2014高考百天仿真冲刺卷数学卷八 有答案

2014高考百天仿真冲刺卷数学卷八
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知复数z的实部为1，虚部为－1，则i
z表示的点在() A．第一象限B．第二象限
2．“a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若△ABC是锐角三角形，向量p＝(sin A，cos A)，q＝(sin B，－cos B)，则p与q的夹角为()
A．锐角B．直角
4．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为
()
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线；
A．0 B．1
C．2 D．3
5．在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝()
A．22 B．23
C．24 D．25
6．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163
D ．6
7．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20
B ．－15
8．对某种有6件正品和4件次品的产品进行检测，任取2件，则其中一件是正品，另一件为次品的概率为( )
A.2
9 B.215 C.8
15 D.845
9．已知，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b
D ．c >a >b
10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
21－x ， x ≤11－log 2
x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值
范围是( )
A ．[－1,2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[0，＋∞)
11．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．8 B.203 C.173
D.143
12．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝4
5，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．设集合U ＝R ，集合A ＝{x |2x ≥8}∪{x |x ＋1<0}，则∁U A ＝________.
14．如图所示，输出的n 为________．
15．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈(－π2，π
2)，则A ＋B ＝________.
16．已知min{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a (a ≤
b )b (a >b )，设f (x )＝min{x 3，1
x }，则由
函数f (x )的图像与x 轴、直线x ＝e 所围成的封闭图形的面积为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4.
(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.
(1)证明：SD ⊥平面SAB ；
(2)求AB 与平面SBC 所成的角的大小． 19．(本小题满分12分)设f (x )＝－13x 3＋1
2x 2＋2ax
(1)若f (x )在(2
3，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围． (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－16
3，求f (x )在该区间上的最大值．
20．(本小题满分12分)为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P (ξ>0)＝710.
(1)求该小组的人数；
(2)写出ξ的分布列并计算E (ξ)．
21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)经过点M (1，32)，其离心率为12.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求O 到直线l 距离的最小值．
请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°，求∠MPB 的大小．
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin α，y ＝2cos 2
α－2
(α为参数)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝－32
2.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；
(2)判断曲线C 与曲线D 的交点个数，并说明理由． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0，
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集． (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．
答案与解析
1． 【答案】 B
【解析】 z ＝1－i ，则i z ＝i 1－i
＝i (1＋i )2＝－12＋1
2i ，
∴i
z 表示的点在第二象限，故选B. 2． 【答案】 A
【解析】 两直线垂直则4a 2＋(－1)[－(a －3)]＝0， ∴4a 2＋a －3＝0，
∴a ＝－1或3
4，∴a ＝－1是两直线垂直的充分不必要条件． 故选A.
3． 【答案】 A
【解析】 cos<p ，q >＝p ·q |p |·|q |＝sin A sin B －cos A cos B
1·1＝－cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形，∴cos(A ＋B )<0，∴cos 〈p ，q 〉>0 ∴p 与q 的夹角为锐角．故选A. 4【答案】 A
【解析】 根据空间中线面关系，可知①②③④均不正确，故选A.
5．【答案】 A
【解析】 a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋7×62d ＝7a 1＋21d ，而a 1＝0，所以a k ＝7a 1＋21d ＝a 1＋21d ＝a 22，k ＝22.
6．【答案】 C
【解析】 本题考查了定积分的应用．
依题意，如图所示，围成的图形的面积为阴影部分的面积，
即，故选C.
7．【答案】 C
【解析】 本小题考查二项展开式的指定项的求法．
T r ＋1＝C r 6(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6(－1)r 2(12－3r )x 令12－3r ＝0，∴r ＝4，∴T 5＝C 46＝15.
8．【答案】 C
【解析】 P ＝C 16C 1
4C 210
＝8
15，故选C.
9．【答案】 C
【解析】 本题主要考查对数的大小比较．
，
显
然
有
log 23.4>log 310
3>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C.
10．【答案】 D
【解析】 本小题考查内容为分段函数中不等式的解法． ①当x ≤1时，21－x ≤2＝21，∴1－x ≤1，∴0≤x ≤1， ②当x >1时，1－log 2x ≤2，∴log 2x ≥－1＝log 212. ∴x ≥1
2，∴x >1，综合①②知，x ≥0. 11．【答案】 C
【解析】 几何体是正方体截去一个三棱台，
V ＝23－13·(1
2＋2＋2×12)×2＝17
3.
12．【答案】 C
【解析】 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|2
2|PF 1|·|F 1F 2| ＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c . 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 即165c －2c ＝2a ，a ＝35c . 代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±4
3.
因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0. 13．【答案】 {x |－1≤x <3}
【解析】 ∵A ＝{x |x ≥3}∪{x |x <－1}＝{x |x ≥3或x <－1}． ∴∁U A ＝{x |－1≤x <3} 14．【答案】 13
【解析】 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝
12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝－111＋12×2－13
＝－111－19，……
∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋1
13>0，此时输出n 的值13.
15．【答案】 －3π
4
【解析】 由韦达定理得tan A ＋tan B ＝－3a ，tan A tan B ＝3a ＋1，
则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a
1－(3a ＋1)
＝1.
又A ，B ∈(－π2，π
2)，A ＋B ∈(－π，π)，tan A ＋tan B ＝－3a <0，tan A tan B ＝3a ＋1>0，
所以tan A <0，tan B <0，A ∈(－π2，0)，B ∈(－π
2，0)，A ＋B ∈(－π，0)，
所以A ＋B ＝－3π
4. 16．【答案】 5
4
【解析】 由题意得所求面积S ＝⎠⎛0
1x 3dx ＋⎠⎛1
e 1x d x ＝14x 4|10＋ln x |e 1
＝14＋
1＝54
17 【解析】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×1
4＝4， ∴c ＝2.
∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝1
4，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(14)2＝154.
∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝15
8. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2
A ＝
1－(158)2＝78，
∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11
16.
18． 【解析】 (1)由题意，易求得AD ＝5， ∵SD ＝1，AD ＝5，SA ＝2，∴SA 2＋SD 2＝AD 2， ∴DS ⊥SA .
同理，可证SD ⊥SB ， 又SA ∩SB ＝S . ∴SD ⊥平面SAB .
(2)过D 作Dz ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D －xyz
.
则A (2，－1,0)，B (2,1,0)，C (0,1,0)，S (12，0，3
2)． ∴SB →＝(32，1，－32)，SC →＝(－12，1，－32)． 设平面SBC 的一个法向量为n (x ，y ，z )， 则⎩⎨
⎧
n ·SB
→＝0，n ·SC
→＝0.
即⎩⎨⎧
32x ＋y －32z ＝0，
－12x ＋y －3
2z ＝0.
取z ＝2，则y ＝3， ∴n ＝(0，3，2)．
∴平面SBC 的一个法向量是n ＝(0，3，2)， ∵AB
→＝(0,2,0)，
∴cos<AB →，n >＝|AB →|·n |AB →||n |＝2327＝217. ∴AB 与平面SBC 所成角为arccos 21
7.
19． 【解析】 (1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋1
4＋2a 当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令2
9＋2a >0，得a >－1
9
所以，当a >－19时，f (x )在(2
3，＋∞)上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a
2
. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．
当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)，极小值为f (x 1)．
∵f (4)－f (1)＝－27
2＋6a <0，即f (4)<f (1)．
所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－16
3， ∴a ＝1，x 2＝2，
∴f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝10
3.
20． 【解析】 (1)设该小组共有x 人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y 人，则
⎩⎨
⎧
P (ξ>0)＝C 1y C 1x －y ＋C 2y C 2
x ＝710(2－y )＋y ＋(5－y )＝x
解得x ＝5或x ＝112
37(舍去)． 所以该小组一共有5人．
(2)由(1)知该小组共有5人，其中有2人既通过长跑测试又通过跳远测试，
则P (ξ＝0)＝C 23
C 25
＝310，
P (ξ＝1)＝C 12C 13
C 25
＝35，
P (ξ＝2)＝C 22
C 25
＝110.
所以随机变量ξ的分布列为
所以Eξ＝0×310＋1×35＋2×110＝4
5.
21． 【解析】 (1)由已知，e 2
＝a 2－b 2a 2＝14，所以3a 2＝4b 2 ①
又点M (1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋9
4b 2＝1. ②
由①②解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y
23＝1.
(2)当直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ＋m ，
则由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3＝1.
消去y 得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(3＋4k 2－m 2)>0. ③ 设A ，B ，P 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 0，y 0)，
则：x 0＝x 1＋x 2＝－8km
3＋4k 2，
y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
6m
3＋4k 2
， 由于点P 在椭圆C 上，所以x 20
4＋y 2
03＝1.
从而16k 2m 2(3＋4k 2)2＋12m 2(3＋4k 2)2
＝1，化简得4m 2＝3＋4k 2
，经检验满足③
式．
又点O 到直线l 的距离为：d ＝|m |
1＋k 2＝34＋k
2
1＋k
2＝1－
1
4(1＋k 2)
≥
1－14＝3
2(当且仅当k ＝0时等号成立)．
当直线l 的斜率不存在时，由对称性知，点P 一定在x 轴上， 此时P 点为(－2,0)，(2,0)，直线l 为x ＝±1，点O 到直线l 的距离为1.
所以点O 到直线l 的距离最小值为32.
22． 【解析】 因为MA 为圆O 的切线，所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点，所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ，所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .
在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.
23． 【解析】 (1)由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝sin αy ＝－2sin 2
α， 消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 2＝－y
2，x ∈[－1,1]．
(2)由ρsin(θ－π4)＝－32
2得曲线D 的直角坐标方程为x －y －3＝0.
由⎩⎨⎧
x －y －3＝0，x 2＝－12y
消去y ，得2x 2＋x －3＝0，
解得x ＝－3
2(舍去)或x ＝1.当x ＝1时，y ＝－2. 故曲线C 与曲线D 只有一个交点．
24．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. ∴x ≥3或x ≤－1.
∴不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.
此不等式化为不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x <a ，
a －x ＋3x ≤0，即
⎩⎨⎧
x ≥a ，
x ≤a 4
或⎩⎨⎧
x <a ，x ≤－a
2.
∵a >0，∴不等式组的解集为{x |x ≤－a
2}． 由题意可得－a
2＝－1，∴a ＝2.。