高考数学知识梳理复习题8第2讲二项分布与超几何分布综述

高考数学知识梳理复习题8第2讲 二项分布与超几何分布
★ 知 识 梳理 ★
1．条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1； ②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

特别提醒： ①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_
B 都是相互独立事件
②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）
推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )
3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间____________的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有____________结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
答案: 相互独立地进行, 两种
4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：________________________
答案:P n （k ）=C k n P k
（1－P ）
n －k
,其中，k =0,1,2，…,n . 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这
个事件恰好发生k 次的概率是k
n k k n n q p C k P -==)(ξ，
（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． ξ0 1
… k
… n
P
n
n q p C 00
11-
n n q
p C
…
n k k n q
p C -
…
0q
p C n n n
由于k
n k k n q p C -恰好是二项展开式
011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+-- 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ
服从____________，
记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k
n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
答案:二项分布
6. 两点分布： X 0 1 P 1－p p
特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. 7. 超几何分布：
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则
},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n
N
k n M
N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。

称分布列
X 0 1 … m
P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n
N
m n M
N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从____________
答案: 超几何分布。

★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.
2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题
3.重难点：.
(1) “互斥”与“独立”混同
问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，
P(A+B)=P(A)+P(B)： 222
2330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯= 点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投
中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 222
2330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈． （2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=
6293
=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=
46410915
⨯=。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验 题型1. 条件概率
[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率； ⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率； ⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率 [解题思路]：
⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？
⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？
⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？
解析：设事件(12)i A i =，表示第i 次按对密码
⑴211
()9
P A A =
⑵事件12A A 表示恰好按两次按对密码，则12121911()()()10910
P A A P A P A A ==
⨯= ⑶设事件B 表示最后一位按偶数，事件112A A A A =+表示不超过2次按对密码，因为事件1A 与事件12A A 为互斥事件，由概率的加法公式得：1121412
()()()5545
P A B P A B P A A B ⨯===
+=⨯ 【名师指引】
⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法
⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P = 【新题导练】
2. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
解: 设B 表示取得一等品，A 表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品， 70
()0.7100
P B =
= (2)方法一: 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 B A AB B ⊂∴= 70
()0.736895
P B A =
= 方法二:()()()P AB P B A P A =
70100
0.736895100
=≈
题型2。

相互独立事件和独立重复试验
[例2] (2008四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
1
3
，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．
（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率； [解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别
解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率P= (13)3＝1
27
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为P ＝C 32(13)2(23)＋C 33(13)3
＝727
答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的概率为
1
27
（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为727.
【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,
前者的概率为(1)k k
n k n C p p --,后者的概率为(1)k n k p p --
【新题导练】
1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试
合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是1
2，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;
解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝
12
. 至少有1人面试合格的概率是3
171()1()()()1().28
P ABC P A P B P C -=-=-=
2．（山东卷18）
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，
答错得零分。

假设甲队中每人答对的概率均为
32，乙队中3人答对的概率分别为2
1
,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
（Ⅰ）求随机变量ε分布列；
(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).
解: (Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且
所以ε
AB =C ∪D ,且C 、
.
27
8)32()3(,94)321()32()2(,
92
)321(32)1(,271)321()0(333
3232231330=⨯===-⨯⨯===-⨯⨯===-⨯==C P C P C P C P εεεε
D 互斥，又
,
3
4
)213131()32()(,
3
10
213132213231213132)321()3
2
()(52324232=⨯⨯⨯⨯==⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=C D P C C P 由互斥事件的概率公式得24334
3343543
10)()()(54==+=+=D P C P AB P 考点二: 两点分布与超几何分布
题型1: 两点分布与超几何分布的应用
[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？
[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.
解析：从50名学生中随机取5人共有550C 种方法，没有女生的取法是051535C C ，恰有1名女生的取法是14
1535
C C ，恰有2名女生的取法是231535C C ，恰有3名女生的取法是321535C C ，恰有4名女生的取法是41
1535C C ，恰有5名女生的取法是
50
1535
C C ，
[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是，用随机变量表示A 在1次实验中发生的次数。

（1）求方差ξD 的最大值；
（2）求ξ
ξE D 1
2-的最大值。

[解题思路]：
（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差ξD 的最大值需求得ξD 的表达式，转化为二次函数的最值问题；
（2）得到p
p p p p E D 1
221)(2122--=--=-ξξ后自然会联想均值不等式求最值。

解析：（1）ξ的分布列如表：所以p E =ξ，
41)21()1()1()1()0(2222+--=-=--+--=p p p p p p p D ξ 所以2
1=p 时，ξD 有最大值41。

（2）由2221
2221221)(2122-=⋅-≤--=--=-p
p p p p p p E D ξξ，当且仅当p p 12=即22=
p 时取等号，所以ξ
ξE D 1
2-的最大值是222-。

【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M 和n,就可以根据公式求出X 取不同m 值时的概率P(X=m). 【新题导练】
1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 411020
5
30
(4)0.029C C P X C ==≈ 2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？
解: 从100件产品中随机取6件产品共有6100C 种方法，都是合格品的取法是06
496C C ，恰有1件不合格品的取法是
15496C C ，恰有2件不合格品的取法是2
4496C C ，恰有3件不合格品的取法是33496C C ，恰有4件不合格品的取法是42
496C C 。

题型1: 独立重复试验与二项分布的应用
[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则)12(=ξP =______________。

（填计算式）
[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到
2
101012)8
5()83()12(C P ==ξ，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄
球。

解析： 2109112
9911)8
5()83(83)85()83()12(C C P =⋅
==ξ [例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法解析：解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次 记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．
∵射击n 次相当于n 次独立重复试验， ∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75n
n P P =-=-．
由题意，令10.750.75n
-≥，∴31()44
n ≤，∴1
lg
4 4.823lg 4
n ≥≈，∴n 至少取5．
【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。

【新题导练】
1. 广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理 某科研小组进行某项科学实验的成功率为3
2。

那么连续对该项实验进行4次试验恰有3次成功的概率是_______。

答案:
81
32 2.广州市海珠区2009届高三上学期综合测试二(数学理)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
2
1
,请问:商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利? 解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有3
7C 种选法,.选出的3种商品中没有
日用商品的选法有3
4C 种, ……1分.
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为35
31
1373
4=-=C C P .……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, m ,2m ,3m .……6分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以(),81212103
003=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ……7分 同理可得(),83212121
13=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪
⎭
⎫
⎝⎛==C m X P (),8
3212121
223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P ().81212130
3
33=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是m m m m EX 5.18
1
383283810=⨯+⨯+⨯+⨯
=.……12分 要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有1505.1≤m ,所以100≤m ,……13分.
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. ……14分
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1. (江苏省启东中学高三综合测试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列
{}n a 满足：⎩⎨
⎧-=次摸到白球，
，第次摸到红球，
第n n a n 1,1如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为
A ．5
2
5
7
3231⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C B ．5
2
273132⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C C ．5
2
573131⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C D ．5
2
573232⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C 答案：B
2. (广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)一台机床有1
3
的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是
310,加工B 时,停机的概率是2
5
, 则这台机床停机的概率为( ) A. 1130 B. 30
7 C. 107 D. 101
答案：A
3．(江苏省启东中学2008年高三综合测试)一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为
80
81
，则此射手每次射击命中的概率为（ ）
A. 13
B. 23
C. 14
D. 25 答案：B
4．（2008福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4
5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是( ) A.
16
625
B.
96
625
C. 192625
D. 256625
答案:B
5．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33
C 答案:A
6．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为80
81
，则此射手的命中率为 ． 答案:
23
综合拔高训练
7．广东深圳外国语学校2008—2009学年高三月考理科数学试题
一袋中装有４个白球，２个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现３次停止，设停止时,取球次数为随机变量X ,则==)5(X P ________．
答案:
81
8 8．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？
解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，
A 与
B 为相互独立事件，
（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．
（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()
P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅()()
()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=
∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26． （3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为
()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．
（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，
2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=． （4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：
()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．
（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”， 故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=
9．广东省佛山市三水中学2009届高三统考 (数学理)某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名
（1）从这50
（2）若随机选出的2名教师都使用人教版教材，现设使用人教A 版教材的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列
17．解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为12252
50=C ，
选出的2人所使用版本相同的方法数为 210
25215220C C C C +++=190+105+10+45=350， ∴2人所使用版本相同的概率为
7
2
1225350= （2） 173)0(235215===C C P ξ，11960)1(235115120=∙==C C C P ξ，119
38
)2
(2
35210===C C P ξ ∴随机变量ξ的分布列是
1010道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布. 解：（Ⅰ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则
P(A)=310361426C C C C +=321202060=+，P(B)=1514
12056563
10
3
81228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立，
∴甲、乙两人考试均合格的概率为 ()2142831545P A B ⋅=
⨯= 答：甲、乙两人考试均合格的概率为28
45
． （Ⅱ）依题意，ξ=0，1，2，3，………………7分
3
43101(0)30C p C ξ===， 12643103
(1)10C C P C ξ===，
21643101(2)2C C P C ξ===， 363101
(3)6
C P C ξ===。