2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
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点马的去心邻域，记作。（凡，肉，即
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
成立， 称常数 A 为函数 f(x,y） 在点（苟， Yo） 处的极限， 记为
f lim
x→r11
怡， y)=A
或 lim f(x,y)=A. J：，，，，－→Jr'1,lOJ】
【注】二元函数极限存在，是指 x,y 以所有路径趋于 （xo,Yo） 时，对应的函数值趋于相同的一
.v, +
z
=
1
上的投影直线的方程．
习题7.将 xOy坐标面上的双曲线 4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周， 求所生成的旋
转曲面的方程．
习题8.求球面 x2+y2+z2 =9与平面 x+z=l 的交线在 xOy面上的投影的方程．
－ －r 习题9求上半球O豆z三」a2 泸 与圆柱体 :i'+y2 三a巾 ＞0）的公共部分在 xOy iiilll
＝
I = o - x2 - Y2,
二－一一？ 例5求空间1111线J
在 xOy 面上的投；�曲线方程
I z ＝飞／x‘ + y'
F万？ ［答案J � 6-x2 - i
I z =0
例6求曲线「：J z = x2 + y 2 ，在 xOv 面和 zOx而上的投制i而方程 I 2x-z=0.
【空间11!1线的参数化】
x-4 y+3
习题4.求过点（3,I,-2）且通过直线－一5 －＝一一2 －＝－I 的平面方程．
Ix+2y-z+ 1 = o, 12x-y+z = o,
习题5.求过点(1, 2,I）而与两直线｛lx-y+z-1=0 和｛lx-y+z=O 平行的平面方
程．
12x-4y+z=0, 习题6.求直线｛l3x-y-2z-9=0 在平面钉－
z I F(x,y) = 0,
柱面 的母线平行于z轴，准线CcxOy面，则方程为｛IZ=U,,.. 【锥面】
过曲线C外一定点Mo ，且与曲线C相交的直线沿曲线C移动形成的曲面称为锥 面．曲线C称为锥面的准线，动直线称为锥面的母线，定点Mo 称为锥面的顶点〈如图所
示〉．
四、 二次曲面
【常用的二次曲面方程及其图形】
(3）椭圆一＋
一 4y一2
＝
I
与抛物线
x=y2
+I
及
x=/-1
所围成的区域．
99
<4> {<x,y)I x剖， OSySx2}.
(5) {(x,y)I IS x2 +y2 < 4， 对＋y2 刘）
三、 二元函数极限
设二元函数z = f(x,y） 在点 （xo,Yo） 的某空心邻域 U(xo,Yo ） 内有定义， d 为常数，若 对任意的＆＞ 0 ， 存在 c5 > 0 ， 当 0 < �（x-x0 )2+(y-y0 )2 < O 时， 有
o 当 r和h在集合｛（r,h)lr > O,h > ｝内取定一对值。，h） 时，y的对应值就随之确定．
例 2 一定量的理想气体的压强p，体积 Y 和绝对温度 T之间具有关系
p = v RT ’
其中R为常数，当Y和T在集合｛（V,T)IV > O,T＞几）内取定一对值 （V,T） 时，p的对应
值就随之确定．
习题5【答案】 x-y+z=O.
l17x+31y-37z-117 = 0,
习题6【答案】｛l4x-y+z=l.
习题7【答案】4x2-9y2-9i =36; 4x2+4三－9/=36.
习题8【答案】i1z2x=2O-2x＋.ν, 2=8
习题9【答案】r+/5:at：三＋at5:d,05:x5:a,z主 0.
方程
t川＝0,
G(x,y,z) = 0.
表示，称为空间曲线 I的 一般方程．
r (2）参数式：如果空间曲线 上任意一点的三个坐标价， y,z） 都可以用参数t的函数来表示， I x=x(t),
则方程组 �y=y(t），称为空间曲线 I的参数方程．
[ z=z(t)
例1 方程组J x2 + y2 = 1，表示怎样的曲线？
第 一 节多元函数的基本概念
一、 平面点集 1.平面点集 R2 中的邻域和去心邻域
设 Po（布， Yo）是 xOy 平面上的一个点，6是某一个正数，与点马（x.。， y。）距离小于 5 的
点 P(x,y） 的全体，称为点马的δ邻域，记为U（马，5)，即
8} · U(Pc,, 8) = {<x,y)h/(x-x山 （y-Yo)2 <
例 44
方程
I 2x+3z = 6.
r
声
BZ z
组
B E B E E －
／ I l l ＼
vf
叫 引
－一．－d－x 2’
2
＋ vd
－7
－2 1
，
－＝
I／α
l l 飞－
2
、1ll／
表 一一小 怎 样 的 曲 线 ·9
二、 空间曲线在坐标面上的投影
【空间曲线在坐标面上的投影曲线方程】
以空间曲线I为准线，母线垂直于平面口的柱面立称为曲线I对平面 H 的投影柱面．立 和口的交线称为 I在平面日上的投影曲线（简称投影〉．
I 设曲线T的一般方程为｛ F(x,y,z) = 0, l G(x,y,z) = 0.
方程消去变量z后所得的方程为
H(x,y)=O.
曲 线 r且 在 对 加面 上 的 投 影 曲 线 为 fl〈｜ 矶严
’
L
研 队
LG
Y
hv no － d t 例 3 己 知 两 球 面 的 方 程 为 ？＋ Jyd 4 和 ＋ r
例3 设R是电阻RI 和乓并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系
R ＿.！！.占L.
R,+R2
当码和乓在集合｛（R，，乓）｜乓＞0，乓＞0｝内取定一对值 （R,,.Ri） 时， R 的值就随之确定．
例4求下列函数的定义域z
- J;工y 0· (
1)函数
z
－
一一l一一
＋
l
一一一一
.rz· Jy (2) “u －－一 � ＋一＋ 土
【i91J@j】将下列曲线化为参数方程
(I) J x2 + y2 +z2 = 5, [ z =I+xi + Y i
(2) ir 2x2 + y 2 =z2 lx+z=l.
.J2 － rx=cosB fx= cosθ 1
［答案J ↓ y= sinθ；↓y=.Jisinθ
l I z=2 z=2 - .J'2 cosθ
第五节 曲面及其方程
一 、 曲面方程
【空间曲面方程】空间曲面可以看作满足某种规律点的几何轨迹，通常用方程表示．
(1） 一般方程z
F(x,y,z)::: 0.
(2）参数方程：
x =x(u v) y = y(u, v),
二、旋转曲面 【旋转曲面】
以平面上一 条曲线C绕该平面上一 条定直线L旋转一 周而形成的曲面称为旋转曲 面．曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的轴．
常记为
体所构成的集合称为函数的值域，记为 f(D） ，即
f(D) = {zl z = f(x,y), (x,y) ED}.
类似的可以定义三元函数 u = f(x,y,z).
二元函数的几何意义z二元函数z= f(x,y），。，y）εD一般表示空间中直角坐标系下的一
个空间曲面．
←
例1 圆柱体的体积y和它的底半径r，高h之间具有关系
J . (3) z = arcsin(x -y2 ) + In [ln(l0-x2 -4y2 ) (4) z＝ 严J;.
(5) f(x,y)= ln�(4x-2+xf" --y!")
【答案】
(1) {(x,y)jx+y>O, x-y>O}.
c2> {<x,y,z>I x>o, y>o, z>o}.
x2
a-－－－－：；－
寸 c
＝
1，分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
［答案］一－α－－－－：；－－
-
-c---:,
=
2
1,. -xa----:;-
－一Yi一c+「-z－2
＝
1
三、柱面 【柱面】
直线L沿定曲线C平行移动形成的曲面叫做柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线． 【注】曲面方程中缺少 一 个变量，则在空间中表示的图形为柱面，此时柱面的母线与所缺变 元同名的坐标轴平行．
求曲面立的方程．
［答案］
x2
+ y2
2
=(l-z)
+z2
(2013年，数学一 〉
习题练习
习题1.一平面过点（1,0,-1）且平行于向量a=(2,1,l）和 b =(1,-1,0 ），试求这平面方程． 习题2. 求平行于x轴，且经过两点”，0,-2）和（5,I,7）的平面方程
习题3.求过点（0,2,4）且与两平面 x+2z=1和 y-3z = 2平行的直线方程．
－ － － 。 双 叶 双 曲 面 方 程
t d
2y t
z2
2C ＝
i1- v2 (7）双曲抛物面（马鞍面）：寸 a －号oτ ＝±z.
ω 椭圆柱面z兰 α－ ＋宇o：- ＝ l.
(9）抛物柱面： l=2px.
第六节 空间曲线及其方程
一、 空间曲线的方程
【空间曲线的方程】
q r r (1）一般式z曲面写： F(x,y,z)=O与三： 鸟儿z)=O相交于空间曲线 ，则 可用
【旋转曲面的生成】设由 xOy 面上的曲线L ：才lIfZ(=xU,,,y. ) =0,
(1)曲线L绕x轴旋转所生成的旋转曲面方程为 f(x,±/y号？＂）＝0.
(2）曲线L绕y轴旋转所生成的旋转曲面方程为／｛±乒可言， y)=O.
【注】口诀是：绕谁谁不变．
xα 例1 将
x2 z2
坐标面上的双曲线
－
( l)球面方程： (x-,Xo)2 +(y-J也)2 +(z-z0)2 =k.
X' v2 z2 画
(2）椭球面方程：寸 a- ＋号oτ- ＋寸 c- ＝l
x2 v2 (3）椭圆锥面方程z气 a- ＋号oγ-
＝
z·., .
r 飞？去
(5）单 双曲面方程z气 a- ＋号oτ- －寸 c- ＝I
ω 椭圆抛物面z三 a ＋兰 o ＝扫
） 习题10【答案】z=x2+y2(05:z5:4在 xOy 面上的投影为x2+y25:4 ：在 yOz 面上的 xα 投影为泸 5:z5:4：在 面上的投影为 x2 豆 z:::;; 4.
第九章多元函数微分法及其应用
考研大纲要求
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义． 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质． 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念， 会求全微分，了解全微分存在的必要条件和 充分条件，了解全微分形式的不变性． 4.理解方向导数 与梯度的概念，并掌握其计算方法． 5.掌握多元复合函数 一 阶、二阶偏导数的求法． 6.了解隐函数存在定理， 会求多元隐函数的偏导数． 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平固和法线的概念， 会求它们的方程． 8.了解二元函数的二阶泰勒公式． 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二 元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求 简单多元函数的最大值和最小值，并 会解决一些简单的绕z轴旋转所生成的曲面方程为
;- +y2 =f2(z）＋矿（z). ’
I 2 - v2 = 2
【例题】求曲线J .Y ’分别绕x轴和y轴旋转形成的旋转曲面的方程．
I z =0
［答案］ x2 -y2 - z2 =2; x2 -y2 +z2 = 2
【综合题】设直线L过 A(l,O,0), B(O,1,1）两点，将 L绕z轴旋转一周得到曲面艺．
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
成立， 称常数 A 为函数 f(x,y） 在点（苟， Yo） 处的极限， 记为
f lim
x→r11
怡， y)=A
或 lim f(x,y)=A. J：，，，，－→Jr'1,lOJ】
【注】二元函数极限存在，是指 x,y 以所有路径趋于 （xo,Yo） 时，对应的函数值趋于相同的一
.v, +
z
=
1
上的投影直线的方程．
习题7.将 xOy坐标面上的双曲线 4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周， 求所生成的旋
转曲面的方程．
习题8.求球面 x2+y2+z2 =9与平面 x+z=l 的交线在 xOy面上的投影的方程．
－ －r 习题9求上半球O豆z三」a2 泸 与圆柱体 :i'+y2 三a巾 ＞0）的公共部分在 xOy iiilll
＝
I = o - x2 - Y2,
二－一一？ 例5求空间1111线J
在 xOy 面上的投；�曲线方程
I z ＝飞／x‘ + y'
F万？ ［答案J � 6-x2 - i
I z =0
例6求曲线「：J z = x2 + y 2 ，在 xOv 面和 zOx而上的投制i而方程 I 2x-z=0.
【空间11!1线的参数化】
x-4 y+3
习题4.求过点（3,I,-2）且通过直线－一5 －＝一一2 －＝－I 的平面方程．
Ix+2y-z+ 1 = o, 12x-y+z = o,
习题5.求过点(1, 2,I）而与两直线｛lx-y+z-1=0 和｛lx-y+z=O 平行的平面方
程．
12x-4y+z=0, 习题6.求直线｛l3x-y-2z-9=0 在平面钉－
z I F(x,y) = 0,
柱面 的母线平行于z轴，准线CcxOy面，则方程为｛IZ=U,,.. 【锥面】
过曲线C外一定点Mo ，且与曲线C相交的直线沿曲线C移动形成的曲面称为锥 面．曲线C称为锥面的准线，动直线称为锥面的母线，定点Mo 称为锥面的顶点〈如图所
示〉．
四、 二次曲面
【常用的二次曲面方程及其图形】
(3）椭圆一＋
一 4y一2
＝
I
与抛物线
x=y2
+I
及
x=/-1
所围成的区域．
99
<4> {<x,y)I x剖， OSySx2}.
(5) {(x,y)I IS x2 +y2 < 4， 对＋y2 刘）
三、 二元函数极限
设二元函数z = f(x,y） 在点 （xo,Yo） 的某空心邻域 U(xo,Yo ） 内有定义， d 为常数，若 对任意的＆＞ 0 ， 存在 c5 > 0 ， 当 0 < �（x-x0 )2+(y-y0 )2 < O 时， 有
o 当 r和h在集合｛（r,h)lr > O,h > ｝内取定一对值。，h） 时，y的对应值就随之确定．
例 2 一定量的理想气体的压强p，体积 Y 和绝对温度 T之间具有关系
p = v RT ’
其中R为常数，当Y和T在集合｛（V,T)IV > O,T＞几）内取定一对值 （V,T） 时，p的对应
值就随之确定．
习题5【答案】 x-y+z=O.
l17x+31y-37z-117 = 0,
习题6【答案】｛l4x-y+z=l.
习题7【答案】4x2-9y2-9i =36; 4x2+4三－9/=36.
习题8【答案】i1z2x=2O-2x＋.ν, 2=8
习题9【答案】r+/5:at：三＋at5:d,05:x5:a,z主 0.
方程
t川＝0,
G(x,y,z) = 0.
表示，称为空间曲线 I的 一般方程．
r (2）参数式：如果空间曲线 上任意一点的三个坐标价， y,z） 都可以用参数t的函数来表示， I x=x(t),
则方程组 �y=y(t），称为空间曲线 I的参数方程．
[ z=z(t)
例1 方程组J x2 + y2 = 1，表示怎样的曲线？
第 一 节多元函数的基本概念
一、 平面点集 1.平面点集 R2 中的邻域和去心邻域
设 Po（布， Yo）是 xOy 平面上的一个点，6是某一个正数，与点马（x.。， y。）距离小于 5 的
点 P(x,y） 的全体，称为点马的δ邻域，记为U（马，5)，即
8} · U(Pc,, 8) = {<x,y)h/(x-x山 （y-Yo)2 <
例 44
方程
I 2x+3z = 6.
r
声
BZ z
组
B E B E E －
／ I l l ＼
vf
叫 引
－一．－d－x 2’
2
＋ vd
－7
－2 1
，
－＝
I／α
l l 飞－
2
、1ll／
表 一一小 怎 样 的 曲 线 ·9
二、 空间曲线在坐标面上的投影
【空间曲线在坐标面上的投影曲线方程】
以空间曲线I为准线，母线垂直于平面口的柱面立称为曲线I对平面 H 的投影柱面．立 和口的交线称为 I在平面日上的投影曲线（简称投影〉．
I 设曲线T的一般方程为｛ F(x,y,z) = 0, l G(x,y,z) = 0.
方程消去变量z后所得的方程为
H(x,y)=O.
曲 线 r且 在 对 加面 上 的 投 影 曲 线 为 fl〈｜ 矶严
’
L
研 队
LG
Y
hv no － d t 例 3 己 知 两 球 面 的 方 程 为 ？＋ Jyd 4 和 ＋ r
例3 设R是电阻RI 和乓并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系
R ＿.！！.占L.
R,+R2
当码和乓在集合｛（R，，乓）｜乓＞0，乓＞0｝内取定一对值 （R,,.Ri） 时， R 的值就随之确定．
例4求下列函数的定义域z
- J;工y 0· (
1)函数
z
－
一一l一一
＋
l
一一一一
.rz· Jy (2) “u －－一 � ＋一＋ 土
【i91J@j】将下列曲线化为参数方程
(I) J x2 + y2 +z2 = 5, [ z =I+xi + Y i
(2) ir 2x2 + y 2 =z2 lx+z=l.
.J2 － rx=cosB fx= cosθ 1
［答案J ↓ y= sinθ；↓y=.Jisinθ
l I z=2 z=2 - .J'2 cosθ
第五节 曲面及其方程
一 、 曲面方程
【空间曲面方程】空间曲面可以看作满足某种规律点的几何轨迹，通常用方程表示．
(1） 一般方程z
F(x,y,z)::: 0.
(2）参数方程：
x =x(u v) y = y(u, v),
二、旋转曲面 【旋转曲面】
以平面上一 条曲线C绕该平面上一 条定直线L旋转一 周而形成的曲面称为旋转曲 面．曲线C称为旋转曲面的母线，定直线L称为旋转曲面的轴．
常记为
体所构成的集合称为函数的值域，记为 f(D） ，即
f(D) = {zl z = f(x,y), (x,y) ED}.
类似的可以定义三元函数 u = f(x,y,z).
二元函数的几何意义z二元函数z= f(x,y），。，y）εD一般表示空间中直角坐标系下的一
个空间曲面．
←
例1 圆柱体的体积y和它的底半径r，高h之间具有关系
J . (3) z = arcsin(x -y2 ) + In [ln(l0-x2 -4y2 ) (4) z＝ 严J;.
(5) f(x,y)= ln�(4x-2+xf" --y!")
【答案】
(1) {(x,y)jx+y>O, x-y>O}.
c2> {<x,y,z>I x>o, y>o, z>o}.
x2
a-－－－－：；－
寸 c
＝
1，分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
［答案］一－α－－－－：；－－
-
-c---:,
=
2
1,. -xa----:;-
－一Yi一c+「-z－2
＝
1
三、柱面 【柱面】
直线L沿定曲线C平行移动形成的曲面叫做柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线． 【注】曲面方程中缺少 一 个变量，则在空间中表示的图形为柱面，此时柱面的母线与所缺变 元同名的坐标轴平行．
求曲面立的方程．
［答案］
x2
+ y2
2
=(l-z)
+z2
(2013年，数学一 〉
习题练习
习题1.一平面过点（1,0,-1）且平行于向量a=(2,1,l）和 b =(1,-1,0 ），试求这平面方程． 习题2. 求平行于x轴，且经过两点”，0,-2）和（5,I,7）的平面方程
习题3.求过点（0,2,4）且与两平面 x+2z=1和 y-3z = 2平行的直线方程．
－ － － 。 双 叶 双 曲 面 方 程
t d
2y t
z2
2C ＝
i1- v2 (7）双曲抛物面（马鞍面）：寸 a －号oτ ＝±z.
ω 椭圆柱面z兰 α－ ＋宇o：- ＝ l.
(9）抛物柱面： l=2px.
第六节 空间曲线及其方程
一、 空间曲线的方程
【空间曲线的方程】
q r r (1）一般式z曲面写： F(x,y,z)=O与三： 鸟儿z)=O相交于空间曲线 ，则 可用
【旋转曲面的生成】设由 xOy 面上的曲线L ：才lIfZ(=xU,,,y. ) =0,
(1)曲线L绕x轴旋转所生成的旋转曲面方程为 f(x,±/y号？＂）＝0.
(2）曲线L绕y轴旋转所生成的旋转曲面方程为／｛±乒可言， y)=O.
【注】口诀是：绕谁谁不变．
xα 例1 将
x2 z2
坐标面上的双曲线
－
( l)球面方程： (x-,Xo)2 +(y-J也)2 +(z-z0)2 =k.
X' v2 z2 画
(2）椭球面方程：寸 a- ＋号oτ- ＋寸 c- ＝l
x2 v2 (3）椭圆锥面方程z气 a- ＋号oγ-
＝
z·., .
r 飞？去
(5）单 双曲面方程z气 a- ＋号oτ- －寸 c- ＝I
ω 椭圆抛物面z三 a ＋兰 o ＝扫
） 习题10【答案】z=x2+y2(05:z5:4在 xOy 面上的投影为x2+y25:4 ：在 yOz 面上的 xα 投影为泸 5:z5:4：在 面上的投影为 x2 豆 z:::;; 4.
第九章多元函数微分法及其应用
考研大纲要求
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义． 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质． 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念， 会求全微分，了解全微分存在的必要条件和 充分条件，了解全微分形式的不变性． 4.理解方向导数 与梯度的概念，并掌握其计算方法． 5.掌握多元复合函数 一 阶、二阶偏导数的求法． 6.了解隐函数存在定理， 会求多元隐函数的偏导数． 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平固和法线的概念， 会求它们的方程． 8.了解二元函数的二阶泰勒公式． 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二 元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求 简单多元函数的最大值和最小值，并 会解决一些简单的绕z轴旋转所生成的曲面方程为
;- +y2 =f2(z）＋矿（z). ’
I 2 - v2 = 2
【例题】求曲线J .Y ’分别绕x轴和y轴旋转形成的旋转曲面的方程．
I z =0
［答案］ x2 -y2 - z2 =2; x2 -y2 +z2 = 2
【综合题】设直线L过 A(l,O,0), B(O,1,1）两点，将 L绕z轴旋转一周得到曲面艺．