线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理
山东 张吉林
线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。

本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。

一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10 分析：将目标函数变形可得124
z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12
y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：
当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。

点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。

二 直线的斜率型
例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩
,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22
4x y +=的右半圆(含边界)，
31
y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)
z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解
得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因
此m i n 33z =。

综上可知函数的值域
为⎤⎥⎣⎦
三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.
解析：目标函数2222
448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。

由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
可行域为图中ABC 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0
的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w =
=。

四 点到直线的距离型
例4.已知实数x 、y 满足2221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。

解析：目标函数222242(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。

由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求
得d ==，故21695555d -=-=- 同步训练：已知实数x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则目标函数22z x y =+的最大值是____。

答案：13；
五 变换问题研究目标函数
例5.（山东潍坊08届高三）已知⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则
a 等于（ ）
A ．31或3
B ．31
C ．52或2
D ．5
2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，
准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z
在+=2
点和B 点分别取得最小值和最大值. 由 ),(•a a •A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩
⎨⎧==+y x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min
max ==. 由题意 得.3
1•a =故答案B 。

六 综合导数、函数知识类
例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对
应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足331)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是 （ ）
A ．)3,7(
B ．)3,5(
C ．)56,32(
D ．)3,31(- 分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。

由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。

结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到
3
3++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。

解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，
可得可行域如图，
3
3++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034=++，最小为点（2，0），此时为5
33230=++，所以答案B.
如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是____________.
补充：1.如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ． 2.已知O 是坐标原点，(2,1),(,)A P x y 满足430352510x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，求||c o s O P A O P ⋅
∠ 的最大值。