2. 培养团队协作精神，提高数学建模实践能力。
3. 发表高质量数学建模论文，提升团队在国内外的影响力。
三、工作内容1. 学习与培训（1）深入学习数学建模理论，包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
（2）参加国内外数学建模竞赛，了解竞赛规则和评分标准。
（3）邀请专家学者进行讲座，拓宽知识面，提高研究能力。
2. 实践与项目（1）结合实际需求，开展数学建模项目研究，如城市规划、环境保护、交通运输等。
（2）针对具体问题，运用数学建模方法进行求解，提高解决实际问题的能力。
（3）总结经验，撰写数学建模论文，争取在国内外期刊发表。
3. 团队建设（1）选拔和培养团队成员，提高团队整体实力。
（2）加强团队内部沟通与协作，形成良好的团队氛围。
（3）定期组织团队活动，增进成员间的感情。
四、实施步骤1. 制定详细的学习计划，明确学习目标和进度。
2. 每月至少开展一次数学建模实践活动，提高团队实战能力。
3. 每季度组织一次团队交流活动，分享经验，共同进步。
4. 每年至少参加一次国内外数学建模竞赛，提升团队知名度。
5. 定期总结工作，对工作规划进行调整和优化。
五、保障措施1. 加强组织领导，明确责任分工。
2. 提供必要的经费和资源支持，为数学建模工作提供保障。
3. 定期对团队成员进行考核，激发团队活力。
4. 建立激励机制，鼓励团队成员积极参与数学建模工作。
通过本工作规划的制定与实施，我们相信能够提高团队的整体数学建模能力，为我国经济社会发展贡献一份力量。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课的教学内容选自《数学建模》教材的第五章，主要内容包括线性规划模型的建立、图与网络模型的建立、整数规划模型的建立以及非线性规划模型的建立。
通过本节课的学习，使学生掌握数学建模的基本方法和技巧，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 让学生掌握线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立及求解。
2. 教学重点：线性规划模型的建立和求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个工厂生产安排的问题为例，引入线性规划模型的建立和求解。
2. 知识点讲解：（1）线性规划模型的建立：讲解目标函数的设定、约束条件的确定以及线性规划模型的标准形式。
（2）图与网络模型的建立：讲解图的概念、图的表示方法以及网络模型的建立。
（3）整数规划模型的建立：讲解整数规划的概念和建立方法。
（4）非线性规划模型的建立：讲解非线性规划的概念和建立方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解模型建立和求解的过程。
4. 随堂练习：让学生分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 线性规划模型：目标函数约束条件标准形式2. 图与网络模型：图的概念图的表示方法网络模型的建立3. 整数规划模型：整数规划的概念整数规划的建立方法4. 非线性规划模型：非线性规划的概念非线性规划的建立方法七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的条件，建立线性规划模型，并求解。
（2）根据给定的条件，建立图与网络模型，并求解。
（3）根据给定的条件，建立整数规划模型，并求解。
（4）根据给定的条件，建立非线性规划模型，并求解。
2. 答案：（1）线性规划模型的目标函数为：Z = 2x + 3y，约束条件为：x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
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30
x1
2x1
12x2 x2
d1 d2
d1 d2
2500 140
x1
d
3
d3
60
a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l
kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2
x d d 250
生产甲、乙两种产品，
甲
有关数据如表所示。 原材料
2
试求获利最大的生产 设备(台时) 1
方案？
单件利润 8
乙 拥有量 1 11 2 10 10
由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，
这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求 x1，x2，使
max z 8x1 10x2
2x1 x2 11
试建立目标规划模型。
分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 第一目标：p1d1第二目标：有两个要求即甲 d2+ ，乙 d3- ，但两个具
有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利
润比作为权系数即 70 :120，化简为7:12。
p (7d 12d )
2
2
3
第三目标：
p (d d )
若要区别具有相同优先因子 pl 的目标的差别，就可以
分别赋予它们不同的权系数i* ( i=1,2,…,k )。这些优先因子
和权系数都由决策者按照具体情况而定。
(4)目标函数
目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束 的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每 一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标 规划的目标函数只能是：
解：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是
max z 8x1 10x2
2x1 x2 11
x1
2 x2
10
x1, x2 0
min Z p1d1 p2 (d2 d2 ) p3d3 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别
为kl+ 、kl- ，则多目标规划问题可以表示为：
K
L
min Z
pk
(kl d l
kl
dl
)
k1 l 1
目标函数
n
c(l)x d d g
jj l
l
l
j 1
( l 1,2, , L)
目标约束
n
x1
2
x2
10
x1, x2 0
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如：
① 根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因 此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。
▪目标规划模型 ▪目标规划的图解法 ▪求解目标规划的单纯形方法
▪ 目标规划模型
1.基本思想 ：给定若干目标以及实现这些目标的优先顺
序，在有限的资源条件下，使总的偏离目 标值的偏差最小。
2.目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、 乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元 和10万元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料 分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位 台时和2单位台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的 设备总台时为10单位台时。试问：如何确定其生产方案 使得企业获利最大？
分析: 题目有三个目标层次，包含三个目标值。
第一目标：p1d1+ ; 即产品甲的产量不大于乙的产量。 第二目标： p2(d2+ + d2-);即充分利用设备的有限台时，不加 班；
第三目标： p3d3- ; 即产值不小于56万元；
例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基 础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量； 其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不 小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试 建立该问题的目标规划模型。
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、 负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的 需要将绝对约束转化为目标约束。
(3) 优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标
的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优先 因子 p1 ，次位的目标赋予优先因子 p2 ，……，并规定 pl >>pl+1 (l=1,2,..) 表示 pl 比 pl+1 有更大的优先权。 即:首先保证p1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而 p2级目标是在实现p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。
量要尽可能小，即 minZ f (d )
例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基 础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量； 其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不 小于56万元。并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。试 建立该问题的目标规划模型。
(3)优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标
的考虑,往往是有主次的。凡要求第一位达到的目标赋予优 先因子 p1 ，次位的目标赋予优先因子 p2 ，……，并规定 pl >>pl+1 (l=1,2,..) 表示 pl 比 pl+1 有更大的优先权。 即:首先保证p1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标； 而p2级目标是在实现p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。
(1) max z 70x1 120x2
9x1x2 3600
4x15x2 2000
3
x110
x2
3000
x1, x2 0
单位 产
甲
品
资源钢材消耗
9
煤炭
4
设备台时 3
单件利润 70
乙 资源限制
4
3600
5
2000
10 3000
120
若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。
负偏差变量的权系数，
• gk为第 k个目标的预期值， • xj为决策变量， • dk+ 、dk- 、分别为第 k 个目标的正、负偏差变量，
目标规划数学模型中的有关概念。
(1) 偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、 负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过目 标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。 因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值， 故有 d +×d - =0成立。
x1 2x2 d2 d2 10
8 x1 10x2 d3 d3 56
x1 ,
x2
,
d
i
,
di
0
(i 1,2,3)
例3、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品， 已知资料如表所示。(1)试制定生产计划，使获得的利润最 大？
解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,
例4、用图解法求解目标 规划问题
x2
C
min Z P1(d1 d1 ) P2d2
10x1 12x2 d1 d1 62.5
x1 2x2 d2 d2 10
2x1 x2
8
x12 0, dldl 0(l 1.2)
2
3
3
9x 1
4x 1
4x d d 3600
2
4
4
5x
2000
2
3x 1
10 x 2
3000
x 1
,
x 2
0, d , d jj
0
(j
1.2.3.4)
目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单， 原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理 和过程。