八年级数学下册22.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质定理1教案

第二十二章 四边形 22.1 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的性质定理 1

1．理解平行四边形的概念；(重点) 2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)

一、情境导入 如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？

二、合作探究

探究点一：平行四边形的定义

如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝

∠D ，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形．

解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC ＝∠ACB ，根据平行线的判定推出AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据平行四边形的定义推出即可．

证明：∵∠1＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∠2＋∠D ＋∠CAD ＝180°，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．

方法总结：平行四边形的定义既是平行

四边形的性质，也是判断一个四边形是平行

四边形的重要方法．

探究点二：平行四边形的边、角特征 【类型一】 利用平行四边形的性质求

边长

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，

点D ，E ，F 分别是AC ，BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 为平行四边形，DE ＝2，则AD ＝________．

解析：∵四边形ADEF 为平行四边形，∴DE ＝AF ＝2，AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴∠ACB ＝∠FEB .∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF .∴AD ＝BF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD ＝7.

方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

【类型二】 利用平行四边形的性质求

角

如图，在平行四边形ABCD 中，

CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( )

A ．35°

B ．55°

C ．25°

D ．30°

解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选

A.

方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．

【类型三】 利用平行四边形的性质证

明有关结论

如图，点G 、E 、F 分别在平行四

边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .

解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE 中，

∵⎩⎪⎨⎪

⎧CF ＝CE ，∠FCP ＝∠ECP ，CP ＝CP ，

∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .

方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．

【类型四】

判断直线的位置关系

如图，在平行四边形ABCD 中，AB

＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．

解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD

的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．

解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝1

2∠ADC ，同理

∠MCD ＝1

2

∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB

＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋

1

2∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝

180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．

方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断

两条直线的关系．

探究点三：两平行线间的距离

如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1

上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝1

2GH ·h ，S △FGH

＝1

2

GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面

积．

方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．

三、板书设计

1．平行四边形的定义

2．平行四边形的边、角特征 3．两平行线间的距离