回归教材做什么

回归教材做什么？
吴国建（浙江省东阳中学322100）
到了高考复习的最后阶段，也就是自主复习阶段，老师们都会提醒学生复习要回归教材，即通过对教材的重新阅读与理解，为高考的有效增分作最后的努力。

但是，如何回归教材，回归教材做什么，却是一个需要思考的问题。

笔者以为，数学高考复习最后阶段的回归教材，必须做好以下四个方面的工作：
一、理清知识网络
新课改的实施，首先变化的是教材的编写体系。

数学知识的呈现往往不是一步到位，而是充分体现出新课程“螺旋上升”的理念，这就要求教师在复习教学中帮助学生理清教材各独立板块内容的知识网络，建立知识结构体系。

尤其到了复习最后阶段，知识的系统性、网络化对于命题所青睐的主干知识和知识交叉点的把握显得更为重要。

以立体几何为例，空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系和空间直角坐标坐标系等知识分布在必修2的第一、第二、第四章第3 节、选修2-1第3 章，涉及的内容、定理、性质和结论众多，通过回归教材构建立一个清晰的知识网络，可以让人一目了然。

如图：
某种排列4321,,,i i i i x x x x （其中{}{}4,3,2,1,,,4321=i i i i ）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由。

问题经过分析后可转化为：已知三个数，再插入一个数，使四个数成等差数列。

进一步分析，这样的情况有且只有四种：①a-d ，a ，a+d ，( ) ；② ( )，a-d ，a ，a+d ；
③a-d ，a ， ( )，a+2d ； ④a-d ，( )，a+d ，a+2d
然后逐一进行讨论就可以解决了。

特别值得一提的是，近两年一些省份出现了直接来自于教材的高考题，如：
2010年四川卷文理第19题：
（1）①证明两角和的余弦公式βαβαβαβαsin sin cos cos )cos(:)(-=++C ；
②由)(βα+C 推导两角和的正弦公式βαβαβαβαsin cos cos sin )sin(:)(+=++S 。

2011年陕西文理卷第18题：叙述并证明余弦定理。

在“高考资料满天飞、教辅用书代教材”的今天，这些试题的出现，起到了很好的导向作用，复习教学中应当引起高度重视。

回归教材，重温例题习题，并不是去猜题押题，而是通过发掘教材例题习题潜在的教育教学功能，最大化地体现数学教材在高考复习中的重要地位，减轻学生学习负担，真正体现高考对中学数学教学正确的导向作用。

三、领悟思想方法
数学考试是通过解题的方式展现学生的知识水平，反映学生对数学本质的理解程度，体 现数学思想和方法的掌握与运用能力。

《浙江省普通高考考试说明》指出；数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。

函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等数学思想每年必考，常考常新；配方法、换元法、递推法、定义法、反证法、等积法、向量法、参数法等解题方法屡有表现，各有千秋，这些数学思想和解题方法都蕴含于教材中。

以人教A 版必修5第二章《数列》为例，主要的解题方法有：1．基本量法：在解等差数列（或等比数列）问题时，可以把求问题中的其他量转化为求基本量1a 和d （或q ），使求解的数列问题转化为求关于1a 和d （或q ）的等式或不等式问题；2．知三求二法：在等差数列（或等比数列）的研究中，常常会涉及到的五个相关量d s n a a n n ,,,,1（或q ）之间有一些运算公式，已知其中三个量就可以求出另外两个量；3．递推法：阅读与思考材料《斐波那契数列》和《九连环》在展示数学文化的同时体现了递推的思想与方法，而简单的递推关系经常出现在考题中，如已知n S ，可求得
⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a a n n
n 等；4．归纳猜想证明法：教材中根据数列前几项写出通项公式的例子和习题体现了递推和归纳的方法，这样得到的通项公式可以用数学归纳法加以证明；5．倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡与首末两项等距离的任意两项之和总等于
同一个常数”的特点，则此数列的求和可用倒序相加法，这种方法运用了“对称性”的解题思路，展现了“求齐”的思想，可以避免因项数奇偶问题引起的讨论，教材中等差数列的求和公式就是这样推导的；6．错位相减法：教材中等比数列前n 项和的运算是通过错位相减法实现的，这种方法普遍适用于“由等差数列和等比数列对应项相乘而生成的新数列”，即如果数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，则数列{}n n b a 的前n 项和可以通过“乘公比错位相减”求得；7．函数法：由于数列可以看作以正整数集*
N （或它的有限子集{}n ,3,2,1）为定义域的函数)(n f a n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一系列函数值，因此许多数列问题可以用函数的方法来处理，通过函数图像与性质的研究来解决数列问题，这就是函数法．教材《等差数列前n 项的和》一节中的探究与例4都体现了这种方法；8．裂项相消法：教材通过一个研究性问题展现了裂项相消的求和技巧： 数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和)1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n ，研究一下，能否找到求n S 的一个公式．你能对这个问题作一些推广吗？（习题2．3B 组第4题）
因此，回归数学教材，不是仅从认知的角度熟悉教材，不能仅停留在表面重复“昨天的故事”，而是要从理解数学本质的角度审视教材，从知识综合运用的角度拓宽教材，从升华思想方法的角度用活教材，只有这样，才能使数学高考复习事半功倍。

四、关注细节规范
高考是一场全方位的竞争，比拼的不仅是知识的掌握程度和运用能力，还有心理、习惯等综合素质。

高三复习教学和考试训练中经常发现许多学生会产生“会而不对、对而不全”的现象，这主要是与平时的思维习惯、解题规范甚至与心理品质有关。

其实教材中有许多细节，对培养学生的思维习惯、提升心理品质很有帮助，这就要求回归教材时重点关注这些细节，充分发挥这些细节的教学功能，努力达到有效增分的复习目的。

以下是教材中解析几何部分一些值得关注的细节，其中有些内容是教材直接呈现的，有此内容蕴含在例题习题中，有些内容相对集中，有些内容比较分散，回顾教材时需要归纳整理。

1．倾斜角的范围，特别要注意倾斜角为090时，直线的斜率不存在；直线的五种方程形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）各自有自己的适用范围以及特殊直线的方程；截距可正可负也可以为0，两坐标轴上截距相等⇔直线的斜率为-1或过原点；到两点),(),,(2211y x B y x A 等距离的直线可以平行于直线AB ，也可以过AB 中点；两条直线的位置关系判别应当注意斜率不存在的特殊直线方程；2．解析几何中的对称问题（中心对称和轴对称），通常可用代入法解决。

当对称轴方程形如b x y +±=时可直接代入，当斜率不为1±时需要通过中垂线的性质进行代入；
3．方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件；已知圆的一条直径的两个端点),(),,(2211y x B y x A 的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ；当点P ),(00y x 位置不同时方程200))(())((r b y b y a x a x =--+--的不同含义；过圆外一点作圆的切线一定有2 条，注意其中一条斜率可能不存在；两圆相交时相交弦（根轴）所在直线的方程；4．平面上到两定点的距离之和（或差的绝对值）等于定长的点的轨迹的不一定是椭圆（或双曲线）；离心率在图形中的表示；如何根据双曲线方程求渐近线和如何根据渐近线假设双曲线，渐近线的夹角范围，等轴双曲线；形如2ax y =的抛物线的焦点确定；5．与圆锥曲线只有一个交点的直线与切线的区别与联系；已知过x 轴上一点)0,(0x A ，假设直线)(0x x k y -=还是0x my x +=要视不同情况而定。

另外，回归教材也是学习解题过程、培养解题规范的一个有效手段。

在高考阅卷中发现，很多学生因答题不规范而造成的丢分现象是屡见不鲜的，比如概念符号的书写不正确、结论表达不准确、证明推理不严密、分类讨论不完全、条件转化不等价、几何作图不合理、解题过程不流畅、卷面表达不清楚等，这样的丢分是十分可惜的。

回归教材，就是要充分发挥教材的示范作用，引导学生掌握三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的准确表述，学习推理计算过程的严密科学，追求答题书面表达的清楚规范，从而达成“关注细节多得分、注意规范少丢分”的目标。

参考文献：
浙江省高考命题咨询委员会．2010年浙江省高考命题解析（数学）．杭州：浙江摄影出版社，2010．
浙江省高考命题咨询委员会．2011年浙江省高考命题解析（数学）．杭州：浙江摄影出版社，2011．
虞涛．高中数学课本中的基本解题方法．上海：华东师范大学出版社，2007．。