八年级数学下册《勾股定理》知识点

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初中数学试卷桑水出品《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。

公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。

常见勾股数有:(3,4,5)(5,12,13) (6,8,10)(7,24,25)(8,15,17)(9,12,15)4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.2. 如图,以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( )A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。

5、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。

八年级数学|下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析

八年级数学|下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析

八年级数学|下册勾股定理预习,知识点归纳+五大题型解析八年级数学学习的勾股定理是初中数学当中为数不多的涉及几何与代数相结合的知识板块之一。

它利用三角形三边的关系与角度的问题相结合,中考当中勾股定理的考点,主要体现在勾股定理的实际应用当中。

由于勾股定理中涉及其三边的关系,所以在涉及到求边长的直角三角形当中,都可以利用三角形作为基础的解题方法。

预习的同学,不仅要了解勾股定理所涉及的内容还要了解其学习中的难点及勾股定理的实际应用,特别是勾股定理涉及到的五大题型当中,最后两种是大家重点关注的内容,它在勾股定理的实际应用当中具有非常典型的代表性。

下面唐老师将带领大家对勾股定理的基础知识归纳以及五大典型题型解析两部分进行综合的讲解与认识,通过这些基础知识的学习,在典型的例题当中该如何进行解答与运用,都是大家在学习勾股定理时应当掌握技巧的具体展现。

一、勾股定理知识点归纳勾股定理主要的知识点就是勾股定理的具体内容,以及勾股定理的逆定理的理解,我们可以通过几何图形的方式,也就是勾股定理的证明,这个过程当中涉及到几种方法,这些方法大家一定要去一一的去整理思路,明白其证明的过程是从何而来的。

虽然在考试当中,勾股定理的证明并不需要大家去掌握,考试也不会考,但是其中涉及到的证明方法可以从代数的方向,左手也可以利用数形结合的方式来进行证明,这种思想对于拓宽大家数学学习的思路都是非常好的,所以对于证明的过程,大家一定要从头到尾理解其证明的思路。

特别提醒,在勾股定理当中,我们都记住其三边的关系为c方等于a 方加b方。

但是在具体的应用过程当中,abc所代表的意义一定要明白,不能用固定的字母来代替,c代表的是直角三角形的斜边,a,b分别代表的是直角三角形的两条直角边,所以当字母发生变化时,我们要提高警惕,以防范低级错误。

二、勾股定理五大题型分类解析类型一、勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用其实就是对勾股定理概念的深刻理解,学会利用三边的关系求任意一边的长度,这是利用勾股定理进行其他的运算以及其应用的基础。

人教版八年级数学下册 勾股定理 讲义

人教版八年级数学下册 勾股定理 讲义

c b a H G F E D C B A 勾股定理知识点一、勾股定理的概念知识概念:勾股定理是指,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为“勾股形”, 因此把这个定理称为“勾股定理”。

在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,因此这个定理也叫做“毕达哥拉斯定理”在Rt △ACB 中,根据勾股定理:222a b c +=中国古代数学家赵爽的证明方法:将四个全等的直角三角形摆成如图所示的图形4AGB S ∆+S 正方形EFGH =ABCD S 正方形,2214()2ab b a c ⨯+-= 化简可证a 2+b 2=c 2例1、在Rt △ABC 中,∠C=90°(1)已知a=3, b=4,求c (2)已知a=9,b=40,求c (3)已知a=6,c=10,求b1、在Rt △ABC 中,∠C=90°(1)已知a=5, b=12,求c (2)已知a=7,b=24,求c (3)已知a=8,c=17,求b2、如图,在ABC Rt ∆中,∠C =90°,a 、b 、c 分别表示A ∠、B ∠、C ∠的对边。

(1)已知c =25,b =15,求a(2)已知a =6,∠A =60°,求b 、c知识概念:满足勾股定理的三个正整数称为勾股数例2、下列属于勾股数的有_________①3,4,5 ②6,8,10 ③9,12,15 ④12,16,20 ⑤5,12,13 ⑥7,24,25 ⑦9,40,41⑧10,24,26 ⑨1,1,2 ⑩0.3,0.4,0.5如果三个数满足勾股定理,那么它们的k 倍也满足勾股定理1、下列哪一组属于勾股数( )A 、0.6,0.8,1B 、112,2,122C 、1,2,3D 、15,20,252、在△ABC中,∠C=90°,若c=10,a:b=3:4,则ab=______3、如图,在等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=______4、已知直角三角形一个锐角为60°,斜边长为2,那么此直角三角形的周长是()A、3B、1C、3+2D、3+35、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距()A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里6、请用数轴上表示出代表2的数7、如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是________例3、已知Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若∠B=90°,则()A、a2+b2=c2B、a2+c2=b2C、b2+c2=a2D、a+b=c例4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是________8、如图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是________米.9、如图,以Rt△ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S1=4,S2=8,则AB的长为_________.10、在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+CA2=_________11、若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为()A.25 B.7 C.7或25 D.9或1612、如图,△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=10,AC=6,则△ACD的周长为()A.14 B.16 C.18 D.2013、直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______.14、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?15、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离小明头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?16、如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?。

人教版八年级下册数学 专题:第18章勾股定理知识点与常见题型总结

人教版八年级下册数学 专题:第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cba HG F EDCBA方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c =,b,a =②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥ EMBED Equation.DSMT4 n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n > EMBED Equation.DSMT4 m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆ABC ∆中,90C ∠=︒90C ∠=︒.⑴已知6AC =6AC =,8BC =8BC =.求AB AB 的长 ⑵已知17AB =17AB =,15AC =15AC =,求BC BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=222a b c +=解:⑴10AB=10AB ==⑵8BC ==8BC =题型二:应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆ABC ∆中,90ACB ∠=︒90ACB ∠=︒,5AB =5AB =cm ,3BC =3BC =cm ,CD AB ⊥CD AB ⊥于D D ,CD CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:43:4,斜边长为1515,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为3030cm ,斜边长为1313cm ,则这个三角形的面积为 分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解 解:⑴4AC ==4AC =,2.4AC BC CD AB ⋅== 2.4AC BCCD AB ⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k 3k ,4k EMBED Equation.DSMT4 ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=3k ∴=,54S =54S =⑶设两直角边分别为a a ,b ,则17a b +=17a b +=,22289a b +=22289a b +=,可得60ab =60ab =1302S ab ∴== EMBED Equation.DSMT42cm例3.如图ABC ∆ABC ∆中,90C ∠=︒90C ∠=︒,12∠=∠12∠=∠, 1.5CD = 1.5CD =,2.5BD = 2.5BD =,求AC AC 的长21DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥DE AB ⊥于E E ,12∠=∠,90C ∠=︒90C ∠=︒∴∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=AC AE ∴=在Rt ABC ∆Rt ABC ∆中,90C ∠=︒90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+222()4AE EB AC +=+3AC ∴= 例4. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图,Rt △ABC 中,AB =9,BC =6,∠B =90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN 的长为( )A .B .C .4 D . 5考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 设BN =x ,则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ,根据中点的定义可得BD =3,在Rt △ABC 中,根据勾股定理可得关于x 的方程,解方程即可求解. 解答: 解:设BN =x ,由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x , ∵D 是BC 的中点, ∴BD =3,在Rt △ABC 中,x 2+32=(9﹣x )2, 解得x =4.故线段BN 的长为4. 故选:C .点评: 考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.例5.已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 恰好落在B C 边上的点F ,求CE 的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

人教版八年级下册数学 专题:第18章勾股定理知识点与常见题型总结

人教版八年级下册数学 专题:第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析:直接应用勾股定理222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二:应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解 解:⑴224AC AB BC =-=, 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21EDCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图,Rt △ABC 中,AB =9,BC =6,∠B =90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN 的长为( )A .B .C .4 D . 5考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 设BN =x ,则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ,根据中点的定义可得BD =3,在Rt △ABC 中,根据勾股定理可得关于x 的方程,解方程即可求解.解答:解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△ABC中,x2+32=(9﹣x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选:C.点评:考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

八年级数学下册勾股定理知识点

八年级数学下册勾股定理知识点

八年级数学下册勾股定理知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点11.勾股定理的内容:如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注:勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数:满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度,对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲:练习:例1:若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为解析:可知三边长度为3,4,5,因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为解析:可知三边长度为6,8,10,则周长为24例2:已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.解析:第一种情况:当直角边为3和4时,则斜边为5第二种情况:当斜边长度为4时,一条直角边为3,则另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目,同学们应该认真审题!例3:一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )a.斜边长为25b.三角形周长为25c.斜边长为5d.三角形面积为20解析:根据勾股定理,可知斜边长度为5,选择c八年级数学下册《勾股定理》知识点2勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么.勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在**称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的.直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方。

新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1

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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点:1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222+=a b c 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角a b c c b a E D C B A形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b+与较长边的平方2c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若222,b,c为a b c+<,时,以a三边的三角形是钝角三角形;若,b,c为三边的三角形222a b c+>,时,以a是锐角三角形;②定理中a,b,c及222+=只是一种表a b c现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足222a c b+=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222+=a b c 中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数:221,2,1n n n-+(2,n≥n为正整数);2221,22,221n n n n n++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n-+(,m n>m,n为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:A B C 30°D C B A A D B C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

新课标人教版八年级数学第十八章勾股定理知识点总结

新课标人教版八年级数学第十八章勾股定理知识点总结

A CB D 新课标人教版八年级数学知识点总结 第十八章 勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c 满足a 2+b 2=c 2。

,那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

(例:勾股定理与勾股定理逆定理)4.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下:∠C=90°⇒∠A+∠B=90°(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下: ⇒BC =21AB ∠C=90°(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

∠ACB=90° 可表示如下: ⇒CD =21AB = BD = AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB = 90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得:A B ·CD=AC ·BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明⑴命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。

理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;(2)这个句子必须对某件事情做出判断。

人教数学八年级下册专题:第18章.勾股定理知识点与常见题型总结.docx

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初中数学试卷桑水出品专题:第18章.勾股定理知识点与常见题型总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.cbaHG F EDCB A方法二:bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =- ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析:直接应用勾股定理222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二:应用勾股定理建立方程 例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解 解:⑴224AC AB BC =-=, 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21EDCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图,Rt △ABC 中,AB =9,BC =6,∠B =90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN 的长为( )A .B .C .4 D . 5考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 设BN =x ,则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ,根据中点的定义可得BD =3,在Rt △ABC 中,根据勾股定理可得关于x 的方程,解方程即可求解.解答:解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△ABC中,x2+32=(9﹣x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选:C.点评:考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1 (2)

新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题1 (2)

新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点: 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下: 方法一:4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为22()2S a b a a b b =+=++ 所以22a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长cbaHG F ED CBAbacbac ca bcab a bc cbaED CB A边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:AB C30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结

八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结

八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解: ⑴224AC AB BC =-=, 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,Q 12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. ( 2014•安徽省,第8题4分)如图,Rt △ABC 中,AB =9,BC =6,∠B =90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN ,则线段BN 的长为( )A .B .C . 4D . 5考点: 翻折变换(折叠问题).分析: 设BN =x ,则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ,根据中点的定义可得BD =3,在Rt △ABC 中,根据勾股定理可得关于x 的方程,解方程即可求解.解答: 解:设BN =x ,由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△ABC中,x2+32=(9﹣x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选:C.点评:考查了翻折变换(折叠问题),涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强,但是难度不大.例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

八年级下册勾股定理

八年级下册勾股定理

八年级下册数学勾股定理一、基础知识点1.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即:a2+b2=c2)要点诠释:勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC 是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则△ABC为锐角三角形)。

3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理。

联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。

4.互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

5.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是。

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。

②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。

二、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

2022年八年级数学下册勾股定理知识点和典

2022年八年级数学下册勾股定理知识点和典

勾股定理[基础知识] 1.勾股定理222a b c +=2.勾股定理旳证明 常见措施如下: 措施一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.措施二:四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积. 四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 因此222a b c +=措施三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理旳合用范围bacbac cabcab a b ccbaE D CBA勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系,它只合用于直角三角形4.勾股定理旳逆定理假如三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形6.勾股数1记住常见旳勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等2用含字母旳代数式表达n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7、互逆命题旳概念假如一种命题旳题设和结论分别是另一种命题旳结论和题设,这样旳两个命题叫做互逆命题。

假如把其中一种叫做原命题,那么另一种叫做它旳逆命题。

[考点题型]题型一:直接考察勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 旳长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 旳长题型二:运用勾股定理测量长度例题1 假如梯子旳底端离建筑物9米,那么15米长旳梯子可以抵达建筑物旳高度是多少米?例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米旳C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 旳长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它旳顶端B 恰好落到D 点,并求水池旳深度AC.题型三:勾股定理和逆定理并用例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上旳中点,F 是AB 上一点,且AB FB 41那么△DEF 是直角三角形吗?为何?题型四:运用勾股定理求线段长度例题4 如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上旳点F,求CE旳长.注:本题接下来还可以折痕旳长度和求重叠部分旳面积。

人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c =b,a =②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB ==⑵8BC题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴4AC ==, 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB CD E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD =答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c = 解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=.。

沪科版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

沪科版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证. c ba HG FEDCB A方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证 a b ccb a E DCB A3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b,a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决. 常见图形:A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴10AB⑵8BC ==题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作DE AB ⊥于E ,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案:6题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB CD E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD =答案:10m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c = 解:①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 解:此三角形是直角三角形理由:222()264a b a b ab +=+-=,且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm 在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=.。

第十七章 勾股定理(单元总结)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)

第十七章 勾股定理(单元总结)(解析版)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)

第十七章 勾股定理单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一 勾股定理勾股定理概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=变式:1)a ²=c ²- b ²2)b ²=c ²- a ²适用范围:勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明:勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.c ba HG FEDC BA方法二:b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证222a b c += a b ccb a E DCB A知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念:能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数常见的勾股数:如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等扩展:用含字母的代数式表示n 组勾股数:1)221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2)2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)3)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)注意:每组勾股数的相同整数倍,也是勾股数。

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八年级数学下册《勾股定理》知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点在日常的学习中,说到知识点,大家是不是都习惯性的重视?知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。

你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?下面是店铺为大家收集的八年级数学下册《勾股定理》知识点,仅供参考,欢迎大家阅读。

八年级数学下册《勾股定理》知识点篇11.勾股定理的内容:如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注:勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数:满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度,对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲:练习:例1:若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为解析:可知三边长度为3,4,5,因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为解析:可知三边长度为6,8,10,则周长为24例2:已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.解析:第一种情况:当直角边为3和4时,则斜边为5第二种情况:当斜边长度为4时,一条直角边为3,则另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目,同学们应该认真审题!例3:一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析:根据勾股定理,可知斜边长度为5,选择C八年级数学下册《勾股定理》知识点篇2勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内),两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方,这就叫做勾股定理。

即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。

[1]如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,那么a+b=c.简介勾股定理是余弦定理的一个特例。

这个定理在中国又称为“商高定理”(相传大禹治水时,就会运用此定理来解决治水中的计算问题),在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。

(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”)。

他们发现勾股定理的时间都比中国晚(中国是最早发现这一几何宝藏的国家)。

目前初二学生开始学习,教材的证明方法大多采用赵爽弦图,证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理,是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a^2+b^2=c^2。

勾股定理内容直角三角形(等腰直角三角形也算在内)两直角边(即“勾”“股”短的为勾,长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。

也就是说设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a的平方+b的平方=c的平方a+b=c。

勾股定理现发现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

中国古代著名数学家商高说:“若勾三,股四,则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量,将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影,则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即,向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2.勾股定理是余弦定理的特殊情况。

八年级数学下册《勾股定理》知识点篇3勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么.勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的.直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。

勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边.①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和与较长边的方作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a,b,c及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边.③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形质数和合数应用1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。

2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。

数学的方法技巧整理预习的方法上课之前一定要抽时间进行预习,有时预习比做作业更重要,因为通过预习我们可以初步掌握课程的大致内容,听课就能够把握好重点,针对性比较强,还会带着问题去听课,听课效率就会比较高,上课听明白了,完成作业也会更好更快,最终会形成良性循环。

听懂课的习惯注意听教师每节课强调的学习重点,注意听对定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程,注意听对例题关键部分的提示和处理方法,注意听对疑难问题的解释及一节课最后的小结,这样,抓住重、难点,沿着知识的发生发展的过程来听课,不仅能提高听课效率,而且能由“听会”转变为“会听”。

不断练习不断练习是指多做数学练习题。

希望学好数学,多做练习是必不可少的。

做练习的原因有以下三点:第一,熟练和巩固学到的数学知识;二,引导同学灵活运用所学知识点以及独立思考独立做题的水平;第三,融会贯通。

通过做题将所学的所有知识点结合起来,加深同学对数学体系化的理解。

及时小结,温故知新一要进行复习小结,及时再现当天或本单元所学的知识;二要积累资料进行整理。

可将平时作业、小测验中技巧性强的、易错的题目及时收集成册——错题本,便于复习时参考。

八年级数学下册《勾股定理》知识点篇4一、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

我国古代把直角三角形中,较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”。

结论为:“勾三股四弦五”。

a2+b2=c22221、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c,那么这个三角形是直角三角形。

2222、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。

(例如,3、4、5是一组勾股数)。

利用勾股数可以构造直角三角形。

二、平方根1、定义——一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也称为二次方根。

也就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。

2、一个正数有2个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根。

3、求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。

4、正数a有两个平方根,其中正的平方根,也叫做a的算术平方根。

例如:4的平方根是±2,其中2叫做4的算术平方根,记作=2;2的平方根是±其中2的算术平方根。

0只有一个平方根,0的平方根也叫做0的算术平方根,即三、立方根1、定义——一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,也称为三次方根。

也就是说,如果x=a,那么x就叫做a 的立方根,数a的立方根记作“,读作“三次根号a”。

2、求一个数a的立方根的运算,叫做开立方。

3、正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。

四、实数1、无限不循环小数称为无理数。

2、有理数和无理数统称为实数。

3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反之,数轴上的每一个点都表示一个实数,实数与数轴上的点是一一对应的。

五、近似数与有效数字1、例如,本册数学课本约有100千字,这里100是一个近似似数。

2、对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

【八年级数学下册《勾股定理》知识点】。

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