2015年天津市河北区中考二模数学试卷
初中数学天津市河北区中考模拟数学二模考试卷含答案解析.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx 题xx 题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:计算（﹣4）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12试题2:计算sin60°+cos45°的值等于（）A． B． C． D．试题3:下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．试题4:某地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为市民主要出行方式之一，2016年地铁安全运输乘客约381万乘次，用科学记数法表示381万为（）A．38.1×105 B．3.81×106 C．3.81×107 D．381×104试题5:如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A． B． C． D．试题6:估计+1的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间试题7:计算+的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1试题8:一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根是（）A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=﹣2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3试题9:下列四个数中，最小的一个数是（）A．﹣ B．﹣3 C．﹣2 D．﹣π试题10:如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=18°，则∠2=（）A．98° B．102° C．108° D．118°试题11:如图，点A的坐标为（0，3），点B是x轴正半轴上的一个动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°．设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象的是（）A． B．C． D．试题12:已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|b﹣a﹣2c|+|3a+b|=（）A．2a+2b B．﹣2a﹣2b C．﹣4a﹣2b D．4a试题13:计算（a+x）2的结果等于．试题14:二次函数y=x2+4x+6的对称轴为．试题15:某学校组织知识竞赛，共设有15道试题，其中有关中国传统文化试题8道，实践应用试题4道，创新试题3道，一学生从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是．试题16:直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥1的解集是．试题17:如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CE于点F，则EF的长为．试题18:如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点P是直线CD上的点连BP，点A′是点A关于直线BP的对称点（Ⅰ）在图①中，当DP=1（点P在点D的左侧）时，计算DA′的值等于；（Ⅱ）当DA′取值最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺画出点A′，并简要说明点A′的位置如何找到的（不要求证明）试题19:解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答（Ⅰ）解不等式①，得（Ⅱ）解不等式②，得（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式的解集为．试题20:某校为了解全校1600名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的部分学生，对这些学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计，根据所得数据绘制了一幅统计图，根据以上信息及统计图解答下列问题（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为；（Ⅱ）求这些学生每周课外体育活动时间的平均数；（Ⅲ）估计全校学生每周课外体育活动时间不多于4小时的人数．试题21:如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（Ⅰ）求证：MD=ME；（Ⅱ）如图2，连OD，OE，当∠C=30°时，求证：四边形ODME是菱形．试题22:如图，某社会实践活动小组地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向（Ⅰ）求∠CBA的度数（Ⅱ）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）试题23:某爱心组织筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（Ⅰ）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？（Ⅱ）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？试题24:如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．试题25:如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x=1，与y轴的交点为c（0，4），y的最大值为5，顶点为M，过点D（0，1）且平行于x轴的直线与抛物线交于点A，B．（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A、B的坐标；（Ⅱ）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，求出所有点P的坐标．试题1答案:D【考点】1C：有理数的乘法．【分析】依据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：原式=4×3=12．故选：D．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法法则，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．试题2答案:B【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：sin60°+cos45°=，故选：B．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．试题3答案:C【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．试题4答案:B【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将381万用科学记数法表示为：3.81×106．故选B【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．试题5答案:A【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．【解答】解：这个几何体的主视图为：故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．试题6答案:C【考点】2B：估算无理数的大小．【分析】直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴+1在3和4之间．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．试题7答案:B【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式===1，故选B【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．试题8答案:A【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（x﹣6）（x+2）=0，x﹣6=0或x+2=0，所以x1=6，x2=﹣2．故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．试题9答案:D【考点】2A：实数大小比较．【分析】先估算出、3、2、π的大小关系，然后再依据几个负数绝对值大的反而小进行比较即可．【解答】解：∵7＜8＜9＜π2，∴＜2＜3＜π．∴﹣＞﹣2＞﹣3＞﹣π．∴最小的一个数是﹣π．故选：D．【点评】本题主要考查的是实数大小比较，熟练掌握实数比较大小的法则是解题的关键．试题10答案:C【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=18°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=18°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=108°．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．试题11答案:A【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=3，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，∵，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离3，∴y=x+3（x＞0），故选：A．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．试题12答案:D【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象分别判断b﹣a﹣2c、3a+b与0的大小关系．【解答】解：由图象可知：对称轴为的范围0＜x＜1，c=0，a＞0，∴0＜﹣＜1，∴﹣b＜2a，b＜0，∴2a+b＞0∴b﹣a﹣2c=b﹣a＜0，3a+b=2a+b+a＞0，∴原式=﹣（b﹣a）+（3a+b）=﹣b+a+3a+b=4a故选（D）【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是根据图象判断b﹣a﹣2c、3a+b与0的大小关系，本题属于基础题型．试题13答案:a2+2ax+x2．．【考点】4C：完全平方公式．【分析】原式利用完全平方公式计算即可得到结果．【解答】解：（a+x）2=a2+2ax+x2，故答案为：a2+2ax+x2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．试题14答案:直线x=﹣2 ．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣进行计算．【解答】解：对称轴为：直线x=﹣=﹣=﹣2，故答案为：直线x=﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．试题15答案:．【考点】X4：概率公式．【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵共设有15道试题，创新能力试题3道，∴他选中创新能力试题的概率=；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．试题16答案:x≤2 ．【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．【分析】把A（2，1）代入y=kx+3即可得到一个关于k的方程，求得k的值，然后得到所求的不等式，解不等式即可求解．【解答】解：把A（2，1）代入y=kx+3得：2k+3=1，解得：k=﹣1，则不等式是﹣x+3≥1，解得：x≤2，故答案为：x≤2【点评】本题考查了一次函数求解析式，以及一元一次不等式的解法，正确求得k的值是关键．试题17答案:2．【考点】LE：正方形的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠CAE=∠DAE，根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠DAE，从而得到∠E=∠CAE，再根据等角对等边可得AC=CE，根据等角的余角相等求出∠F=∠CAF，然后根据等角对等边可得AC=CF，最后求出EF=2AC，再根据正方形的对角线等于边长的倍求解即可．【解答】解：∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵正方形对边AD∥BC，∴∠E=∠DAE，∴∠E=∠CAE，∴AC=CE，∵FA⊥AE，∴∠E+∠F=90°，∠CAE+∠CAF=90°，∴∠F=∠CAF，∴AC=CF，∴EF=CF+CE=2AC，∵正方形ABCD边长为1，∴AC=，∴EF=2AC=2．故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．试题18答案:【考点】P7：作图﹣轴对称变换．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可；（Ⅱ）①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE），点A′即为所求；【解答】解：（Ⅰ）由图象可知：DA′==，故答案为．（Ⅱ）如图2中，点A′即为所求．①连接BD，②在直线CD上截取BDP=BD=5，③取点E，连接AE交BD于A′．（目的使得PB⊥AE）点A′即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．试题19答案:【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：，（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2（Ⅱ）解不等式②，得x＜（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：（Ⅳ）原不等式的解集为﹣2≤x＜．故答案为：x≥﹣2；x＜；﹣2≤x＜．【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式的解集．试题20答案:【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；W2：加权平均数．【分析】（Ⅰ）将各组频数相加即可得；（Ⅱ）根据条形统计图可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；（Ⅲ）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于4小时的人数．【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为5+8+22+12+3=50人，故答案为：50；（Ⅱ）由题意可得，=5，即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；（Ⅲ）×1600=1184，答：估计全校学生每周课外体育活动时间不多于4小时的人数为1184人．【点评】本题考查频数分布直方图、样本、总体、样本容量、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．试题21答案:【考点】M5：圆周角定理；L9：菱形的判定．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；（2）先证明△OAD和△OBE为等边三角形，再证明四边形DOEM为平行四边形，然后加上OD=OE可判断四边形ODME是菱形．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA=MB，∴∠A=∠MBA；∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，而∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA；同理可得∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME；（2）∵∠C=30°，∴∠A=60°，∴∠ABM=60°，∴△OAD和△OBE为等边三角形，∴∠BOE=60°，∴∠BOE=∠A，∴OE∥AC，同理可得OD∥BM，∴四边形DOEM为平行四边形，而OD=OE，∴四边形ODME是菱形．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了菱形的判定．试题22答案:【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（Ⅰ）根据题目中度数可以求得∠CBA的度数；（Ⅱ）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数可以求得河宽，注意要精确到1m．【解答】解：（Ⅰ）作BD⊥AC于点D，由题意可得，∠CBD=60°，∠ABD=45°，∴∠CBA=∠CBD﹣∠ABD=15°；（Ⅱ）由题意可得，tan∠CBD=，tan∠ABD=即，1=，解得，BD≈82，即这段河的宽是82m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．试题23答案:【考点】B7：分式方程的应用．【分析】（1）设甲种救灾物品每件的价格是x元，则乙种救灾物品每件的价格是（x﹣10）元，根据数量=总价÷单价结合用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量列式计算，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种救灾物品每件的价格是x元，则乙种救灾物品每件的价格是（x﹣10）元，根据题意得：=，解得：x=70，经检验，x=70是原分式方程的解，∴x﹣10=60．答：甲种救灾物品每件的价格是70元，则乙种救灾物品每件的价格是60元．（2）70××2000+60××2000=125000（元）．答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价．列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量列式计算．试题24答案:【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）求出方程x2﹣2x﹣3=0的两个根得到OB，OC，由tan∠ABO==，tan∠ACO==，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解决问题；（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA=，求出点D坐标；（3）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P 的坐标即可．【解答】解：（1）结论：AC⊥AB．理由如下：∵由x2﹣2x﹣3=0得：∴x1=3，x2=﹣1∴B（0，3），C（0，﹣1），∵A（，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴tan∠ABO==，tan∠ACO==，∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．∴∠DEA=∠AOC=90°，∵tan∠ACO==，∵∠DCB=60°∵DB=DC，∴△DBC是等边三角形，∵BA⊥DC，∴DA=AC，∵∠DAE=∠OAC，在△ADE和△ACO中，，∴△ADE≌△ACO，∴DE=OC=1，AE=OA=∴OE=2，∴D的坐标为（﹣2，1）；（3）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC===，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图2，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图3，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图4，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．【点评】本题考查锐角三角函数、一次函数、全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．试题25答案:【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（Ⅰ）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y=a（x﹣1）2+5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；（Ⅱ）先计算出CD=3，BD=1，AM=2，CM=，AC=3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，则可判断△ACM∽△CDB，由此可判断P点坐标为（0，3），如图1；接着求出直线AM的解析式为y=﹣2x+7，直线AC的解析式为y=﹣x+4，作PM⊥AC于P，如图2，易得Rt△AMP∽Rt△CDB，然后利用两直线垂直的关系可求出直线PM的解析式为y=x+，从而可确定P点坐标为（﹣，），【解答】解：（Ⅰ）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+5，把C（0，4）代入y=a（x﹣1）2+5得a+5=4，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+5，即y=﹣x2+2x+4；当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x1=﹣1，x2=3，则B（﹣1，1），A（3，1）；（Ⅱ）CD=3，BD=1，AM==2，CM==，AC==3，∵CM2+AC2=AM2，∴△ACM为直角三角形，∠ACM=90°，∵=，==，∴=，而∠ACM=∠CDB，∴△ACM∽△CDB，∴点P在C点时，满足条件，此时P点坐标为（0，3），如图1；作PM⊥AC于P，如图2，∵△ACM∽△CDB，∴∠MAC=∠DCB，作PM⊥AC于P，如图2，∴Rt△AMP∽Rt△CDB，设直线AM的解析式为y=kx+b，把M（1，5），A（3，1）代入得，解得，直线AM的解析式为y=﹣2x+7，同样可得直线AC的解析式为y=﹣x+4，作PM⊥AC于P，如图1，设直线PM的解析式为y=x+p，把M（1，5）代入得+p=5，解得p=，∴直线PM的解析式为y=x+，解方程组得，∴P点坐标为（﹣，），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）或（﹣，）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．。
(高清版)2015年天津市中考数学试卷
D. 3 dm
11.如图,已知在□ ABCD 中, AE BC 于点 E ,以点 B 为中心,取旋转角等于 ABC ,把 △BAE 顺 时 针 旋 转 , 得 到 △BAE , 连 接 DA . 若 ADC 60 , ADA 50 , 则
DAE 的大小为
()
A.130
B.150
C.160
D.170
图1
图2
(1)如图 1,当点 A 与顶点 B 重合时,求点 M 的坐标；
(2)如图 2,当点 A 落在第二象限时, AM 与 OB 相交于点 C ,试用含 m 的式子表示 S ；
(3)当 S 3 时,求点 M 的坐标(直接写出结果即可). 24
数学试卷 第 6页（共 18页）
25.(本小题满分 10 分) 已知二次函数 y x2 bx c ( b,c 为常数). (1)当 b 2,c 3 时,求二次函数的最小值；
毕业学校_____________
姓名________________
考生号________________
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12.已知抛物线 y 1 x2 3 x 6 与 x 轴交于点 A ,点 B ,与 y 轴交于点 C ,若 D 为 AB 62
的中点,则 CD 的长为
()
天津市天津市2015年中考数学试卷及参考答案
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C ， 试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．
25. 已知二次函数y=x2+bx+c（b ， c为常数）． （Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；
记数法表示应为（ ）
A . 0.227×107 B . 2.27×106 C . 22.7×105 D . 227×104 5. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 估计 的值在（ ）
A . 在1和2之间 B . 在2和3之间 C . 在3和4之间 D . 在4和5之间 7. 在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）
35
…
x+5
2号探测气球所在位置的海拔/m
20
30
…
0.5x+15
（2）
在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由
（3） 当30≤x≤50时，两ABO ， 放置在平面直角坐标系中，点A（ ，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边O A上的动点M（点M不与点O ， A重合）作MN丄AB于点N ， 沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m ， 折叠 后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S ．
天津市天津市2015年中考数学试卷
一、选择题
1. 计算（﹣18）÷6的结果等于（ ） A . ﹣3 B . 3 C . ﹣ D . 2. cos45°的值等于（ ）
2015天津中考数学河西二模
3 2015 年度河西二模一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（- 25）÷ 5 的结果等于3A. -15B. - 5C. -15D. - 532. sin30°的值等于 A1 B.23C.D.23. 下列 logo 标志中，是中心对称图形的有A.B. C. D.4. 据报道，截至 2014 年 12 月，我国网民规模达 649000000 人，请将数据 649000000 用科学计数法表示为 A. 6.5 ⨯107B. 6.49 ⨯108C. 6.49 ⨯109D. 6.49 ⨯10105. 如图是由 6 个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是A.B. C. D.6. 正六边形的周长为 6mm ，则它的面积为 A.3 mm22B. 33 mm 2 C. 33mm2D. 63mm 27. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点 D ， 连接OC ，AC ，若∠D=50°，则∠A 的度数是 A. 20°B. 25°8. 我市某一周的日最高气温统计如下表：C. 40°D. 50°最高气温（℃） 25 26 27 28 天数1123则该周的日最高温度的中位数与众数分别是 A. 26.5，27B. 27,28C. 27，27D. 27.5,283 39.如图所示，在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形（a>b），再把剩余的部分简拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是A.（a+b）2=a2+2ab+b2B.（a-b）2=a2-2ab+b2C. a 2 -b2 =(a +b)(a -b)D. (a + 2b)(a -b)=a 2 +ab - 2b210.如图，把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为A.5mB. (5 + 2 )mC. (5 + 3 2 )mD. (5 + 5 2 )m11.关于反比例函数y =2 的图像。
2015年天津市中考数学试卷含答案
2015年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算（﹣18）÷6的结果等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．2．cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C．D．4．据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（）A．0.227×l07B．2.27×106C．22.7×l05D．227×1045．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间7．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=99．己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞610．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE 顺时针旋转，得到△B A′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°12．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算：x2•x5的结果等于．14．若一次函数y=2x+b（b为常数）的图像经过点（1，5），则b的值为．15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L，M，则图中等边三角形共有个．18．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF．（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于．（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成此题的解答．（Ⅰ）不等式①，得；（Ⅱ）不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）已知A，B，C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．22．（10分）如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．23．（10分）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．设气球上升时间为x min （0≤x≤50）.（Ⅰ）根据题意，填写下表：上升时间/min 10 30 (x)1号探测气球所在位置的海拔/m 15 …2号探测气球所在位置的海拔/m 30 …（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由.（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB 于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．2015年天津市中考数学试卷参考答案与解析一、1．A 解析：（﹣18）÷6=﹣3．故选A．点评：此题考查了有理数的除法，解决此题的关键是熟记有理数的除法法则．2．B 解析：cos45°=．故选B．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3．A 解析：A．是轴对称图形，故此选项正确；B．不是轴对称图形，故此选项错误；C．不是轴对称图形，故此选项错误；D．不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．点评：此题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．B 解析：将2 270 000用科学记数法表示为2.27×106．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．A 解析：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．点评：此题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的图形．6．C 解析：∵9＜11＜16，∴＜＜，∴3＜＜4．故选C．点评：此题考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．7．D 解析：根据题意，得点P关于原点的对称点是点P′．∵P点的坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标为（3，﹣2）．故选D．点评：此题考查了坐标与图形的变换——旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．8．D 解析：去分母，得2x=3x﹣9，解得x=9．经检验x=9是分式方程的解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定要验根．9．C 解析：∵k=6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小．又∵当x=1时，y=6，当x=3时，y=2，∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．故选C．点评：此题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．10．B 解析：由正方体的表面积公式s=6a2，可得6a2=12，解得a=．故选B．点评：此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．11．C 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°．∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°．∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°．∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°．∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．12．D 解析：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得x1=12，x2=﹣3，∴A，B两点的坐标分别为（12，0），（﹣3，0）．∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5．当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选D．点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB的中点D的坐标是解决问题的关键．二、13．x7 解析：x2•x5=x2+5=x7．点评：此题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变指数相加．14．3 解析：把点（1，5）代入y=2x+b，得5=2×1+b，解得b=3．15．解析：∵共4+3+2=9（个）球，有2个红球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16． 3.6 解析：∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∵AD=3，AB=5，BC=6，∴．∴DE=3.6．点评：此题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．17．8 解析：等边三角形有△AML，△BHM，△CHI，△DIJ，△EKJ，△FLK，△ACE，△BDF，共8个．点评：此题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．18．取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．解析：（1）根据勾股定理，可得DB=．因为BE=DF=，所以AF==2.5．根据勾股定理，可得AE=，所以AE+AF=．（2）如图，首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP，使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，所以首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形的性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．点评：此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．三、19．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥3．（Ⅱ）解不等式②，得x≤5．（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图．（Ⅳ）原不等式组的解集为3≤x≤5．点评：此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），m=100﹣20﹣32﹣12﹣8=28．（2）观察条形统计图，∵=18.6，∴这组数据的平均数是18.6．∵在这组数据中，21出现了8次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是21．∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，∴这组数据的中位数是18．点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和除以数据的个数．21．解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°．∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，即AD∥OC，有∠ADC+∠OCD=180°，∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°．（Ⅱ）如图②，连接OB，则OB=OA=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°．∴OF⊥AB，∴，∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°．∴．点评：此题考查了切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理、等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键．22．解：根据题意，得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．如图，过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°，∠ADF=47°，∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形，∴DF=EC=21，FC=DE=1.56．在直角三角形DFA中，tan∠ADF=，∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．在直角三角形DFB中，tan∠BDF=，∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．23．解：（Ⅰ）根据题意，得1号探测气球所在位置的海拔：m1=x+5，2号探测气球所在位置的海拔：m2=0.5x+15；当x=30时，m1=30+5=35；当x=10时，m2=5+15=20．（Ⅱ）两个气球能位于同一高度．根据题意，得x+5=0.5x+15，解得x=20．所以x+5=25．答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．（Ⅲ）当30≤x≤50时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球．设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y m，则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10．∵0.5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=50时，y取得最大值15．答：两个气球所在位置海拔最多相差15 m．点评：此题考查了一次函数的应用，解决此题的关键是根据题意，列出函数解析式．24．解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），∴OA=，OB=1．由OM=m，可得AM=OA﹣OM=﹣m．根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，∴BM=AM=﹣m．在Rt△MOB中，由勾股定理，得BM2=OB2+OM2．可得，解得m=，∴点M的坐标为（，0）．（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=，∴∠OAB=30°．由MN⊥AB，可得∠MNA=90°．∴在Rt△AMN中，MN=AM•sin∠OAB=，AN=AM•cos∠OAB=．∴．由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°．∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°．∴在Rt△COM中，可得CO=OM•tan∠A'MO=m．∴．∵，∴，即．（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了．②当点A′落在第一象限时，则S=S Rt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S=代入，可得点M的坐标为（，0）．点评：此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积、三角函数的运用进行分析．25．解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4．（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5．由题意，得x2+bx+5=1有两个相等的实数根，∴△=b2﹣16=0，解得b1=4，b2=﹣4．∴二次函数的解析式为y=x2+4x+5，y=x2﹣4x+5．（Ⅲ）当c=b2时，二次函数的解析式为y═x2+bx+b2，图像开口向上，对称轴为直线x=﹣．①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值，∴3b2=21，解得b1=﹣（舍去），b2=；②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=﹣，y=b2为最小值，∴b2=21，解得b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4．∴b=时，二次函数的解析式为y=x2+x+7；b=﹣4时，二次函数的解析式为y=x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．点评：此题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图像有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图像有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线的顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．。
2015年天津数学中考试卷+答案
2015年天津市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算(-18)÷6的结果等于( )A.-3B.3C.-1D.12.cos 45°的值等于( )A.12B.22C.2D.3.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )4.据2015年5月4日《天津日报》报道,“五一”三天假期,全市共接待海内外游客约2 270 000人次.将2 270 000用科学记数法表示应为( )A.0.227×107B.2.27×106C.22.7×105D.227×1045.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )6.估计11的值在( )A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间7.在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P'的坐标为( )A.(3,2)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,-2)8.分式方程2-=的解为( )A.x=0B.x=3C.x=5D.x=99.已知反比例函数y=6,当1<x<3时,y的取值范围是( )A.0<y<1B.1<y<2C.2<y<6D.y>610.已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )A.1 dmB.2 dmC.6 dmD.3 dm11.如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA'E',连结DA'.若∠ADC=60°,∠ADA'=50°,则∠DA'E'的大小为( )A.1 0°B.150°C.160°D.170°12.已知抛物线y=-16x2+2x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB的中点,则CD的长为( )A.154B.2C.12D.152第Ⅱ卷(非选择题,共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)13.计算x2·x5的结果等于.14.若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为.15.不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是.16.如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为.17.如图,在正六边形ABCDEF中,连结对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有个.18.在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB 上的动点,且BE=DF.时,计算AE+AF的值等于;(Ⅰ)如图①,当BE=52(Ⅱ)当AE+AF取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度．．．的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置是如何找到的(不要求证明) .三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(本小题8分)解不等式组6,①2-1 .②请结合题意填空,完成本题的解答.(Ⅰ)解不等式①,得;(Ⅱ)解不等式②,得;(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(Ⅳ)原不等式组的解集为.20.(本小题8分)某商场服装部为了解服装的销售情况,统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),并根据统计的这组销售额数据,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:(Ⅰ)该商场服装部营业员的人数为,图①中m的值为;(Ⅱ)求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数.21.(本小题10分)已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D.(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小;(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连结AF,求∠FAB的大小.22.(本小题10分)如图,某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上.小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°.已知点D到地面的距离DE为1.56 m,EC=21 m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数点后一位).参考数据:tan 47°≈1.07,tan 42°≈0. 0.23.(本小题10分)1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50 min.设气球上升时间为x min(0≤x≤50).(Ⅱ)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由;(Ⅲ)当 0≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?24.(本小题10分)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(,0),点B(0,1),点O(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN⊥AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A 的对应点A'.设OM=m,折叠后的△A'MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.(Ⅰ)如图①,当点A'与顶点B重合时,求点M的坐标;(Ⅱ)如图②,当点A'落在第二象限时,A'M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;(Ⅲ)当S=时,求点M的坐标(直接写出结果即可).2425.(本小题10分)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).(Ⅰ)当b=2,c=-3时,求二次函数的最小值;(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+ 的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.答案全解全析：一、选择题1.A 两个不等于0的数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,所以(-18)÷6=-3.故选A.2.B 本题考查特殊角的三角函数值.cos 45°= 22.3.A 轴对称图形的定义:如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,据此可判断B 、C 、D 都不符合轴对称图形的定义.故选A.4.B 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n 为整数,故选B. 评析 确定n 的值是解题的关键.5.A 主视图是从一个物体的正面观察时所看到的图形.从正面观察所给图形,可看到大小一样的四个正方形.故选A.6.C ∵ <11<16,∴ < 11<4.故选C.7.D 在平面直角坐标系中,任意一点A(x,y)绕原点O 顺时针旋转180°,所得到的对称点是A'(-x,-y),故点P(-3,2)关于原点的对称点是P'(3,-2).故选D.8.D 去分母得2x=3x-9,移项、合并同类项得x=9,经检验,x=9是分式方程的解.故选D. 9.C 由反比例函数的性质可得,当1<x<3时,y 随x 的增大而减小,故2<y<6.故选C.10.B 设这个正方体的棱长为x dm,由已知得,6x 2=12,解得x= 负值舍去),故这个正方体的棱长是 2 dm.故选B.11.C 在▱ABCD 中,因为∠ADC=60°,所以∠CBA=60°.在△A EB 中,因为∠EBA=60°,∠AEB= 0°,所以∠EAB= 0°.又因为AD∥BC,∠ADA'=50°,所以∠BA'D=180°-50°=1 0°.由旋转的性质知,∠E'A'B=∠EAB= 0°,所以∠DA'E'=1 0°+ 0°=160°.故选C.评析 根据旋转的性质和平行线的性质即可求解.12.D 由题意知,点D 是抛物线的对称轴与x 轴的交点,所以点D 的坐标为2,0 .对于y=-16x 2+2x+6,令x=0,得y=6,所以C(0,6).所以CD= 2-0 2(0-6)2= 2254=152.故选D.二、填空题13.答案 x 7解析 根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可得x 2·x 5=x 2+5=x 7. 14.答案 3解析 ∵一次函数y=2x+b(b 为常数)的图象经过点(1,5),∴2+b=5,∴b= . 15.答案 2解析 ∵不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球,∴从袋子中随机取出1个球,它是红球的概率为2 . 16.答案185 解析 ∵DE∥BC,∴ = ,∴ = ,∴ 2= 6,∴DE=185. 评析 本题考查平行线分线段成比例定理.由DE∥BC 可得 =,从而可计算出DE 的长. 17.答案 8解析 题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C 为顶点的小等边三角形,有△BHM,△AML,△FLK,△EKJ,△DJI,△CIH,共6个;第二类:分别以B,F,D 和A,C,E 为顶点的大等边三角形,有△BFD 和△ACE,共2个. 故题图中等边三角形共有6+2=8(个). 18.答案 (Ⅰ)5 612; (Ⅱ)如图,取格点H,K,连结BH,CK,相交于点P.连结AP,与BC 相交于点E.取格点M,N,连结DM,CN,相交于点G.连结AG,与BD 相交于点F.线段AE,AF 即为所求.解析 (Ⅰ)由题图①可知,AD=4,AB=3,则DB= 4=5,因为BE=52,BE=DF,所以DF=52,所以F 是Rt△ABD 斜边BD 的中点,所以AF=12BD=52.因为AE= 2 522=612,所以AE+AF=5 612. (Ⅱ)如图,取格点H,K,连结BH,CK,相交于点P.连结AP,与BC 相交于点E.取格点M,N,连结DM,CN,相交于点G.连结AG,与BD 相交于点F.线段AE,AF 即为所求.三、解答题19.解析 (Ⅰ)x≥ . (Ⅱ)x≤5.(Ⅲ)(Ⅳ) ≤x≤5.20.解析 (Ⅰ)25,28. (Ⅱ)观察条形统计图,∵ =12 2 15 5 18 7 21 8 2425=18.6,∴这组数据的平均数是18.6.∵在这组数据中,21出现了8次,出现的次数最多,∴这组数据的众数是21.∵将这组数据按照由小到大的顺序排列,其中处于中间位置的数是18,∴这组数据的中位数是18.评析 本题考查利用扇形统计图和条形统计图计算样本容量以及平均数、众数和中位数.21.解析(Ⅰ)∵CD是☉O的切线,C为切点,∴OC⊥CD,即∠OCD= 0°.∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,即AD∥OC.有∠ADC+∠OCD=180°.∴∠ADC=180°-∠OCD= 0°.(Ⅱ)如图,连结OB,则OB=OA=OC.∵四边形OABC是平行四边形,∴OC=AB.∴OA=OB=AB.即△AOB是等边三角形,于是,∠AOB=60°.由OF∥CD,又∠ADC= 0°,得∠AEO=∠ADC= 0°.∴OF⊥AB.有=.∠AOB= 0°.∴∠FOB=∠FOA=12∴∠FAB=1∠FOB=15°.2评析本题考查平行四边形的性质和圆中角度的计算.22.解析如图,根据题意,DE=1.56,EC=21,∠ACE= 0°,∠DEC= 0°.过点D作DF⊥AC,垂足为F,则∠DFC= 0°,∠ADF=47°,∠BDF=42°,可得四边形DECF为矩形,∴DF=EC=21,FC=DE=1.56.在Rt△DFA中,tan∠ADF=,∴AF=DF·tan 47°≈21×1.07=22.47.在Rt△DFB中,tan∠BDF=,∴BF=DF·tan 42°≈21×0. 0=18. 0.于是,AB=AF-BF=22.47-18. 0= .57≈ .6,BC=BF+FC=18. 0+1.56=20.46≈20.5.答:旗杆AB的高度约为3.6 m,建筑物BC的高度约为20.5 m.评析本题考查解直角三角形,属容易题.23.解析(Ⅰ)题表中第二行从左至右依次填入35;x+5.第三行从左至右依次填入20;0.5x+15.(Ⅱ)两个气球能位于同一高度.根据题意,x+5=0.5x+15,解得x=20,有x+5=25.答:此时,气球上升了20 min,都位于海拔25 m的高度.(Ⅲ)当 0≤x≤50时,由题意,可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球,设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y m,则y=(x+5)-(0.5x+15)=0.5x-10.∵0.5>0,∴y 随x 的增大而增大.∴当x=50时,y 取得最大值15.答:两个气球所在位置的海拔最多相差15 m.24.解析 (Ⅰ)在Rt△ABO 中,点A( ,0),点B(0,1), 点O(0,0),∴OA= ,OB=1. 由OM=m,得AM=OA-OM= 根据题意,由折叠可知△BMN≌△AMN, 有BM=AM= -m.在Rt△MOB 中,由勾股定理得,BM 2=OB 2+OM 2, 得( 2=1+m 2,解得m=. ∴点M 的坐标为,0 .(Ⅱ)在Rt△ABO 中,tan∠OAB===, ∴∠OAB= 0°.由MN⊥AB,得∠MNA= 0°.∴在Rt△AMN 中,得MN=AM·sin∠OAB=12( AN=AM·cos∠OAB=2( -m). ∴S △AMN =12MN·AN=8( 2.由折叠可知△A'MN≌△AMN,有∠A'=∠OAB= 0°, ∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°.∴在Rt△COM 中,CO=OM·tan∠A'MO= m. ∴S △COM =12OM·CO=2m 2. 又S △ABO =12OA·OB= 2,于是,S=S △ABO -S △AMN -S △COM = 2- 8( 2-2m 2,即S=-5 8m 2+ 4m+8 0.(Ⅲ) 2,0 .评析 本题考查图形的折叠与解直角三角形,有一定难度.25.解析 (Ⅰ)当b=2,c=-3时,二次函数的解析式为y=x 2+2x-3,即y=(x+1)2-4. ∴当x=-1时,二次函数取得最小值-4.(Ⅱ)当c=5时,二次函数的解析式为y=x 2+bx+5.由题意,得方程x 2+bx+5=1,即x 2+bx+4=0有两个相等的实数根.有Δ=b 2-16=0,解得b 1=4,b 2=-4.∴此时二次函数的解析式为y=x 2+4x+5或y=x 2-4x+5.(Ⅲ)当c=b 2时,二次函数的解析式为y=x 2+bx+b 2.它的图象是开口向上,对称轴为x=-2的抛物线. ①若-2<b,即b>0,在自变量x 的值满足b≤x≤b+ 的情况下,与其对应的函数值y 随x 的增大而增大,故当x=b 时,y=b 2+b·b+b 2=3b 2为最小值.∴ b 2=21,解得b 1=- 舍),b 2= ②若b≤-2≤b+ ,即-2≤b≤0,当x=-2时,y= - 2 2+b· -2 +b 2=4b 2为最小值.∴4b 2=21,解得b 1=-2 7(舍),b 2=2 7(舍). ③若- 2>b+3,即b<-2,则在自变量x 的值满足b≤x≤b+ 的情况下,与其对应的函数值y 随x 的增大而减小,故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b 2=3b 2+9b+9为最小值.∴ b2+9b+9=21,即b2+3b-4=0.解得b1=1(舍),b2=-4.综上所述,b=7或b=-4.∴此时二次函数的解析式为y=x2+7x+7或y=x2-4x+16.评析本题考查二次函数的相关知识,第(Ⅰ)问考查最值问题,将第(Ⅱ)问转化为方程有两个相等的实数根问题即可解决,第(Ⅲ)问考查分类讨论的思想方法.属中等难度题.11。
2015年天津市中考数学试卷-含答案详解
2015年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算(−18)÷6的结果等于( )A. −3B. 3C. −13D. 132. cos45°的值等于( )A. 12B. √22C. √32D. √33. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.4. 据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为( )A. 0.227×lO7B. 2.27×106C. 22.7×l05D. 227×1045. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6. 估计√11的值在( )A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间7. 在平面直角坐标系中，把点P(−3,2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为( )A. (3,2)B. (2,−3)C. (−3,−2)D. (3,−2)8. 分式方程2x−3=3x的解为( )A. x=0B. x=3C. x=5D. x=99. 已知反比例函数y=6x，当1<x<3时，y的取值范围是( )A. 0<y<1B. 1<y<2C. 2<y<6D. y>610. 己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为( )A. 1dmB. √2dmC. √6dmD. 3dm11. 如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为( )A. 130°B. 150°C. 160°D. 170°12. 已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是( )A. 154B. 92C. 132D. 152二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算：x2⋅x5的结果等于______．14. 若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5)，则b的值为______．15. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．16. 如图，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D、E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为______．17. 如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有______个．18. 在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．(Ⅰ)如图①，当BE=52时，计算AE+AF的值等于______(Ⅱ)当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的(不要求证明)______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
2015年天津市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2015年天津市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．计算（﹣18）÷6的结果等于（ ）A ．﹣3B ．3C ．13-D ．132．cos45°的值等于（ ）A ．12B ．2C ．2D 3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（ ）A ．0.227×l07B ．2.27×106C ．22.7×l05D ．227×1045．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6 ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间7．在平面直角坐标系中，把点P （﹣3，2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（2，﹣3）C ．（﹣3，﹣2）D ．（3，﹣2）8．分式方程233x x=-的解为（ ） A ．x=0 B ．x=5 C ．x=3 D ．x=9 9．己知反比例函数6y x =，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ） A ．0＜y ＜l B ．1＜y ＜2 C ．2＜y ＜6 D ．y ＞610．己知一个表面积为12dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为（ ）A ．1dmB dmCD ．3dm11．如图，已知▱ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，以点B 为中心，取旋转角等于∠ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）A ．130°B ．150°C ．160°D ．170°12．已知抛物线213662y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．若D 为AB 的中点，则CD 的长为（ ）A ．154B ．92C ．132D ．152二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算；x 2•x 5的结果等于 ．14．若一次函数y=2x+b （b 为常数）的图象经过点（1，5），则b 的值为 ．15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．16．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE 的长为 ．17．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接对角线AC ，CE ，DF ，EA ，FB ，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H ，I ，J ，K ，L 、M ，则图中等边三角形共有 个．18．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A ，B ，D 均在格点上，点E 、F 分别为线段BC 、DB 上的动点，且BE=DF ．（Ⅰ）如图①，当BE=52时，计算AE+AF 的值等于 ． （Ⅱ）当AE+AF 取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）解不等式组36219xx+⎧⎨-⎩≥①≤②．请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）不等式①，得；（Ⅱ）不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为，图①中m的值为．（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与AB交于点F，连接AF，求∠FAB 的大小．22．（10分）如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D 处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．23．（10分）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）（Ⅰ）根据题意，填写下表：上升时间/min 10 30 (x)1号探测气球所在位置的海拔/m 15 …2号探测气球所在位置的海拔/m 30 …（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）已知二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l 的怙况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．计算（﹣18）÷6的结果等于（ ）A ．﹣3B ．3C ．13D ．13【知识考点】有理数的除法．【思路分析】根据有理数的除法，即可解答．【解答过程】解：（﹣18）÷6=﹣3．故选：A ．【总结归纳】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数除法的法则．2．cos45°的值等于（ ）A ．12B C D 【知识考点】特殊角的三角函数值．【思路分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答过程】解：cos45°． 故选B ．【总结归纳】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答过程】解：A 、是轴对称图形，故本选项正确；。
2015年天津中考数学真题试卷附答案(word)
2015年天津中考数学真题试卷附答案(word)2015年天津市初中毕业生学业考试试卷数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
请在答题卡上填写姓名、考生号、考点校、考场号、座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答案应填写在答题卡上，而非试卷上。
考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，请用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算（18）÷6的结果等于A) -3B) 3C) -1/3D) 1/32.cos45°的值等于A) 1/2B) √2/2C) 1D) √3/23.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形。
下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是A)B)C)D)4.据2015年5月4日《XXX》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约xxxxxxx人次。
将xxxxxxx用科学记数法表示应为A) 0.227×10^7B) 2.27×10^6C) 22.7×10^5D) 227×10^45.右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是A)B)C)D)6.估计11的值在A) 1和2之间B) 2和3之间C) 3和4之间D) 4和5之间7.在平面直角坐标系中，把点P绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点（-3，2）P'的坐标为A) (3,2)B) (2,-2)C) (-3,-2)D) (-2,3)8.分式方程23/(x-3x)=2的解为A) x=-1B) x=3C) x=5D) x=99.已知反比例函数y=x/(kx+1)，当1<x<3时，y的取值范围是A) 1<k<2B) 1<y<2C) 2<y<6D) y>610.已知一个表面积为12dm^2的正方体，则这个正方体的棱长为A) 1dm已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(2)的值。
2015年天津市河北区中考数学二模试卷(解析版)
2015年天津市河北区中考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）计算（﹣3）×2﹣1的结果是（）A．﹣5 B．﹣7 C．6 D．﹣62．（3分）tan60°的值为（）A．B．C．D．3．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．4．（3分）将6.38×10﹣4化为小数是（）A．0.000638 B．0.0000638 C．0.00638 D．0.06385．（3分）如图是一个立体图形及其主视图，则它的俯视图是（）A． B．C．D．6．（3分）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB长为16，则点O到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）某年级有四个班，人数分别为：一班25人，二班22人，三班27人，四班26人．在一次考试中，四个班的班级平均分依次为81分，75分，89分，78分，则这次考试的年级平均分为（）A．79.25分 B．80.75分 C．81.06分 D．82.53分8．（3分）如图，在边长为1的正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（）A．B．C．D．9．（3分）正五边形的一个内角的度数为（）A．100°B．108°C．112° D．120°10．（3分）已知反比例函数y=﹣（1＜x＜3）时，y的取值范围是（）A．y＞﹣6 B．2＜y＜6 C．﹣6＜y＜﹣2D．y＜﹣211．（3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1．其中正确的结论为（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置13．（3分）计算（﹣a）3•a2=．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．15．（3分）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则m的值为．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，则以BD为边长的正方形BDEF的面积为．17．（3分）如图，光源P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是．18．（3分）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，（1）计算△ABC的面积等于；（2）在图2的网格中，用无刻度的直尺，画出一个平行四边形，使平行四边形的面积等于两倍△ABC的面积，并简要说明画图的方法（不要求证明）．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置．19．（8分）解方程组：．20．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，某读书小组随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、文艺类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有2400名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙O的切线．22．（10分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（保留到小数点后1位）（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．（10分）某工厂接到制作450件产品的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多20%，结果提前5天完成任务，原来每天制作多少件？24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的点B的坐标为（2，0），E，F分别为边BC，CD上的点，且BE=CF，连结OE，BF，交点为G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交x轴于点Q．（1）求证：OE⊥BF；（2）若E为BC的中点，求点Q的坐标；（3）设点E的坐标为（2，n），点Q的坐标为（﹣m，0），请写出关于n的函数关系式．25．（10分）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．2015年天津市河北区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）计算（﹣3）×2﹣1的结果是（）A．﹣5 B．﹣7 C．6 D．﹣6【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣6﹣1=﹣7，故选：B．2．（3分）tan60°的值为（）A．B．C．D．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：tan60°=．故选：C．3．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【分析】根据中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．因为找不出这样的一个点，将这个图形绕这一点旋转180°后能够与自身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选：B．4．（3分）将6.38×10﹣4化为小数是（）A．0.000638 B．0.0000638 C．0.00638 D．0.0638【分析】利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可．【解答】解：∵0.000638=6.38×10﹣4，∴6.38×10﹣4=0.000638，故选：A．5．（3分）如图是一个立体图形及其主视图，则它的俯视图是（）A． B．C．D．【分析】根据俯视图是从物体上面看得到的平面图形，即可解答．【解答】解：根据俯视图是从物体上面看得到的平面图形，所以俯视图，故选：B．6．（3分）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB长为16，则点O到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】如图，连接OA，过O作弦AB的垂线OF，设垂足为C，在构造的Rt△OAF中，由垂径定理可得AF的长，圆的半径已知，即可由勾股定理求得OF的值，即圆心O到弦AB的距离．【解答】解：过圆心O作OF⊥AB于点F，则AF=AB=8，Rt△OAF中，AF=8，OA=10，由勾股定理得，OF===6，即点O到弦AB的距离是6，故选：D．7．（3分）某年级有四个班，人数分别为：一班25人，二班22人，三班27人，四班26人．在一次考试中，四个班的班级平均分依次为81分，75分，89分，78分，则这次考试的年级平均分为（）A．79.25分 B．80.75分 C．81.06分 D．82.53分【分析】平均数的计算方法是求出所有学生的总分之和，然后除以学生总数．【解答】解：该组数据的平均数==81.06分；故选：C．8．（3分）如图，在边长为1的正方形构成的网络中，半径为1的⊙O的圆心在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（）A．B．C．D．【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵两个阴影部分扇形的半径均为1，==．∴S阴影故选：A．9．（3分）正五边形的一个内角的度数为（）A．100°B．108°C．112° D．120°【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【解答】解：∵正多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°=540°，则每个内角是：540÷5=108°．故选：B．10．（3分）已知反比例函数y=﹣（1＜x＜3）时，y的取值范围是（）A．y＞﹣6 B．2＜y＜6 C．﹣6＜y＜﹣2D．y＜﹣2【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k=﹣6＜0，∴在每个象限内y随x的增大而增大，又∵当x=1时，y=﹣6，当x=3时，y=﹣2，∴当1＜x＜3时，﹣6＜y＜﹣2．故选：C．11．（3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．【解答】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y=×1×=，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y=（2﹣x）×=x2﹣x+，③当x=2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B．12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1．其中正确的结论为（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，据此判断即可．②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．③首先根据x=﹣，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是=2，据此判断即可．④根据x=﹣1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，据此判断即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论②正确；∵x=﹣，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c﹣2，∴结论③正确；∵x=﹣1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，∴结论④不正确．∴正确的结论为：①②③．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置13．（3分）计算（﹣a）3•a2=﹣a5．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．【解答】解：（﹣a）3•a2=﹣a3•a2=﹣a5，故答案为：﹣a5．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1．【分析】方程有实数根即△≥0，根据△建立关于m的不等式，求m的取值范围．【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1答：m的取值范围是m≤1．15．（3分）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则m的值为1．【分析】由一个布袋里装有2个红球，3个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，根据概率公式，可得，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：，解得：m=1，经检验，m=1是原分式方程的解．故答案为：1．16．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，则以BD为边长的正方形BDEF的面积为48．【分析】连接AC交BD于点O，得出△ABC是等边三角形，利用菱形的性质和勾股定理求得BO，得出BD，即可利用正方形的面积解决问题．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，AB=4，∴△ABC是等边三角形∠ABO=30°，AO=2，∴BO==2，∴BD=4，∴正方形BDEF的面积为48．故答案为：48．17．（3分）如图，光源P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是1.8m．【分析】根据AB∥CD，易得，△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，假设CD到AB距离为x，则，又∵AB=2，CD=6，∴∴x=1.8．故答案为：1.8m18．（3分）如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，（1）计算△ABC的面积等于；（2）在图2的网格中，用无刻度的直尺，画出一个平行四边形，使平行四边形的面积等于两倍△ABC的面积，并简要说明画图的方法（不要求证明）．【分析】（1）利用分割法求得△ABC的面积即可；（2）根据平行四边形的性质进行作图．【解答】解：（1）如图1，S△ABC=4×3﹣×4×1﹣×2×3﹣×3×1=．故答案是：．（2）如图2，平行四边形ABCB′的面积=2△ABC的面积．三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置．19．（8分）解方程组：．【分析】两方程中y的系数互为相反数，所以用加减消元法比较简单．【解答】解：，①+②得：3x=9，所以x=3．代入①中得：y=2，所以原方程组的解为．20．（8分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动，某读书小组随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、文艺类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题（1）求被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有2400名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？【分析】（1）利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；（2）利用（1）中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；（3）首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．【解答】解：（1）被调查的学生人数为：12÷20%=60（人）；（2）喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8（人），如图所示：；（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：2400×=960（人）．21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙O的切线．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求得即可；（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（2）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线．22．（10分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（保留到小数点后1位）（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC﹣AB即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈50×0.42=21千米，AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈50×0.91=45.5千米，在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=21÷tan37°≈21÷0.75=28千米，∴AB=AH+BH=45.5+28=73.5千米．故改直的公路AB的长73.5千米；（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=21÷sin37°≈21÷0.6=35千米，则AC+BC﹣AB=50+35﹣73.5=11.5千米．答：公路改直后比原来缩短了11.5千米．23．（10分）某工厂接到制作450件产品的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多20%，结果提前5天完成任务，原来每天制作多少件？【分析】设原来每天制作x件，则后来每天制作（1+20%）件，根据题意可得，实际比原来提前5天完成任务，据此列方程求解．【解答】解：设原来每天制作x件，则后来每天制作（1+20%）件，由题意得，﹣=5，解得：x=15，经检验：x=15是原分式方程的解，且符合题意．答：原来每天制作15件．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的点B的坐标为（2，0），E，F分别为边BC，CD上的点，且BE=CF，连结OE，BF，交点为G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交x轴于点Q．（1）求证：OE⊥BF；（2）若E为BC的中点，求点Q的坐标；（3）设点E的坐标为（2，n），点Q的坐标为（﹣m，0），请写出关于n的函数关系式．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BEO≌△CFB，即可判断出∠BEO=∠CFB，然后根据∠CFB+∠CBF=90°，可得∠BEO+∠CBF=90°，所以∠EGB=90°，所以OE⊥BF，据此判断即可；（2）首先根据对折的性质，可得BP⊥FP，CP⊥BF，据此求出点P的坐标是多少，进而根据点F的坐标，确定出FP所在的直线的解析式；然后求出FP所在的直线与x轴的交点坐标是多少，即可求出点Q的坐标．（3）首先根据点E的坐标为（2，n），BE=CF，求出点F的坐标是多少；然后确定出FQ所在的直线的解析式，进而求出点P的坐标是多少；最后根据DF∥QO，可得，据此写出关于n的函数关系式即可．【解答】解：（1）在△BEO和△CFB中，∴△BEO≌△CFB，∴∠BEO=∠CFB，∵∠CFB+∠CBF=90°，∴∠BEO+∠CBF=90°，∴∠EGB=180°﹣90°=90°，∴OE⊥BF．（2）设点P的坐标是（a，b），∵E为BC的中点，BE=CF，∴F为CD的中点，∴C（2，2），F（1，2），∵BP⊥FP，∴，整理，可得（a﹣1）（a﹣2）+b（b﹣2）=0…①；∵CP⊥BF，∴，整理，可得a=2b﹣2…②；把②代入①，可得b=，或b=2（舍去），∴a=2×=，∴点P的坐标是（），∴FP所在的直线的解析式是：，令y=0，可得，解得x=﹣，∴点Q的坐标是（﹣，0）．（3）∵点E的坐标为（2，n），BE=CF，∴点F的坐标是（2﹣n，2），∴FQ所在的直线的解析式是：，令x=0，解得y=，∴点P的坐标是（0，），∵DF∥QO，∴，∴，整理，可得n2﹣（m+2）n+2m+4=0．25．（10分）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数关系式；②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．【分析】（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；（2）①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论．答图2﹣1，答图2﹣2表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化，分别求解；②画出函数图象，由两段抛物线构成．观察图象，可知当t=1时，S有最大值．【解答】解：（1）如答图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．∵CE∥x轴，∴，即，解得x=．∴C点坐标为（，）；∵PQ∥AB，∴，即，∴OP=2OQ．∵P（0，2t），∴Q（t，0）．∵对称轴OC为第一象限的角平分线，∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．（2）①当0＜t≤1时，如答图2﹣1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．S△CMN=S四边形CMON﹣S△OMN=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN=（•2t×+•t×）﹣•2t•t=﹣t2+2t；当1＜t＜2时，如答图2﹣2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得，解得，∴y=﹣x+t；同理求得直线AB的解析式为：y=﹣2x+4．联立y=﹣x+t与y=﹣2x+4，求得点D的横坐标为．S△CDN=S△BDN﹣S△BCN=（4﹣t）•﹣（4﹣t）×=t2﹣2t+．综上所述，S=．②画出函数图象，如答图2﹣3所示：观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1．。
2015年天津市中考数学试卷-答案
【提示】当 时，在每一个象限内， 随 的增大而减小；当 时，在每一个象限， 随 的增大而增大．
【考点】反比例函数的性质
10．【答案】B
【解析】因为正方体的表面积公式： ，可得： ，解得： ．故选B．
【提示】关键是根据公式进行计算．
【考点】算术平方根
11．【答案】C
【解析】∵四边形 是平行四边形， ，∴ ，∵ ，
（Ⅲ）当 时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差 ，则 ，∵ ，∴ 随 的增大而增大，∴当 时， 取得最大值15，答：两个气球所在位置海拔最多相差 ．
【提示】解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式．
【考点】一次函数的应用
24．【答案】（Ⅰ）在 中，点 ，∴ ，由 ，可得： ，根据题意，由折叠可知 ，∴ ，在 中，由勾股定理， ，可得： ，解得 ，∴点 的坐标为 ．
【提示】主视图是从物体的正面看得到的视图．
【考点】简单组合体的三视图
6．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴ ．故选C．
【提示】解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【考点】估算无理数的大小
7．【答案】D
【解析】根据题意得，点 关于原点的对称点是点 ，∵ 点坐标为 ，∴点 的坐标 ．故选：D．
【提示】熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
【考点】二次函数的最值，二次函数的性质
【考点】坐标与图形变化—旋转
8．【答案】D
【解析】去分母得： ，解得： ，经检验 是分式方程的解，故选D．
【提示】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根．
天津市河北区高考数学二模试卷 理(含解析)
天津市河北区2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i2．（5分）函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）3．（5分）已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0 D．0或﹣4．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥05．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣26．（5分）若（x﹣）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）A．B．12 C．D．367．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．12．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=4与圆（θ为参数）交于M，N两点，则线段MN的长度为．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．16．（13分）现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为．（Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；（Ⅱ）若m，n分别表示用汉语，英语回答问题的人数，记X=|m﹣n|，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设点M在线段PC上，=，求证：PA∥平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．天津市河北区2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=（）A．﹣1+2i B．1+2i C．1﹣2i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，然后由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．解答：解：由（a+i）（1+i）=bi，得a﹣1+（a+1）i=bi，∴，即．∴a+bi=1+2i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（5分）函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由正切函数的单调性的性质即可得到结论．解答：解：由＜2x﹣，即﹣＜x＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．点评：本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k=（）A．﹣B．C．0 D．0或﹣考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域是直角三角形即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，直线kx﹣y+1=0，过定点A（0，1），当直线kx﹣y+1=0与直线x=0垂直时，满足条件，此时k=0，当直线kx﹣y+1=0与直线y=2x垂直时，满足条件，此时k=﹣，综上k=0或﹣，故选：D点评：本题主要考查一元二次不等式组表示平面区域，以及直线垂直的等价条件，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）下列命题中错误的是（）A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0考点：复合命题的真假．专题：2015届高考数学专题．分析：A命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．可以判断出A的真假．B因为（x﹣y）2≤0⇔x=y，可判断出B的真假．C．依据p∨q的真假判断规则：当p，q两个命题有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q 两个命题都是假命题时，p∨q是假命题，据此可以判断出C的真假．D．“命题：∃x∈R，结论p成立”的否定是：“∀x∈R，结论p的反面成立”据此可以判断出D的真假．解答：解：A．据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．由此可知：命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”．所以A是真命题．B．由实数x，y满足⇔（x﹣y）2≤0⇔x=y，故当x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件．C．我们知道：只有当p与q皆为假命题时，p∨q才为假命题，既然C中p∨q为假命题，则命题p与q都不可能是真命题，故C是假命题．D．据特称命题的否定规则可知：命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p应是：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故D正确．故选C．点评：本题考查了四种命题间的关系、充要条件、“或”命题、“非”命题及全称命题与特称命题等命题的真假判断，关键是掌握其判断方法．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则抛物线y2=x的准线方程为（）A．x=﹣1 B．x=﹣2 C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线方程求得其渐近线方程，与直线方程联立求得点A的坐标，进而利用△OAF 的面积求得a和b的关系式，带入抛物线方程，求得抛物线方程，最后利用抛物线的性质求得准线方程．解答：解：依题意知，双曲线渐近线方程为：y=±，根据对称性可知，A点在x轴上方和下方的解是一样的，故看A在x轴上方时，联立方程，，求得y=∴S△OAF=•C•=，∴a=b，∴抛物线的方程为y2=4x，即2p=4，p=2∴抛物线的准线方程为x=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查了抛物线和双曲线的基本性质．解题的关键是求得a和b的关系．6．（5分）若（x﹣）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）A．B．12 C．D．36考点：二项式系数的性质．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先确定n的值，再求出直线y=nx与曲线y=x2交点坐标，利用定积分求得直线y=nx 与曲线y=x2围成图形的面积．解答：解：∵（x﹣）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，∴n=4，由直线y=4x与曲线y=x2，可得交点坐标为（0，0），（4，16），∴直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为=（2x2﹣）=．故选：C．点评：本题主要考查二项式定理的应用，利用定积分求曲边形的面积，属于基础题．7．（5分）如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足=m，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则||的最小值为（）A．B．C．D．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则：三角形法则将用三角形的边对应的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，将||2表示成m的二次函数，求出二次函数的最值解答：解：因为=m，=n，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点所以=（）﹣（）=（1﹣m）（1﹣n），又m+n=1，所以，所以||2+，△ABC是边长为1的等边三角形，所以上式整理得||2==，所以当m=时，||2最小值为，所以||的最小值为；故选C．点评：考查向量的运算的三角形法则；考查向量模的平方等于向量的平方；利用二次函数求最值．8．（5分）如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=e x+1；④f（x）=．其中函数式“H函数”的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数单调性的性质；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y'=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故选C．点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是8．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图，结合中位数和众数的定义进行求解即可．解答：解：甲运动员的中位数为19，即a=19，乙运动员的众数为b=11，则a﹣b=19﹣11=8，故答案为：8；点评：本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．10．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1+的值，∵S=1+=；故答案为：．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．11．（5分）如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE=．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF 的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．解答：解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PAtan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2﹣2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．12．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为9π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的几何体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的几何体，圆柱底面与球的半径均为1，故圆柱的底面面积为：π，圆柱的底面周长为：2π，高为3，故圆柱的侧面面积为：6π，半球面的面积为：2π，故组合体的表面积S=π+2π+6π=9π，故答案为：9π点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=4与圆（θ为参数）交于M，N两点，则线段MN的长度为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化直线为直角坐标方程，化圆为普通方程，求出圆心到直线的距离，则弦长可求．解答：解：由ρcosθ+ρsinθ=4，得，由，得x2+（y﹣2）2=4．作出图象如图，圆心（0，2）到直线的距离d=．∴|MN|=2．故答案为：2．点评：本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了直线被圆所截弦长的求法，是基础题．14．（5分）已知函数g（x）=ax+1，f（x）=对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）的图象，根据条件求出两个函数最值之间的关系，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出函数f（x）=的图象如图：则当x∈[﹣2，2]，f（x）的最大值为f（2）=3，最小值f（﹣2）=﹣4，若a=0，g（x）=1，此时满足∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，若a≠0，则直线g（x）过定点B（0，1），若a＞0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即2a+1≤3且﹣2a+1≥﹣4，即a≤1且a≤，此时满足0＜a≤1，若a＜0，要使对∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则满足g（x）max≤f（x）max，且g（x）min≥f（x）min，即﹣2a+1≤3且2a+1≥﹣4，即a≥﹣1且a≥﹣，此时满足﹣1≤a＜1，综上﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．点评：本题主要考查函数与方程之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键，本题主要考查的是最值之间的关系，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的最小正周期为4π．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）=sin（2ωx+），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．（2）根据正弦定理及（2a﹣c）cosB=bcosC，求出cosB，进而求出B．得到A的范围．把A 代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．解答：解：（1），∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为；（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴，∴∵，，∴∴．点评：本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．常与三角函数中的周期性、单调性等问题一块考查，故需熟练掌握三角函数中的各种性质．16．（13分）现有4个学生去参加某高校的面试，面试要求用汉语或英语中的一种回答问题，每个学生被要求用英语回答问题的概率均为．（Ⅰ）求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；（Ⅱ）若m，n分别表示用汉语，英语回答问题的人数，记X=|m﹣n|，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件A，利用独立重复试验求解了即可．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，2，4．求出概率，得到分布列，然后去期望．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，2，4．…（5分）P（X=0）==，P（X=2）==，P（X=4）==∴随机变量X的分布列为：X 0 2 4P…（11分）∴=．…（13分）点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及去的求法，考查分析问题解决问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）设点M在线段PC上，=，求证：PA∥平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：二面角的平面角及求法；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）连接BD，利用线面垂直的判定定理，证明AD⊥平面PQB，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PQB⊥平面PAD；（2）连接AC交BQ于点N，利用比例关系，证明PA∥MN，利用线面平行的判定定理证明PA∥平面MQB；（3）建立空间直角坐标系，求出平面MQB的法向量，结合平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角M﹣BQ﹣C的大小．解答：（1）证明：连接BD，则∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，∵AD⊂平面PAD．∴平面PQB⊥平面PAD．…（4分）（2）证明：连接AC交BQ于点N，如图由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，∴==．又=，∴==，∴PA∥MN．∵MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，∴PA∥平面MQB．…（8分）（3）解：由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）．∴=（0，，0），=（1，0，﹣）．设平面MQB的法向量=（x，y，1），∵PA∥MN，∴解得=（，0，1）．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．∴cos＜，＞==．故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．…（12分）点评：本题考查面面垂直，线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，正确运用面面垂直，线面平行、垂直的判定定理是关键．18．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类讨论，根据•=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…（2分）∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）假设存在直线l2，使•=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入•=﹣1，不符题意；…（5分）（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．…（6分）∴x1+x2=，x1x2=．…（7分）又∵•=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又 mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．…（9分）∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．…（11分）∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0矛盾．…（12分）综上可知，不存在这样的直线l2，使•=﹣1成立．…（13分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}满足b n=，求证：b1+b2+…+b n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{a n}的前n项和S n．（3）由=（），由此能证明b1+b2+…+b n＜．解答：解：（1）∵S n=na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2分）（2）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1，得a n=na n﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），（4分）∴（n﹣1）a n﹣（n﹣1）a n﹣1=6（n﹣1），∴a n﹣a n﹣1=6，n≥2，n∈N*，（6分）∴数列{a n}是首项a1=5，公差为6的等差数列，∴a n=a1+6（n﹣1）=6n﹣1，（7分）∴．（8分）（3）证明：∵（10分）=，（11分）∴（13分）=，∴b1+b2+…+b n＜．（14分）点评：本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．20．（14分）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；（3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明．解答：解：（1）x∈（0，+∞）．==．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==，所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a=3．又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2=0，化为a=．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）=lnt﹣，则=．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法．。
天津市中考数学试题及解析
2015年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•天津）计算（﹣18）÷6的结果等于（）D．A．﹣3 B．3C．﹣2．（3分）（2015•天津）cos45°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）（2015•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2015•天津）据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（）A．0.227×lO7B．2.27×106C．22.7×l05D．227×1045．（3分）（2015•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）（2015•天津）估计的值在（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间7．（3分）（2015•天津）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．（3分）（2015•天津）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=5 C．x=3 D．x=99．（3分）（2015•天津）己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞610．（3分）（2015•天津）己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm11．（3分）（2015•天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°12．（3分）（2015•天津）已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2015•天津）计算；x2•x5的结果等于．14．（3分）（2015•天津）若一次函数y=2x+b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为．15．（3分）（2015•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为．17．（3分）（2015•天津）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．18．（3分）（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算算步骤或推理过程）19．（8分）（2015•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）不等式①，得；（Ⅱ）不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．（8分）（2015•天津）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为，图①中m的值为（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）（2015•天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．22．（10分）（2015•天津）如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．23．（10分）（2015•天津）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）（Ⅰ）根据题意，填写下表：上升时间/min 10 30 (x)1号探测气球所在位置的海拔/m 15 …2号探测气球所在位置的海拔/m 30 …（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？24．（10分）（2015•天津）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A （，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．2015年天津市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•天津）计算（﹣18）÷6的结果等于（）D．A．﹣3 B．3C．﹣考点：有理数的除法．分析：根据有理数的除法，即可解答．解答：解：（﹣18）÷6=﹣3．故选：A．点评：本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数除法的法则．2．（3分）（2015•天津）cos45°的值等于（）A．B．C．D．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入求解．解答：解：cos45°=．故选B．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3．（3分）（2015•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．（3分）（2015•天津）据2015年5月4日《天津日报》报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约2270000人次．将2270000用科学记数法表示应为（）A．0.227×lO7B．2.27×106C．22.7×l05D．227×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将2270000用科学记数法表示为2.27×106．故选B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2015•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6．（3分）（2015•天津）估计的值在（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间考点：估算无理数的大小．专题：计算题．分析：由于9＜11＜16，于是＜＜，从而有3＜＜4．解答：解：∵9＜11＜16，∴＜＜，∴3＜＜4．故选C．点评：本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．7．（3分）（2015•天津）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．解答：解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．故选：D．点评：本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．8．（3分）（2015•天津）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=5 C．x=3 D．x=9考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．（3分）（2015•天津）己知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞6考点：反比例函数的性质．分析：利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．解答：解：∵k=6＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x=1时，y=6，当x=3时，y=2，∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．故选C．点评：本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．10．（3分）（2015•天津）己知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（）A．1dm B．dm C．dm D．3dm考点：算术平方根．分析：根据正方体的表面积公式：s=6a2，解答即可．解答：解：因为正方体的表面积公式：s=6a2，可得：6a2=12，解得：a=．故选B．点评：此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，关键是根据公式进行计算．11．（3分）（2015•天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°考点：旋转的性质；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，∵∠ADA′=50°，∴∠A′DC=10°，∴∠DA′B=130°，∵AE⊥BC于点E，∴∠BAE=30°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．故选：C．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′．12．（3分）（2015•天津）已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．考点：抛物线与x轴的交点．分析：令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．解答：解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选：D．点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D 的坐标是解决问题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2015•天津）计算；x2•x5的结果等于x7．考点：同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法，可得答案．解答：解：x2•x5=x2+5=x7，故答案为：x7．点评：本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．14．（3分）（2015•天津）若一次函数y=2x+b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为3．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：把点（1，5）代入函数解析式，利用方程来求b的值．解答：解：把点（1，5）代入y=2x+b，得5=2×1+b，解得b=3．故答案是：3．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．15．（3分）（2015•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：∵共4+3+2=9个球，有2个红球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为，故答案为：．点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．16．（3分）（2015•天津）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为 3.6．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．解答：解：∵AD=3，DB=2，∴AB=AD+DB=5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=3，AB=5，BC=6，∴，∴DE=3.6．故答案为：3.6．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．17．（3分）（2015•天津）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有8个．考点：正多边形和圆；等边三角形的判定．分析：在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．解答：解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF 共有8个．故答案是：8．点评：本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．18．（3分）（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．专题：作图题．分析：（1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=，再解答即可；（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．解答：解：（1）根据勾股定理可得：DB=，因为BE=DF=，所以可得AF==2.5，根据勾股定理可得：AE=，所以AE+AF=，故答案为：；（2）如图，首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF 移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH==5，结合相似三角形选出格点K，根据，得BP=BH==4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．点评：此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算算步骤或推理过程）19．（8分）（2015•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）不等式①，得x≥3；（Ⅱ）不等式②，得x≤5；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为3≤x≤5．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．解答：解：（Ⅰ）不等式①，得x≥3；（Ⅱ）不等式②，得x≤5；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（Ⅳ）原不等式组的解集为3≤x≤5．故答案分别为：x≥3，x≤5，3≤x≤5．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．（8分）（2015•天津）某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题．（Ⅰ）该商场服装部营业员的人数为25，图①中m的值为28（Ⅱ）求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数．考点：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；解答：解：（1）根据条形图2+5+7+8+3=25（人），m=100﹣20﹣32﹣12﹣8=28；故答案为：25，28．（2）观察条形统计图，∵=18.6，∴这组数据的平均数是18.6，∵在这组数据中，21出现了8次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是21，∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是18，∴这组数据的中位数是18．点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．21．（10分）（2015•天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．考点：切线的性质；平行四边形的性质．分析：（Ⅰ）由CD是⊙O的切线，C为切点，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根据平行四边形的性质即可得到结果．（Ⅱ）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，△AOB是等边三角形，证得∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，即AD∥OC，有∠ADC+∠OCD=180°，∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°；（Ⅱ）如图②，连接OB，则OB=OA=OC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，∴OA=OB=AB，即△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，∴OF⊥AB，∴，∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°，∴．点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键．22．（10分）（2015•天津）如图，某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得BC的高度．解答：解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°∠ADF=47°，∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=，∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m）．在直角△DFB中，tan∠BDF=，∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（m），则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．23．（10分）（2015•天津）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）（Ⅰ）根据题意，填写下表：上升时间/min 10 30 (x)1号探测气球所在位置的海拔/m 15 35…x+52号探测气球所在位置的海拔/m 2030 …0.5x+15（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？考点：一次函数的应用．分析：（Ⅰ）根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；（Ⅲ）由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，根据x的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答．解答：解：（Ⅰ）根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：m1=x+5，2号探测气球所在位置的海拔：m2=0.5x+15；当x=30时，m1=30+5=35；当x=10时，m2=5+15=20，故答案为：35，x+5，20，0.5x+15．（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，根据题意得：x+5=0.5x+15，解得：x=20，有x+5=25，答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．（Ⅲ）当30≤x≤50时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，∵0.5＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=50时，y取得最大值15，答：两个气球所在位置海拔最多相差15m．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式．24．（10分）（2015•天津）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A （，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．考点：一次函数综合题．分析：（Ⅰ）根据折叠的性质得出BM=AM，再由勾股定理进行解答即可；（Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；（Ⅲ）把S=代入解答即可．解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0），∴OA=，OB=1，由OM=m，可得：AM=OA﹣OM=﹣m，根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，∴BM=AM=﹣m，在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，可得：，解得m=，∴点M的坐标为（，0）；（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=，∴∠OAB=30°，由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，∴在Rt△AMN中，MN=AM，sin∠OAB=，AN=AM•cos∠OAB=，∴，由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，∴在Rt△COM中，可得CO=OM•tan∠A'MO=m，∴，∵，∴，即；（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；②当点A′落在第一象限时，则S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S=代入，可得点M的坐标为（，0）．点评：此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积，三角函数的运用进行分析．25．（10分）（2015•天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．考点：二次函数的最值；二次函数的性质．分析：（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（Ⅱ）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴当x=﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5=1有两个相等是实数根，∴△=b2﹣16=0，解得，b1=4，b2=﹣4，∴次函数的解析式y=x2+4x+5，y=x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值，∴3b2=21，解得，b1=﹣（舍去），b2=；②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=﹣，y=b2为最小值，∴b2=21，解得，b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9=21．解得，b1=1（舍去），b2=﹣4；∴b=时，解析式为：y=x2+x+7b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．点评：本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．。
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2015年天津河北区初三二模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算的结果是
A. B. C. D.
2. 的值为
A. B. C. D.
3. 下列图形中，不是中心对称图形的为
A. B.
C. D.
4. 将化为小数是
A. B. C. D.
5. 右图是一个立体图形及其主视图，则它的俯视图是
A. B.
C. D.
6. 如图，已知的半径为，弦长为，则点到的距离是
A. B. C. D.
7. 某年级有四个班，人数分别为：一班人，二班人，三班人，四班人．在一次考试中，
四个班的班级平均分依次为分，分，分，分，则这次考试的年级平均分为
A. 分
B. 分
C. 分
D. 分
8. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则图中阴影部
分两个小扇形的面积之和为
A. B. C. D.
9. 正五边形的一个内角的度数为
A. B. C. D.
10. 已知反比例函数，当时，的取值范围是
A. B. C. D.
11. 如图，边长分别为和的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后
把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为，两个三角形重叠面积为，则关于的函数图象是
A. B.
C. D.
12. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，
其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程
的根为．其中正确结论为
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算．
14. 若关于的一元二次方程总有实数根，则的取值范围是．
15. 已知一个布袋里装有个红球，个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋
里任意摸出个球，是白球的概率为，则．
16. 如图，菱形中，，，则以为边长的正方形的面积
为．
17. 如图，光源在横杆的上方，在灯光下的影子为，，，，
点到的距离是，则与间的距离是．
18. 如图1，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均落在格点上．（Ⅰ）
计算的面积等于；（Ⅱ）在图2的网格中，用无刻度的直尺，画出一个正方形，使正方形的面积等于的面积，并简要说明画图的方法（不要求证明）．
三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程组：
20. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．某读书小组随机抽取本校的部分
学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人?
21. 如图，是的外接圆，为直径，弦，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
22. 如图，从地到地的公路需经过地，图中千米，，，因
城市规划的需要，将在，两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路的长．
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米?（保留到小数点后位）
（，，，，，）
23. 某工厂接到制作件产品的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天
多，结果提前天完成任务．原来每天制作多少件?
24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的点坐标为，，分别为边，上的
点，且，连接，，交点为．将沿对折，得到，延长交轴于点．
（1）求证：；
（2）若为的中点，求点的坐标；
（3）设点的坐标为，点的坐标为，请写出关于的函数关系式．
25. 如图，已知点，，的平分线交于点，一动点从点出发，以每秒
个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点且平行于的直线交轴于点，作，关于直线的对称点，．
设运动的时间为秒．
（1）求出点，的坐标（用含的代数式表示）
（2）设与的重叠部分的面积为，求关于的函数关系式．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. D
4. A
5. B
6. A
7. C
8. A
9. B 10. C
11. B 12. D
第二部分
13.
14.
15.
16.
17.
18. （Ⅰ）
（Ⅱ）方法一：如图1，
画出边长为正方形，再分别画出各边中点，连接对边中点交于点，则正方形即为所求．
【解析】方法二：如图2，画出长为的线段，找到的中点，找到点，，连接，，找到，的中点，，顺次连接，，，，则正方形即为所求．
第三部分
19.
得，
解得
将代入得
所以原方程组的解为
20. （1）被调查的学生人数为：（人）．
（2）喜欢艺体类的学生数为：（人）．
如图所示：
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有：（人）．21. （1）因为，
所以．
又因为；
所以．
（2）连，
则．
所以．
因为四边形内接于，
所以．
由（1）知，
所以．
所以．
因为，
所以，
所以是的切线．
22. （1）作于．
在中，千米，
千米，
在中，千米．
千米．
故改直的公路的长千米．
（2）在中，千米，则千米．
答：公路改直后比原来缩短了千米．
23. 设原来每天制作件，则后来每天制作件，
根据题意得
解得
经检验是原方程的解．
答：原来每天制作件．
24. （1）因为在正方形中，，，，
所以，
所以．
因为，
所以．
所以，
即．
（2）如图，
由折叠的性质得，，，
因为，
所以．
所以．
所以．
设，则，
在中，，
即，
解得．
所以点的坐标为．
（3）．
25. （1）．
，即．
，
，
，
对称轴为第一象限的角平分线，
对称点坐标为，．
（2）当时，如图1所示，
点在线段上，重叠部分面积为．
四边形
当时，如图2所示，
点在的延长线上，设与交于点，则重叠部分面积为．设直线的解析式为，
将，代入
得
解得
.
同理求得直线的解析式为，
联立与，
求得点的横坐标为．
．
综上所述，．。