11三角函数测量类应用题尖子班讲义
三角函数应用题
三角函数应用题在数学中，三角函数是一类描述角和三角形之间关系的函数。
它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
今天我们就来看几个关于三角函数的实际应用题。
题目一：船长测量船到岸边的距离某船长在海上航行，他利用望远镜测量船到岸边的距离为450米，角度为30°。
请帮助船长计算船实际距离岸边的距离。
解题思路：根据三角函数中正弦函数的定义，正弦函数是对边与斜边的比值。
设实际距离为x，则sin30°=450/x，解得x=450/sin30°≈900米。
题目二：高楼顶部的钢丝张力某座高楼的屋顶有一根斜着的钢丝，已知钢丝与地面的夹角为60°，钢丝的长度为200米。
求钢丝的张力。
解题思路：根据三角函数中余弦函数的定义，余弦函数是邻边与斜边的比值。
设钢丝张力为T，则cos60°=邻边/200，解得邻边=200cos60°≈100米。
再根据正弦函数的定义，sin60°=钢丝张力/200，解得钢丝张力=200sin60°≈173.21牛顿。
题目三：天文测距天文学家利用角度差测量两颗星星间的距离，已知两颗星星的距离为400光年，夹角为20°。
根据此信息，求两颗星星间的实际距离。
解题思路：根据正切函数的定义，切线函数是对边与邻边的比值。
设实际距离为d，则tan20°=400/d，解得d=400/tan20°≈1152.32光年。
通过以上几个实际应用题，我们可以看到三角函数在解决各种实际问题中的重要性和实用性。
希望大家在学习三角函数的过程中能够灵活运用，将数学知识与实际应用相结合，更好地理解和掌握相关知识。
三角函数不仅仅是一堆抽象的公式，更是与我们的生活息息相关的数学工具。
愿大家在学习中取得更好的成绩！。
20180318三角函数专题讲义(可编辑修改word版)
任意角三角比复习专题一、终边相同的角：1、角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
2、①与角终边相同的角的集合：{| = 360k +, k ∈Z}与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于x 轴对称的角的集合：；与角终边关于y 轴对称的角的集合：；与角终边关于y =x 轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；3、象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；4、正确理解角：“0o~ 90o间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于90o的角”=；例1、已知0°<θ<360°，且θ 角的7 倍角的终边和θ 角终边重合，求θ.例2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：①A=B=C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A∩C=B,其中正确的命题个数为；例3、若角α是第三象限角，则角的终边在，2α 角的终边在.21、弧度与角度的互化：2、弧长公式：；扇形面积公式：；1、任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系， 角的终边与单位圆的交点为 P (x , y ) ，则sin = ； c os = ； t an =定义拓展：在角的终边上任取一个异于原点的点 P (x , y ) ，点P 到原点的距离记为 r ，则sin = ； c os = ； tan =；2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦sin cos tan二、弧度制例 4、圆的半径变为原来的 3 倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.例5、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？例6、如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1 分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2 分钟到达第三象限，14 分钟后回到原来的位置，求 θ.三、任意角的三角函数：例7、角的终边上一点(a ,- 3a) ，则cos+2s in =。
三角函数讲义
三角函数讲义任意角的三角函数及同角三角函数的关系知识点知识点一三角函数的概念1．利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；(2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；(3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)．2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z .作用：可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．体现了三角函数的周期性。
知识点四三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点五三角函数线如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .知识点六同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.题型一三角函数定义的应用【例1】已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.【例2】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；2.角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5题型二三角函数符号的判断【例1】判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．【例2】若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【过关练习】1.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第象限的角．2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角．题型三诱导公式一的应用【例1】求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin －11π6＋cos 12π5·tan 4π.【过关练习】1.求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan －15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.2．sin(－1 380°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32D.323.求下列各式的值．(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°.题型四利用三角函数线求角、解不等式【例1】根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝12；(2)tan α＝－1.【例2】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1) sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32.【例3】当α∈0，π2时，求证：sin α<α<="">【过关练习】1.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( ) A ．cos α<="" αB ．tan α<="" αC ．si n α<="" αD ．cos α<="" α2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.0，π6 B.π6，5π6 C.π6，2π3D.5π6，π题型五求三角函数定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)f (x )＝sin x ·tan x ；(2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2.【过关练习】1. 求函数f (x )＝1－2cos x ＋lnsin x －22的定义域．2．函数y ＝tanx －π3的定义域为( ) A.x |x ≠π3，x ∈R B.?x |x ≠k π＋π6，k ∈Z C.x |x ≠k π＋5π6，k ∈Z D.x |x ≠k π－5π6，k ∈Z题型六三角函数知一求二【例1】已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．【例2】已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.【过关练习】1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)3cos α－sin α3cos α＋sin α；(2)2sin 2α－3sin αcos α.4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35题型七三角函数平方关系及其应用【例1】已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin 3θ＋cos 3θ.【例2】已知sin α＋cos α＝m ，求sin 3α＋cos 3α的值．【过关练习】1.已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．2.若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，求5sin A ＋815cosA －7的值．3.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α的值是( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43 题型八三角函数的化简证明【例1】已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【例2】证明三角恒等式cos α1－sin α＝1＋sin αcos α【例3】已知下列等式成立．(1)a sin θ－b cos θ＝a 2＋b 2；(2)sin 2θm 2＋cos 2θn 2＝1a 2＋b 2.求证：a 2m 2＋b 2n 2＝1.【过关练习】1.若α是第三象限角，化简 1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.2.求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.3.已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.课后练习【补救练习】1.若sin θcos θ>0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 2.已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512 D ．－5123.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 23π________sin 45π；(2)cos 23π________cos 45π；(3)tan 23π________tan 45π.4.函数y ＝lg cos x 的定义域为________________．5.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sin α≥22；(2)cos α≤12.6.已知角α的终边上有一点P (24k,7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值．【巩固练习】1.已知角α的终边上一点的坐标为?sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π6 D.11π62．如果3π4<θ<π，那么下列各式中正确的是( ) A ．co s θ<="" θB ．sin θ<="" θC ．tan θ<="" θD ．cos θ<="" θ3.若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3) C ．(5π3，2π) D ．(0，π3)∪(5π3，2π) 4.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－3105.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为．6.函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为________________．7.化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是．8.已知sin α＝15，求cos α，tan α.9.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan－23π4；(3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)．10.求证：tan θ·sin θtan θ－si n θ＝1＋cos θsin θ.【拔高练习】1.若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．{x |2k π－34π<="">π，k ∈Z } B ．{x |2k π＋π4<="">π，k ∈Z } C ．{x |k π－π4<="">，k ∈Z } D ．{x |k π＋π4<="">π，k ∈Z } 2.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .3.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是． 4.若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为． 5.在△ABC 中，2sin A ＝ 3cos A ，则角A ＝ .6.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.7.化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．8.证明：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
三角函数的综合应用题解析
三角函数的综合应用题解析角度与弧度的换算关系在解析三角函数的综合应用题时，我们首先需要了解角度和弧度之间的换算关系。
常用的角度制与弧度制的换算关系如下：1度（°）= π/180 弧度（rad）1弧度（rad）= 180/π 度（°）当题目给出的角度为度数时，我们可以根据以上换算关系将其转化为弧度制。
同样地，当题目给出的角度为弧度时，我们也可以按需将其转化为度数。
正弦、余弦和正切函数在三角函数中，最常见且重要的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边，其中θ表示三角形的某个角度。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边，其中θ表示三角形的某个角度。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边，其中θ表示三角形的某个角度。
综合应用题解析下面，我们将通过一些具体的综合应用题来解析三角函数的使用。
我们以实际生活中的应用为例，帮助你更好地理解三角函数的角色和用途。
例题一：求解船的航向角度一个船以恒定的速度前进，角速度为10°/小时。
如果从正北方向起航，经过3小时后，船的航向角度是多少？分析：首先，我们知道角速度是指单位时间内角度的改变量。
题目给出的角速度是10°/小时，而船航行了3小时。
因此，船的角度变化为10°/小时 × 3小时 = 30°。
答案：船的航向角度为30°。
例题二：求解塔的高度在一座高楼的正对面，有一根50米高的杆子。
从地面上某一点A 观察，与水平线的朝向角度为35°，求解观察点A的高度。
分析：题目给出了杆子的高度和观察点与水平线的夹角。
我们需要使用正切函数来求解观察点A的高度。
根据正切函数的定义，tanθ = 对边/邻边，其中θ为观察点与水平线的角度。
三角函数专题复习讲义
三角函数专题复习讲义1. 弧度与角度1.1 弧度的定义弧度（radian）是角度的一个度量单位。
它是一种以弧长为单位来衡量角度的方式。
在一个半径为1的圆中，角度θ对应的弧长与半径的比值就是角度θ的弧度表示，数学上用符号rad来表示。
1.2 角度与弧度的互相转换角度与弧度的转换关系可以用以下公式表示：- 弧度转角度：角度 = 弧度× (180/π)- 角度转弧度：弧度 = 角度× (π/180)其中π表示圆周率，约等于3.。
2. 三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
对于一个角度θ，其正弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的纵坐标。
2.2 余弦函数（cos）余弦函数是三角函数中的一种，用cos表示。
对于一个角度θ，其余弦值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点的横坐标。
2.3 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的一种，用tan表示。
对于一个角度θ，其正切值为对应单位圆上从原点引出的线段与x轴的交点纵坐标与横坐标的比值。
3. 三角函数的基本性质3.1 周期性三角函数具有周期性，即一个三角函数图像在一个周期内重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
3.2 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)，而正切函数既不是奇数也不是偶数函数。
3.3 反函数三角函数都有反函数，即反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们可以用来求解给定三角函数的值的角度。
4. 三角函数的应用4.1 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，例如通过已知两个边长求解夹角、求解三角形的面积等。
4.2 物理应用正弦函数和余弦函数在物理学中有很多应用，例如描述质点的周期性运动、波动现象和振动等。
4.3 工程应用三角函数在工程学中也有许多应用，例如在三角测量、建筑设计和信号处理等方面的应用。
三角函数讲义
三角函数讲义的周期相等，则4.（1）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向 平移 个单位5.已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是 （ ）A 2π B 83π C 4πD 8π6.将函数 y = 3 cos x －sin x 的图象向左平移 m （m > 0）个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π67.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为 ( )A.2πB.πC.－πD.－2π8．将函数y=f （x ）sinx 的图象向右平移4π个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin 2x 的图象，则 f （x ）是 （ ）A ．cosxB ．2cosxC ．SinxD ．2sinx9．若函数()θ+=x y sin 2的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是A ．125π B ．3π C ．6πD ．12π七．图象1．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是 （ ）2 在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=A. 1B. 2ＡＢC. 1/2D. 1/34． 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）（A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象 ( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位7．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，则下列判断正确的是 ( )A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π12，0C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π6，0八..综合1. 定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为2． 函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是 （ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数C ． 周期为2π的偶函数D ．.周期为2π的奇函数3． 已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 ( ) A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称D. 函数)(x f 是奇函数4． 函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C , 如下结论中正确的是①图象C 关于直线π1211=x 对称; ②图象C 关于点)0,32(π对称;③函数125,12()(ππ-在区间x f )内是增函数;。
三角函数应用(常见题型)
三角函数应用(常见题型)一、求角的弧度和角度常用的角度单位有度和弧度两种，它们在三角函数的应用中经常被使用。
- 弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，通常用符号“rad”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
- 角度是用一个直角顶点处的一条封闭射线除以另外一条初始射线所得的比值。
通常用符号“°”表示。
角度为360度时，对应的弧度为2π弧度。
在实际计算中，经常需要将角度和弧度进行转换。
根据以上定义，可以得到下面的换算关系：- 弧度 = 角度× π / 180- 角度 = 弧度× 180 / π二、常见题型1. 根据已知边长求角度：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，求其夹角C的度数。
解题思路：使用三角函数中的反函数来求解。
根据问题描述，已知a和b，可以计算出斜边长c，然后使用反正弦函数求解夹角C。
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$$$C = \arcsin \left(\frac{b}{c}\right)$$2. 根据已知角度求边长：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求斜边的长度。
解题思路：使用三角函数中的正弦函数来求解。
根据问题描述，已知a、b和夹角C，可以使用以下公式求解斜边c的长度。
$$c = \frac{b}{\sin(C)}$$3. 角度和边长之间的关系：题目描述：已知直角三角形一边长为a，另一边长为b，其中夹角C的度数已知，求另一个夹角A的度数。
解题思路：注意，直角三角形中，角A和角C的和为90度。
所以可以利用该关系来求解角A的度数。
$$A = 90 - C$$三、总结三角函数的应用在几何学和物理学中有广泛的使用。
通过掌握常见题型的解法，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决实际问题。
高中数学专题系列 三角函数讲义
§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.§1.2.21、 平方关系：1cos sin 22=+αα 2、 商数关系：αααcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性 π2=T π2=Tπ=T奇偶性 奇偶奇单调性Z k ∈ 在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π= 对称中心(,0)2k ππ+无对称轴 对称中心,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两角差的余弦公式§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=α α2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ=).解三角形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
三角函数的应用题解析
三角函数的应用题解析三角函数是数学中的重要概念，它在很多实际问题中具有广泛的应用。
本文将对三角函数的应用题进行解析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 测量不可直接获得的长度三角函数可以用于测量无法直接获得的长度。
例如，在测量一座高山的高度时，若无法直接测量，可以利用三角函数计算。
假设我们站在山下与山顶之间一点的位置，我们可以测量出与地平线的夹角，然后可以利用三角函数中的正切函数来计算山顶的高度。
2. 角度和弧度的转化三角函数中的角度和弧度之间存在着相互转化的关系。
角度是人们常用的度量方式，而弧度是数学中的一种更为便捷的度量方式。
弧度可以用于解决一些复杂的三角函数问题，例如计算角度的比值或角度之间的关系。
3. 音乐和波动的分析三角函数在音乐和波动的分析中有着重要的应用。
例如，在音乐中，三角函数可以用来表示音调的频率和振幅，帮助我们理解音乐的构成和规律。
在物理学中，三角函数可以用来分析波动的振幅和周期，解释光、声等波动现象的规律性。
4. 机械振动的分析三角函数可以应用于机械振动的分析。
例如，在弹簧振子中，振子的位置与时间之间存在着三角函数的关系。
通过对振动的分析，可以计算振子的位移、速度和加速度等参数，帮助我们探索振动的规律。
5. 几何形状的计算三角函数可以用于计算几何形状的各种参数。
例如，在计算三角形的面积时，利用三角函数可以计算三角形的底和高，从而得到面积。
此外，三角函数还可以用于计算四边形、多边形和圆形等不规则几何形状的各种参数。
总结：三角函数的应用题涵盖了多个领域，包括测量、角度转化、音乐和波动分析、机械振动分析以及几何形状的计算等。
通过学习和掌握三角函数的应用，我们可以更好地理解和应用数学知识，并将其应用于实际问题的解决中。
本文对三角函数的应用进行了简要的介绍和解析，希望能够帮助读者更好地理解和应用三角函数。
在实际问题中，我们应灵活运用三角函数的概念和公式，将数学知识应用于实践，为解决问题提供更科学、准确的方法。
三角函数的应用题及解析
三角函数的应用题及解析在高中数学学习中，三角函数是一个重要且广泛应用的概念。
它不仅可以帮助我们解决各种几何问题，还可以在工程、物理等领域中用来建立模型和求解实际问题。
本文将通过几个具体的应用题来展示三角函数的应用，并进行解析和讨论。
1. 塔的高度计算假设我们站在大地上，仰望一座高塔，并希望知道塔的高度。
我们可以找到一个合适的观测点，测量出观测点与塔底之间的距离，并利用三角函数求解塔的高度。
解析：设观测点与塔底的距离为a，观测点与塔顶的直线距离为b，则观测点与塔顶的连线与水平地面的夹角就是我们要求的角度θ。
根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：tan(θ) = b/a通过测量a和测算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出塔的高度。
2. 船的航向角计算在航海或者航空中，我们经常需要计算船或者飞机的航向角，即航行方向与正北方向的夹角。
三角函数可以帮助我们计算出精确的航行角度。
解析：设船的航向角为α，船与正北方向的角为θ，船的速度为v。
根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：sin(α) = v*sin(θ)/v通过测量船的速度和计算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出航向角α。
3. 电磁波的衰减计算在无线通信中，电磁波的衰减计算是一个重要的问题。
我们可以利用三角函数来计算电磁波在传输过程中的衰减情况。
解析：设电磁波传输的距离为d，电磁波的输出功率为P，我们知道电磁波的衰减与距离的平方成反比。
根据三角比定义，我们可以得到以下关系式：P' = P*cos(θ)其中P'为距离为d时的输出功率，θ为发射天线与接收天线之间的夹角。
通过测量距离d和计算出θ的值，我们可以通过上述关系式求解出衰减后的功率P'。
通过以上几个应用题的解析，我们可以看到三角函数在实际问题中的重要性和应用价值。
通过合理地应用三角函数，我们能够解决各种几何问题，并建立模型求解实际问题。
因此，对于学习数学的同学们来说，掌握三角函数及其应用是非常重要的一部分。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结三角函数是数学中非常重要的一个部分，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将详细探讨三角函数的性质，并通过一些例题来加深对其应用的理解。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
以直角三角形为例，正弦函数等于对边与斜边的比值，余弦函数等于邻边与斜边的比值，正切函数等于对边与邻边的比值。
在单位圆中，对于一个角度θ，其正弦值为纵坐标，余弦值为横坐标。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(θ ＋2π) ＝sinθ，cos(θ＋2π) ＝cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ ＋π) ＝tanθ。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(θ) ＝sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(θ) ＝cosθ。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都在-1, 1之间，而正切函数的值域为全体实数。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2＋2kπ上单调递减；余弦函数在2kπ, π ＋2kπ上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ上单调递增。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以另一个锐角为 60°。
根据三角函数的定义，sin30°＝对边／斜边，所以对边＝斜边 ×sin30°＝ 2 × 1/2 ＝ 1。
cos30°＝邻边／斜边，所以邻边＝斜边 × cos30°＝2 × √3/2 ＝√3。
答：两条直角边的长度分别为 1 和√3。
例 2：求函数 y ＝ sin(2x ＋π/3)的周期。
解：对于正弦函数 y ＝sin(ωx ＋φ)，其周期 T ＝2π ／ω。
专题11 三角函数(老师版)
专题11三角函数题型研究知识归纳结合图形理解记忆锐角三角函数定义；会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.能应用三角函数的相关知识解决有关的实际问题是主要知识点。
本专题主要对三角函数的应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
利用三角函数解直角三角形的解题思路①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；②构造直角三角形（题目中涉及的角如果在直角三角形中不需构造，直接解直角三角形，如果不再则需作垂线构造）；③解直角三角形；④设直角边为x；（直角三角形中有边长时直接求其它边，没有边长时需要设x）；⑤利用三角函数构造关于x 的方程。
常考题型专练直接求解型（已知直角三角形）1.如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得8CD BD ==米，再利用正切三角函数可得AD 的长，从而可得AB 的长，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：,37,45,8CD AB ACD BCD BD ⊥∠=︒∠=︒=米，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，8CD BD ∴==米，在Rt ACD 中，tan 80.756AD CD ACD =⋅∠≈⨯=（米），14AB AD BD ∴=+≈米，∴国旗匀速上升的速度约为(14 2.5)460.25-÷=（米/秒），答：国旗匀速上升的速度约为0.25米/秒．【总结】本题考查了解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．2.某数学兴趣小组在商场门口利用所学知识测量大屏幕MN 的高度，先在点A 放置测角仪，测得屏幕下端N 处的仰角为30°，然后测量者正对屏幕方向前进了5米到达B 处，又测得该屏幕上端M 处的仰角为45°，继续向前行走16米到达屏幕的最下端，请你依据相关数据计算出该屏幕的高度MN．（结果精确到0.1， 1.73≈，1.41≈）【答案】约为3.9米【分析】首先根据16BP =，45PBM ∠=︒，可得16PB PM ==米，再通过解直角三角形，可求得PN 的长，据此即可求得．【详解】解：在Rt BPM △中，16BP =，45PBM ∠=︒，45PMB PBM ∴∠=∠=︒，∴16PB PM ==米．在Rt APN 中，16521AP PB AB =+=+=（米）．∵30PAN ∠=︒，∴tan 30213PN AP =⋅︒=⨯=（米）．∴16 3.9MN PM PN =-=-≈（米）．答：该屏幕的高度MN 约为3.9米．【总结】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．解设求解型（已知直角三角形，但无边长）3.北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB 的垂直高度，如图，选取的测量点C，D 与AB 的底部B 在同一水平线上．测得CD 的长度为15m．在C，D 处测得跳台顶部A 的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB 的高度（结果精确到1m．参考数据：sin 37.50.609cos37.50.793tan 37.50.767︒≈︒≈︒≈，，）【答案】49m【分析】根据题意设AB x =m，则BD AB x ==，在Rt ABC △中，解直角三角形即可求解．【详解】解：AB BC ⊥，45ADB ∠=︒设AB x =m，则BD AB x ==，CD 的长度为15m15BC x ∴=+在Rt ABC △中，tan 0.767AB C BC==即0.76715x x =+解得49x ≈答：跳台AB 的高度为49m．【总结】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．4.如图，一台吊机的基座为AB．起吊一物体时，吊臂AC 的仰角为α，在竖直方向上，将吊臂末端C 提升到点D，使CD＝h，此时吊臂AD 的仰角为β．设竖直线CD 交地平线于点E，交A 点的水平线于点F，AF＝a．（1）请用含有h，α，β的式子表示a；（2）若α＝43°，β＝60°，h＝4米，求a 及吊臂AC 需要再延伸的长度．（精确到0.1米．参考数据：3≈1.73，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）【答案】（1）a=tan tan h βα-；（2）a=5米，3.2米【分析】（1）在Rt△AFD 中，tanβ=DF DF CD CF h CF AF a a a ++===，所以CF=a ⋅tanβ-h，在Rt△ACF 中，tanα=CF CF AF a =，所以CF=a ⋅tanα，则a ⋅tanβ-h =a ⋅tanα，即可求解；（2）由（1）知，a=tan tan h βα-，代入可求出a=5米，再由cosα=AF AC ，可求出AC 长，由cosβ=AF AD，可求出AD 长，即可由AD-AC 求解．【小问1详解】解：由题意，得AF⊥CE，则∠AFC=90°，在Rt△AFD 中，tanβ=DF DF CD CF h CF AF a a a ++===，∴CF=a ⋅tanβ-h，在Rt△ACF 中，tanα=CF CF =，∴CF=a ⋅tanα，∴a ⋅tanβ-h =a ⋅tanα，∴a=tan tan h βα-；【小问2详解】解：由（1）知：a=tan tan h βα-，∵α=43°，β=60°，tan43°≈0.93，h=4，∴a=44tan tan tan60tan 43 1.730.93h βα=≈≈-︒-︒-=5（米）∵cosα=AF AC，∴AC=55 6.85cos cos430.73AF α=≈≈︒（米），∵cosβ=AF AD ，∴AD=55101cos cos602AF β===︒，∴吊臂AC 需要再延伸的长度为：AD-AC=10-6.85=3.15≈3.2（米），答：a=5，吊臂AC 需要再延伸的长度约为3.2米．【总结】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．背靠背型（垂直构造直角三角形）5.黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”．为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度（不能到对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A 为参照点在河这边沿河边任取两点B、C，测得65ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，量得BC 的长为300m．求河的宽度．（结果精确到1m，参考据sin 650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan 65 2.14︒≈）【答案】河的宽度约为204米【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D，设AD x =，解直角三角形得到0.47BD x ≈，CD x =，根据BC 的长为300m，即可得到方程，求解即可．【详解】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D设AD x=由图可知65,45ABD ACB ∠=︒∠=︒在Rt ABD ∆中，tan ADABD BD∠=0.47tan tan 65ADxBD xABD ∴==≈∠︒在Rt ACD ∆中，45ACD ∠=︒AD CD x∴==BD DC BC+=0.47300x x ∴+=解得204x ≈即204m AD ≈所以，河的宽度约为204米．【总结】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．6.随着科技的进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小明利用无人机测量学校的篮球场上B、C两点之间的距离．如图所示，小明站在球场B处遥控无人机，无人机在A处距地面的飞行高度为41.6m，此时从无人机测球场C处的俯角为63°．他抬头仰视无人机时，仰角为α．若小明的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，C，B，E在同一平面内），求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）（参考数据sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）．【答案】51m【分析】如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，得到AF＝40m，先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可．【详解】如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m），在Rt△AEF=30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6m，∵tan∠ACD＝AD CD，∴CD＝41.6tan 63 1.96AD =︒≈21.22（m），∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51（m）．答：B，C 两点之间的距离约为51m．【总结】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．7.如图，一艘货船在灯塔C 的正南方向，距离灯塔257海里的A 处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40︒方向上，同时位于A 处的北偏东60︒方向上的B 处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）．参考数据：tan 400.84︒≈ 1.73．【答案】AB 的长约为168海里．【分析】如图，过点B 作BH⊥CA，垂足为H,解直角三角形即可【详解】如图，过点B 作BH⊥CA，垂足为H．根据题意，60,40,257BAC BCA CA ∠=︒∠=︒=．∵在Rt BAH △中，tan BH BAH AH ∠=，cos AH BAH AB∠=，∴tan 60,2cos60AH BH AH AB AH =⋅︒===︒．∵在Rt BCH 中，tan BH BCH CH∠=，∴tan 40tan 40BH CH ==︒︒．又CA CH AH =+，∴257tan 40AH =+︒．可得AH =∴22570.841681.730.84AB ⨯⨯=≈=+．答：AB 的长约为168海里．【总结】本题考查了解直角三角形的应用，构造高线构造出直角三角形，并灵活解之是解题的关键．子母型（垂直构造直角三角形）8.如图所示，某教学活动小组选定测量小山上方某信号塔PQ 的高度，他们在A 处测得信号塔顶端P 的仰角为45°，信号塔低端Q 的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B 处，测得信号塔顶端P 的仰角为68°．求信号塔PQ 的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈，tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈）【答案】信号塔PQ 的高度约为67.0米【分析】延长PQ 交直线AB 于点E，连接AQ，设PM 的长为x 米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ 的长度即可．【详解】解：延长PQ 交直线AB 于点M，则90PMA ∠=︒，设PM 的长为x 米，根据题意，得45,68,31PAM PBM QAM ∠=︒∠=︒∠=︒，100AB =，∴在Rt PAM 中，AM PM x ==．100BM AM AB x =-=-，在Rt PBM △中，∵tan PM PBM BM∠=，即tan 68100x x ︒=-．解得16757x ≈．．∴16757AM PM =≈．．在Rt QAM △中，∵tan QM QAM AM∠=，∴·tan 16757tan3110054QM AM QAM =∠=⨯︒≈．．．∴1675710054670PQ PM QM =-=-≈．．（米）．因此，信号塔PQ 的高度约为67.0米．【总结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．9.某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P 的高度，如图，A，B 两个观测点相距300m ，在A 处测得P 在北偏东71°方向上，同时在B 处测得P 在北偏东35°方向上．求无人飞机P 离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin 350.57︒≈，tan 350.70︒≈，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)【答案】无人飞机P离地面的高度约为136米．【分析】过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据直角三角形的三角函数解答即可．【详解】过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，设PC＝xm，在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m），∴300+0.70x＝2.90x，∴x＝300136 2.2≈，答：无人飞机P离地面的高度约为136米．【总结】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答．10.如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB.（结3 1.73, 2 1.41≈≈）【答案】塔高AB大约为58米【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF－BF即可得出答案．【详解】解：依题意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°，又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE，∴∠CAE=15°．∴△ACE为等腰三角形．∴AE=CE=100米．在Rt△AEF中，∠AEF=60°，∴EF=AEcos60°=50（米）．在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=EFtan30°=5033⨯=（米）．∴5031003AB AF BF5833=-==≈（米）．答：塔高AB大约为58米．【总结】【总结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键。
三角函数讲义（最新）
三角函数讲义（最新）三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in-απ2=co s α, co s ??-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间??+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
三角函数应用讲义
三角函数应用讲义自己整理的三角函数应用讲义相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！三角函数应用讲义一，教学内容和学习情况分析1.教材的地位和作用《三角函数的简单应用》是山东教育出版社初九数学第一章第六节的内容。
本课是《锐角三角函数的简单应用》中的第三节课，是学习了三角函数应用中关于旋转和测量的另一类应用：即工程中的斜率问题。
三类问题只是背景不同。
其实用来解决问题的工具都是一样的，就是直角三角形的角关系。
所以这个班遵循前两个班的教学模式。
直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是学习其他图形的基础，也是解决实际问题时广泛使用的图形。
《锐角三角函数的简单应用》是求解直角三角形的延续，渗透着数形结合、方程结合、变换结合的思想。
因此，这一课无论是在这一章还是在整个初中数学教材中都起着重要的作用。
2.学生现有的知识基础和学习新知识的障碍通过前几课的学习，学生经历了建立三角函数模型解决问题的过程，掌握了一定的解题技巧和方法，具备了一定的分析问题和解决问题的能力。
这为这门课的学习打下了很好的基础。
因为斜率问题涉及到梯形的相关性质和解题技巧，学生严重遗忘，再次面对梯形的问题情境，思维上会有障碍。
另外，斜率问题的计算比较复杂，而学生的计算能力较弱，计算器不熟练，特殊角度的三角函数值没有记忆，会耽误整个问题的求解。
二、目标设定基于以上分析，本课程的教学目标设定如下：1.应用三角函数解决斜率问题，进一步理解三角函数的含义。
2.体验解决实际问题的过程，进一步了解三角函数在解题中的应用。
3.通过实际问题的数学化过程，在独立思考和探索问题解决方案的过程中，不断克服困难，增强应用数学意识和解决问题的能力。
三.重难点的确立及依据1.重点：斜率的计算。
建立依据：斜率问题是一个非常现实的实际问题，是利用三角函数解决实际问题的好材料，也是中考的重要内容。
但边坡问题计算量大，学生计算能力弱，容易出错。
所以这节课的重点是：斜率的计算。
三角函数应用题解析
三角函数应用题解析三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于不同的领域。
在本文中，将通过几个应用题解析的方式，深入理解三角函数在实际问题中的运用。
文章将从角度的度数与弧度的转换、三角函数与直角三角形的关系、解析几何中的应用等方面展开，帮助读者更好地掌握三角函数的实际应用。
一、角度的度数与弧度的转换在三角函数的应用中，角度的度数与弧度是我们经常需要进行转换的内容。
角度转弧度的公式为：弧度 = (角度× π) / 180，弧度转角度的公式为：角度 = (弧度× 180) / π。
举例来说，若要将30度转换为弧度，可使用弧度= (30 × π) / 180，计算得到弧度为π / 6。
同理，若要将π / 3 的弧度转换为角度，可使用角度= (π / 3 × 180) / π，计算得到角度为 60 度。
在实际应用中，这样的转换常常出现。
二、三角函数与直角三角形的关系三角函数与直角三角形之间存在密切的联系。
在一个直角三角形中，有三个重要的角：直角角、锐角和钝角。
三角函数中的正弦、余弦和正切分别与这些角的对边、邻边和斜边的比值有关。
以一个直角三角形为例，其中角A为锐角，边a为对边，边b为邻边，斜边即为边c。
根据定义，正弦函数 sin(A) = a / c，余弦函数cos(A) = b / c，正切函数 tan(A) = a / b。
当已知直角三角形中的两个边长时，可通过三角函数来求解第三个边长。
例如，已知一个直角三角形的对边长度为4，斜边长度为5，可使用正弦函数求解邻边长度：sin(A) = a / c，得到 a = sin(A) × c，即 a = sin(A) × 5 = 4。
同理，可以使用余弦函数或正切函数求解其他边长。
三、解析几何中的应用除了直角三角形，三角函数在解析几何中也具有重要的应用价值。
例如，在平面直角坐标系中，一个点P的坐标为(x, y)，假设点P到原点O的距离为r，那么角θ与三角函数的关系如下：sin(θ) = y / r，cos(θ) = x / r。
三角函数的应用知识点
三角函数的应用知识点三角函数是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的应用知识点，并通过实际例子来说明其在各个领域的具体应用。
一、三角函数的定义在介绍应用知识点之前，首先需要了解三角函数的定义。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，某个角的正弦值等于该角对边长度与斜边长度之比。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，某个角的余弦值等于该角邻边长度与斜边长度之比。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，某个角的正切值等于该角对边长度与邻边长度之比。
二、测量高度三角函数在测量高度方面有广泛的应用。
以测量高楼的高度为例，我们可以利用三角函数来计算。
假设我们站在地面上的某一点，此时我们的眼睛与地面的距离可以视为水平线。
然后，我们朝着高楼的顶部仰望，形成一条直线与地面的夹角。
通过测量这个角度以及我们与高楼的水平距离，可以利用正切函数计算出高楼的高度。
三、测量距离除了测量高度，三角函数还可以应用于测量距离。
例如，在航空航天领域，我们常常需要测量两个物体之间的距离。
通过测量两个观测点之间与地平线的夹角以及观测点之间的水平距离，利用正切函数可以计算出物体之间的真实距离。
四、解决航向问题航向问题是指在航海、航空等领域中确定船舶、飞机等运动方向的问题。
三角函数提供了解决航向问题的有效方法。
假设船舶的初始位置为点A，目标位置为点B，航向角为角C。
通过测量角C的大小以及初始位置点A与目标位置点B的距离，可以利用正弦函数和余弦函数来计算出船舶需要调整的航向角度。
五、音频处理三角函数在音频处理中也有重要应用。
例如，音频信号可以表示为某一时刻的振幅，而振幅的变化可以用三角函数的周期性特征进行描述。
通过对音频信号进行傅里叶变换，可以将音频信号变换到频域，得到其频谱。
频谱分析可以通过正弦函数的频率和幅度来描述声音中各个频率分量的贡献，从而实现音频信号的处理和优化。
六、电路分析在电路分析中，三角函数被广泛用于表示交流电信号。
三角函数应用题技巧(一)
三角函数应用题技巧(一)三角函数应用题技巧入门•熟悉三角函数的定义和性质•掌握一定的三角函数计算方法•熟悉三角函数的图像及其变化规律常见应用•直角三角形–利用三角函数求解角度或边长–典型题目：求一个角的正弦、余弦、正切值等•平面向量–利用向量坐标及三角函数求解向量的模长或方向角–典型题目：已知向量坐标求向量的模长和方向角•三角函数的图像分析–利用对称性及周期性求解函数值–典型题目：已知函数值求解对应的自变量值进阶应用•三角函数的极值和周期–通过求解极值和周期，快速解决三角函数问题–典型题目：求解三角函数的最大值和最小值•三角函数的合成函数–利用复合函数求解复杂三角函数问题–典型题目：已知多个三角函数的值，求解其复合函数的值提高应用•三角函数的微分–利用微积分方法求解三角函数的导数–典型题目：求解三角函数的导数及最值•三角函数的积分–利用微积分方法求解三角函数的原函数–典型题目：求解三角函数的不定积分及定积分总结通过掌握三角函数的基础知识和常用应用，我们可以解决绝大多数的三角函数问题，进而更好地理解和应用数学知识。
感谢您的关注，以下是接下来的内容：参考资料•《高等数学》•《数学分析》•《数学方法与数学模型》建议与注意事项•多做练习题，加深对知识点的理解和记忆•注意合理选择应用方法，避免在题目中迷失方向•注意思维逻辑的清晰及计算细节，避免出错结语三角函数作为数学中一门重要的基础知识，具有广泛的应用和实际意义。
只有不断地学习和掌握，才能在日后的数学学习和实践中更好地运用它。
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测量类应用题（讲义）
一、知识点睛
1.正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的
___________与____________的比．
2.测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于
_____________和_____________．
①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造
_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；
②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对
比来确定符合题意的结果．
二、精讲精练
1.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2 m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13 m的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求教学楼AB的高度；
（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin22°≈3
8
，cos22°≈
15
16
，tan22°≈
2
5
）
D
F
A
B C
E
22°
45°
2. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A
处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i
=1AB =10米，AE =15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，
参考数据：
≈1.414
2）
A
B C
D
60°
45°
3. 如图所示，A ，B 两地之间有条河，原来从A 地到B 地需要经过桥DC ，沿
A D C
B →→→到达．现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知B
C =11 km ，∠A=45°，∠B =37°，桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到B 地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1 km ，
≈1.41，
sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80）
4.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师
傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．
（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，
，
≈2.24
）
（1）求新传送带AC的长度；
（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
5.如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮
倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角
∠ADC=60°，AD=4 m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数
≈1.4
≈1.7
）
D
23°
60°
C
B
38°
A
6.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距
离BD的长为16 km，一艘货轮从B港口以
40 km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15 min后到达C处，现测得C
处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC 的长．（精确到0.1 km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，
cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50
≈1.41
）
东
观测点
港口C
A B
D
7.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图，A，B，C分别是钓鱼岛、南小
岛、黄尾屿上的点，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A，B两点的距离约为5.5 km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间才能到达？（结果保留小数点后两位，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
北
北A
C B
三、回顾与思考
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________【参考答案】
一、知识点睛
1．坡比，铅直高度，水平宽度．
2．解直角三角形，结果判断．
①线段，角度，直角三角形．
二、精讲精练
1．（1）教学楼AB的高度为12m；
（2）A，E之间的距离为27m．
2．这块宣传牌CD的高度为2.7米．
3．比原来少走4.9km．
4．（1）新传送带AC的长度为5.7米；
（2）需要挪走，理由略．
5．（1）75°；
（2）这棵大树折断前的高度为10m．
6．13.4km．
7．0.89小时
测量类应用题（随堂测试）
1. 如图，某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l ．救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号，他立即沿AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C 处入海，径直向B 处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B 处游去，若CD =40米，B 在C 的北偏东35°方向上，甲、乙的游泳速度均为2米/秒，则谁先到达B 处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【参考答案】
1．乙，理由略
测量类应用题（作业）
1. 如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔
C 位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C 的正东方向上的
D 处时，求轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）
北
东
2. 如图，在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ，在跑
道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15千米的B 处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距
C 处． （1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）
（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．
3. 如图，一山峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，其海拔约为600米．在
山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中3
tan 5
α=，
5
tan 8
β=，求发射架BC 的高度．
山顶
4. 如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°，
然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（结果精确到0.1
≈1.73）
5. 小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了
如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O 距离地面的高度OO ′=2米，当吊臂顶端由A ′点降落至A 点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B ′处恰好放到地面上的B 处，紧绷着的吊缆AB =A ′B ′，AB 垂直地
面O ′B 于点B ，A ′B ′垂直地面O ′B 于点C ，吊臂长度OA ′=OA =20米，且cos A 3
5
=，
1sin 2A'=．
（1）求此重物在水平方向移动的距离BC ；
（2）求此重物在竖直方向移动的距离B ′C ．
【参考答案】
1． 2．（1）（2）能
3．25米
4．236.5米
5．（1）6米
（2）(12-)米
45°D
C
B A
30°。